有限元总结讲义课件

有限元方法有限元方法是一种有效的是一种有效的近近似求解似求解方法。方法。其其基本思想：假想地对求解：假想地对求解区域离散分解为区域离散分解为一定形状有限数一定形状有限数量量的小区域（即的小区域（即单元单元），彼此之），彼此之间只在一定数量的指定点（即间只在一定数量的指定点（即节节点点）处相互连接，组成一个单元）处相互连接，组成一个单元的集合体以替代原来的连续体；的集合体以替代原来的连续体；只要求得各节点的只要求得各节点的位移位移，即能根，即能根据相应的数值方法近似求得区域据相应的数值方法近似求得区域内的其它各场量的分布。内的其它各场量的分布。有限元法分析有限元法分析的基本过程的基本过程 1 1、结构的离散化、结构的离散化 2 2、单元特性分析、单元特性分析 3 3、计算单元刚度矩阵、计算单元刚度矩阵4 4、单元集成、单元集成5 5、施加边界条件、施加边界条件6 6、求解位移、求解位移7 7、求解应力应变等场量、求解应力应变等场量一般一般有限元软件有限元软件分析过程：分析过程：前处理前处理 分析计算分析计算 后处理后处理有限元分析的作用有限元分析的作用有限元有限元法法可有效可有效进行进行复杂复杂工程工程分析分析计算计算，在机械制造、材料加工、航空航天、汽车、土木建筑、电子电器、国防军工、船舶、铁道、石化、能源和科学研究等领域应用广泛1，进行零件强度和残余应力分析进行零件强度和残余应力分析，确保产品设计的合理，确保产品设计的合理性，减少设计成本性，减少设计成本;2，借助计算机软件分析，借助计算机软件分析，缩短设计和分析的循环周期缩短设计和分析的循环周期;3，预测预测复杂形状复杂形状工件的组织分布和机械性能工件的组织分布和机械性能4，采用优化设计，找出产品设计最佳方案，降低材料的，采用优化设计，找出产品设计最佳方案，降低材料的消耗或成本消耗或成本;5，在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题，在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题6，模拟各种试验方案，减少试验时间和经费，模拟各种试验方案，减少试验时间和经费;7，进行机械事故分析，查找事故原因。，进行机械事故分析，查找事故原因。划分网格划分网格原则原则划分网格划分网格是建立有限元模型的一个重要环节，它要求考虑的问题较多，需要的工作量较大，所划分的网格形式对计算精度和计算规模将产生直接影响。为建立正确、合理的有限元模型，这里介绍划分网格时应考虑的一些基本原则（影响因素）。1 网格数量网格数量2 网格疏密网格疏密3 单元阶次单元阶次4 网格质量网格质量5 网格分界面和分界点网格分界面和分界点6 位移协调性位移协调性7 网格布局网格布局8 节点和单元编号节点和单元编号1 网格数量网格数量 在决定网格数量时应考虑具体分析类型在决定网格数量时应考虑具体分析类型，权衡计算精度和计算权衡计算精度和计算时间时间综合考虑。综合考虑。如：如：在静力分析时，如果仅仅是计算结在静力分析时，如果仅仅是计算结构的变形，网格数量可以少一些；如果要计算构的变形，网格数量可以少一些；如果要计算应力，在精度要求相同的情况下应取相对较多应力，在精度要求相同的情况下应取相对较多的网格的网格。在热分析中，结构内部的温度梯度不大，不需在热分析中，结构内部的温度梯度不大，不需要大量的内部单元，这时可划分较少的网格要大量的内部单元，这时可划分较少的网格。在计算结构固有动力特性时，若仅仅是计在计算结构固有动力特性时，若仅仅是计算少数低阶模态，可以选择较少的网格算少数低阶模态，可以选择较少的网格。2 网格疏密网格疏密 网格疏密是指在结构不同部位采用大小不网格疏密是指在结构不同部位采用大小不同的网格，以适应计算数据的分布特征。同的网格，以适应计算数据的分布特征。在计算数据变化梯度较大的部位在计算数据变化梯度较大的部位(如应力集如应力集中处中处)，为了较好地反映数据变化规律，需要采，为了较好地反映数据变化规律，需要采用比较密集的网格。用比较密集的网格。在计算数据变化梯度较小的部位，为减小模在计算数据变化梯度较小的部位，为减小模型规模，则应划分相对稀疏的网格。型规模，则应划分相对稀疏的网格。这样，整个结构便表现出疏密不同的网格这样，整个结构便表现出疏密不同的网格划分形式。划分形式。3 单元阶次单元阶次 当结构形状不规则、应力分布或变形很复杂时可以当结构形状不规则、应力分布或变形很复杂时可以选用高阶单元。选用高阶单元。在使用时应权衡考虑计算精度和时间。在使用时应权衡考虑计算精度和时间。同一结构可以采用不同阶次的单元同一结构可以采用不同阶次的单元。即精度要求高即精度要求高的重要部位用高阶单元，精度要求低的次要部位用低的重要部位用高阶单元，精度要求低的次要部位用低阶单元。阶单元。不同阶次单元之间或采用不同阶次单元之间或采用特殊的过渡单元特殊的过渡单元连接，或连接，或采用采用多点约束多点约束等式连接。等式连接。4 网格质量网格质量 网格质量是指网格几何形状的合理性。质量好坏将影响计算精度。质量太差的网格甚至会中止计算。直观上看，直观上看，网格网格各边各边或或各个内角相差不大各个内角相差不大、网格面不网格面不过分扭曲过分扭曲、边节点位于边界等份点附近边节点位于边界等份点附近的网格质量较的网格质量较好。好。在重点研究的结构关键部位，应保证划分高在重点研究的结构关键部位，应保证划分高质量网格质量网格，即使是个别质量很差的网格也会引，即使是个别质量很差的网格也会引起很大的局部误差。起很大的局部误差。而而在结构次要部位，网格质量可适当降低在结构次要部位，网格质量可适当降低。当模型中存在质量很差的网格当模型中存在质量很差的网格(称为畸形网格称为畸形网格)时，计算过程将无法进行。时，计算过程将无法进行。5 网格分界面和分界点网格分界面和分界点 结构中的一些结构中的一些特殊界面特殊界面和和特殊点特殊点应分为应分为网格边界网格边界或或节点节点，以便定义材料特性、物理特性、载荷和位移，以便定义材料特性、物理特性、载荷和位移约束条件。约束条件。常见的特殊界面和特殊点有常见的特殊界面和特殊点有材料分界面材料分界面、几何尺寸突变面几何尺寸突变面、分布载荷分界线分布载荷分界线(点点)、集中集中载荷作用点载荷作用点和和位移约束作用点位移约束作用点等。等。6 位移协调性位移协调性 位移协调是指单元上的力和力矩能够通过节点传位移协调是指单元上的力和力矩能够通过节点传递相邻单元。递相邻单元。为保证位移协调，一个单元的节点必须同时也是为保证位移协调，一个单元的节点必须同时也是相邻单元的节点，而不应是内点或边界点。相邻单元的节点，而不应是内点或边界点。相邻单元相邻单元的共有节点具有相同的自由度性质。否则，单元之间的共有节点具有相同的自由度性质。否则，单元之间须用多点约束等式或约束单元进行约束处理。须用多点约束等式或约束单元进行约束处理。7 7 网格布局网格布局 当结构形状对称时，其网格也应划分对称网格，当结构形状对称时，其网格也应划分对称网格，以使模型表现出相应的对称特性以使模型表现出相应的对称特性.8 8 节点和单元编号节点和单元编号 节点和单元的编号影响结构总刚矩阵的带宽和波节点和单元的编号影响结构总刚矩阵的带宽和波前数前数，因而影响计算时间和存储容量的大小，因而影响计算时间和存储容量的大小，因此因此合合理的编号有利于提高计算速度理的编号有利于提高计算速度。边界条件边界条件建立建立边界上的物理量边界上的物理量与与内内部物理量部物理量间的关系。间的关系。是是力学计算模型力学计算模型建立的重要环节。建立的重要环节。边界条件边界条件边边界界分分类类（1）面（应）力边界）面（应）力边界（2）位移边界）位移边界（3）混合边界）混合边界xyOqP 弹性体的表面，应力分量必须与表面力弹性体的表面，应力分量必须与表面力满足面力边界条件，维持弹性体表面的平衡。满足面力边界条件，维持弹性体表面的平衡。边界面力已知边界面力已知 S S 面（应）力边界条件面（应）力边界条件 确定的是弹性体表面外力与弹性确定的是弹性体表面外力与弹性体内部趋近于边界的应力分量的关系。体内部趋近于边界的应力分量的关系。位移位移边界条件边界条件 就是弹性体表面的就是弹性体表面的变形协调，弹性体变形协调，弹性体临近临近表面的位移与已知边界位移相等表面的位移与已知边界位移相等13面（应）边界条件面（应）边界条件给定面力分量给定面力分量 边界边界 应力边界应力边界ZXYN面力边界条件面力边界条件描述弹性体表面的平衡，描述弹性体表面的平衡，平衡微分方程平衡微分方程描述弹性体内部的平衡。描述弹性体内部的平衡。这种平衡只是这种平衡只是静力学可能的平衡静力学可能的平衡。真正处于平衡状态的弹性体，还必须满足真正处于平衡状态的弹性体，还必须满足变变形连续条件形连续条件。边界位移已知边界位移已知位移边界条件位移边界条件S Su u 位移边界条件位移边界条件就是弹性体表面的就是弹性体表面的变形协变形协调调弹性体临近表面的位移与已知边界位移相等弹性体临近表面的位移与已知边界位移相等 16几种常见的位移边界几种常见的位移边界铰链：支撑方向位移为零；铰链：支撑方向位移为零；球铰：三个方向位移为零；球铰：三个方向位移为零；固定端：三个方向位移为零，固定端：三个方向位移为零，法线转角为零。法线转角为零。混合边界条件混合边界条件弹性体边界弹性体边界 S SS S S Su u部分边界位移已知部分边界位移已知位移边界位移边界S Su u 部分边界面力已知部分边界面力已知面力边界面力边界S S 不论是不论是面力边界条件面力边界条件，位移边界条位移边界条件件，还是，还是混合边界条件混合边界条件，任意边界的边界条，任意边界的边界条件数必须等于件数必须等于3 3个。个。21xyahhbbq例例OqlFxyy=0边界面上边界面上OqlFxyy=xtg边界面上边界面上2424(1)ABCxyhp(x)p0lAB段（段（y=0）：）：代入边界条件公式，有代入边界条件公式，有(2)BC段（段（x=l）：）：(3)AC段（段（y=x tan）:N(4)例例例例1 如图所示，试写出其边界条件。如图所示，试写出其边界条件。(1)ABCxyhp(x)p0lAB段（段（y=0）：）：代入边界条件公式，有代入边界条件公式，有(2)BC段（段（x=l）：）：(3)AC段（段（y=x tan）:N固定端应变为固定端应变为0例例2 图示水坝，试写出其边界条件。图示水坝，试写出其边界条件。左侧面：左侧面：由应力边界条件公式，有由应力边界条件公式，有右侧面：右侧面：例例3图示薄板，在图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点证明在板中间突出部分的尖点A处无应处无应力存在。力存在。解：解：平面应力问题，在平面应力问题，在 AC、AB 边界上无面边界上无面力作用。即力作用。即AB 边界：边界：由应力边界条件公式，有由应力边界条件公式，有（1）AC 边界：边界：代入应力边界条件公式，有代入应力边界条件公式，有（2）A 点同处于点同处于 AB 和和 AC 的边界，的边界，满足式（满足式（1）和（）和（2），解得），解得 A 点处无应力作用点处无应力作用例例4图示楔形体，试写出其边界条件。图示楔形体，试写出其边界条件。上侧：上侧：下侧：下侧：图示构件，试写出其应力边界条件。图示构件，试写出其应力边界条件。例例5上侧：上侧：下侧：下侧：N例例6、7 混合边界条件混合边界条件图图(a)：位移边界条件位移边界条件 应力边界条件应力边界条件图图(b)：位移边界条件位移边界条件 应力边界条件应力边界条件几何方程几何方程本构方程本构方程 虎克定律虎克定律平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题平面应力问题平面应力问题弹性矩阵弹性矩阵D弹性矩阵弹性矩阵平面应变问题平面应变问题弹性矩阵弹性矩阵DE三角形三节点单元刚度分析三角形三节点单元刚度分析x形状函数形状函数 单元单元(e)有三个节点，六个有三个节点，六个位移分量。位移分量。e=ul vl um vm un vnT 单元内任意一点位移在单元内任意一点位移在一般受力条件下是难以求得一般受力条件下是难以求得的，当单元很小时，位移可的，当单元很小时，位移可以设想通过以设想通过某种插值某种插值，以其，以其节点的位移节点的位移值表示出来。值表示出来。yvn(e)unvmumvlullnm节点节点l、m、n 逆时针方向编号逆时针方向编号位移模式位移模式采用坐标采用坐标x、y 的的多项式多项式的位移模式的位移模式矩阵形式矩阵形式l 点满足位移模式点满足位移模式 节点节点l,m,n的坐标分别为的坐标分别为(xl,yl)、(xm,ym)、(xn,yn),),节点位移为节点位移为(ul,vl)、(um,vm)、(un,vn)。m、n点也满足位移模式。点也满足位移模式。形状函数矩阵形状函数矩阵形（状）函数形（状）函数 是节点三角是节点三角形形lmn的面积，为了的面积，为了保证求得的面积为正保证求得的面积为正值，节点值，节点l,m,n的的编排次序必须是逆时编排次序必须是逆时针方向。针方向。取取bi，ci为为节点坐节点坐标的差标的差值与节值与节点位置点位置无关。无关。单元的应力与应变单元的应力与应变单元应变矩阵单元应变矩阵 应变矩阵分块表示应变矩阵分块表示 单元应变单元应变应变应变物理意义：物理意义：单位位移单位位移对单元内应变的贡献对单元内应变的贡献三节点单元三节点单元B为常数矩阵为常数矩阵应变为常数应变为常数应力应力单元应力矩阵单元应力矩阵 物理意义：物理意义：单位位移对单元内应力的贡献单位位移对单元内应力的贡献应力为常数应力为常数三角形单元内的三角形单元内的应力应变为常值应力应变为常值，而在一般情况下，结构中各，而在一般情况下，结构中各单元应力应变值是不同的单元应力应变值是不同的；故单元间位移虽然连续，但应力应；故单元间位移虽然连续，但应力应变变不一定连续，存在突变不一定连续，存在突变。实际结构的应力应变场也应该是连。实际结构的应力应变场也应该是连续的，显然这是续的，显然这是有限元近似方法所带来的矛盾有限元近似方法所带来的矛盾。但直观地理解，。但直观地理解，结构划分的单元数量结构划分的单元数量越多越多，单元，单元越小越小，实际结构在小单元内的，实际结构在小单元内的应力也应变越均匀，且近似于常值。所以，当三角形单元足够应力也应变越均匀，且近似于常值。所以，当三角形单元足够小时，单元内的常应力应变是可取的，单元间应力应变变化不小时，单元内的常应力应变是可取的，单元间应力应变变化不大，能趋近于真实解。大，能趋近于真实解。单元刚度矩阵单元刚度矩阵用虚功原理来建立结点力和结点位移间的关系式，从而得出三角用虚功原理来建立结点力和结点位移间的关系式，从而得出三角形单元的刚度矩阵。形单元的刚度矩阵。节点力列向量节点力列向量节点虚位移节点虚位移单元内虚应变单元内虚应变虚功原理：节点力在虚位移上所做的功等于内力在相应虚变形上所做的虚功。虚功原理：节点力在虚位移上所做的功等于内力在相应虚变形上所做的虚功。节点力在虚位移上所做的功节点力在虚位移上所做的功单元内的应力在虚应变上所做的功单元内的应力在虚应变上所做的功B,DB,D是常量。单元厚度是常量。单元厚度t t也是常量时，也是常量时，用分块矩阵形式表示用分块矩阵形式表示对于平面应力问题对于平面应力问题:平面问题的平面问题的keke中元素中中元素中，b，c只取决只取决于坐标差值，于坐标差值，与单元位置无与单元位置无关关当当 ，其它位，其它位移都为移都为0时，时，i 节点的节点的节点力为节点力为 ;即即kij是是j节点的位移对节点的位移对i节节点的节点载荷的贡献点的节点载荷的贡献对于等腰直角三角形对于等腰直角三角形xl=d xm=0 xn=0 yl=0 ym=d yn=0al=0 am=0 an=d 2 bl=d bm=0 bn=-dcl=0 cm=d cn=-d =1/2d 2可以验证完全可以验证完全满足形状函数满足形状函数的各种性质的各种性质yxl(d，0)m(0，d)n(0，0)p形状函数形状函数应变矩阵应变矩阵应力矩阵应力矩阵（对称）（对称）单元刚度矩阵单元刚度矩阵节点力和位移为节点力和位移为e=ul vl um vm un vnTpe=pxl pyl pxm pym pxn pynT与边长无关，只与与边长无关，只与材料物理性质有关材料物理性质有关假定节点位移为假定节点位移为e=ul vl um vm un vnT=1 0 0 0 0 0T单元内任意任意一点位移为单元内任意任意一点位移为xl(d，0)ym(0，d)n(0，0)u单元内应变为单元内应变为单元内应力为单元内应力为单元节点力为单元节点力为单元节点力是平衡单元节点力是平衡的，满足平衡方程的，满足平衡方程说明说明1：单元刚度矩阵是奇异的单元刚度矩阵是奇异的节点力节点力pe的集中力作用的集中力作用 节点位移节点位移e 单元应变单元应变说明说明2：单元应变单元应变 单元均匀应力场单元均匀应力场ypp p pxlmn节点力集中力作用下的平衡节点力集中力作用下的平衡单元边界应力作用下的平衡单元边界应力作用下的平衡有限元近似有限元近似带来的矛盾带来的矛盾实际结构，边界相连，分布作用力；实际结构，边界相连，分布作用力；有有限元近似，虚构节点相连与节点力，等限元近似，虚构节点相连与节点力，等效代替单元间的边界相连与分布作用力。效代替单元间的边界相连与分布作用力。有限单元组合近似代替实际结构，单元有限单元组合近似代替实际结构，单元越小近似程度越高。越小近似程度越高。51例例 如图所示悬臂深梁，在右端面作用着均布拉力，其合力为如图所示悬臂深梁，在右端面作用着均布拉力，其合力为P P。采用如图所。采用如图所示的简单网格，设示的简单网格，设=1/3，厚度，厚度为t。试求求节点位移。点位移。52单元单元1 1：单元贡献矩阵：单元贡献矩阵：单元刚度矩阵：单元刚度矩阵：53单元单元2 2：单元贡献矩阵：单元贡献矩阵：单元刚度矩阵：单元刚度矩阵：54总刚度矩阵：总刚度矩阵：55载荷列阵为：载荷列阵为：位移列阵为：位移列阵为：形成有限元基本方程：形成有限元基本方程：单元的选择单元的选择(a)(a)三结点三角形单元三结点三角形单元 (b)(b)四结点正方形单元四结点正方形单元 (c)(c)四结点矩形单元四结点矩形单元 (d)(d)四结点四边形单元四结点四边形单元n 一般首选三角形单元，因为适用任意边界。一般首选三角形单元，因为适用任意边界。n 不同材料，不同厚度应用不同单元。不同材料，不同厚度应用不同单元。n 任意一个三角形单元顶点，必须同时也是其它相邻三角形单元的顶任意一个三角形单元顶点，必须同时也是其它相邻三角形单元的顶点，而不能是相邻三角形单元边上的点。点，而不能是相邻三角形单元边上的点。应力应力单元应力矩阵单元应力矩阵 物理意义：物理意义：单位位移对单元内应力的贡献单位位移对单元内应力的贡献应力为常数应力为常数三角形单元三角形单元内的内的应力应变为常值应力应变为常值，而在一般情况下，结构中各，而在一般情况下，结构中各单元应力应变值是不同的单元应力应变值是不同的；故单元间位移虽然连续，但应力应；故单元间位移虽然连续，但应力应变变不一定连续，存在突变不一定连续，存在突变。当三角形单元足够小时，单元内的。当三角形单元足够小时，单元内的常应力应变是可取的，单元间应力应变变化不大，能趋近于真常应力应变是可取的，单元间应力应变变化不大，能趋近于真实解。实解。在上式表示的位移模式中，a1,a2,a3,a5,a6,a7，a8反映了单元的刚体位移和常应变。在单元的边界(x=a或y=b)上（或），位移是按线性分布的。因此，相邻单元在公共边上的位移是连续的。这样，位移模式满足了解答收敛性的充分条件。ijlmxyaabb图7-3在式中代入节点位移和节点坐标后，可解出六节点三角形单元（2次单元，完整的二次多项式）这种单元的应变在两个坐标方向上都呈线性变化，应力也呈线性变化。因此，单元精度较三节点三角形单元高。2D高次多项式进行位移函数的插值十节点三角形单元 这种单元为三次单元，位移模式是完全的三次多项式，单元的应变和应力是二次函数。因此，单元精度较六节点三角形单元高。