资源描述
点与直线1.点x在直线l上的充要条件是xTl=0；2.两直线l和l的交点是点x=lXl；3.过两点x和x的直线是l=xXx；4.理想点：(x1,x2,0)T 无穷远线l=(0,0,1)T5.IP2中的一个点对应IR3中的一条过原点的直线,IP2中的直线对应IR3中的过原点的平面；IP2中的两点确定一直线对应IR3中的两过原点的直线确定一个平面，IP2中的两直线交于一点对应IR3中的两过原点的平面交于一条直线。6.对偶原理：互换原定理中点和线的作用。点与直线1.点x在直线l上的充要条件是xTl=0；1二次曲线ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0齐次化得：ax12+bx1x2+cx22+dx1x3+ex2x3+fx32=0 xTCx=05点定义一条二次曲线二次曲线ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=02对偶二次曲线过（非退化：矩阵C是可逆矩阵）二次曲线C上点x的切线l由l=Cx确定；因为xTCx=0；l=Cx；所以(C-1l)TC(C-1l)=lTC-1l=0；退化二次曲线：C=lmT+mlT 由l和m两线组成,矩阵C是秩为2的对称矩阵，它的零矢量为x=lXm,它是l和m的交点;退化的线二次曲线包含两个点（秩2），或一个重点（秩1）。对偶二次曲线过（非退化：矩阵C是可逆矩阵）二次曲线C上点x3射影变换射影映射是IP2到它自身的一种满足下列条件的可逆映射h：三点x1,x2,x3共线当且仅当h(x1),h(x2),h(x3)也共线。映射h：IP2IP2是射影映射的充要条件是：存在一个3X3非奇异矩阵H，使得IP2的任何一个用矢量x表示的点都满足h(x)=Hx。点：x=Hx；H为3X3非奇异矩阵直线：l=H-Tl；二次曲线：C=H-TCH-1；对偶二次曲线：C*=HC*HT；射影变换射影映射是IP2到它自身的一种满足下列条件的可逆4变换的层次1.一般线性群：nXn可逆实矩阵的群称为（实的）一般线性群或GL(n)；2.射影线性群：当把相差非零纯量因子的矩阵都视为等同时，得到射影线性群，记为PL(n)；在平面射影变换时，n=3；PL(3)的重要子群包括仿射群和欧氏群；3.仿射群：由PL(3)中最后一行为(0,0,1)的矩阵组成的子群；4.欧氏群：欧氏群是仿射群的子群，其左上角的2X2矩阵是正交的。当左上角的2X2矩阵的行列式为1时称为定向欧氏群；变换的层次1.一般线性群：nXn可逆实矩阵的群称为（实的）一5等距变换当 =1时，该变换是保向的且是欧氏变换（欧氏变换是等距变换的一种，只有平移和旋转），当 =-1时，该变换是逆向的（包含了反射）。不变量：长度，角度，面积群和定向：如果左上角的2X2矩阵的行列式为1，它是保向的。保向的等距变换形成一个群，但逆向的不是。这种区别对于下面的相似和仿射变换同样如此。等距变换6相似变换相似变换是一个等距变换与一个均匀缩放的复合。当欧氏变换（即没有反射）与均匀缩放复合时，相似变换的矩阵表示为：不变量：夹角，平行线，两长度的比率，面积的比率度量结构：确定到只差一个相似变换的结构。相似变换相似变换是一个等距变换与一个均匀缩放的复合。当欧氏变7仿射变换仿射变换是一个非奇异线性变换与一个平移变换的复合。平面仿射变换有六自由度。A是非奇异矩阵。A可以看作是旋转和非均匀缩放的复合。A=UDVT=(UVT)(VDVT)不变量：平行线，平行线段长度比，面积比（任何形状的面积都被缩放了detA倍，即detD倍）。仿射变换仿射变换是一个非奇异线性变换与一个平移变换的8射影变换并不是总能通过对矩阵缩放而取v为1，因为v可能是零。不变量：四共线点的交比。理想点被映射到有限点，平行线不再平行射影变换9射影变换分解射影变换的分解：且是上三角矩阵这里用到矩阵的QR分解：非奇异矩阵A可以分解为一个正交矩阵Q与一个非奇异上三角矩阵R相乘。不变量的数目：与函数无关的不变量数等于或大于配置的自由度数减去变换的自由度数。射影变换分解射影变换的分解：101D射影几何x=H2X2x3个自由度，由3组对应点来确定。交比：1D射影几何x=H2X2x11共点线共点线是直线上共线点的对偶。任何四条共点线都有一个确定的交比。共点线共点线是直线上共线点的对偶。任何四条共12从图像恢复仿射和度量性质无穷远线：(0,0,1)T在射影变换H下，无穷远直线l为不动直线的充要条件是H是仿射变换。（在仿射变换下，l不是点点不动的）如果无穷远直线的像是l=(l1,l2,l3)T，假定l3不为0，那么把l映射回无穷远处的一个合适的射影变换是从图像恢复仿射和度量性质无穷远线：(0,0,1)T13仿射矫正消影线l的确定：1.由平行线的影像的交点来计算。2.给定一条直线上已知长度比的两个线段，该直线上的无穷远点便可以确定(利用交比）。1）a，b，c坐标分别是0，a，a+b。2）a，b，c坐标分别是0，a，a+b。3）计算1D射影变换H2X24）在变换H2X2下无穷远的像可以求出。3.消影点可以用几何作图的方法得到。仿射矫正消影线l的确定：14虚圆点及其对偶在相似变换下，无穷远直线上有两个不动点。他们是虚圆点。I=(1,i,0)T,J=(1,-i,0)T在射影变换H下，虚圆点为不动点的充要条件是H是相似变换。与虚圆点对偶的二次曲线C*=IJT+JIT。C*是由这两个虚圆点构成的退化的线二次曲线。在欧氏坐标系下对偶二次曲线C*在射影变换H下不变的充要条件是H是相似变换。虚圆点及其对偶在相似变换下，无穷远直线上有两个不动点。他们15射影平面上的夹角此夹角在射影变换下不变。一旦二次曲线C*在射影平面上被辨认，那么欧氏角便可以用上式测量。如果 ，则直线l和m正交。长度比：一旦C*被辨认，长度比可以测量。可以通过测量角度获长度比。射影平面上的夹角16由图像恢复度量性质C*=(HPHAHS)C*(HPHAHS)T=(HPHA)(HSC*HST)(HATHPT)=(HPHA)C*(HATHPT)射影成分V和仿射成分K可以直接由C*的像确定。在射影平面上，一旦C*被辨认，那么射影失真可以矫正到相差一个相似变换。利用SVD，相差一个相似变换的 矫正射影变换为H=U-1。由图像恢复度量性质C*=(HPHAHS)C*(HPHAHS17射影变换的分解逆变换是相同性质的变换，且矩阵结构相同，所以这里的矩阵的参数与上面的不同射影变换的分解18度量矫正11.假定一幅图像已经仿射矫正（V=0）：假设图像中的直线l和m与世界平面上的一对垂直线l和m对应，则它是关于2X2矩阵S=KKT的线性约束，矩阵S是齐次对称矩阵，有2个自由度,公式化简为度量矫正11.假定一幅图像已经仿射矫正（V=0）：19度量矫正1其中S=(s11,s12,s22)T是S的三维矢量形式。两个这样的正交直线对能提供两个约束，这样，在相差一个尺度因子的情况下获得S,并进一步获得K。补充：1）一个圆的影像：其像在仿射矫正过的图像中是椭圆，该椭圆和无穷远直线的交点直接确定被影像的虚圆点。2）两个已知的长度比：度量矫正120度量矫正2这里我们从平面的原有透视图像入手，假定直线l和m是世界平面上两正交直线的像，则lTC*m=0c=(a,b,c,d,e,f)T是C*的二次曲线矩阵的6维矢量形式。5个这样的约束联合起来，形成一个5X6矩阵，使得c和C*作为其零矢量求得。度量矫正2这里我们从平面的原有透视图像入手，假定21二次曲线的其他性质1.点x和二次曲线C定义一条直线l=Cx。l称为x关于C的极线，而点x称为l关于C的极点。2.点x关于二次曲线C的极线l=Cx与C交于两点，C的过这两点的两条切线相交于x。3.如果点x在C上，则它的极线就是二次曲线过x点的切线。4.如果点y在极线l=Cx上，则yTl=yTCx=0。满足yTCx=0的任何两点x，y称为关于二次曲线C共轭。5.如果x在y的极线上，那么y也在x的极线上。二次曲线的其他性质1.点x和二次曲线C定义一条直线l=Cx。22二次曲线分类1.二次曲线的射影标准形式：因为C是对称矩阵，所以有实特征值并可分解为乘积C=UTDU,其中U是正交矩阵，而D是对角矩阵。以射影变换U作用于二次曲线C，则C变成另一条二次曲线C=U-TCU-1=U-TUTDUU-1=D这表明任何二次曲线都摄影等价于一个由对角矩阵表示的二次曲线。令 其中 或0且则D可以写为其中 用变换 再进行一次变换，二次曲线D变为具有矩阵 的二次曲线 二次曲线分类1.二次曲线的射影标准形式：23二次曲线的分类2.二次曲线的仿射分类：在欧氏几何中，非退化二次曲线可以分为双曲线，椭圆和抛物线。在射影几何中这三种类型的二次曲线却都射影等价于圆。而在仿射几何种，这种分类不变，因为在仿射变换下，无穷远直线是不动线，而且交点保持不变，椭圆无实交点，抛物线相切，双曲线有两个实交点。二次曲线的分类2.二次曲线的仿射分类：24不动点与直线关键思想是变换的一个特征矢量对应一个不动点，因为对于特征值及其对应的特征矢量e有He=e，一个3X3矩阵有三个特征值，如果特征值互不相同，则一个平面射影变换最多有三个不动点。类似的推导可以用于不动直线，它对应于H-T的特征矢量，因为直线的变换为l=H-Tl，注意直线的不动是集合不动，而不是点点不动。不动点与直线关键思想是变换的一个特征矢量对应一个不25不动点与直线假定两个特征值2，3相等，而对于这个特征值有两个不同的特征矢量e2，e3，那么包含特征矢量e2，e3的直线将是点点不动的。另一种可能是2=3，但只有一个对应的特征矢量(线性代数120页例6），其不动点少了一个。仿射变换以及比它更特殊的变换有两个特征矢量，他们都是理想点(x3=0)并且对应于左上角2X2矩阵的特征矢量。第三个特征矢量通常是有限矢量。不动点与直线假定两个特征值2，3相等，而对于这个26不动点与直线1.欧氏矩阵：两个不动理想点是虚圆点I和J。对应于特征值1的第三个特征矢量，称为极点，欧氏变换等价于绕该点旋转角的纯旋转。一种特殊情况是纯平移，这时特征值三重退化。无穷远线点点不动，且有一束过点t(tx,ty,0)T的不动直线，该点对应于平移方向，因此平行于t的直线是不动的。不动点与直线1.欧氏矩阵：两个不动理想点是虚圆点I和J。27不动点与直线相似矩阵：两个不动理想点仍是虚圆点。相似变换的作用可以理解为绕它的有限不动点的旋转和取s为因子的均匀缩放。仿射变换：两个不动理想点可以是实或复共轭的，但过这些点的不动直线(0,0,1)T是实的。不动点与直线相似矩阵：两个不动理想点仍是虚圆点。相28
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