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大家好大家好113.1合情推理与演绎推理基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习基础知识自主学习1.合情推理合情推理知识梳理(1)归纳推理定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的_ 对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出 的推理，称为归纳推理(简称归纳).特点：由 到整体、由 到一般的推理.全部一般结论部分个别(2)类比推理定义：由两类对象具有某些 和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).特点：由 到 的推理.(3)合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.类似特征特殊特殊类比(1)演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由 到 的推理.(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的 ；小前提所研究的 ；结论根据一般原理，对 做出的判断.2.演绎推理演绎推理一般特殊一般原理特殊情况特殊情况判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.()思考辨析思考辨析(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.()(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是ann(nN*).()(6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.()考点自测1.观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10等于A.28 B.76C.123 D.199答案解析从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，依据此规律，a10b10123.答案解析2.下面几种推理过程是演绎推理的是A.在数列an中，a11，an (an1 )(n2)，由此归纳数列an 的通项公式B.由平面三角形的性质，推测空间四面体性质C.两直线平行，同旁内角互补，如果A和B是两条平行直线与第 三条直线形成的同旁内角，则AB180D.某校高二共10个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班 都超过50人A、D是归纳推理，B是类比推理，C符合三段论模式，故选C.3.(2017济南调研)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：垂直于同一个平面的两条直线互相平行；垂直于同一条直线的两条直线互相平行；垂直于同一个平面的两个平面互相平行；垂直于同一条直线的两个平面互相平行.则正确的结论是_.答案解析显然正确；对于，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异面或相交；对于，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交.4.(教材改编)在等差数列an中，若a100，则有a1a2ana1a2a19n(n19，nN*)成立，类比上述性质，在等比数列bn中，若b91，则存在的等式为_.答案解析利用类比推理，借助等比数列的性质，b1b2bnb1b2b17n(n17，nN*)5.(2017西安质检)观察下列式子：1,121,12321,1234321，由以上可推测出一个一般性结论：对于nN*，12n21_.答案解析112,12122,1232132，123432142，归纳可得12n21n2.n2题型分类深度剖析题型分类深度剖析题型一归纳推理题型一归纳推理命题点命题点1与数字有关的等式的推理与数字有关的等式的推理例例1(2016山东)观察下列等式：第2个数对应行数n，第3个数为n1.答案解析命题点命题点2与不等式有关的推理与不等式有关的推理例例2nn第一个式子是n1的情况，此时a111；第二个式子是n2的情况，此时a224；第三个式子是n3的情况，此时a3327，归纳可知ann.答案解析命题点命题点3与数列有关的推理与数列有关的推理例例3三角形数 N(n,3)n2 n，正方形数 N(n,4)n2，五边形数 N(n,5)n2 n，六边形数 N(n,6)2n2n.答案解析可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)_.1 000由N(n,4)n2，N(n,6)2n2n，可以推测：当k为偶数时，1 1001001 000.命题点命题点4与图形变化有关的推理与图形变化有关的推理例例4(2017大连调研)某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为由211,312,523知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55，故选D.答案解析A.21 B.34 C.52 D.55归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理.观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解.(2)与不等式有关的推理.观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解.(3)与数列有关的推理.通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可.(4)与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性.思维升华跟踪训练跟踪训练1(1)(2015陕西)观察下列等式：据此规律，第n个等式可为_.答案解析(2)(2016抚顺模拟)观察下图，可推断出“x”处应该填的数字是_.答案解析183由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，“x”处应填的数字是325272102183.例例5(1)(2017西安月考)对于命题：如果O是线段AB上一点，则 0；将它类比到平面的情形是：若O是ABC内一点，有 0；将它类比到空间的情形应该是：若O是四面体ABCD内一点，则有_ .题型二类比推理题型二类比推理线段长度类比到空间为体积，再结合类比到平面的结论，答案解析答案解析(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等.思维升华跟跟踪踪训训练练2在平面上，设ha，hb，hc是三角形ABC三条边上的高，P为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为Pa，Pb，Pc，我们可以得到结论：1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为_.设ha，hb，hc，hd分别是三棱锥ABCD四个面上的高，P为三棱锥ABCD内任一点，P到相应四个面的距离分别为Pa，Pb，Pc，Pd，答案解析题型三演绎推理题型三演绎推理例例6设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，满足4Sn 4n1，nN*，且a2，a5，a14构成等比数列.(1)证明：a2 ；证明(2)求数列an的通项公式；解答证明演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.思维升华跟跟踪踪训训练练3(1)某国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅.”结论显然是错误的，是因为答案解析A.大前提错误 B.小前提错误C.推理形式错误 D.非以上错误因为大前提“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能类比，所以不符合三段论推理形式，所以推理形式错误.(2)(2016洛阳模拟)下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是A.大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：是无理数；结论：是无限不循环小数B.大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：是无限不循环小数；结论：是无理数C.大前提：是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：是无理数D.大前提：是无限不循环小数；小前提：是无理数；结论：无限不 循环小数是无理数答案解析合情推理在近年来的高考中，考查频率逐渐增大，题型多为选择、填空题，难度为中档.解决此类问题的注意事项与常用方法：(1)解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误.应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳.(2)解决类比问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由，再去类比另一类问题.高考中的合情推理问题高频小考点高频小考点10考点分析典典例例(1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，记为数列an，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列bn，可以推测：b2 014是数列an的第_项；答案解析5035b2k1_.(用k表示)答案解析(2)设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数yf(x)满足：(i)T f(x)|xS；(ii)对 任 意 x1，x2S，当 x1x2时，恒 有f(x1)f(x2).那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是_.AN*，BN；Ax|1x3，Bx|x8或0 x10；Ax|0 x0且a1)是增函数，而函数y 是对数函数，所以y 是增函数”所得结论错误的原因是A.大前提错误 B.小前提错误C.推理形式错误 D.大前提和小前提都错误答案解析1234567891011logax因为当a1时，ylogax在定义域内单调递增，当0a|AB|，则P点的轨迹为椭圆B.由a11，an3n1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表 达式C.由圆x2y2r2的面积r2，猜想出椭圆 1的面积SabD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇答案解析从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理，故应选B.12345678910113.(2016西安八校联考)观察一列算式：11,12,21,13,22,31,14,23,32,41，则式子35是第A.22项 B.23项 C.24项 D.25项答案解析两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，35是和为8的第3项，所以为第24项.12345678910114.(2016泉州模拟)正偶数列有一个有趣的现象：246；810121416；18202224262830，按照这样的规律，则2 016所在等式的序号为A.29 B.30 C.31 D.32答案解析即第31个等式中最后一个偶数是1 02322 046，且第31个等式中含有63个偶数，故2 016在第31个等式中.1234567891011答案解析12345678910116.把正整数按一定的规则排成如图所示的三角形数表，设aij(i，jN*)是位于这个三角形数表中从上往下第i行，从左往右数第j个数，如a428，若aij2009，则i与j的和为_.答案解析107由题可知奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2 00921 0051，所以2 009为第1 005个奇数，又前31个奇数行内数的个数为961，前32个奇数行内数的个数为1024，故2009在第32个奇数行内，则i63，因为第63行第1个数为296211 923,2 0091 9232(j1)，所以j44，所以ij107.1234567891011答案解析12345678910118.如图，我们知道，圆环也可以看作线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S(R2r2)(Rr)2 .所以，圆环的面积等于以线段ABRr为宽，以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2 为长的矩形面积.请你将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：若将平面区域M(x，y)|(xd)2y2r2(其中0rd)绕y轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是_.22r2d1234567891011答案解析1234567891011证明10.(2016泉州模拟)先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a1，a2R，a1a21，求证 .证明：构造函数f(x)(xa1)2(xa2)2，因为对一切xR，恒有f(x)0，1234567891011(1)若a1，a2，anR，a1a2an1，请写出上述结论的推广式；解答若a1，a2，anR，a1a2an1，1234567891011(2)参考上述证法，对你推广的结论加以证明.证明构造函数f(x)(xa1)2(xa2)2(xan)2.因为对一切xR，恒有f(x)0，1234567891011*11.对于三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)，给出定义：设f(x)是函数yf(x)的导数，f(x)是f(x)的导数，若方程f(x)0有实数解x0，则称点(x0，f(x0)为函数yf(x)的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若f(x)，请你根据这一发现，(1)求函数f(x)的对称中心；解答1234567891011解答1234567891011
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