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第二章质点组力学第二章质点组力学v2.1 质点组质点组v2.2 动量定理与动量守恒律动量定理与动量守恒律v2.3 动量定理与动量矩守恒律动量定理与动量矩守恒律v2.4 动能定理与机械能守恒定律动能定理与机械能守恒定律v2.5 两体问题两体问题v2.6 质心坐标系与实验室坐标系质心坐标系与实验室坐标系v2.7 变质量物体的运动变质量物体的运动v2.8 位力定理位力定理2.1 2.1 质点组质点组(1)(1)质点组、内力和外力质点组、内力和外力 我们把由许多（有限或无限）相互联系着的质点所组成 的系统。质点组中质点间的相互作用力。质点组以外的物体对质点组内质 点的作用力。质点组质点组：内内 力力：外外 力：力：质心质心 质点组的全部质量可认为集中在某一点上，这一点我们就叫做质点组的质心。质心定义为：质心定义为：在直角坐标系在直角坐标系质量连续分布的体系质量连续分布的体系在直角坐标系在直角坐标系2.2 2.2 动量定理与动量守恒律动量定理与动量守恒律动量定理动量定理或或写成分量形式写成分量形式质心运动定理质心运动定理分量式为：分量式为：质点组的动量守恒定理质点组的动量守恒定理 当质点组不受外力或所受外力的矢量和为零，当质点组不受外力或所受外力的矢量和为零，如果作用在质点组上的诸外力在某一固定轴如果作用在质点组上的诸外力在某一固定轴(设为设为x轴轴)上的投影之和为零上的投影之和为零,解：解：忽略空气阻力，则人和重物所组成的质点组 在水平方向的动量守恒。设是人在抛掷重物过程中所增加的水平速度，人对惯性参考系（地面）的水平速度为，物体 对惯性参考系（地面）的水平速度为，则例例:一个重量为P的人,手拿一个重为Q的物体,以与 水平线成 角的速度 向前跳。当他跳到最高 时，将物体以相对于他自己的速度 水平向后 抛出。问由于物体的后抛使人的跳远的距离增 加了多少？设从最高点到落地的时间为t，则故，多跳的一段距离为x2.32.3动量矩定理与动量矩守恒定律动量矩定理与动量矩守恒定律对固定点的对固定点的动量矩定理动量矩定理在直角坐标系的分量形式在直角坐标系的分量形式质点组质点组其在直角坐标系的分量形式质点组的动量矩的积分形式如果作用在质点组上的诸外力在某一固定点的合力矩为零如果作用在质点组上的诸外力在某一固定点的合力矩为零,即即如果，但对通过原点的某一标轴(设为x轴)上的合力矩为零,则该方向动量矩守恒。动量矩守恒定律动量矩守恒定律对质心的动量矩定理对质心的动量矩定理质心系中的动量矩守恒定律质心系中的动量矩守恒定律质点组的动能定理质点组的动能定理2.42.4动能定理与机械能守恒定律动能定理与机械能守恒定律 由由n个质点所组成的质点组，其中任选一个质量个质点所组成的质点组，其中任选一个质量mi为，位矢为为，位矢为 (对定点对定点o)的质点的质点pi,作用在该质点上所有作用在该质点上所有内力和外力内力和外力的矢量和的矢量和,分别为分别为 ,则则质点组中任一质点动能的微分等于作用在该质点上外力及内力所做元功之质点组中任一质点动能的微分等于作用在该质点上外力及内力所做元功之和和,即即 其中其中,是质点的速度是质点的速度,则是它的位移。则是它的位移。对对i求和求和若用若用T表示质点组的动能，则表示质点组的动能，则注意注意 在动量定理和动量矩定理中，内力均因相等相反而消去；在质点组动能定理中，内力所作元功之 和一般不能互相抵消，即质点组的动能并不一 定守恒；对特殊的质点组对刚体来说，内力不作功，即内力所作元功之和为零。下面就让我们对第二点进行证明。机械能守恒定律机械能守恒定律 如果作用在质点组上的所有外力不做功及内力都是保守力如果作用在质点组上的所有外力不做功及内力都是保守力（或其中只有保守力作功）时，才机械能守恒。（或其中只有保守力作功）时，才机械能守恒。柯尼希定理柯尼希定理对质心的动能定理对质心的动能定理在在c-xyz中，对质点中，对质点mi应用第二定律，得应用第二定律，得质点组对质心的动能定理质点组对质心的动能定理 质点组对质心的动能的微分，等于质点组相对于质心系位移质点组对质心的动能的微分，等于质点组相对于质心系位移时内力及外力所作元功之和。时内力及外力所作元功之和。说明：因为说明：因为质心可能具有加速度，质心可能具有加速度，质心参考系可能是非惯性参考系质心参考系可能是非惯性参考系，但，但惯性力所作元功之和为零，因为惯性力的矢量和通过惯性力所作元功之和为零，因为惯性力的矢量和通过c点，位移为零。点，位移为零。2.5 2.5 两体问题两体问题两体问题的含义两体问题的含义 我们通常把仅受相互作用的内力我们通常把仅受相互作用的内力、不受任何其他外力作不受任何其他外力作用的两个质点（物体）组成的系统，称为两体问题。（如太用的两个质点（物体）组成的系统，称为两体问题。（如太阳与一个行星，阳与一个行星，粒子和原子核。）粒子和原子核。）两体问题动力学方程及守恒量两体问题动力学方程及守恒量太阳的运动方程太阳的运动方程由上可知以下由上可知以下论断论断系统系统(P,S)的的质心将按惯性运动质心将按惯性运动；太阳和行星都绕它们的质心作圆锥圆锥运动太阳和行星都绕它们的质心作圆锥圆锥运动.对系统对系统(S,P)而言，万有引力是内力，故前者即可根据质点而言，万有引力是内力，故前者即可根据质点组的动量守恒定律得出，而后者可从它们相对于质心的动力学方组的动量守恒定律得出，而后者可从它们相对于质心的动力学方程得出程得出.下面就让我们给以证明下面就让我们给以证明.因为因为则则 由上可知，力仍与距离的平方成反比，故由由上可知，力仍与距离的平方成反比，故由1.9，知行，知行星绕星绕(S,P)系统的质心作圆锥曲线运动。（太阳的也是如此）系统的质心作圆锥曲线运动。（太阳的也是如此）开普勒第三定律的修正开普勒第三定律的修正知识拓展知识拓展 没有考虑行星间的相互吸没有考虑行星间的相互吸引属于引属于两体问题两体问题；考虑任一行星还要受到其考虑任一行星还要受到其他行星的吸引则属于他行星的吸引则属于多体问题多体问题。而多体问题一般只能用微而多体问题一般只能用微扰的方法来近似求。扰的方法来近似求。2.6 2.6 质心坐标系与实验室坐标系质心坐标系与实验室坐标系 质心坐标系：质心坐标系：在随着质心运动的坐标系 中观测。实验室坐标系：实验室坐标系：在静止坐标系中来观察。实验室坐标系与质心坐标系实验室坐标系与质心坐标系 两种坐标系中弹性散射的不同结果两种坐标系中弹性散射的不同结果两种坐标系中看到的弹性散射现象（如下图）两种坐标系中看到的弹性散射现象（如下图）设两质点的质量为 ，散射角在实验室坐标系中为r，在质心系中为c，可由相对运动速度的合成关系（见右图）两坐标系中散射角的相互关系两坐标系中散射角的相互关系 为了消去为了消去 ,并用质点的质量表示，并用质点的质量表示，可利用质心的定义并以可利用质心的定义并以r表示质点表示质点2相对质点相对质点1的位置矢量，由的位置矢量，由 将它投影在水平方向与垂直方向将它投影在水平方向与垂直方向,可求得可求得,特例特例 （1）重核散射（如粒子散射）时 有 ;（2）等质量粒子散射（如质子中子散射）时，有 .可得到用散射角r用质点质量 表示的形式：2.7 2.7 变质量物体的运动变质量物体的运动变质量物体的运动变质量物体的运动 我们把质量随时间连续地变化的物体的我们把质量随时间连续地变化的物体的运动称为变质量物体的运动。运动称为变质量物体的运动。m=m(t)变质量物体的运动的概念变质量物体的运动的概念变质量物体的运动的运动方程变质量物体的运动的运动方程由质点的动量定理：由质点的动量定理：各物理量的物理意义各物理量的物理意义2.8 2.8 位力定理位力定理2.8 位力定理位力定理由动量定理导出动量矩定理由动量定理导出动量矩定理动量定理为零(2)(3)代入(1)就得到动量矩定理其中(1)(2)(3)O2.8 位力定理位力定理由动量定理导出动量矩定理由动量定理导出动量矩定理在动量矩定理中，只有垂直于位矢r的力 才有贡献。若拿位矢点乘动量定理的两边，结果就只有 有贡献。这样做也能给出某种定理(规律)吗？2.8.1 单个质点的位力定理单个质点的位力定理用位矢点乘动量定理的两边可得(1)其中(2)令(3)(2)(3)代入(1)可得(4)对(4)两边求时间平均值：可得(5)2.8.1 单个质点的位力定理单个质点的位力定理记物理量A的时间平均值为则(5)简记为基于上式，我们考虑如下两个情况：(a)质点做周期运动，且 恰是其周期；(b)考虑长时平均(即令 的时间平均),而G(t)总是有限值。以上两情况下，都有于是得到位力定理：2.8.2 质点组的位力定理质点组的位力定理对单个质点的位力定理进行求和可得求和与求平均可交换次序，上式改写为即质点组的位力定理：其成立的条件仍是长时平均或周期平均。v如为保守力系v如果是单个质点受有心力v如V是r的幂函数 于是 对于平方反比力，n=-2 则即质点组的位力定理：则则
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