2024--2025高考数学应试训练(六)--圆锥曲线

2024-2025阜阳淮上陌客高考数学应试训练（六） -解答题专项（2024.12.16） 三、解答题：20. (安徽省合肥市2024年高三第一次教学质量检测理科) (本小题满分13分)已知抛物线，过点的直线与抛物线交于、两点，且直线与交于点.(1)求证: ，、成等比数列；(2)设，试问是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由20. 【解析】(1)设直线的方程为：，联立方程可得得: 设，则， ，而，即，、成等比数列 7分(2)由，得，即得：，则由(1)中代入得，故为定值且定值为 13分20. (安徽省合肥市2024年高三第一次教学质量检测文科) (本小题满分13分)椭圆的两焦点坐标分别为和，且椭圆过点.(1)求椭圆方程；(2)过点作不与轴垂直的直线交该椭圆于、两点，为椭圆的左顶点，试推断的大小是否为定值，并说明理由20. 【解析】(1)由题意，即可得到 5分(2)设直线的方程为：，联立直线和曲线的方程可得：得，设，则，则即可得. 13分19(安徽省2024年“江南十校”高三联考理科)（本小题满分12分）已知双曲线的中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线方程为，右焦点F（5，0），双曲线的实轴为A1A2，P为双曲线上一点（不同于A1，A2），直线A1P、A2P分别与直线：交于M、N两点.（）求双曲线的方程；（）求证：为定值. ，即（定值）12分21(安徽省2024年“江南十校”高三联考文科)（本小题满分13分）已知双曲线的中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线方程，右焦点F（5，0），双曲线的实轴为A1A2，P为双曲线上一点（不同于A1，A2），直线A1P、A2P分别与直线：交于M、N两点.（）求双曲线的方程；（）求证：为定值.21（）依题意可设双曲线方程为：，则 所求双曲线方程为 6分（）A1（3，0）、A2（3，0）、F（5，0），设P（），M（）， A1、P、M三点共线， 即 8分同理得 9分， ， 11分 ，即（定值）13分20. (安徽省安庆市2024年高三其次次模拟考试理科)（本小题满分13分） 已知椭圆C：1(ab0)，F为其焦点，离心率为e。（）若抛物线xy2的准线经过F点且椭圆C经过P(2,3)，求此时椭圆C的方程；（）若过A(0, a)的直线与椭圆C相切于M，交x轴于B，且，求证：c20。20.（本小题满分13分）解：（）依题意知(-2，0)，即，2分由椭圆定义知：,3分所以,即椭圆的方程为：.5分()证明：由题意可设直线的方程为： 依据过的直线与椭圆相切 可得：8分10分易知设,则由上知 11分由 知 ，13分(其它做法请参照标准给分)18. (安徽省2024年2月皖北高三大联考理科)（本小题满分12分）试问能否找到一条斜率为的直线与椭圆交于两个不同点且使且使M，N到点的距离相等，若存在，试求出的取值范围；若不存在，请说明理由 。18.设直线：为满意条件的直线，再设为的中点，欲满意条件，只要即可由 得.设则，故.由，得，且.故当时，存在满意条件的直线.18. (安徽省2024年2月皖北高三大联考文科)（本小题满分12分）已知椭圆C的中心为直角坐标系的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.（1）求椭圆方程（2）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于轴的直线上的点，（e为椭圆C的离心率），求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.18.（1）设椭圆的方程为，由题设得 解得.由此得，故椭圆的方程为.（2）由（1）得，设，由得故. 由点在椭圆上得代入式并化简得.故点的轨迹方程为轨迹是两条平行于轴的线段.21、(安徽省淮南市2024届高三第一次模拟考试理科)（本小题13分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴的负半轴上，过其上一点的切线方程为为常数）. （）求抛物线方程； （）斜率为的直线与抛物线的另一交点为，斜率为的直线与抛物线的另一交点为（、两点不同），且满意，求证:线段的中点在轴上； （）在（）的条件下，当时，若的坐标为，求为钝角时点的纵坐标的取值范围. 21.【解析】（）由题意可设抛物线的方程为,过点的切线方程为, 抛物线的方程为4分 13分21、(安徽省淮南市2024届高三第一次模拟考试文科)（本题13分）已知椭圆的方程是，点分别是椭圆的长轴的左、右端点，左焦点坐标为，且过点。（）求椭圆的方程；（）已知是椭圆的右焦点，以为直径的圆记为圆,试问:过点能否引圆的切线，若能，求出这条切线与轴及圆的弦所对的劣弧围成的图形的面积；若不能，说明理由。 ABFyxPOO21.【解析】（）因为椭圆的方程为，（）， ，即椭圆的方程为， 点在椭圆上， ，解得 或（舍）， 由此得，所以，所求椭圆的标准方程为. 6分（）由（）知,又，则得,所以，即, 是，A M O F Q xyP 所以，以为直径的圆必过点，因此，过 点能引出该圆的切线，设切线为,交轴于点， 又的中点为，则明显,而 , 所以的斜率为，因此，过 点引圆的切线方程为：， 即 令，则，,又，所以，因此，所求的图形面积是 = 13分三、解答题：(21) (安徽省“江南十校”2024年3月高三联考理科) (本小题满分13分）如图,椭圆的中心在坐标原点，长轴端点为A，B,右焦点为F,且.(I) 求椭圆的标准方程；(II) 过椭圆的右焦点F作直线，直线l1与椭圆分别交于点M,N，直线l2与椭圆分别交于点P,Q,且，求四边形MPNQ的面积S的最小值. (21) 解:（）设椭圆的方程为,则由题意知,又即,故椭圆的方程为:.2分 (注: 证明,用几何法同样得分)若直线中有一条斜率不存在,不妨设的斜率不存在,则可得轴, ,故四边形的面积.7分 (20) (安徽省“江南十校”2024年3月高三联考文科) (本小题满分13分）已知焦点在X轴上的椭圆C为.，F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，离心率e=.(I )求椭圆C的方程；(II) 设点Q的坐标为（1，0)，椭圆上是否存在一点P，使得直线都与以Q为圆心的一个圆相切，如存在，求出P点坐标及圆的方程，如不存在，请说明理由.（20）解析：（）由题可知：，解得，2分 3分椭圆的方程为； 4分21(安徽省合肥一中2024届高三下学期其次次质量检测文科)（13分）已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为, 直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且.（1）求椭圆方程；（2）求的取值范围解：（1）设C：1（ab0），设c0，c2a2b2，由条件知a-c，a1，bc 故C的方程为：y21 5分（2）当直线斜率不存在时： 6分19(安徽省合肥一中2024届高三下学期其次次质量检测理科)（12分）已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为, 直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且.（1）求椭圆方程；（2）求的取值范围解：（1）设C：1（ab0），设c0，c2a2b2，由条件知a-c，a1，bc 故C的方程为：y21 4分（2）当直线斜率不存在时： 5分当直线斜率存在时：设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）得（k22）x22kmx（m21）0 （2km）24（k22）（m21）4（k22m22）0 （*） 6分x1x2， x1x2 7分3 x13x2 8分由消去x1，x2，3（）2409分整理得4k2m22m2k220 m2时，上式不成立；m2时，k2， k20，或 把k2代入（*）得或或11分,综上m范围为或12分20（安徽省安庆市2024年3月高三其次次模拟文科）（本小题满分13分）（）设，由题意知：，. 9分两式相减得：，所以， 11分易证，此直线经过定点. 13分20、（安徽省安庆市2024年3月高三其次次模拟理科）（本题满分13分）已知直线，圆O：36（O为坐标原点），椭圆C：1（ab0）的离心率为e，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的长轴长相等。（I）求椭圆C的方程；（II）过点（3,0）作直线l，与椭圆C交于A，B两点设（O是坐标原点），是否存在这样的直线l，使四边形为ASB的对角线长相等？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由。由，即.9分 ,由得：，满意0. 12分故存在这样的直线l,其方程为. 13分（19）(安徽省马鞍山市2024年4月高三其次次质量检测文科）（本小题满分13分）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线 在y轴上的截距为m（m0），直线交椭圆于A、B两个不同点（A、B与M不重合）. （）求椭圆的方程；（）当时，求m的值.由消并整理化简得：，此方程有两解 解得：10分由韦达定理得：，代入得： 解：或12分点异于，13分【命题意图】.本题考查椭圆的性质及直线和圆锥曲线的位置关系，中等题.（）直线AB与圆P不能相切. 7分理由如下：因为假如直线AB与圆P相切，则 10分解得c=0或4，又，而，所以直线AB与圆P不能相切.13分21、（安徽省皖南八校2024届高三其次次联考理科）（本题满分13分）已知椭圆C：，直线与椭圆C相交于A、B两点，（其中O为坐标原点）。（1） 摸索究：点O到直线AB的距离是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由；（2） 求的最小值。代入得：，整理得， 5分到直线的距离.综上所述，点到直线的距离为定值. 6分法二：（均值不等式法）由（）可知，到直线的距离.在中，故有，即， 9分而（当且仅当时取等号）第 20 页 共 21 页