梁的弹性弯曲变形与刚度计算问题课件

梁的弹性弯曲变形与刚度的梁的弹性弯曲变形与刚度的梁的弹性弯曲变形与刚度的梁的弹性弯曲变形与刚度的计算问题计算问题计算问题计算问题 2 2 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程3 3 积分法积分法计算梁的变形计算梁的变形5 5 梁的刚度计算及提高梁刚度的措施梁的刚度计算及提高梁刚度的措施1 1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题6 6 简单超静定梁简单超静定梁7 7 梁的弯曲应变能梁的弯曲应变能4 4 叠加法计算梁的变形叠加法计算梁的变形 弯曲构件除了要满足强度条件外弯曲构件除了要满足强度条件外,还需满足刚度还需满足刚度条件。如车床主轴的过大弯曲引起加工零件的误差。条件。如车床主轴的过大弯曲引起加工零件的误差。9.1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题7-19.1 工程实际中的弯曲变形问题工程实际中的弯曲变形问题 但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。的弹性变形，以满足特定的工作需要。例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。以缓解车辆受到的冲击和振动作用。9.1 工程实际中的弯曲变形问题工程实际中的弯曲变形问题9.1 工程实际中的弯曲变形问题工程实际中的弯曲变形问题 挠挠度度(w):横横截截面面形形心心(即即轴轴线线上上的的点点)在在垂垂直直于于x轴轴方向的线位移方向的线位移,称为该截面的称为该截面的挠度挠度(Deflection)。取取梁梁的的左左端端点点为为坐坐标标原原点点,梁梁变变形形前前的的轴轴线线为为x轴轴,横截面的铅垂对称轴为横截面的铅垂对称轴为y轴轴,xy平面为纵向对称平面。平面为纵向对称平面。9.1 工程实际中的弯曲变形问题工程实际中的弯曲变形问题 x yBABCC1挠度w挠度符号？x yBABCC1转角符号？转角 转转角角():横横截截面面绕绕中中性性轴轴(即即Z轴轴)转转过过的的角角度度（或或角角位位移移）,称称为为该该截截面面的的转转角角(Slope rotation angle)。挠度和转角符号的规定：挠度和转角符号的规定：挠度：在图示坐标系中挠度：在图示坐标系中,向上为正向上为正,向下为负向下为负。转角：转角：逆时针转向为正逆时针转向为正,顺时针转向为负。顺时针转向为负。yxABCw(挠度挠度)C1 (转角转角)9.1 工程实际中的弯曲变形问题工程实际中的弯曲变形问题F必须注意必须注意:梁轴线弯曲成曲线后梁轴线弯曲成曲线后,在在x轴方轴方向也有线位移。向也有线位移。9.1 工程实际中的弯曲变形问题工程实际中的弯曲变形问题yxABCw(挠度挠度)C1 (转角转角)F但但在在小小变变形形情情况况下下,梁梁的的挠挠度度远远小小于于跨跨长长,横横截截面面形形心心沿沿x轴轴方方向向的的线线位位移移与与挠挠度度相相比比属属于于高阶微量高阶微量,可略去不计可略去不计。挠曲线挠曲线：梁变形后的轴线称为：梁变形后的轴线称为挠曲线挠曲线。挠曲线方程挠曲线方程:式中式中,x为梁变形前轴线上任一点的横坐标为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w为为该点的挠度。该点的挠度。yxABCw(挠度挠度)C1 (转角转角)挠曲线挠曲线9.1 工程实际中的弯曲变形问题工程实际中的弯曲变形问题F挠度与转角的关系：挠度与转角的关系：yxABCw(挠度挠度)C1 (转角转角)9.1 工程实际中的弯曲变形问题工程实际中的弯曲变形问题F9.2 挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程横横力力弯弯曲曲时时,M和和 都都是是x的的函函数数。略略去去剪剪力力对对梁的位移的影响梁的位移的影响,则则纯弯曲时纯弯曲时曲率曲率与弯矩的关系为与弯矩的关系为由几何关系知由几何关系知,平面曲线的曲率可写作平面曲线的曲率可写作曲线向上凸曲线向上凸 时：时：w0,M0因此因此,M与与w的正负号相同。的正负号相同。MMM0w0MM曲线向下凸曲线向下凸 时：时：w0,M0Oxy由由于于挠挠曲曲线线是是一一条条非非常常平平坦坦的的曲曲线线,w2远远比比1小小,可以略去不计可以略去不计,于是上式可写成于是上式可写成此式称为此式称为 梁的挠曲线近似微分方程。梁的挠曲线近似微分方程。(Approximately differential equation of the deflection curve)称为称为近似近似的原因的原因:(1)略去了剪力的影响略去了剪力的影响;(2)略去了略去了w2项。项。再积分一次再积分一次,得得挠度方程挠度方程上式积分一次得上式积分一次得转角方程转角方程若为等截面直梁若为等截面直梁,其抗弯刚度其抗弯刚度EI为一常量为一常量,上式可改写成上式可改写成式式中中：积积分分常常数数C1、C2可可通通过过梁梁挠挠曲曲线线的的边边界界条件条件和变形的和变形的连续性条件连续性条件来确定。来确定。9.3 积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形简支梁简支梁悬臂梁悬臂梁边界条件边界条件(boundary condition)ABwA0wB0ABwA0 A0ABAB 连续性条件连续性条件(Continuity condition)在在挠挠曲曲线线的的任任一一点点上上,有有唯唯一一的的挠挠度度和和转转角角。如如:不可能不可能c 讨论讨论：适用于小变形、线弹性、细长构件的平面弯曲适用于小变形、线弹性、细长构件的平面弯曲 用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移 积分常数由挠曲线变形边界条件确定积分常数由挠曲线变形边界条件确定 优点：使用范围广，直接求出较精确；优点：使用范围广，直接求出较精确；缺点：计算较繁缺点：计算较繁例例1：图图示示一一抗抗弯弯刚刚度度为为EI的的悬悬臂臂梁梁,在在自自由由端端受受一一集集中中力力F作作用用。试试求求梁梁的的挠挠曲曲线线方方程程和和转转角角方程方程,并确定其最大挠度并确定其最大挠度wmax和最大转角和最大转角 max。ABlxxy解解：以以梁梁左左端端A为为原原点点,取取直直角角坐坐标标系系,令令x轴轴向右向右,y轴向上为正。轴向上为正。(1)列弯矩方程列弯矩方程F(2)列挠曲线近似微分方程并积分列挠曲线近似微分方程并积分(3)确定积分常数确定积分常数 代入式代入式(a)和和(b),得：得：C10,C20ABlxxyF在在x0处处,w0 在在x0处处,0 ABlxxyF(4)建立转角方程和挠度方程建立转角方程和挠度方程 将求得的积分常数将求得的积分常数C1和和C2代入式代入式(a)和和(b),得得梁的转角方程和挠度方程分别为：梁的转角方程和挠度方程分别为：(5)求最大转角和最大挠度求最大转角和最大挠度 自由端自由端B处的转角和挠度绝对值最大。处的转角和挠度绝对值最大。wmax max所所得得的的挠挠度度为为负负值值,说说明明B点点向向下下移移动动;转转角角为为负值负值,说明横截面说明横截面B沿顺时针转向转动。沿顺时针转向转动。xlABqFAFB例例2:2:图图示示一一抗抗弯弯刚刚度度为为EI的的简简支支梁梁,在在全全梁梁上上受受集集度度为为q的的均均布布荷荷载载作作用用。试试求求此此梁梁的的挠挠曲曲线线方方程程和和转转角角方方程程,并并确确定定其其最最大大挠挠度度 wmax和和最最大大转角转角 max 。xy解解:由由对对称称性性可可知知,梁的两个支反力为梁的两个支反力为梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为积分两次积分两次xlABqFAFBxy简支梁的边界条件是简支梁的边界条件是在在x0处处,w0 在在xl处处,w0 代入代入(c)、(d)式确定出式确定出积分常数积分常数xlABqFAFBxyABqxy A Bwmaxl/2由由对对称称性性可可知知,在在两两端端支支座座x0和和xl处处,转转角角的的绝绝对对值值相等且都是最大值相等且都是最大值在在梁梁跨跨中中点点l/2处处有有最最大大挠度值挠度值例例3：图图示示一一抗抗弯弯刚刚度度为为EI的的简简支支梁梁,在在D点点处处受受一一集集中中力力F的的作作用用。试试求求此此梁梁的的挠挠曲曲线线方方程程和和转角方程转角方程,并求其最大挠度和最大转角。并求其最大挠度和最大转角。xlABFabFAFBD解解:求出梁的支反力为求出梁的支反力为将梁分为将梁分为I和和II两段两段,其弯矩方程分别为其弯矩方程分别为III梁段梁段I (0 x a)梁段梁段II(a x l)两段梁的挠曲线方程分别为两段梁的挠曲线方程分别为积积分分一一次次得得转转角角方方程程再再积积分分一一次次得得挠挠曲曲线方程线方程挠曲线方程挠曲线方程注注意意：在在对对梁梁段段II进进行行积积分分运运算算时时,对对含含有有(x-a)的的弯弯矩矩项项不不要要展展开开,而而以以(x-a)作作为为自自变变量量进进行行积积分分,这这样样可可使使下面确定积分常数的工作得到简化。下面确定积分常数的工作得到简化。D点的连续条件：点的连续条件：在在x=a处处,1 2,w1w2边界条件边界条件:在在x=0处处,w10在在x=l处处,w20代入方程可解得代入方程可解得:xlABFabFAFBDIII梁段梁段I (0 x a)梁段梁段II(a x l)将积分常数代入得将积分常数代入得转角方程转角方程挠曲线方程挠曲线方程将将x=0和和x=l分分别别代代入入转转角角方方程程左左右右两两支支座座处截面的转角处截面的转角当当a b时时,右支座处截面的转角绝对值为最大右支座处截面的转角绝对值为最大xlABFabFAFBDIII简简支支梁梁的的最最大大挠挠度度应应在在w0 0处处。研研究究第第一一段段梁梁,令令w10 0得得当当a b时时,x1 a,最大挠度确实在第一段梁中最大挠度确实在第一段梁中xlABFabFAFBDIII 在在极极端端情情况况下下,当当b b非非常常小小,以以致致b b2 2与与l l 2 2项项相相比比可以略去不计时可以略去不计时讨论讨论1:1:上例中，梁中点挠度与最大挠度的关系？上例中，梁中点挠度与最大挠度的关系？xlABFabFAFBDIII则：当则：当F F从梁中点位置向从梁中点位置向B B支座移支座移动时，动时，b b值减小时，值减小时，x x从从0.5L0.5L向向0.577L0.577L趋近（趋近（F F接近接近B B点时）；点时）；此时最大挠度的位置离此时最大挠度的位置离梁中点最远，梁中点挠梁中点最远，梁中点挠度与最大挠度应该差距较大。度与最大挠度应该差距较大。梁中点梁中点C C处的挠度为处的挠度为结结论论:在在简简支支梁梁中中,不不论论它它受受什什么么荷荷载载作作用用,只只要要挠挠曲曲线线上上无无拐拐点点,其其最最大大挠挠度度值值都都可可用用梁梁跨跨中中点点处处的的挠挠度度值值来来代代替替,其其精精确确度度是是能能满满足足工程要求的。工程要求的。略去略去b b2 2项项,得得讨论讨论2:BD2:BD段上有无段上有无=0=0的点？的点？xlABFabFAFBDIII条条件件：由由于于梁梁的的变变形形微微小小,梁梁变变形形后后其其跨跨长长的的改改变变可可略略去去不不计计,且且梁梁的的材材料料在在线线弹弹性性范范围围内内工工作作,因因而而,梁的挠度和转角均与作用在梁上的载荷成线性关系。梁的挠度和转角均与作用在梁上的载荷成线性关系。9.4 按叠加原理计算梁的挠度和转角按叠加原理计算梁的挠度和转角 在这种情况下在这种情况下,梁在几项载荷梁在几项载荷(如集中力、集中如集中力、集中力偶或分布力力偶或分布力)同时作用下某一横截面的挠度和转角同时作用下某一横截面的挠度和转角,就分别等于每项载荷单独作用下该截面的挠度和转角就分别等于每项载荷单独作用下该截面的挠度和转角的叠加的叠加。此即为。此即为叠加原理叠加原理。按按叠叠加加原原理理 求求A A点点转转 角角 和和C C点挠度。点挠度。解、解、载荷分解如图载荷分解如图qqPP=+AAABBB Caa 例题例题例题例题 查简单载荷引起的变形。查简单载荷引起的变形。qqPP=+AAABBB Caa叠加叠加例例：一一抗抗弯弯刚刚度度为为EI的的简简支支梁梁受受荷荷载载如如图图所所示示。试试按按叠叠加加原原理理求求梁梁跨跨中中点点的的挠挠度度wC 和和支支座座处处横横截面的转角截面的转角 A,B。BAqlMeC解解：将将梁梁上上荷荷载载分分为为两两项项简单的荷载。简单的荷载。例例:试试利利用用叠叠加加法法,求求图图示示抗抗弯弯刚刚度度为为EI的的简简支支梁跨中点的挠度梁跨中点的挠度wC。Bql/2ACl/2Bq/2ACBACq/2q/2解解：该梁上荷载可视为：该梁上荷载可视为正正对称载荷对称载荷与与反称对载荷反称对载荷两两种情况的叠加。种情况的叠加。(1)正对称载荷作用下正对称载荷作用下(2)反对称荷载作用下反对称荷载作用下在跨中在跨中C截面处截面处,挠度挠度wC2等于零。等于零。BACq/2q/2(3)将相应的位移进行叠加将相应的位移进行叠加,即得即得（）例例 用叠加法求梁中点处的挠度。设用叠加法求梁中点处的挠度。设bl/2。l/2lABqbxdx解解：将将均均布布荷荷载载看看作作许许多微集中力多微集中力dF组成组成dF=qdxdFC当b=l/2时,结果与例结果与例2一致一致.例例 叠加法（叠加法（逐段刚化法逐段刚化法)抗弯刚度为抗弯刚度为EIEI，求，求B处处的挠的挠度与转角、度与转角、C C处的转角。处的转角。=+PL1L2ABCBCPL2w1w2等价等价等价等价PL1L2ABC刚化刚化AC段段PL1L2ABC刚化刚化BC段段PL1L2ABCMw2PL1L2ABCMPL1L2ABCBCPL2w1一、梁的刚度条件：一、梁的刚度条件：、校核刚度：、校核刚度：、设计载荷。、设计载荷。其中其中 称为许用转角；称为许用转角；w 称为许用挠度。称为许用挠度。通常通常依此条件进行如下三种刚度计算：依此条件进行如下三种刚度计算：、设计截面尺寸；设计截面尺寸；9-5 梁的刚度计算梁的刚度计算例例1 下图为一空心圆梁，内外径分别为：下图为一空心圆梁，内外径分别为：d=40mm，D=80mm，梁的，梁的E=210GPa，工程规定工程规定C点的点的w=0.00001m，B点的点的 =0.001弧度，试校弧度，试校核此梁的刚度。核此梁的刚度。=+解：解：结构变换，查表求结构变换，查表求简单载荷变形简单载荷变形(P(P2 2的计算可的计算可利用上节例利用上节例4 4的结果的结果)。叠加求复杂载荷下叠加求复杂载荷下的变形的变形校核刚度校核刚度所以刚度是足够的。所以刚度是足够的。内外径分别为：内外径分别为：d=40mm，D=80mm讨论：强度校核问题讨论：强度校核问题二、二、提高梁的提高梁的刚度的措施度的措施由由梁梁的的位位移移表表(表表9-3)可可见见,梁梁的的变变形形(挠挠度度和和转转角角)除除了了与与梁梁的的支支承承和和荷荷载载情情况况有有关关外外,还还取取决决于以下三个因素于以下三个因素,即即材料材料梁的梁的变形变形与材料的弹性模量与材料的弹性模量E成反比；成反比；截面截面梁的变形与截面的惯性矩梁的变形与截面的惯性矩I成反比；成反比；跨跨长长梁梁的的变变形形与与跨跨长长l的的n次次幂幂成成正正比比(在在各各种种不不同同荷荷载载形形式式下下,n分分别别等等于于1,2,3或或4)。由由此此可可见见,为为了了减减小小梁梁的的位位移移,可可以以采采取取下下列列措措施：施：1、合理布置外力（包括支座），使、合理布置外力（包括支座），使 M max 尽可能小。尽可能小。PL/2L/2MxPL/4PL/43L/4Mx3PL/16P=qLL/54L/5对称MxqL2/10MxqLL/5qL/5402qL502qL-MxqL/2L/2322qL-Mx2.调整跨长和改变结构；调整跨长和改变结构；缩短跨长：缩短跨长：如如将简支梁改为外伸梁；将简支梁改为外伸梁；或增加支座等。或增加支座等。qlABqlABqAB 设法缩短梁的跨长，将能显著地减小其挠度和转角。这设法缩短梁的跨长，将能显著地减小其挠度和转角。这是提高梁的刚度的一个很又效的措施。是提高梁的刚度的一个很又效的措施。桥式起重机的钢梁通常采用两端外伸的结构桥式起重机的钢梁通常采用两端外伸的结构,就是为了缩短跨就是为了缩短跨长而减小梁的最大挠度值。长而减小梁的最大挠度值。增加梁的支座也可以减小梁增加梁的支座也可以减小梁的挠度。的挠度。ABq(a)ABqq(b)同时，由于梁的外伸部分的自重作用，将使梁的同时，由于梁的外伸部分的自重作用，将使梁的 AB 跨产生向上跨产生向上的挠度从而使的挠度从而使AB跨向下的挠度能够被抵消一部分，而有所减小。跨向下的挠度能够被抵消一部分，而有所减小。3.3.增大梁的弯曲刚度增大梁的弯曲刚度EI 对对于于钢钢材材来来说说,采采用用高高强强度度钢钢可可以以显显著著提提高高梁梁的的强强度度,但但对对刚刚度度的的改改善善并并不不明明显显,因因高高强强度度钢钢与与普普通通低低碳碳钢钢的的E值值是是相相近近的的。因因此此,为为增增大大梁梁的的刚刚度度,应应设设法法增增大大I值值。在在截截面面面面积积不不变变的的情情况况下下,采采用用适适当当形形状状的的截截面面使使截截面面面面积积分分布布在在距距中中性性轴轴较较远远处处,以以增增大大截截面面的的惯惯性性矩矩I,这这样样不不仅仅可可降降低低应应力力,而而且且能能增增大大梁梁的的弯弯曲曲刚刚度度以以减减小小位位移移。所所以以工工程程上上常常采采用用工工字字形、箱形形、箱形等截面。等截面。截面形截面形状状截面面积截面面积(cm2)截面尺寸截面尺寸(cm)I(cm4)圆 形35.5D=6.72101.3矩形35.5B=4.21H=8.43210.56工字形35.520a 23709.6 简单超静定梁简单超静定梁lABq要要求求解解如如图图所所示示的的超超静静定定梁梁，可可以以以以B端端的的活活动动铰铰支支座座为为多多余余约约束束，将将其其撤撤除除后后而而形形成成的的悬悬臂臂梁即为原超静定梁的梁即为原超静定梁的基本静定梁基本静定梁。ABqFB为为使使基基本本静静定定梁梁的的受受力力及及变变形形情情况况与与原原静静不不定定梁梁完完全全一一致致，还还要要求求基基本本静静定定梁梁满满足足一一定定的的变变形协调条件。形协调条件。lABqABqFB 由于原静不定梁在由于原静不定梁在B端端有活动铰支座的约束，因有活动铰支座的约束，因此，此，还要求基本静定梁在还要求基本静定梁在B端的挠度为零端的挠度为零，即，即 此即应满足的此即应满足的变形协调条件变形协调条件(或变形相容条件或变形相容条件)ABq建立补充方程建立补充方程ABFBwBFwBqABqFB由由图图可可见见，B端端的的挠挠度度为为零零，可可将将其其视视为为均均布布载载荷荷引引起起的的挠挠度度wBq与与未未知知支支座座反反力力FB引引起起的的挠挠度度wBF的的叠叠加加结结果果，即即:ABqABFBwBFwBq由由表表9.3查查得得力力与与变变形形间的物理关系间的物理关系：将其代入前式得：将其代入前式得：即得补充方程即得补充方程 ABqFB由此解出多余约束反力：由此解出多余约束反力：lABq再利用平衡方程即可求得再利用平衡方程即可求得其他支座反力。其他支座反力。ABqFBFAyMAFAx1:选取适当的多余约束，得到基本静定梁；选取适当的多余约束，得到基本静定梁；2:利利用用相相应应的的变变形形协协调调条条件件和和物物理理关关系系建建立立补补充充方程；方程；3:与平衡方程联立解出所有的支座反力与平衡方程联立解出所有的支座反力解解静静不不定定梁梁时时，选选择择哪哪个个约约束束为为多多余余约约束束并并不不是固定的是固定的，可根据解题时的方便而定。，可根据解题时的方便而定。解静不定梁的步骤解静不定梁的步骤这种解静不定梁的方法，称为这种解静不定梁的方法，称为变形比较法变形比较法。求解。求解静不定问题的方法还有多种，以力为未知量的方静不定问题的方法还有多种，以力为未知量的方法称为法称为力法力法，变形比较法属于力法中的一种。，变形比较法属于力法中的一种。这这时时要要求求此此梁梁满满足足的的变变形形条件为：条件为：ABqlABqMA由由表表查查得得，因因q和和MA而而引引起的截面起的截面A的转角分别为的转角分别为 ABq AqABMA AM对对于于上上例例,可可以以取取固固定定端端A的的力力偶偶矩矩为为多多余余约约束束反反力来进行计算力来进行计算:ABqlABqMA将将其其代代入入变变形形条条件件后后得补充方程为得补充方程为 由此解得由此解得 ABq AqABMA AM、变形协调方程、变形协调方程解：解：、建立静定基建立静定基例例1 结构如图，求结构如图，求B处反力。处反力。L LBCBC、物理方程、物理方程变形与变形与力的关系力的关系、补充方程补充方程L LBCBC弯曲应变能的计算：弯曲应变能的计算：应变能等于外力功。不计剪切应变能并略去应变能等于外力功。不计剪切应变能并略去 d M dq q9.7 梁的弯曲应变能梁的弯曲应变能例例 已知已知 EIEI，P,a,P,a,求梁的应变能。求梁的应变能。解：解：利用对称性，得：利用对称性，得：