概率统计的数值实验MATLAB在概率统计教学中的应用教学课件

概率统计的数值实验MATLAB在概率统计教学中的应用26、机遇对于有准备的头脑有特别的亲和力。27、自信是人格的核心。28、目标的坚定是性格中最必要的力量泉源之一，也是成功的利器之一。没有它，天才也会在矛盾无定的迷径中，徒劳无功。-查士德斐尔爵士。29、困难就是机遇。-温斯顿丘吉尔。30、我奋斗，所以我快乐。-格林斯潘。示例：示例：示例：示例：rand(1)%rand(1)%生成一个生成一个生成一个生成一个(0,1)(0,1)间的随机数间的随机数间的随机数间的随机数 ans=ans=0.81470.8147 rand(2,2)%rand(2,2)%生成一个生成一个生成一个生成一个2222阶阶阶阶(0,1)(0,1)间的随机数矩阵间的随机数矩阵间的随机数矩阵间的随机数矩阵ans=ans=0.9134 0.09750.9134 0.0975 0.6324 0.2785 0.6324 0.2785 randperm(5)%randperm(5)%生成一个生成一个生成一个生成一个1515的随机整数排列的随机整数排列的随机整数排列的随机整数排列ans=ans=4 1 5 2 34 1 5 2 3 a=1 2 4 2 3 3 2;a=1 2 4 2 3 3 2;unique(a)unique(a)ans=ans=1 2 3 41 2 3 4 例例1 1 随机投掷均匀硬币，观察国徽朝上与国徽随机投掷均匀硬币，观察国徽朝上与国徽 朝下的频率。朝下的频率。解 n=3000100000000;m=0;for i=1:n t=randperm(2);%生成一个12的随机整数排列 x=t-1;%生成一个01的随机整数排列 y=x(1);if y=0;m=m+1;endendp1=m/np2=1-p1 试验次数次数n300050001万2万3万国徽朝上国徽朝上频率率0.50400.50060.48790.49990.5046国徽朝下国徽朝下频率率0.49600.49940.51210.50010.4954试验次数次数n5万10万100万100万1亿国徽朝上国徽朝上频率率0.50210.49990.49990.50010.5000国徽朝下国徽朝下频率率0.49790.50010.50010.49990.5000可见当可见当 时，时，解解 记事件记事件 为第为第i个人拿到自已枪，事件个人拿到自已枪，事件 为第为第i个人个人没拿到自己枪，易知：没拿到自己枪，易知：又记又记 为没有一个人拿到自己枪的概率。为没有一个人拿到自己枪的概率。有乘法公式可知：有乘法公式可知：例例2 2 某班有某班有n n个人，每人各有一支枪，这些枪外形个人，每人各有一支枪，这些枪外形一样。某次夜间紧急集合，若每人随机地取走一一样。某次夜间紧急集合，若每人随机地取走一支枪，问没有一个人拿到自己枪的概率是多少？支枪，问没有一个人拿到自己枪的概率是多少？于是于是 所以所以特别地，当特别地，当n较大时，较大时，。因此，可随机模拟出没有人拿到自己枪的频率，因此，可随机模拟出没有人拿到自己枪的频率，根据频率的稳定性，近似当做概率，然后去估计自然常根据频率的稳定性，近似当做概率，然后去估计自然常数数e。算法如下：。算法如下：1 1 1 1、产生、产生、产生、产生n n个随机数的随机序列；个随机数的随机序列；个随机数的随机序列；个随机数的随机序列；2 2 2 2、检验随机列与自然列是否至少有一个配对；、检验随机列与自然列是否至少有一个配对；、检验随机列与自然列是否至少有一个配对；、检验随机列与自然列是否至少有一个配对；3 3 3 3、对没有一个配对的序列进行累积、对没有一个配对的序列进行累积、对没有一个配对的序列进行累积、对没有一个配对的序列进行累积 p p；4 4 4 4、重复、重复、重复、重复1 1 1 1、2 2 2 2、3 3 3 3步步步步 m m 次；次；次；次；5 5 5 5、估计、估计、估计、估计 。具体程序及相关结果为（注：具体程序及相关结果为（注：自然常数自然常数 e 2.7183）：）：m=40000;n=50;p=0;for j=1:m k=0;sui=randperm(n);for i=1:n if sui(i)=i k=k+1;else k=k;end end if k=0 p=p+1;else p=p;endende=m/pe=2.7313模拟次数模拟次数m400004000040000人数人数n100020005000e2.71552.70822.7202模拟次数模拟次数m400040000400000人数人数n505050e2.73792.73132.7194 设针与平行线的夹角为设针与平行线的夹角为 ，针的中心与最，针的中心与最近直线的距离为近直线的距离为 。针与平行线相交的充要。针与平行线相交的充要条件是条件是 ，则所求概率为，则所求概率为故可得故可得 的近似计算公式的近似计算公式 ，其中，其中n为随机试验为随机试验次数，次数，m为针与平行线相交的次数。为针与平行线相交的次数。例例3 3 Buffon Buffon投针实验投针实验 在画有许多间距为在画有许多间距为在画有许多间距为在画有许多间距为 的等距平行线的白纸上，随的等距平行线的白纸上，随的等距平行线的白纸上，随的等距平行线的白纸上，随机投掷一根长为机投掷一根长为机投掷一根长为机投掷一根长为 的均匀直针，求针与平行线的均匀直针，求针与平行线的均匀直针，求针与平行线的均匀直针，求针与平行线相交的概率，并计算相交的概率，并计算相交的概率，并计算相交的概率，并计算 的近似值。的近似值。的近似值。的近似值。解解 clear,clfn=10000000;l=0.5;m=0;d=1;for i=1:n x=l/2*sin(rand(1)*pi);y=rand(1)*d/2;if x=y m=m+1;endendp1=m/npai=2*n*l/(m*d)试验次数试验次数n5千1万10万100万1000万针长针长l/平行平行间距间距d3/103/103/103/103/10相交频率相交频率0.1836 0.1971 0.1887 0.1905 0.1912的近似值的近似值3.2680 3.0441 3.1798 3.1498 3.1387试验次数试验次数n5千1万10万100万1000万针长针长l/平行间平行间距距d2/52/52/52/52/5相交频率相交频率0.24960.25620.25490.25440.2543的近似值的近似值3.20513.12263.13863.14513.1433试验次数试验次数n5千1万10万100万1000万针长针长l/平行平行间距间距d1/21/21/21/21/2相交频率相交频率0.3254 0.3148 0.3158 0.3178 0.3183的近似值的近似值3.0731 3.1766 3.1667 3.1470 3.1417试验次数试验次数n5千1万10万100万1000万针长针长l/平行间平行间距距d4/54/54/54/54/5相交频率相交频率0.51420.51340.50860.50930.5093的近似值的近似值3.11163.11653.14603.14183.1418试验次数试验次数n5千1万10万100万1000万针长针长l/平行间平行间距距d17/2017/2017/2017/2017/20相交频率相交频率0.54320.54520.54200.54120.5410的近似值的近似值3.12963.11813.13663.14133.1426试验次数试验次数n5千1万10万100万1000万针长针长l/平行间平行间距距d9/109/109/109/109/10相交频率相交频率0.58600.57000.57560.57330.5731的近似值的近似值3.07173.15793.12723.13953.1410例例4 4 在在100100个人的团体中，不考虑年龄差异，研个人的团体中，不考虑年龄差异，研究是否有两个以上的人生日相同。假设每人的生究是否有两个以上的人生日相同。假设每人的生日在一年日在一年365365天中的任意一天是等可能的，那么天中的任意一天是等可能的，那么随机找随机找n n个人个人(不超过不超过365365人人)。(1)(1)求这求这n n个人生日各不相同的概率是多少个人生日各不相同的概率是多少？从而求这？从而求这n n个人中至少有两个人生日相同这一个人中至少有两个人生日相同这一随机事件发生的概率是多少？随机事件发生的概率是多少？(2)(2)近似计算在近似计算在3030名学生的一个班中至少有名学生的一个班中至少有两个人生日相同的概率是多少？两个人生日相同的概率是多少？解:(1)clear,clffor n=1:100 p0(n)=prod(365:-1:365-n+1)/365n;p1(n)=1-p0(n);endp1=ones(1,100)-p0;n=1:100;plot(n,p0,n,p1,-)xlabel(人数),ylabel(概率)legend(生日各不相同的概率,至少两人生日相同的概率)axis(0 100-0.1 1.199),grid onp1(30)=0.7063,p1(60)=0.9941 分析：在分析：在3030名学生中至少两人生日相同的概率为名学生中至少两人生日相同的概率为70.6370.63。下面进行计算机仿真。下面进行计算机仿真。随机产生随机产生3030个正整数，代表一个班个正整数，代表一个班3030名学生的生日，然后观名学生的生日，然后观察是否有两人以上生日相同。当察是否有两人以上生日相同。当3030个人中有两人生日相同时，输个人中有两人生日相同时，输出出“1”“1”，否则输出，否则输出“0”“0”。如此重复观察。如此重复观察100100次，计算出这一事件发次，计算出这一事件发生的频率生的频率 。(2)clear,clfn=0;for m=1:100%做100次随机试验 y=0;x=1+fix(365*rand(1,30);%产生30个随机数 for i=1:29%用二重循环寻找30个随机数 中是否有相同数 for j=i+1:30 if x(i)=x(j)y=1;break;end end end n=n+y;%累计有两人生日相同的试验次数endf=n/m%计算频率f=0.6900f=0.7900f=0.6700f=0.7300f=0.7500f=0.6900f=0.7200f=0.6700f=0.6800重复观察，数据如下：例例5 5 GaltonGalton钉板模型和二项分布钉板模型和二项分布 GaltonGalton钉板试验是由英国生物统计学家和人类学家钉板试验是由英国生物统计学家和人类学家钉板试验是由英国生物统计学家和人类学家钉板试验是由英国生物统计学家和人类学家GaltonGalton设计的。故而得名。设计的。故而得名。设计的。故而得名。设计的。故而得名。通过模拟通过模拟通过模拟通过模拟CaltonCalton钉板试验，观察和体会二项分布概率钉板试验，观察和体会二项分布概率钉板试验，观察和体会二项分布概率钉板试验，观察和体会二项分布概率分布列的意义、形象地理解分布列的意义、形象地理解分布列的意义、形象地理解分布列的意义、形象地理解De Moivre-LaplaceDe Moivre-Laplace中心极中心极中心极中心极限定理限定理限定理限定理。共共共共15151515层小钉层小钉层小钉层小钉Ox-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8小球最后落入小球最后落入小球最后落入小球最后落入的格数的格数的格数的格数?记小球向右落下的次数为记小球向右落下的次数为记小球向右落下的次数为记小球向右落下的次数为 则则则则记小球向左落下的次数为记小球向左落下的次数为记小球向左落下的次数为记小球向左落下的次数为 则则则则符号函数符号函数符号函数符号函数,大于大于大于大于0 0 0 0返返返返回回回回1,1,1,1,小于小于小于小于0 0 0 0返回返回返回返回-1,-1,-1,-1,等于等于等于等于0 0 0 0返回返回返回返回0 0 0 0 高尔顿高尔顿高尔顿高尔顿(Francis(Francis(Francis(Francis Galton,1822-Galton,1822-Galton,1822-Galton,1822-1911)1911)1911)1911)英国人类学英国人类学英国人类学英国人类学家和气象学家家和气象学家家和气象学家家和气象学家Ox-8-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8记记记记则则则则近似近似近似近似共共共共15151515层小钉层小钉层小钉层小钉小球碰第小球碰第小球碰第小球碰第 层钉后向右落下层钉后向右落下层钉后向右落下层钉后向右落下小球碰第小球碰第小球碰第小球碰第 层钉后向左落下层钉后向左落下层钉后向左落下层钉后向左落下 模拟模拟Galton钉板试验的步骤：钉板试验的步骤：(1)确定钉子的位置：将钉子的横、纵坐标存储在两个矩阵确定钉子的位置：将钉子的横、纵坐标存储在两个矩阵X和和Y中。中。(2)在在Galton钉板试验中，小球每碰到钉子下落时都具有两种钉板试验中，小球每碰到钉子下落时都具有两种可能性，设向右的概率为可能性，设向右的概率为p，向左的概率为，向左的概率为q1-p，这里，这里p=0.5，表示向左向右的机会是相同的。表示向左向右的机会是相同的。模拟过程如下：首先产生一均匀随机数模拟过程如下：首先产生一均匀随机数u，这只需调用随机数发，这只需调用随机数发生器指令生器指令rand(m,n)。rand(m,n)指令：用来产生指令：用来产生mn个个(0,1)区间中的随机数，并区间中的随机数，并将这些随机数存于一个将这些随机数存于一个mn矩阵中，每次调用矩阵中，每次调用rand(m,n)的结果的结果都会不同。如果想保持结果一致，可与都会不同。如果想保持结果一致，可与rand(seed,s)配合使用，配合使用，这里这里s是一个正整数，例如是一个正整数，例如 rand(seed,1),u=rand(1,6)u=0.5129 0.4605 0.3504 0.0950 0.4337 0.7092而且再次运行该指令时结果保持不变。除非重设种子而且再次运行该指令时结果保持不变。除非重设种子seed的值，如的值，如 rand(seed,2),u=rand(1,6)u=0.0258 0.9210 0.7008 0.1901 0.8673 0.4185这样结果才会产生变化。这样结果才会产生变化。将将0,1区间分成两段，区间区间分成两段，区间0,p)和和p,1。如果随机数。如果随机数u属于属于0,p)，让小球向右落下；若，让小球向右落下；若u属于属于p,1，让小球向左，让小球向左落下。将这一过程重复落下。将这一过程重复n次，并用直线连接小球落下时所经过的次，并用直线连接小球落下时所经过的点，这样就模拟了小球从顶端随机地落人某一格子的过程。点，这样就模拟了小球从顶端随机地落人某一格子的过程。(3)模拟小球堆积的形状。输入扔球次数模拟小球堆积的形状。输入扔球次数m(例如例如m50、100、500等等等等)，计算落在第，计算落在第i个格子的小球数在总球数个格子的小球数在总球数m中所中所占的比例，这样当模拟结束时，就得到了频率占的比例，这样当模拟结束时，就得到了频率 用频率反映小球的堆积形状。用频率反映小球的堆积形状。(4)用如下动画指令制作动画：用如下动画指令制作动画：movien(n)：创建动画矩阵；制作动画矩阵数据；：创建动画矩阵；制作动画矩阵数据；Getframe：拷贝动画矩阵；：拷贝动画矩阵；movie(Mat,m)：播放动画矩阵：播放动画矩阵m次。次。M文件如下：文件如下：解解：clear,clf,m=100;n=5;y0=2;%设置参数ballnum=zeros(1,n+1);p=0.5;q=1-p;for i=n+1:-1:1%创建钉子的坐标x，y x(i,1)=0.5*(n-i+1);y(i,1)=(n-i+1)+y0;for j=2:ix(i,j)=x(i,1)+(j-1)*1;y(i,j)=y(i,1);endendmm=moviein(m);%动画开始，模拟小球下落路径for i=1:m s=rand(1,n);%产生n个随机数 xi=x(1,1);yi=y(1,1);k=1;l=1;%小球遇到第一个钉子 for j=1:nplot(x(1:n,:),y(1:n,:),o,x(n+1,:),y(n+1,:),.-),%画钉子的位置axis(-2 n+2 0 y0+n+1),hold on k=k+1;%小球下落一格 if s(j)p l=l+0;%小球左移 else l=l+1;%小球右移 end xt=x(k,l);yt=y(k,l);%小球下落点的坐标 h=plot(xi,xt,yi,yt);axis(-2 n+2 0 y0+n+1)%画小球运动轨迹 xi=xt;yi=yt;end ballnum(l)=ballnum(l)+1;%计数 ballnum1=3*ballnum./m;bar(0:n,ballnum1),axis(-2 n+2 0 y0+n+1)%画各格子的频率 mm(i)=getframe;%存储动画数据 hold offendmovie(mm,1)%播放动画一次概率密度函数（概率密度函数（pdfpdf），求随机变量），求随机变量X X在在x x点处的概率密度值点处的概率密度值累积分布函数（累积分布函数（cdfcdf），求随机变量），求随机变量X X在在x x点处的分布函数值点处的分布函数值逆累积分布函数（逆累积分布函数（invinv），求随机变量），求随机变量X X在概率点在概率点 处的分处的分 布函数反函数值布函数反函数值均值与方差计算函数（均值与方差计算函数（statstat），求给定分布的随机变量），求给定分布的随机变量X X的的 数学期望数学期望E E（X X）和方差）和方差varvar（X X）。）。随机数生成函数（随机数生成函数（rndrnd），模拟生成指定分布的样本数据。），模拟生成指定分布的样本数据。二、二、MATLAB为常见自然概率分布提供了下列为常见自然概率分布提供了下列5 5类函数：类函数：具体函数的命名规则是：具体函数的命名规则是：具体函数的命名规则是：具体函数的命名规则是：函数名分布类型名称函数名分布类型名称函数名分布类型名称函数名分布类型名称+函数类型名称函数类型名称函数类型名称函数类型名称(pdf(pdf、cdfcdf、invinv、statstat、rnd)rnd)其中，分布类型名称如下：其中，分布类型名称如下：其中，分布类型名称如下：其中，分布类型名称如下：分布类型分布类型分布类型分布类型 MATLAB MATLAB名称名称名称名称正态分布正态分布 norm norm指数分布指数分布 exp exp均匀分布均匀分布 unif unif 分布分布 beta beta 分布分布 gam gam对对数正数正态态分布分布 logn lognrayleighrayleigh分布分布 rayl raylweibull weibull 分布分布 weib weib二项分布二项分布 bino binoPoissonPoisson分布分布 poiss poiss几何分布几何分布 geo geo超几何分布超几何分布 hyge hyge离散均匀分布离散均匀分布 unid unid负二项分布负二项分布 nbin nbin 例如例如例如例如，normpdfnormpdf、normcdfnormcdf、norminvnorminv、normstatnormstat和和和和normrndnormrnd分别是正态分布的概率密分别是正态分布的概率密分别是正态分布的概率密分别是正态分布的概率密度、累积分布、逆累积分布、数字特征和随机数生度、累积分布、逆累积分布、数字特征和随机数生度、累积分布、逆累积分布、数字特征和随机数生度、累积分布、逆累积分布、数字特征和随机数生成函数成函数成函数成函数。关于这关于这5类函数的语法，请详见有关书籍。类函数的语法，请详见有关书籍。快捷的学习可借助快捷的学习可借助MATLAB的系统帮助，通的系统帮助，通过指令过指令doc获得具体函数的详细信息，语法是获得具体函数的详细信息，语法是 doc 例例6 6 到某服务机构办事总是要排队等待的。设等到某服务机构办事总是要排队等待的。设等待时间待时间T T是服从指数分布的随机变量是服从指数分布的随机变量(单位：分钟单位：分钟)，概率密度为，概率密度为设某人一个月内要到此办事设某人一个月内要到此办事1010次，若等待时间超次，若等待时间超过过1515分钟，他就离去。求：分钟，他就离去。求：(1)(1)恰好有两次离去的概率；恰好有两次离去的概率；(2)(2)最多有两次离去的概率；最多有两次离去的概率；(3)(3)至少有两次离去的概率；至少有两次离去的概率；(4)(4)离去的次数占多数的概率离去的次数占多数的概率。解解解解 首先求任一次离去的概率，依题意首先求任一次离去的概率，依题意首先求任一次离去的概率，依题意首先求任一次离去的概率，依题意 设设设设10101010次中离去的次数为次中离去的次数为次中离去的次数为次中离去的次数为X X X X，则，则，则，则 。p=1-expcdf(15,10)%任一次离去的概率p1=binopdf(2,10,p)%恰有两次离去的概率q=binopdf(0:2,10,p);p2=sum(q)%最多有两次离去的概率q=binopdf(0:1,10,p);p3=1-sum(q)%最少有两次离去的概率q=binopdf(0:5,10,p);p4=1-sum(q)%离去的次数占多数的概率 p=0.2231p1=0.2972p2=0.6073p3=0.6899p4=0.0112例例7 7 某一急救中心在长度为某一急救中心在长度为t t的时间间隔内的时间间隔内收到的紧急呼救次数服从参数为收到的紧急呼救次数服从参数为t t2 2的泊松的泊松分布，而与时间间隔的起点无关分布，而与时间间隔的起点无关(时间以小时时间以小时计计)，求：，求：(1)(1)在某一天中午在某一天中午1212时至下午时至下午3 3时没有收时没有收到紧急呼救的概率；到紧急呼救的概率；(2)(2)某一天中午某一天中午1212时至下午时至下午5 5时至少收到时至少收到1 1次紧急呼救的概率。次紧急呼救的概率。（1）P1=poisscdf(0,3/2)P1=0.2231或者 P1=poisspdf(0,3/2)P1=0.2231中午12时到下午3时没有收到紧急呼救的概率为0.2231。（2）P2=1-poisscdf(0,5/2)P2=0.9179中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率为0.9179。解解 本题计算需调用函数本题计算需调用函数poisscdf，其格式为，其格式为poisscdf(x,)，返回返回 的值。的值。例例8 8 某厂研发了一种新产品，现要设计它的包某厂研发了一种新产品，现要设计它的包装箱，要求每箱至少装装箱，要求每箱至少装100100件产品，且开箱验货件产品，且开箱验货时，每箱至少装有时，每箱至少装有100100件合格产品的概率不应小件合格产品的概率不应小于于0.90.9，假设随机装箱时每箱中的不合格产品数，假设随机装箱时每箱中的不合格产品数服从参数为服从参数为3 3的泊松分布。的泊松分布。问：要设计的这种包装箱，每箱至少应装问：要设计的这种包装箱，每箱至少应装多少件产品才能满足要求？多少件产品才能满足要求？解解 设设每箱至少装每箱至少装100+m100+m件产品，件产品，X X表示每箱中的不合格品数，则表示每箱中的不合格品数，则X X 服从参数为服从参数为3 3的泊松分布，即的泊松分布，即 ，依，依题意，即要求按下面的不等式确定题意，即要求按下面的不等式确定m m。clear;clf,m=0;p=0;while p0.90.9。即设计的包装箱每箱至少应装。即设计的包装箱每箱至少应装106106件产品件产品。例例9 9 某种重大疾病的医疗险种，每份每年需某种重大疾病的医疗险种，每份每年需交保险费交保险费100100元，若在这一年中，投保人得了这元，若在这一年中，投保人得了这种疾病，则每份可以得到索赔额种疾病，则每份可以得到索赔额1000010000元，假设元，假设该地区这种疾病的患病率为该地区这种疾病的患病率为0.00020.0002，现该险种，现该险种共有共有1000010000份保单，问：份保单，问：(1)(1)保险公司亏本的概率是多少保险公司亏本的概率是多少?(2)(2)保险公司获利不少于保险公司获利不少于8080万元的概率是多少万元的概率是多少?解解 设设 表示这一年中发生索赔的份数，依题意，表示这一年中发生索赔的份数，依题意，的统计的统计规律可用二项分布规律可用二项分布 来描述。由二项分来描述。由二项分布与泊松分布的近似计算关系有布与泊松分布的近似计算关系有 近似服从参数为近似服从参数为2的泊松分布。的泊松分布。当索赔份数超过当索赔份数超过100份时，则保险公司发生亏本，亏本份时，则保险公司发生亏本，亏本的概率为的概率为 当索赔份数不超过当索赔份数不超过20份时，则保险公司获利就不少份时，则保险公司获利就不少于于80万元，其概率为万元，其概率为 p=poisspdf(0:19,2);%计算出20个泊松分布概率值 或 p=binopdf(0:19,10000,0.0002);%按二项分布计算 p2=sum(p)%求出保险公司获利不少于80万元的概率 p2=1.0000 p=poisspdf(0:100,2);%计算101个泊松分布概率值或 p=binopdf(0:100,10000,0.0002);%按二项分布计算 p1=1-sum(p)%求出保险公司亏本的概率 p1=0.0000 例例1010 设设 ，求，求 ，。本题计算正态分布的累积概率值，调用函数本题计算正态分布的累积概率值，调用函数normcdf，其其格式为格式为normcdf(x,)，返回返回 的值。的值。解：解：p1=normcdf(6,4,3)-normcdf(3,4,3)p1=0.3781 p2=1-normcdf(3,4,3)p2=0.6306例例1111 绘制正态分布的密度函数、分布函数曲线，绘制正态分布的密度函数、分布函数曲线，并求均值与方差。并求均值与方差。解：解：clearmu=2.5;sigma=0.6;x=(mu-4*sigma):0.005:(mu+4*sigma);y=normpdf(x,mu,sigma);f=normcdf(x,mu,sigma);plot(x,y,-g,x,f,:b)M,V=normstat(mu,sigma)legend(pdf,cdf,-1)M=2.5000V=0.3600 从图中可以看出，正态密度曲线是关于从图中可以看出，正态密度曲线是关于x对对称的钟形曲线称的钟形曲线(两侧在两侧在处各有一个拐点处各有一个拐点)，正态，正态累积分布曲线当累积分布曲线当x时时F(x)0.5。例例1212 观察观察正态分布参数对密度曲线的影响。正态分布参数对密度曲线的影响。解：解：clearmu1=2.5;mu2=3;sigma1=0.5;sigma2=0.6;x=(mu2-4*sigma2):0.01:(mu2+4*sigma2);y1=normpdf(x,mu1,sigma1);%考察均值的影响y2=normpdf(x,mu2,sigma1);y3=normpdf(x,mu1,sigma1);%考察方差的影响y4=normpdf(x,mu1,sigma2);subplot(1,2,1)%考察结果的可视化plot(x,y1,-g,x,y2,-b)xlabel(fontsize1212,1=2)legend(1,2)subplot(1,2,2)plot(x,y3,-g,x,y4,-b)xlabel(fontsize121=2,1 clear,clf%（标准）正态分布密度曲线下的面积X=linspace(-5,5,100);Y=normpdf(X,0,1);yy=normpdf(-3,-2,-1,0,1,2,3,0,1);plot(X,Y,k-,0,0,0,yy(4),c-.)hold onplot(-2,-2,0,yy(2),m:,2,2,0,yy(6),m:,-2,-0.5,yy(6),yy(6),m:,0.5,2,yy(6),yy(6),m:)plot(-1,-1,0,yy(3),g:,1,1,0,yy(5),g:,-1,-0.5,yy(5),yy(5),g:,0.5,1,yy(5),yy(5),g:)plot(-3,-3,0,yy(1),b:,3,3,0,yy(7),b:,-3,-0.5,yy(7),yy(7),b:,0.5,3,yy(7),yy(7),b:)hold offtext(-0.5,yy(6)+0.005,fontsize1495.44%)text(-0.5,yy(5)+0.005,fontsize1468.26%)text(-0.5,yy(7)+0.005,fontsize1499.74%)text(-3.2,-0.03,fontsize10-3)text(-2.2,-0.03,fontsize10-2)text(-1.2,-0.03,fontsize10-)text(-0.05,-0.03,fontsize10)text(0.8,-0.03,fontsize10+)text(1.8,-0.03,fontsize10+2)text(2.8,-0.03,fontsize10+3)例例1414 标准正态分布标准正态分布分位数的概念图示。分位数的概念图示。解%分位数示意图（标准正态分布，=0.05）clear,clfdata=normrnd(0,1,300,1);xalpha1=norminv(0.05,0,1);xalpha2=norminv(0.95,0,1);xalpha3=norminv(0.025,0,1);xalpha4=norminv(0.975,0,1);subplot(3,1,1)capaplot(data,-inf,xalpha1);axis(-3,3,0,0.45)subplot(3,1,2)capaplot(data,xalpha2,inf);axis(-3,3,0,0.45)subplot(3,1,3)capaplot(data,-inf,xalpha3);axis(-3,3,0,0.45)hold oncapaplot(data,xalpha4,inf);axis(-3,3,0,0.45)hold offxalpha1 xalpha2 xalpha3 xalpha4xalpha1=-1.6449xalpha2=1.6449xalpha3=-1.9600 xalpha4=1.9600数理统计基础数理统计基础Matlab统计工具箱中常见的统计命令1、基本统计量、基本统计量对于随机变量x，计算其基本统计量的命令如下：均值：mean(x)标准差：std(x)中位数：median(x)方差：var(x)偏度：skewness(x)峰度：kurtosis(x)2、频数直方图的描绘、频数直方图的描绘A、给出数组data的频数表的命令为：N,X=hist(data,k)此命令将区间min(data),max(data)分为k个小区间(缺省为10)，返回数组data落在每一个小区间的频数N和每一个小区间的中点X。B、描绘数组data的频数直方图的命令为：hist(data,k)3、参数估计、参数估计A、对于正态总体，点估计和区间估计可同时由以下命令获得：muhat,sigmahat,muci,sigmaci=normfit(x,alpha)此命令在显著性水平alpha下估计x的参数（alpha缺省值为5%），返回值muhat是均值的点估计值，sigmahat是标准差的点估计值，muci是均值的区间估计，sigmaci是标准差的区间估计。B、对其他分布总体，两种处理办法：一是取容量充分大的样本，按中心极限定理，它近似服从正态分布，仍可用上面估计公式计算；二是使用特定分布总体的估计命令，常用的命令如：muhat,muci=expfit(x,alpha)lambdahat,lambdaci=poissfit(x,alpha)phat,pci=weibfit(x,alpha)4、正态总体假设检验、正态总体假设检验A、单总体均值的z检验：h,sig,ci=ztest(x,m,sigma,alpha,tail)检验数据x关于总体均值的某一假设是否成立，其中sigma为已知方差，alpha为显著性水平，究竟检验什么假设取决于tail的取值：tail=0，检验假设“x的均值等于m”tail=1，检验假设“x的均值大于m”tail=-1，检验假设“x的均值小于m”tail的缺省值为0，alpha的缺省值为5%。返回值h为一个布尔值，h=1表示可拒绝原假设，h=0表示不可拒绝原假设，sig为假设成立的概率，ci为均值的1-alpha置信区间。B、单总体均值的t检验：h,sig,ci=ttest(x,m,alpha,tail)C、双总体均值的t检验：h,sig,ci=ttest2(x,y,alpha,tail)5、非参数检验：总体分布的检验、非参数检验：总体分布的检验Matlab统计工具箱提供了两个对总体分布进行检验的命令：A、h=normplot(x)此命令显示数据矩阵x的正态概率图，如果数据来自于正态分布，则图形显示出直线形态，而其他概率分布函数显示出曲线形态。B、h=weibplot(x)此命令显示数据矩阵x的Weibull概率图，如果数据来自于Weibull分布，则图形显示出直线形态，而其他概率分布函数显示出曲线形态。例例1515 一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等会出现故障。故障是完全随机的，并假定生产任一零件时出坏等会出现故障。故障是完全随机的，并假定生产任一零件时出坏等会出现故障。故障是完全随机的，并假定生产任一零件时出坏等会出现故障。故障是完全随机的，并假定生产任一零件时出现故障机会均相同，工作人员是通过检查零件来确定工序是否出现故障机会均相同，工作人员是通过检查零件来确定工序是否出现故障机会均相同，工作人员是通过检查零件来确定工序是否出现故障机会均相同，工作人员是通过检查零件来确定工序是否出现故障的。现积累有现故障的。现积累有现故障的。现积累有现故障的。现积累有100100次故障纪录，故障出现时该刀具完成次故障纪录，故障出现时该刀具完成次故障纪录，故障出现时该刀具完成次故障纪录，故障出现时该刀具完成的零件数如下：的零件数如下：的零件数如下：的零件数如下：459 362 624 542 509 584 433 748 815 459 362 624 542 509 584 433 748 815 505505 612 452 434 982 640 742 565 706 593 680 926 612 452 434 982 640 742 565 706 593 680 926 653 164 487 734 608 428 1153 593 844 527 552 513 653 164 487 734 608 428 1153 593 844 527 552 513 781 474 388 824 538 862 659 775 859 755 49 697 781 474 388 824 538 862 659 775 859 755 49 697 515 628 954 771 609 402 960 885 610 292 837 473 515 628 954 771 609 402 960 885 610 292 837 473 677 358 638 699 634 555 570 84 416 606 1062 484 677 358 638 699 634 555 570 84 416 606 1062 484 120 447 654 564 339 280 246 687 539 790 581 621 120 447 654 564 339 280 246 687 539 790 581 621 724 531 512 577 496 468 499 544 645 764 558 378 724 531 512 577 496 468 499 544 645 764 558 378 765 666 763 217 715 310 851765 666 763 217 715 310 851试观察该刀具出现故障时完成的零件数属于哪种分布？试观察该刀具出现故障时完成的零件数属于哪种分布？试观察该刀具出现故障时完成的零件数属于哪种分布？试观察该刀具出现故障时完成的零件数属于哪种分布？%数据输入x1=459 362 624 542 509 584 433 748 815 505;x2=612 452 434 982 640 742 565 706 593 680;x3=926 653 164 487 734 608 428 1153 593 844;x4=527 552 513 781 474 388 824 538 862 659;x5=775 859 755 49 697 515 628 954 771 609;x6=402 960 885 610 292 837 473 677 358 638;x7=699 634 555 570 84 416 606 1062 484 120;x8=447 654 564 339 280 246 687 539 790 581;x9=621 724 531 512 577 496 468 499 544 645;x10=764 558 378 765 666 763 217 715 310 851;x=x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10;%作频数直方图hist(x,10)N,X=hist(x,10)%分布的正态性检验normplot(x)N=3 3 7 14 24 22 14 8 3 2X=1.0e+003*0.1042 0.2146 0.3250 0.4354 0.5458 0.6562 0.7666 0.8770 0.9874 1.0978%参数估计muhat,sigmahat,muci,sigmaci=normfit(x)muhat=594sigmahat=204.1301muci=553.4962 634.5038sigmaci=179.2276 237.1329刀具寿命服从正态分布，均值估计值为刀具寿命服从正态分布，均值估计值为594，方差估计值，方差估计值为为204.1301，均值的，均值的95%置信区间为置信区间为553.4962，634.5038，方差的，方差的95%置信区间为置信区间为179.2276，237.1329%假设检验h,sig,ci=ttest(x,594)%已知刀具寿命服从正态分布，方差未知的情况下，检验寿命均值是否等于594。h=0sig=1ci=553.4962 634.5038检验结果：布尔变量检验结果：布尔变量h=0，表示不可拒绝原假设，说明假设，表示不可拒绝原假设，说明假设寿命均值等于寿命均值等于594是合理的。是合理的。95%置信区间为置信区间为553.4962，634.5038完全包括完全包括594，估计精度较高。，估计精度较高。sig=1远超过远超过0.05，不可拒绝原假设，不可拒绝原假设所以可以认为刀具平均寿命为所以可以认为刀具平均寿命为594（件）（件）例例16 16 用模拟试验的方法直观地验证教材用模拟试验的方法直观地验证教材6.26.2抽抽样分布定理一的结论。样分布定理一的结论。假定变量假定变量假定变量假定变量 ，用随机数生成的方法模，用随机数生成的方法模，用随机数生成的方法模，用随机数生成的方法模拟对拟对拟对拟对 的的的的500500500500次简单随机抽样，每个样本的容量为次简单随机抽样，每个样本的容量为次简单随机抽样，每个样本的容量为次简单随机抽样，每个样本的容量为16161616。利用这利用这利用这利用这50016500165001650016个样本数据直观地验证样本均值个样本数据直观地验证样本均值个样本数据直观地验证样本均值个样本数据直观地验证样本均值 的抽的抽的抽的抽样分布为均值等于样分布为均值等于样分布为均值等于样分布为均值等于60606060、方差等于、方差等于、方差等于、方差等于2525252516161616的正态分布，即的正态分布，即的正态分布，即的正态分布，即解%1、用随机数生成的方法模拟简单随机抽样、用随机数生成的方法模拟简单随机抽样x=;%生成一个存放样本数据的空表（维数可变的动态矩阵）for byk=1:500%循环控制，循环执行下面的指令500次，本例中相当于500次抽样 xx=normrnd(60,5,16,1);%生成一个来自N(60,25)的容量为16 的样本（列向量）x=x,xx;%将样本数据逐列存入数表x，可从matlab的变量浏览器（workspace）中观察这个数表end%2、计算每个样本的样本均值（、计算每个样本的样本均值（1500）xmean=mean(x);%可从变量浏览器中观察这500个数据%3、绘制、绘制500个样本均值数据的直方图个样本均值数据的直方图k=ceil(1.87*(length(x)-1)(2/5);%确定分组数h=histfit(xmean,k);%绘制附正态参考曲线的数据直方图set(h(1),FaceColor,c,EdgeColor,w)%修饰，设置直方图线条颜色与填充色%4、用这、用这500个样本均值数据验证样本均值的均值和方差个样本均值数据验证样本均值的均值和方差M=mean(xmean)%求（1500）样本的样本均值的均值V=var(xmean)%求（1500）样本的样本均值的方差M=59.9879V=1.4129M=60.0117V=1.3900M=59.9749V=1.5158M=59.9929V=1.5757M=59.8809V=1.6855例例17 17 观察：用观察：用binornd模拟模拟5000次投球过程，次投球过程，观察小球堆积的情况。观察小球堆积的情况。clear;clf,n=5;p=0.5;m=5000;x=0:1:nrand(seed,3)R=binornd(n,p,1,m);%模拟服从二项分布的随机数，相当于模拟 投球m次for I=1:n+1%开始计数 k=;k=find(R=(I-1);%find是一个有用的指令，本语句的作用是找出R中等于(I-1)元素下标，并赋予向量k中 h(I)=length(k)/m;%计算落于编号(I-1)的格子中的小球频率endbar(x,h),axis(-1 6 0 1)%画频率图title(fontsize18fontname华文新魏5000次投球小球堆积的频率图)f=binopdf(x,n,p),bar(x,f),axis(-1 6 0 1)title(fontsize18fontname华文新魏B(5,0.5)理论分布图)例例18 利用随机数样本验证中心极限定理。利用随机数样本验证中心极限定理。独立同分布的随机变量的和的极限分布服从正态独立同分布的随机变量的和的极限分布服从正态分布，通过产生容量为分布，通过产生容量为n的的poiss分布和分布和exp分布的分布的样本，研究其和的渐近分布。样本，研究其和的渐近分布。算法如下：算法如下：产生容量为产生容量为n的独立同分布的随机数样本，得其均值和的独立同分布的随机数样本，得其均值和标准差；标准差；将随机数样本和标准化；将随机数样本和标准化；重复重复、；验让所得标准化的随机数样本和是否服从标准正态分布。验让所得标准化的随机数样本和是否服从标准正态分布。具体程序如下：具体程序如下：clearn=2000;means=0;s=0;y=;lamda=4;a=lamda;for i=1:n r=poissrnd(a,n,1);%可换成r=exprnd(a,n,1)；means=mean(r);%计算样本均值 s=std(r);%计算样本标准差 y(i)=sqrt(n).*(means-a)./sqrt(s);endnormplot(y);%分布的正态性检验title(poiss分布，中心极限定理)例例19 19 在同一坐标轴上画在同一坐标轴上画boxbox图，并对两个班的成绩图，并对两个班的成绩进行初步的分析比较。进行初步的分析比较。两个教学班各两个教学班各两个教学班各两个教学班各30303030名同学，在数学课程上，名同学，在数学课程上，名同学，在数学课程上，名同学，在数学课程上，A A A A班用新教学方法组班用新教学方法组班用新教学方法组班用新教学方法组织教学，织教学，织教学，织教学，B B B B班用传统方法组织教学，现得期末考试成绩如下。班用传统方法组织教学，现得期末考试成绩如下。班用传统方法组织教学，现得期末考试成绩如下。班用传统方法组织教学，现得期末考试成绩如下。A A A A：82828282，92929292，77777777，62626262，70707070，36363636，80808080，100100100100，74747474，64646464，63636363，56565656，72727272，78787878，68686868，65656565，7272727270707070，58585858，92929292，79,9279,9279,9279,92，65656565，56565656，85858585，73737373，61616161，71717171，42424242，89898989 B B B B：57575757，67676767，64646464，54545454，77777777，65656565，71717171，58585858，59595959，69696969，67676767，84848484，63636363，95959595，81818181，46464646，49,60,6449,60,6449,60,6449,60,64，66666666，74747474，55555555，58585858，63636363，65656565，68686868，76767676，72727272，48484848，72727272解解解解 clear clearx=82,92,77,62,70,36,80,100,74,64,63,56,72,78,68,6x=82,92,77,62,70,36,80,100,74,64,63,56,72,78,68,65,72,70,58,92,79,92,65,56,85,73,61,71,42,89;57,67,5,72,70,58,92,79,92,65,56,85,73,61,71,42,89;57,67,64,54,77,65,71,58,59,69,67,84,63,95,81,46,49,60,64,64,54,77,65,71,58,59,69,67,84,63,95,81,46,49,60,64,66,74,55,58,63,65,68,76,72,48,72;66,74,55,58,63,65,68,76,72,48,72;boxplot(x)boxplot(x)从图中直观地看出，两个班成绩的分布是正态（对称）从图中直观地看