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上页下页首页结束返回课本部分习题解答上页下页首页结束返回第第 一一 章章上页下页首页结束返回第一章习题第一章习题 课本课本 Page 31 T1解：上页下页首页结束返回第一章习题第一章习题 课本课本 Page 34 T26即被映射成以原点为心，为半径的圆周 解：xyo2uovzw已知即被映射成以原点为心，为半径的圆周 上页下页首页结束返回第一章习题第一章习题 课本课本 Page 34 T26已知即被映射成通过原点的直线 v=u 已知即被映射成以 为心，为半径的圆周 即上页下页首页结束返回第一章习题第一章习题 课本课本 Page 34 T26已知即被映射成通过原点的直线 u 上页下页首页结束返回第一章习题第一章习题 课本课本 Page 34 T29证明：f(z)在z0连续，则又取，则即上页下页首页结束返回第一章习题第一章习题 课本课本 Page 34 T30证明：又取，令，得上页下页首页结束返回第第 二二 章章上页下页首页结束返回第二章习题第二章习题 课本课本 Page 66 T3（2）这里是一个多项式函数，在z平面上处处解析，且（4）这里是一个有理分式函数，在z平面上除了使分母 的点外都解析，即除了外都解析且上页下页首页结束返回第二章习题第二章习题 课本课本 Page 67 T8显然，它们在整个xoy平面内都可导，若解析，则要满对于函数，其中足C-R条件,即：由于：上页下页首页结束返回证明：(1)恒取实值,即由于解析，根据C-R条件得：所以，即是常数是常数(3)在D内是常数,即当时,显然有是常数当时,对方程求偏导,有:第二章习题第二章习题 课本课本 Page 67 T10上页下页首页结束返回由于解析，根据C-R条件得：代入方程组得：因为不同时为零，即上方程组有非零解，从而同理，第二章习题第二章习题 课本课本 Page 67 T10上页下页首页结束返回或者，是常数(5)若,所以不能同时为零，对方程求偏导由于解析，根据C-R条件得：代入方程组得：第二章习题第二章习题 课本课本 Page 67 T10上页下页首页结束返回因为不同时为零，即上方程组有非零解，从而是常数系数行列式第二章习题第二章习题 课本课本 Page 67 T10上页下页首页结束返回第二章习题第二章习题 课本课本 Page 67 T15主值为：主值为：上页下页首页结束返回第二章习题第二章习题 课本课本 Page 68 T18上页下页首页结束返回第二章习题第二章习题 课本课本 Page 68 T20(1)因为上页下页首页结束返回(2)因为第二章习题第二章习题 课本课本 Page 68 T20上页下页首页结束返回第第 三三 章章上页下页首页结束返回第三章习题第三章习题 课本课本 Page 99 T13oxy故 连接由点0到 3+i 的直线段的参数方程为：解：连接0到3的直线段的参数方程为：连接3到3i的直线段的参数方程为：上页下页首页结束返回第三章习题第三章习题 课本课本 Page 99 T1 故 上页下页首页结束返回连接0到 i 的直线段的参数方程为：连接 i到3i的直线段的参数方程为：3oxy 故 第三章习题第三章习题 课本课本 Page 99 T1上页下页首页结束返回解：(2)在内只有一个奇点 z =a，不能直接用Cauchy积分定理计算，但重要的常用的例子Cauchy积分定理第三章习题第三章习题 课本课本 Page 100 T7上页下页首页结束返回(4)在内没有奇点,由Cauchy积分定理得:由Cauchy积分定理得:(6)在整个复平面都解析，在曲线内依然解析,第三章习题第三章习题 课本课本 Page 100 T7上页下页首页结束返回1）解：，的原函数为3）的原函数为第三章习题第三章习题 课本课本 Page 100 T8上页下页首页结束返回5）的原函数为(通过分部积分法)：第三章习题第三章习题 课本课本 Page 100 T8上页下页首页结束返回第三章习题第三章习题 课本课本 Page 100 T9解：(1)在内有两个奇点z =1和，不能直接用Cauchy积分定理计算，但重要的常用的例子z =2i上页下页首页结束返回解：(2)在内有两个奇点 z =i 和z =i，不能直接用Cauchy积分定理计算，但重要的常用的例子第三章习题第三章习题 课本课本 Page 100 T9上页下页首页结束返回第三章习题第三章习题 课本课本 Page 100 T9解：(3)有一个奇点z0，但不在内，由Cauchy积分定理得：xyo23上页下页首页结束返回解：(4)有一个奇点zi，在图示的内部，由Cauchy积分公式得：xyo第三章习题第三章习题 课本课本 Page 100 T9上页下页首页结束返回解：(5)有一个奇点 z ，积分路径为由高阶导数公式得：xyo第三章习题第三章习题 课本课本 Page 101 T9当 时，奇点在C内当 时，奇点在C外，由Cauchy积分定理得上页下页首页结束返回1)有一个奇点 z 0，在的内部，注意，以上解法错误，原因在于函数在内不解析，不能利用Cauchy 积分公式来计算。只有通过参数方程法计算：积分路径C：它的参数方程为：第三章习题第三章习题 课本课本 Page 101 T11上页下页首页结束返回虽然结果是一致的，但不可歪打正着。同理2）的结果也是0，但不是由闭路变形原理从1）所得。第三章习题第三章习题 课本课本 Page 101 T11上页下页首页结束返回第三章习题第三章习题 课本课本 Page 101 T14解：若 与 都不在闭路C的内部，由Cauchy积分定理得 若 在闭路C的内部，而 不在C的内部，由Cauchy积分公式得在z平面上有两个奇点 和 上页下页首页结束返回 在闭路C的内部，而 不在C的内部，由Cauchy积分公式得第三章习题第三章习题 课本课本 Page 101 T14上页下页首页结束返回只包含，只包含，、由复合闭路定理有：和 都在闭路C的内部，故在C内作两个互不包含互不相交的圆周xyCo第三章习题第三章习题 课本课本 Page 101 T14上页下页首页结束返回第三章习题第三章习题 课本课本 Page 101 T17证明：由题意知，函数设z0为C内任意一点，由Cauchy积分公式得在D内解析由于在C上恒有，故上述积分等于0，由 z0 的任意性，即在C内所有点处都有上页下页首页结束返回第三章习题第三章习题 课本课本 Page 101 T19证明：因为 在单连通域B内解析，则 也在单连通域B内解析，又由于在B内，由解析函数的运算性质知：也在单连通域B内解析，C在B内，由Cauchy积分定理得上页下页首页结束返回第三章习题第三章习题 课本课本 Page 103 T30（2）已知调和，由，得 从而 又由，得 从而 因此 上页下页首页结束返回由上所求，可得一个解析函数：这个函数可以化为：由，得 所以所求的解析函数为：第三章习题第三章习题 课本课本 Page 103 T30上页下页首页结束返回第三章习题第三章习题 课本课本 Page 103 T30（3）已知调和，由，得 从而 又由，得 从而 因此 上页下页首页结束返回由上所求，可得一个解析函数：这个函数可以化为：由，得 所以所求的解析函数为：第三章习题第三章习题 课本课本 Page 103 T30上页下页首页结束返回第第 四四 章章上页下页首页结束返回第四章习题第四章习题 课本课本 Page 142 T3(1)级数中，(2)级数中，是交错级数，条件收敛；也是交错级数，条件收敛，所以级数收敛，但非绝对收敛。是交错级数，条件收敛；也是交错级数，条件收敛，所以级数收敛，但非绝对收敛。上页下页首页结束返回(3)级数中，由于级数因为 ，所以上级数收敛，原级数绝对收敛。(4)级数中，由于级数其中发散，所以原级数发散。第四章习题第四章习题 课本课本 Page 142 T3上页下页首页结束返回第四章习题第四章习题 课本课本 Page 142 T5在不能。假设级数收敛，则由Abel定理得，级数在内每一点都收敛，故在该点收敛，而不发散。在其内，上页下页首页结束返回第四章习题第四章习题 课本课本 Page 142 T6(2)级数上页下页首页结束返回第四章习题第四章习题 课本课本 Page 142 T6(3)级数上页下页首页结束返回第四章习题第四章习题 课本课本 Page 142 T6(6)级数上页下页首页结束返回第四章习题第四章习题 课本课本 Page 143 T11(1)函数展开成 z 的幂级数为：(3)函数展开成 z 的幂级数为：上页下页首页结束返回(7)函数展开成 z 的幂级数为：第四章习题第四章习题 课本课本 Page 143 T11上页下页首页结束返回第四章习题第四章习题 课本课本 Page 143 T11(7)函数能在 z 0展开成 Tayloy级数，由系数公式计算上页下页首页结束返回第四章习题第四章习题 课本课本 Page 143 T12(1)函数在点 z0=1;收敛半径的求法：此时泰勒展开利用已有展开式，要求，即 R 2根据系数Cn，利用收敛半径公式计算：函数的奇点1到z0=1的距离为2，即 R 2上页下页首页结束返回第四章习题第四章习题 课本课本 Page 143 T12(2)函数在点 z0=2;因为函数的奇点1，2到z0=2的距离分别为3，4即 R 3上页下页首页结束返回第四章习题第四章习题 课本课本 Page 143 T12(3)函数在点 z0=1;收敛半径的求法：根据系数Cn，利用收敛半径公式计算：函数的奇点0到z0=1的距离为1，即 R 1上页下页首页结束返回第四章习题第四章习题 课本课本 Page 144 T16(1)函数在上页下页首页结束返回第四章习题第四章习题 课本课本 Page 144 T16(2)函数在在上页下页首页结束返回第四章习题第四章习题 课本课本 Page 144 T16(3)函数在在上页下页首页结束返回第四章习题第四章习题 课本课本 Page 144 T192）函数 在圆环 内处处解析，且 可以看出：，从而，在此圆环内，所以函数在此圆环内的Laurent展开式的系即可，数乘以上页下页首页结束返回第四章习题第四章习题 课本课本 Page 144 T193）函数 在圆环 内处处解析，且 可以看出：，从而，在此圆环内，所以函数在此圆环内的Laurent展开即可，式的系数乘以上页下页首页结束返回第第 五五 章章上页下页首页结束返回第五章习题第五章习题 课本课本 Page 183 T11)函数的奇点是 z=0，i，i，又因为，所以 z=0是的1级极点。在z=0解析，且在z=i 解析，且,所以 z=i是的2级极点。同理z=i也是的2级极点。上页下页首页结束返回第五章习题第五章习题 课本课本 Page 183 T13)因为函数z=1，1，且显然z=1为2级零点，z=1为1级零点的零点为所以函数的奇点是 z=1，1，z=1为2级极点，z=1为1级极点。上页下页首页结束返回5)因为函数的点，解得所以函数的奇点是 使得第五章习题第五章习题 课本课本 Page 183 T1显然即z=i 为g(z)的2级零点即z=zk 为g(z)的1级零点有2级极点i，1级极点上页下页首页结束返回7)因为函数的点，解得所以函数的奇点是 使得第五章习题第五章习题 课本课本 Page 183 T1显然即z=0 为g(z)的3级零点即z=zk 为g(z)的1级零点有3级极点0，1级极点上页下页首页结束返回9)因为函数的点，解得所以函数的奇点是 使得:第五章习题第五章习题 课本课本 Page 183 T1因为即z=0 为g(z)的2级零点，为g(z)的1级零点有2级极点0，也就是1级极点上页下页首页结束返回第五章习题第五章习题 课本课本 Page 183 T2z0是的m 级零点，则（其中 在 解析，且，m1为整数）则其中显然在z0解析，且 所以z0 是的m1级零点。上页下页首页结束返回第五章习题第五章习题 课本课本 Page 183 T4知为的5级零点，从而是是函数 的零点，将该函数在 z0处展开：的10级零点是函数 的10级极点。所以上页下页首页结束返回第五章习题第五章习题 课本课本 Page 183 T81）有两个一级极点 0，2，上页下页首页结束返回3）有两个三级极点 i，i，第五章习题第五章习题 课本课本 Page 183 T8上页下页首页结束返回5）函数的奇点是 z=1，显然它是本性奇点，其中 C1 0，求其展开式：上页下页首页结束返回7）故0是其二级零点；故k(k0)是其一级零点；所以0是 二级极点,k(k0)是其一级极点；令第五章习题第五章习题 课本课本 Page 183 T8上页下页首页结束返回第五章习题第五章习题 课本课本 Page 183 T8上页下页首页结束返回第五章习题第五章习题 课本课本 Page 183 T9解：1)由于函数有一个可去奇点 0，在圆周内，所以由留数定理得又由于上页下页首页结束返回解：2)由于函数有一个2级极点 1，在圆周内，所以由留数定理得又由于第五章习题第五章习题 课本课本 Page 183 T9上页下页首页结束返回解：3)由于函数有奇点 0，在0点展开第五章习题第五章习题 课本课本 Page 183 T9当时，上面展开式存在z的负一次幂，系数为当m取其它整数时，上面展开式不存在z的负一次幂，即数为上页下页首页结束返回圆周内，所以由留数定理得奇点 0在当时，当m取其它整数时，第五章习题第五章习题 课本课本 Page 183 T9上页下页首页结束返回5）的奇点是使得的点，解得这些奇点都是函数的一级极点，这是由于所以根据规则 ，得第五章习题第五章习题 课本课本 Page 183 T9上页下页首页结束返回第五章习题第五章习题 课本课本 Page 183 T9解：6)由于函数有奇点 a，bab，均是 n 级极点。由于当时，a，b都在圆周C的外部，由Cauchy积分定理，得当时，只有a在圆周C的内部，b在其外。由留数定理，得上页下页首页结束返回当时，a，b都在圆周C的内部,由留数定理得第五章习题第五章习题 课本课本 Page 183 T9上页下页首页结束返回所以：第五章习题第五章习题 课本课本 Page 183 T9上页下页首页结束返回E n d 希望十九世纪的复变函数能够影响到二十一世纪的青年学子们，努力拼搏，祝您成功！