流体力学4讲义课件

要要点点：欧欧拉拉运运动动微微分分方方程程，伯伯努努利利方方程程（流流体体能量守恒定理能量守恒定理），流体动量守恒定理），流体动量守恒定理。难难点点：欧欧拉拉运运动动微微分分方方程程的的推推导导和和深深化化，伯伯努努利利方方程程的的形形式式、意意义义和和具具体体应应用用，动动量量守守恒恒定定理具体应用计算理具体应用计算。第四章第四章 理想流体动力学理想流体动力学 本章主要是研究理想流体的运动和引起运动的原本章主要是研究理想流体的运动和引起运动的原因因力之间的关系规律，也就是研究流体在运动中力之间的关系规律，也就是研究流体在运动中其流动参量之间的相互关系，以及引起运动的原因和其流动参量之间的相互关系，以及引起运动的原因和流体对周围物体的影响。其中主要内容是流体的能量流体对周围物体的影响。其中主要内容是流体的能量方程方程伯努利方程和理想流体的动量定理，以便伯努利方程和理想流体的动量定理，以便研究流体和物体之间的作用力问题。研究流体和物体之间的作用力问题。(1)给出作用在流体上的力和起始条件及边界条件，来确定流体的运动；(2)给出流体运动，要求确定作用在流体上的力，特别是流体绕过物体时对物体产生的力。4.1 4.1 欧拉运动微分方程式欧拉运动微分方程式 4.1.1 4.1.1 欧拉运动微分方程式的导出欧拉运动微分方程式的导出 在给定的瞬时，从运动的流体中取一微六面体，如图。作用在此微六面体上的力有表面力(压力)、质量力和惯性力。现考虑作用在微六面体上的所有各力在x轴上的投影。（1）压力：（2）质量力：（3）惯性力：fxfxfx这里的fx、fy、fz是流体质量力在x、y、z轴上的投影，且质量力中包含以下两项：重力和惯性力。在这里如果假定fx、fy、fz仅仅是重力在三个坐标轴上的投影，那么惯性力在x、y、z轴上的投影分别为：、和 。于是，上式便可写成 也可从第2章流体静力学推导，流体静力学的平衡微分方程式为：上式整理后便得到 将加速度展开成欧拉表达式 用矢量表示为 对于恒定流动 上式称为流动欧拉运动微分方程式。对于不可压缩流体：对于可压缩流体：以上可通过流体的状态方程确定。4.1.2 4.1.2 欧拉方程式的物理意义和讨论欧拉方程式的物理意义和讨论 式（4.3）的每一项都表示单位质量的力，等号的左边表示惯性力：由非恒定引起的局部惯性力和非均匀性引起的变位惯性力；等号的右边表示重力和压强的合力。对于欧拉方程的物理意义讨论如下：(1)对于静止流体,方程式为 ,即为静力学基本方程。(2)对于恒定流动，。（3）在方程中有8个物理量：、，和p。一般情况下，表示重力的 、是已知的，这个方程组和连续性方程及流体的状态方程，在一定条件下积分便可得到压强 p的分布规律。4.2 4.2 伯努利方程伯努利方程 4.2.1 4.2.1 沿流线的伯努利方程沿流线的伯努利方程 伯努利方程由瑞士科学家伯努利（Bernoulli）在1738年首先提出。对于沿流线s的欧拉运动微分方程式式（4.2）可简化成 引入限定条件：（1）作用在流体上的质量力仅为重力，且z轴向上，如图4.1所示。2）流体为不可压缩流体 3）对于恒定流动（流动参数与t无关）将上式沿流线积分,得（称为流线常数）或 式（4.4）就是沿流线的伯努利方程，这是水力学中最常用的方程之一。伯努利方程的限制条件包括：（1）理想流体，（2）恒定流动；（3）不可压缩流体；（4）质量力仅为重力；（5）沿流线。在同一条流线上取1，2两点，则式（4.4）可表达成：倘若在上述条件下，再加上流动是无旋运动（势流）的条件，可得到：上式称为拉格朗日方程，等号右边的常数C称为通用常数，在整个流场中均相等。倘若流动是非恒定流动，但有势，则可得到拉格朗日积分式 式中 是流场的速度势。当t是常数时，对整个流场是个常数。1、葛罗米柯方程式(旋涡部分)因为：V2=u2+v2+w2 代入欧拉运动方程式：另外推导方法：同样可知道：积分方便 2、运动微分方程式的积分欧拉运动微分方程一般是不能积分的，只有在特殊情况下才能求出它的积分式，下面讨论四种积分形式：1)定常有旋定常有旋(流线-伯努利方程：Bernoulli)：对葛罗米柯运动方程进行简化转变：上式、相加得：即：，得C(S)为某一根流线上的常数2)定常无旋定常无旋(拉格朗日-伯努利方程)：上面条件中无旋，则葛罗米柯运动方程为：第一式乘dx，第二式乘dy，第三式乘dz相加可得：积分：，若质量力为重力时，或 ，C为整个流场上的常数。3)不定常有旋运动不定常有旋运动：目前还无法有纯数学求得积分式，但可有数值解。4)不定常无旋不定常无旋(柯西-伯努利方程)：则葛罗米柯运动方程为：fxfyfz葛罗米柯运动方程简化为：由上式可知，与坐标x，y，z无关，只是时间的函数。故：其中C(t）为时间的某一函数。若质量力为重力时，4.2.2 4.2.2 伯努利方程中各项的几何意义和物理意义伯努利方程中各项的几何意义和物理意义 1.1.几何意义几何意义 每一项都表示某一个高度：是测压管高度，表示流体质点的压强高度，又称压 强水头；z是位置高度，表示流体质点的几何位置，又称位置 水头；,H称为总水头。是流速高度，又称流速水头；，Hp是测压管水头；在水力学中将流道各截面上相应水头高度连成水头线（图4.2），将位置水头和压强水头之和的连线称为测压管水头线（或称水力坡度线，HGL）；总水头的连线称为总水头线（或称为能量波度线，EGL）。2.2.物理意义物理意义 是单位重量流体具有的总势能；式（4.4）每一项都表示单位重量流体具有的某种能量。z是单位重量流体具有的位置势能；是单位重量流体具有的压强势能；是单位重量流体具有的动能；是单位重量流体具有的总机械能。伯努利方程(流线-伯努利方程)表示理想流体恒定流动，沿同一条流线，各点单位重量流体的机械能(动能动能、压能压能与位能位能)守恒。【例4.0】用水银比压计测量管中水流，过流断面中点流速如图（4.3）。测得A点的比压计读数 （不计损失）。求：（1）该管中的流速v；（2）若管中流体是密度为0.8g/cm3的油，仍不变，该点流速又为多少。【解】（1）管中流动若不计损失，则管中流动为均流。现要测量过流断面上A点的流速，用水银比压计来测量，其原理是：由于来流在A点受比压计的阻滞，该处的速度为零（或者A点为两条流线相交的前驻点）；该处动能全部转化成势能，而水银比压计另一端B点在管壁，该处的流速是管中均流每一点的速度，也可看成A点前方某一点的速度（定常无旋）。应用理想流体伯努利方程：式中 是管中流体的重度。（2）若水流改为油 4.2.3 4.2.3 粘性流体的伯努利方程粘性流体的伯努利方程 粘性流体在流动中，单位重量流体的能量不再守恒，总水头线不再是水平线，而是沿程下降线。设 为粘性流体单位重量流体从1点到2点的机械能损失，称为沿流线的水头损失。根据能量守恒原理，则粘性流体的伯努利方程为 水头损失 也是具有长度的量纲。4.3 4.3 伯努利方程的实际应用伯努利方程的实际应用 4.3.1 4.3.1 渐变流和急变流渐变流和急变流 流体在流动中又分为均匀流和非均匀流，对于非均匀流按流速随流向变化的缓急可分为渐变流和急变流两种，如图4.4。均匀流和非均匀流均匀流和非均匀流:在实用上均匀流的某些性质可适用于渐变流。主要是：(1)渐变流的过流断面接近于平面，面上各点的速 度方向接近平行；(2)定渐变流过流断面上的动压强按静压强的分布 规律。表明在恒定渐变流的过流断面上，沿流线法线方向的压强变化规律与静止液体中一样。即4.3.2 4.3.2 沿总流伯努利方程的应用沿总流伯努利方程的应用 总流的伯努利方程和流线的伯努利方程形式是类似的，但方程式中的各项均有“平均”意义，这从以下几方面来理解：(1)在总流中取11至22过流断面时，这些过流断面尽可能取在渐变流断面上，但它们之间截面间允许有急变流存在。(2)一般来讲总流过流断面上计算点取该断面的形状中心，由于在恒定渐变流过流断面上各点的势能满足 关系式，因此可理解成各点的势能是相等的，它也是过流断面上单位重量流体的平均势能。(3)对于 项中的 ,一般应取过流断面上的平均流速 作为计算值。即总流的伯努利方程中单位重量流体的动能项 来进行计算，当过流断面流速分布比较均匀时,不需加动能修正因子 ，否则此项还需加动能修正因子 ，其中 的定义是:一般取 1.0。(4)对于粘性流体总流的伯努利方程，其中水头损失 项是表示由11至22断面的平均机械能损失，称为总流的水头损失。总流的伯努利方程形式为 在圆管流动中，当流动为层流时，,当流动为紊流时,。由于工程中绝大多数的实际管流均为紊流，因此通常取，。【例4.2】水由喷嘴出流，如图4.5，设d1=125mm，d2=100mm，d3=75mm，水银测压计读数 175mm，不计损失。求（1）H值；（2）压力表读数值。（该处管径同d2）【解】（1）根据静压强分布规律，过流断面11和22处压强分布为 和 列出由11到22断面的总流伯努利方程（取动能修正因数 ）：(a)将（a）式代入上式，得 或连续性方程 或(b)（c）、（b）联立，得 由连续性方程 得 列出由00到33断面的伯努利方程(c)（2）压力表处管径同 ，其处 列出由00至压力表断面处得伯努利方程 压力表读数为 4.3.3 4.3.3 空泡和空蚀现象空泡和空蚀现象 在一个大气压环境中，水 在时沸腾，水分子从液态转化为汽态，整个水体内部不断涌现大量气泡逸出水面。但是如果在常温下（），若使压强降低到水的饱和蒸汽压强2.4kPa（绝对压强）以下时，水也会沸腾。通常将这种现象称为空化，此时水中的汽泡称为空泡。空泡现象空泡现象:如图4.6，水流在过流断面11处由于流速急剧的增大，使得该处流体质点的压强显著地降低，倘若此时压强下降至该水温下的汽化压强，这时水迅速汽化，使一部分液体转化为蒸汽，这就是空泡现象的产生。由于管径的突然扩大，流速急剧的减小，使得22断面处流体质点压强迅速增大，前生成的汽泡进入压强较高的区域而突然溃灭，空泡在溃灭时形成一般微射流，当空泡离壁面较近时，这种微射流像锤击一般连续打击壁面，造成直接损伤。空泡溃灭形成冲击波同时冲击壁面，无数空泡溃灭造成的连续冲击将引起壁面材料的疲劳破坏。这两种作用对壁面造成的破坏称为空蚀。【例4.3】鱼雷在10米深的水下以50节的速度运动，倘若在雷身表面与水流相对速度为该速度的1.2倍。（如图4.7所示。）求：（1）雷身表面最小压强为多少；（2）设水温为20C，雷身出现空泡时的鱼雷速度。【解】（1）作运动的相对变换，鱼雷静止，水流以50节速度流经鱼雷。在雷身表面B点处水流速度 节，节=节=从A至B点处列伯努利方程 雷身表面最小压强在B处，真空压强为47.76 ，该处的绝对压强为（2）当雷身出现空泡时，则B点为最先出现空泡处，据题意水温在20C，水的汽化压强为2400 ，即B点压强为 此时发生空泡。按（a）式 节 当鱼雷的速度为57.6节时在鱼雷B处出现空泡。4.3.4 4.3.4 测速仪测速仪 在实际工程中经常要测量流场中某点的流体速度，测量管流中流体的流量，常用的有两种测速仪。1.1.皮托测速管（皮托测速管（Pitot tubePitot tube）皮托测速管，又称为皮托管（图4.8）。皮托管正前方A点O点B点一条流线，（常称为零流线），该流线的伯努力方程 由于 ，称为驻点，称为驻点压强，即为水流的速度 。故由（a）得 由于皮托管很细，它放置于流场中不会影响水流速度，即 ，且可以认为 。由（a）得因此由U形管水银液压差的读数得 由（c），（d）得 由于实际流体具有粘性，因此测到的流速需乘上一个修正因数 （称为皮托管因数）一般作标定测量后确定。流场中某点流速 毕托管就是通过内部测量 两点压强之差，通过上式换算成来流速度的一种测量某点流速的仪器。2.2.文丘里管（文丘里管（Venturi tubeVenturi tube）文丘里管是常用的测量管道流量的仪器，也称文丘里流量计，如图4.9所示。取11，22两渐变流断面，列伯努利方程 列连续性方程 联立（a）,（b）解得:流量 上式中 称为流速因数，式中 是主管中流体的重度。文丘里管的流量公式为 由于实际流体两断面间有能量的消耗，因此实际测量的流量值要比理论值小，为此考虑修正系数（0.950.98），也称流量修正因数。故 在实际使用中文丘里管与管子的倾斜与否无关。【例4.4】用文丘里流量计来测定管道的流量，设进口直径d1=100mm，喉管直径d2=50mm，水银压差计实测到水银面高度h=4.76cm，流量计的流量修正因数0.95。试求管道输水流量。【解】流速因数 流量公式 4.3.5 4.3.5 伯努利方程应用的补充说明伯努利方程应用的补充说明 1.1.气流的伯努利方程气流的伯努利方程 对于非空气流，如煤气、废气等若要用相对压强，则要注意以下内容 列11至22的总流伯努利方程 设恒定非空气流（图4.10），气流重度为 ，外部空气重度为 。当计算气流时常将上式表示为压强形式，即 式中 为压强降损失，。将式（4.12）中压强用相对压强 和 表示 式中 为z1处的大气压，为z2处大气压，将其代入式（4.12），整理得 上式是非空气流用相对压强计算的伯努利方程形式。其中 、称为静压，、称为动压，为单位体积气流所受到的有效浮力，为气流沿浮力方向升高的距离，()()为11断面相对于22断面单位体积气体的位能，称为位压。【例4.5】自然排烟系统（图4.11），烟囱直径d=1m，通过烟气流量 ，烟气密度=0.7kg/m3，周围空气密度 =1.2kg/m3,烟囱的压强降损失 。为使烟囱底部入口处断面的负压不小于10mmH2O，试求烟囱的高度H至少为多少。【解】取烟囱底部为11断面，出口处为22断面，由于本题为非空气流，由式（4.13）按题意:11断面，22断面 代入上式 解得 烟囱的高度须大于此值。由本题可见，烟囱底部为负压 ，顶部出口处 ，且z1z2，烟气会向上流动，是位压()()提供了能量。要产生位压有二个条件：（1）烟气要有一定温度，使得 ，以保持有效浮力；（2）烟囱要有足够的高度，即 ，否则将不能维持自然排烟。2.2.管路中有泵（或风机）作用时总流的伯努利方程管路中有泵（或风机）作用时总流的伯努利方程 当管路间有水泵或者在气流中有风机等流体机械时（图4.12），此时有能量的输入。设单位重量液体经过泵所获得的有效能量为（称扬程）；单位体积气体经过风机所获得的有效能量为 （称全压）。根据能量守恒，则扩展的伯努利方程可应用在有泵和风机作用的总流中，即 或 3.3.两断面间有分流或汇流的伯努利方程两断面间有分流或汇流的伯努利方程 对于两断面间有分流的流动（图4.13）对于两过流断面间有汇流的情况，类似的结论是相同的。4.4.非恒定流伯努利方程非恒定流伯努利方程 其中沿流线的非恒定流伯努利方程为 上式中 表示单位重量流体的非恒定惯性力沿流线1-2所作的功。沿总流的非恒定流伯努利方程为 上式中 表示单位重量流体的当地加速度引起的水头变化沿总流积分。【例4.6】如图4.14所示，两个直径均为 的杯子用一根长为 、管径 的弯管相连通。往杯子和弯管注入水,初始时杯子的水深，试求杯中水面振荡的周期。【解】初始时，两个杯子水面平齐，振荡时，杯中液体速度记为V，弯管中的流速记为v。在某时刻右杯液面上升z,左杯液面则下降z。取振荡的平衡位置为坐标原点O，z轴垂直向上，左杯液面记为1-1，右杯液面记为2-2。因两杯子直径相等，故 在弯管中v处处相等，即 由连续性方程式，考虑到 ，设动能修正因数 因此式（4.16）及（4.17）成为 即 或以上简谐振动方程振荡频率为 振荡周期(附加1)、小孔出流：如图所示，在水桶壁上开一小孔，水自孔中射出，设小孔的面积为s，与水桶的截面积S0相比很小，小孔的中心线至水面的高为h，h比小孔的直径大得多。因此，可以认为小孔中流出的速度是均匀分布的，同时假设h值保持不变。取AA为基线，假定OBOB是一流管，由伯努利方程式得：，式中：OB和OB均接大气，则：p=p0，h0=h，h=0据连续定律：托利却利公式：(附2)已知S1=100mm，S2=50mm，Cv=0.95,试求管道流量。解：代入(附3)射流泵原理：小缸内的鱼可以吸上去，水流经过时流速很高，压力很低，低于大气压，鱼就吸上去了。左面是大容器，表面压力为p0，面积为S0，速度为V0，中间为极细管压力p1，面积S1，下面管子S2，速度压力为p0。ooS0 p0 V0h1h0A p0p0S1p1V1S2p2V2h2工作原理：上面水流下来时，下面的速度是定常的。当水流到中间时，流速将变大(连续性方程)。特别当S1非常小时，则V1很大，而压力很小。如在该处接一根管子，鱼和水就会吸上去了，这就是射流泵原理。问在什么条件下水和鱼会吸上去？分析：先看水会吸上去的条件：p1特别小，即：即求出p1值。认为定常无旋运动，以oo为基准线，伯努利方程式：V1 和V0不知道，根据连续性方程：，而S0、S1、S2是已知的，而 ，所以 ，即当 时，上式化为：，故液面越低，越难吸，即h0大了。而S1越小越好，压力低了。综合上述思路：伯努利方程式；连续性方程。当然在解决问题时：一要判别定常与不定常、无旋与有旋。另外：本题是考虑鱼和水共同吸上，因而重度是平均值。设计水泵和如何抽水?(附4)应用风洞做模型试验：设p0为大气压，Vt、pt为风洞中最小截面处的流速和压力。根据伯努利方程式：，故空气在风洞中 喉部的流速为：，式中 pt-p0可用压力表测出。解题思路：1、判别条件，选用哪种伯努利方程式。2、找出流线，选定几个断面，并定出基准面。3、分析已知条件：连续性方程、恒定流等，找到2个点的速度关系。4、列出伯努利方程式求解。5、补充说明(气流、补充能量管路、有分流两断面、非恒定流)。p0Vtpt4.4 4.4 恒定流动的动量定理和动量矩定理恒定流动的动量定理和动量矩定理 在工程问题中，常常要计算流体和固体之间的相互作用力及力的作用点问题，要解决此类问题，动量定理和动量矩定理是十分有效简便的方法之一。4.4.1 4.4.1 动量定理和动量矩定理动量定理和动量矩定理 系统和控制体：研究流体连续介质运动时是取一流体微团，分析微团的受力、变形和运动，是用微分的方法来求解方程式。在有些情况下，采用积分的方法较简单，积分方法不是从研究无限小的微团出来，而是从分析有限体积内的流体质点的运动出发来建立方程式，这就用到系统和控制体的概念。系统系统是一团流体质点的集合，在运动过程中，它始终包含着确定的这些流体质点，有确定的质量，且这一团流体的表面常常是不断的变形。控制体控制体是指流场中某一个确定的空间区域，这个区域的周界称为控制面，控制体的形状是根据流动的情况和边界位置任意选定的，但一旦选定后，就不象系统边界那们随着流体的流动而变化，控制体的形状和位置相对于选定的坐标系统来讲是固定不变的。在质点力学中在质点力学中：单位时间内动量的变化率等于作用外力的矢量和。下面，我们来看一下流体力学中的动量定理。据运动方程式有：上式两边同乘以d，而后对体积积分可得：，因 考虑到不可压缩流体：上式说明：某块流体的动量对时间的变化率等于质量力和表面力总和，此结果和质点力学中的动量定理相同。但在实际工作中，系统中流体动量的时间变化率是难以直接测定和得到的，通常局限于一个固定区域-控制体，为此，我们有必要求出与控制体有关的动量定理。1.1.动量定理的推导动量定理的推导 设不可压缩恒定流流经某物体M，包括物体M在流场中取一固定的封闭曲面A，称这封闭曲面A为控制面。对象为控制面A内的流体称控制体。在时刻t，设控制体内流体质点系的动量为 ，经过dt时间，这部分流体占据A1面空间（如图4.15虚线所示），此时流体的动量为 ,在dt时间内流体的动量变化为：在dt时间内从 曲面流出的流体动量为 在dt时间内从 曲面流入的流体动量为 考虑到流量的正、负规定：从控制面流出为正；从控制面流入为负，式中 流体在控制面上的法向速度投影；流体在控制面上的速度矢量；流体的密度。以 表示作用在控制体内流体质点上所有的外力，根据动量定理 这里的 包括：(1)控制体内流体质点受到的质量力；(2)M物体对控制体内流体质点作用的表面力；(3)控制面A以外的流体（或物体）对控制面A上 流体的表面力。投影式 式（4.19）是恒定不可压缩流体的动量方程。2.2.动量定理解题步骤动量定理解题步骤 （1）取一个包括该物体的封闭控制面A；（2）建立合适的直角坐标系；（3）在应用动量定理时，要注意连续性方程和伯努利方程的应用；（4）在公式中 的正、负是以流出控制面A的法向速度投影为正，流入控制面A的法向速度投影为负。（5）中的力包括作用于控制面A内流体上所有的外力。3.3.动量矩定理动量矩定理 类似于动量定理的推导，可以推导动量矩定理为 式中 O点为所取的矩心；为O点到流体质点的矢径。投影式4.4.2 4.4.2 计算实例计算实例 【例4.7】理想流体对二维平板的斜冲击问题。设水平方向的水射流，流速 为二维流束以体积流量Q向平板AB作冲击，射流中心线与平板成角（图4.16），试求：（1）流体对平板的冲击力；（2）沿平板的流量Q1、Q2；（3）冲击力作用点位置。【解】取过流断面00、11、22及射流流线、平板AB为控制面构成的控制体。对 00至 11断 面 及00至22断面列伯努利方程，得 列流动的连续性方程，可得 （1）求流体对平板的冲击力列y方向的动量方程 射流对平板的作用力 和 是一对作用力与反作用力关系，大小相等，方向相反，即指向平板，大小为 。（2）沿平板的流量Q1、Q2，列x方向的动量方程 将上式与（a），（b）联立，解得（3）求 的作用点 以O点为矩心，列动量矩方程 式中 b1、b2分别为断面11、22处流束的宽度，其中，解得式中负号表示 的作用点在距O点的相反方向。其中 为射流00断面的宽度。附例(定常运动)：目前有一根水管，左端截面是S1，速度是V1，内法线单位矢量是n1，与水平成1角。右端截面是S2，速度是V2，内法线单位矢量是n2，与水平成2角。当水冲入管时显然受到管子的反作用力作用，动量发生改变，问R是多少？分析：也可用伯努利方程式求解，求出每点速度和压力，现应用动量定理求解：1、首先问题是积分号内是那一块体积(哪一块体积为控制体)。取弯管为控制面，这块控制面必须体现出动量差。2、在dt时间内流进质量为：在dt时间内流进动量为：V1V2S1S2n1n2同样在dt时间内流出动量为：如果在S1和S2截面上的速度是均匀分布的，则积分符号和微分符号消去。3、再考虑连续性方程：V1S1=V2S2=Q。动量的变化率为：如在S1和S2截面上有压力分别为P1和P2。故总的外力为：代入公式得假定管内是气体，则G=0；管子粗细均匀，流出和流进的速度是均匀的，V1=V2=V，S2=S1=S；管内压力两端相等。P1=P2=P。4、建立直角坐标系，X=0，Y=0。外力在y方向投影等于动量在y方向投影的变化率。流出为正：得：根据作用力和反作用力原理，流体对管产生升力作用，方向向上，大小为：。例：不可压缩流体在水平的截面均匀的弯管中作定常运动，求某段管子受到的总压力。xV1V2S1S2n1n2yRyP2P1如图取坐标：p0为管两端压强，px，py分别为管子给流体作用力在x，y轴的分量，则对x，y轴分别应用动量定理有：据连续性方程有：V1S1=V2S2 所以：S1=S2，则V1=V2=V。离心泵的工作原理。ABu1c1w1r1r2u2c2w2【例4.8】水平放置的变截面U形管，流量为Q=0.01m3/s，11截面面积为A1=50cm2，出口处22断面面积为A2=10cm2（外为大气压），进口管和出口管相互平行。求：（1）水流对U形管的作用力；（2）该作用力的作用点位置【解】取过流断面11和22及U形管侧面所围成的面为封闭控制面。选定平面直角坐标系如图（4.17）。按连续性方程 列断面11至断面22的伯努利方程（1）列控制体在x方向的动量方程投影式 水流对U形管的作用力为 的反作用力，大小为，方向和 的方向相反。（2）以O为矩心，列动量矩方程【例4.9】水从长 的水平放置的喷管两端喷出，其中支撑点在喷管中心，水流相对喷管的出流速度 ，喷口直径 （图4.18）。试求：（1）喷管本身不动时的转动力矩；（2）喷口以周向速度 旋转时装置的功率表达式；（3）当 时使功率为最大的 值。取平面坐标系为xOy，其中O点为喷管中心，即转轴中心。喷管对控制体作用力在y方向分力为 ，其作用线通过喷口中心线。（1）当喷管不动时，列y方向控制体的动量方程【解】取过流断面11、22以及喷管内侧所围成为控制面。而喷管受到流体的作用力大小为 ，方向同 方向相反。当喷管本身不动时，由 于产生的转动力矩M大小为 方向为顺时针方向。（2）当喷管本身在旋转时，流体对于喷口的出流绝对速度为 即 代入y方向控制体的动量方程，得 功率表达式（3）使 取得极大值时 此时功率最大。得【例4.10】某滑行艇与水平面夹角为以速度 运动，水深原为h0，经滑行艇后分成二部分，一部分宽度为 ，以速度 朝艇艏方向喷出，另一部分深度为h，以速度 向艇艉流去，如图4.19，若已知滑行艇的速度 及艇艏的水流厚度为 ，求：水流对滑行艇的作用力。【解】作运动变换，水流以速度 流向滑行艇。取过流断面00、11、22、滑行艇以及水表面流线、河底组成的封闭控制面。并建立铅垂平面的xOy平面坐标系。由于外部均为大气压，故 列连续性方程 列x方向的动量方程的投影式 解得 水流对滑行艇的作用力大小为 ，同 方向相反。参阅在任何封闭曲面S内，体积中取出某一微团，设其速度为v，体积为d=dxdydz。则流体微团所具有的动能：由于是无旋运动，故必有势函数：(补充补充)4.5 无旋运动的动能无旋运动的动能 zyxoS故封闭曲面所围的动能是：根据格林公式第三式(外法线)因而有：，代表通过微表面ds的流量率，其中n是微表面ds的内法线。由于=0，在S区域内流体的动能为：应用上式可以计算在无限流体中运动时所引起的动能，这种情况相当于无穷大的流体，其内部边缘是固体的表面S。从中可推导：船在无旋无穷大流体运动时，所引起的动能仅是船表面动能，而不是太平洋边界的动能。dsd n1n s第4章结束