狭义相对论基础课件

狭义相对论基础狭义相对论基础 狭义相对论基础18.1 经典力学的相对原理和时空观经典力学的相对原理和时空观一一.经典力学的相对性原理经典力学的相对性原理 力学现象对所有力学现象对所有惯性系惯性系，都遵循同样的规律，都遵循同样的规律研究力学规律时，所有的研究力学规律时，所有的惯性系惯性系都是等价的都是等价的静止静止匀速匀速物块物块两者的运动规律是相同的两者的运动规律是相同的 合外力合外力F=0静止静止匀速运动匀速运动以车子为参照系以车子为参照系以地球为参照系以地球为参照系8.1 经典力学的相对原理和时空观一.经典力学的相对性2两个参考系两个参考系（约定系统）（约定系统）重合时，重合时，计时开始。计时开始。如图，如图，S，S相应坐相应坐标轴保持平行，标轴保持平行，X，X 轴重合，轴重合，S 相对相对 S 以以速度速度 u 沿轴作匀速直沿轴作匀速直线运动。线运动。伽利略相对性原理伽利略相对性原理伽利略相对性原理伽利略相对性原理两个参考系（约定系统）重合时，计时开始。如图，S，S3事件：事件：t 时刻，物体到达时刻，物体到达 P 点点伽利略变换伽利略变换伽利略相对性原理伽利略相对性原理伽利略相对性原理伽利略相对性原理事件：伽利略变换伽利略相对性原理4变换分量式变换分量式速度变换速度变换正变换正变换逆变换逆变换伽利略相对性原理伽利略相对性原理伽利略相对性原理伽利略相对性原理变换分量式速度变换正变换逆变换伽利略相对性原理5加速度变换加速度变换正正逆逆惯性系惯性系在两个惯性系中在两个惯性系中同一质点在两个不同惯性系中的加速度总是相同的。同一质点在两个不同惯性系中的加速度总是相同的。伽利略相对性原理伽利略相对性原理伽利略相对性原理伽利略相对性原理速度变换速度变换加速度变换正逆惯性系在两个惯性系中同一质点在两个不同惯性系中6牛顿力学中：牛顿力学中：相互作用是客观的，力与参考系无关。相互作用是客观的，力与参考系无关。质量的测量与运动无关。质量的测量与运动无关。据伽利略变换据伽利略变换伽利略相对性原理伽利略相对性原理伽利略相对性原理伽利略相对性原理伽利略相对性原理伽利略相对性原理牛顿力学中：相互作用是客观的，力与参考系无关。质量的测量与运7宏观低速物体的力学规律在任何惯性系中形式相同宏观低速物体的力学规律在任何惯性系中形式相同或或 牛顿力学规律在伽利略变换下形式不变牛顿力学规律在伽利略变换下形式不变或或 牛顿力学规律是伽利略不变式牛顿力学规律是伽利略不变式如：动量守恒定律如：动量守恒定律伽利略相对性原理伽利略相对性原理伽利略相对性原理伽利略相对性原理宏观低速物体的力学规律在任何惯性系中形式相同或 牛顿力学规律8据伽利略变换，可得到经典时空观据伽利略变换，可得到经典时空观（1）同时的绝对性）同时的绝对性在同一参照系中，两个事件同时发生在同一参照系中，两个事件同时发生据伽利略变换，在另一参照系中，据伽利略变换，在另一参照系中，在其他惯性系中，两个事件也一定同时发生。在其他惯性系中，两个事件也一定同时发生。同时的绝对性。同时的绝对性。2.2.经典力学时空观经典力学时空观经典力学时空观经典力学时空观据伽利略变换，可得到经典时空观（1）同时的绝对性在同一参照系9（2）时间间隔的测量是绝对的）时间间隔的测量是绝对的在同一参照系中，两个事件先后发生，其间隔为在同一参照系中，两个事件先后发生，其间隔为在其他惯性系中，两个事件的时间间隔不变。在其他惯性系中，两个事件的时间间隔不变。时间间隔的绝对性。时间间隔的绝对性。据伽利略变换，据伽利略变换，在另一参照系中，在另一参照系中，（3）长度测量的绝对性）长度测量的绝对性 当杆的方向沿轴方向时，长当杆的方向沿轴方向时，长度是杆的两端的坐标差，但必须度是杆的两端的坐标差，但必须同时测量。同时测量。静止系中可不同时测静止系中可不同时测经典力学时空观经典力学时空观经典力学时空观经典力学时空观（2）时间间隔的测量是绝对的在同一参照系中，两个事件先后发生10运动系中同时测运动系中同时测运动系中不同时测运动系中不同时测静止系中，杆的长度为静止系中，杆的长度为运动系中，杆的长度为运动系中，杆的长度为据伽利略变换据伽利略变换长度测量是绝对的。长度测量是绝对的。运动系中同时测运动系中不同时测静止系中，杆的长度为运动系中，11 5-2 5-2 狭义相对论基本原理狭义相对论基本原理狭义相对论基本原理狭义相对论基本原理 洛仑兹坐标变换式洛仑兹坐标变换式洛仑兹坐标变换式洛仑兹坐标变换式1.1.1.1.狭义相对论的基本原理狭义相对论的基本原理狭义相对论的基本原理狭义相对论的基本原理1)1)电磁场方程组不服从伽利略变换电磁场方程组不服从伽利略变换2)2)光速光速c c是常量是常量不论从哪个参考系中测量不论从哪个参考系中测量 迈克耳逊迈克耳逊莫雷（莫雷（MichelsonMorleg）实）实验验 以伽利略变换为基础来观测地球上各个方上以伽利略变换为基础来观测地球上各个方上光速的差异。由于地球自转，据伽利略变换，地光速的差异。由于地球自转，据伽利略变换，地球上各个方向上光速是不同的，在随地球公转的球上各个方向上光速是不同的，在随地球公转的干涉仪中应可观测到条纹的移动。干涉仪中应可观测到条纹的移动。迈克耳逊迈克耳逊莫雷实验没有观测到预期的条莫雷实验没有观测到预期的条纹移动，称为纹移动，称为零结果零结果，说明光速不变。，说明光速不变。牛顿力学的困难牛顿力学的困难 5-2 狭义相对论基本原理 洛仑兹坐标变换式1.狭义12爱因斯坦提出：爱因斯坦提出：（1）一切物理规律在任何惯性系中形式相同一切物理规律在任何惯性系中形式相同 相对性原理相对性原理（2）光在真空中的速度与发射体的运动状态无关光在真空中的速度与发射体的运动状态无关 光速不变原理光速不变原理1)爱因斯坦爱因斯坦的理论是的理论是牛顿牛顿理论的发展理论的发展爱因斯坦相对论适用于一切物理规律。爱因斯坦相对论适用于一切物理规律。牛顿理论适用于牛顿理论适用于力学规律。力学规律。狭义相对论的基本原理狭义相对论的基本原理 狭义相对论的基本原理狭义相对论的基本原理狭义相对论的基本原理狭义相对论的基本原理注意：注意：爱因斯坦提出：1)爱因斯坦的理论是牛顿理论的发展爱因斯坦相132)2)光速不变与伽利略的速度相加原理针锋相对光速不变与伽利略的速度相加原理针锋相对3)3)观念上的变革观念上的变革牛顿力学牛顿力学均与参考系无关均与参考系无关狭义相对狭义相对论力学论力学长度、时间测量的相对性长度、时间测量的相对性（与参照系有关）（与参照系有关）光速不变光速不变速度与参考系有关速度与参考系有关(相对性相对性)时间标度时间标度长度标度长度标度质量的测量质量的测量 狭义相对论的基本原理狭义相对论的基本原理狭义相对论的基本原理狭义相对论的基本原理2)光速不变与伽利略的速度相加原理针锋相对3)观念上14坐标变换式坐标变换式正变换正变换 洛仑兹变换洛仑兹变换洛仑兹变换洛仑兹变换坐标变换式正变换 洛仑兹变换152.逆变换逆变换 经典力学中经典力学中 uc伽利略变换伽利略变换2.逆变换 经典力学中 uc伽利略变换16例例题题:甲甲乙乙两两人人所所乘乘飞飞行行器器沿沿X轴轴作作相相对对运运动动。甲甲测测得得两两个个事事件件的的时时空空坐坐标标为为x1=6 104m，y1=z1=0，t1=2 10-4 s；x2=12 104m，y2=z2=0，t2=1 10-4 s，若乙测得这两个事件同时发生于若乙测得这两个事件同时发生于t 时刻，问：时刻，问：（1）乙对于甲的运动速度是多少？）乙对于甲的运动速度是多少？（2）乙所测得的两个事件的空间间隔是多少？）乙所测得的两个事件的空间间隔是多少？洛仑兹变换洛仑兹变换洛仑兹变换洛仑兹变换解：解：（1）设乙对甲的运动速度为）设乙对甲的运动速度为 ，由洛仑兹变换，由洛仑兹变换例题:甲乙两人所乘飞行器沿X轴作相对运动。甲测得两个事件17可知可知,乙所测得的这两个事件的时间间隔是乙所测得的这两个事件的时间间隔是按题意，按题意，,代入已知数据，有代入已知数据，有洛仑兹变换洛仑兹变换洛仑兹变换洛仑兹变换可知,乙所测得的这两个事件的时间间隔是按题意，,代入18由此解得乙对甲的速度为由此解得乙对甲的速度为根据洛仑兹变换根据洛仑兹变换可知可知,乙所测得的两个事件的空间间隔是乙所测得的两个事件的空间间隔是洛仑兹变换洛仑兹变换洛仑兹变换洛仑兹变换由此解得乙对甲的速度为根据洛仑兹变换可知,乙所测得的两个事19三三.相对论的速度变换式相对论的速度变换式逆变换逆变换三.相对论的速度变换式逆变换20在地面上测到有两个飞船在地面上测到有两个飞船a、b分别以分别以+0.9c和和-0.9c的速度沿相反的方向飞行的速度沿相反的方向飞行,如图所示。求飞船如图所示。求飞船a 相对于飞船相对于飞船b 的的 速度有多大。速度有多大。y y x x b a 0.9c0.9c洛仑兹变换洛仑兹变换洛仑兹变换洛仑兹变换例题例题:在地面上测到有两个飞船a、b分别以y y x x b a21解解 设设K系被固定在飞船系被固定在飞船b上，则飞船上，则飞船b在其在其 中为静止，而地面对此参考系以中为静止，而地面对此参考系以v=0.9c 的速度运动。以地面为参考系的速度运动。以地面为参考系K，则飞，则飞 船船a相对于相对于K系的速度按题意为系的速度按题意为ux=0.9c 可求得飞船可求得飞船a对对K系的速度，亦即相对于系的速度，亦即相对于 飞船飞船b的速度：的速度：洛仑兹变换洛仑兹变换洛仑兹变换洛仑兹变换解 设K系被固定在飞船b上，则飞船b在其洛仑兹变换22 两两者者大大相相径径庭庭。相相对对论论给给出出uxc。一一般般地地说说，按按相相对对论论速速度度变变换换，在在v和和u都都小小于于c的情况下，的情况下，u不可能大于不可能大于c。如用伽里略速度变换进行计算，结果为：如用伽里略速度变换进行计算，结果为：洛仑兹变换洛仑兹变换洛仑兹变换洛仑兹变换 两者大相径庭。相对论给出uxc。一般地说231.1.1.1.同时的相对性同时的相对性同时的相对性同时的相对性 在牛顿力学中，时间是绝对的。两事件在惯性在牛顿力学中，时间是绝对的。两事件在惯性系系 S S 中观察是同时发生的，那么在另一惯性系中观察是同时发生的，那么在另一惯性系SS中观察也是同时发生的。中观察也是同时发生的。狭义相对论则认为：这两个事件在惯性系狭义相对论则认为：这两个事件在惯性系S S中观中观察是同时的，而在惯性系察是同时的，而在惯性系SS观察就不会再是同时的观察就不会再是同时的了了(不同地点）。这就是狭义相对论的同时相对性。不同地点）。这就是狭义相对论的同时相对性。狭义相对论的时空观狭义相对论的时空观1.同时的相对性 在牛顿力学中，时间是绝对的。两事件在24以上说明同时性是相对的。以上说明同时性是相对的。则则 设在惯性系设在惯性系 中，不同地点中，不同地点 和和 同时发生两个事件，即：同时发生两个事件，即：同时的相对性同时的相对性同时的相对性同时的相对性以上说明同时性是相对的。则 设在惯性系 中，不同25注意：注意：a.发生在同一地点的两个事件，同时性是绝对的，发生在同一地点的两个事件，同时性是绝对的，只有对发生在不同地点的事件同时性才是相对的。只有对发生在不同地点的事件同时性才是相对的。b b.只有对没有因果关系的各个事件之间，先后次序只有对没有因果关系的各个事件之间，先后次序 才有可能颠倒。才有可能颠倒。c c.在低速运动的情况下，在低速运动的情况下，时得时得。同时的相对性同时的相对性同时的相对性同时的相对性注意：a.发生在同一地点的两个事件，同时性是绝对的，b.只262.2.长度缩短长度缩短长度缩短长度缩短利用洛仑兹利用洛仑兹变换式有：变换式有：在在 系观察者同时测棒两端的坐标，棒长为两坐系观察者同时测棒两端的坐标，棒长为两坐标的差。即标的差。即 在在 S S 系中的观测者认为棒相对系中的观测者认为棒相对 S S 系运动，测得系运动，测得长度应该为长度应该为长度缩短长度缩短长度缩短长度缩短2.长度缩短利用洛仑兹变换式有：在 系观察者同时27结论：结论：从对物体有相对速度的参考系中所测得的沿速从对物体有相对速度的参考系中所测得的沿速度方向的物体长度，总比与物体相对静止的参考系度方向的物体长度，总比与物体相对静止的参考系中测得的长度为短。中测得的长度为短。说明：说明：相对论相对论“尺缩效应尺缩效应”是相对论的时空属性，和是相对论的时空属性，和平常看到远处物体变小是两回事。平常看到远处物体变小是两回事。长度缩短长度缩短长度缩短长度缩短结论：说明：长度缩短28根据洛仑兹变换式有：根据洛仑兹变换式有：同长度不是绝对的一样，时间也不是绝对的。同长度不是绝对的一样，时间也不是绝对的。设在设在SS系中一固定坐标系中一固定坐标xx处有一只静止的钟，记处有一只静止的钟，记录在该处前后发生的两个事件，两事件的时间间隔录在该处前后发生的两个事件，两事件的时间间隔为：为：而在而在 S S 系中的钟所记录两事件的时间间隔为：系中的钟所记录两事件的时间间隔为：3.3.3.3.时间的膨胀时间的膨胀时间的膨胀时间的膨胀时间的膨胀时间的膨胀时间的膨胀时间的膨胀根据洛仑兹变换式有：同长度不是绝对的一样，时间也不是29说明：说明：说明：说明：（1 1）运动时钟的变慢完全是相对论的时空效应，）运动时钟的变慢完全是相对论的时空效应，与钟的具体结构和其他外界因素无关。与钟的具体结构和其他外界因素无关。（2 2）运动时钟变慢在粒子物理学中有大量的）运动时钟变慢在粒子物理学中有大量的 实验证明。实验证明。时间的膨胀时间的膨胀时间的膨胀时间的膨胀说明：（2）运动时钟变慢在粒子物理学中有大量的时间的膨胀304.4.4.4.两种时空观对照两种时空观对照两种时空观对照两种时空观对照经典时空观：经典时空观：相对论时空观：相对论时空观：空间是绝对的，时间是绝对的，空间、时间空间是绝对的，时间是绝对的，空间、时间和物质运动三者没有联系。和物质运动三者没有联系。a.时间、空间有着密切联系，时间、空间与物质时间、空间有着密切联系，时间、空间与物质 运动是不可分割的。运动是不可分割的。b.b.不同惯性系各有自己的时间坐标，并相互发现不同惯性系各有自己的时间坐标，并相互发现 对方的钟走慢了。对方的钟走慢了。两种时空观对照两种时空观对照两种时空观对照两种时空观对照4.两种时空观对照经典时空观：相对论时空观：空间是绝31 c.不同惯性系各有自己的空间坐标，并相互发现不同惯性系各有自己的空间坐标，并相互发现 对方的对方的“尺尺”缩短了。缩短了。d.作相对运动的两个惯性系中所测得的运动物体作相对运动的两个惯性系中所测得的运动物体 的速度，不仅在相对运动的方向上的分量不同，的速度，不仅在相对运动的方向上的分量不同，而且在垂直于相对运动方向上的分量也不同。而且在垂直于相对运动方向上的分量也不同。e.光在任何惯性系中传播速度都等于光在任何惯性系中传播速度都等于 C，并且是，并且是 任何物体运动速度的最高极限。任何物体运动速度的最高极限。f.在一个惯性系中同时发生的两事件，在另一惯在一个惯性系中同时发生的两事件，在另一惯 性系中可能是不同时的。性系中可能是不同时的。两种时空观对照两种时空观对照两种时空观对照两种时空观对照例8-3 c.不同惯性系各有自己的空间坐标，并相互发现 d.作相对32狭义相对论动力学基础狭义相对论动力学基础 1.1.相对论力学的基本方程相对论力学的基本方程相对论力学的基本方程相对论力学的基本方程 牛顿力学中，动量牛顿力学中，动量a.在洛氏变换下保持不变在洛氏变换下保持不变;b.在在 的条件下，还原为牛顿力学的的条件下，还原为牛顿力学的 动量形式。动量形式。m：不随物体运动状态而改变的恒量。：不随物体运动状态而改变的恒量。相对论动量必须满足以下两个条件：相对论动量必须满足以下两个条件：狭义相对论动力学基础 1.相对论力学的基本方程 牛顿力学中3310P相对论性质量：相对论性质量：静止质量静止质量由此，得相对论动量：由此，得相对论动量：0 01 1相对论力学的基本方程相对论力学的基本方程相对论力学的基本方程相对论力学的基本方程10P相对论性质量：静止质量由此，得相对论动量：01相对34说明：说明：b.当当 时，时，即不论对物体加多大的力，即不论对物体加多大的力，也不可能再使它的速度增加也不可能再使它的速度增加。c.当当 时，必须时，必须 即以光速运动的物即以光速运动的物 体是没有静止质量的。体是没有静止质量的。d.相对论力学基本方程相对论力学基本方程上式方程满足相对性原理上式方程满足相对性原理a.在在 时时，。在在 的条件下：的条件下：相对论力学的基本方程相对论力学的基本方程相对论力学的基本方程相对论力学的基本方程说明：b.当 时，即不论对物体加多352.2.质量与能量的关系质量与能量的关系质量与能量的关系质量与能量的关系2.1 相对论动能相对论动能 设一质点在变力作用下，由静止开始沿设一质点在变力作用下，由静止开始沿X 轴作轴作一维运动，根据动能定律：一维运动，根据动能定律：相对论动能相对论动能相对论动能相对论动能 2.质量与能量的关系2.1 相对论动能 设一质点在36 上式表明：质点以速率上式表明：质点以速率 运动时所具有的运动时所具有的能量能量 ，与质点静止时所具有的能量，与质点静止时所具有的能量 之差，等于质点相对论性的之差，等于质点相对论性的动能动能 在在 的条件下：的条件下：相对论动能相对论动能相对论动能相对论动能 上式表明：质点以速率 运动时所具有的 在 372.2 相对论总能量相对论总能量说明：说明：a.物体处于静止状态时，物体也蕴涵着相当物体处于静止状态时，物体也蕴涵着相当 可观的静能量。可观的静能量。b.相对论中的质量不仅是惯性的量度，而且相对论中的质量不仅是惯性的量度，而且 还是总能量的量度。还是总能量的量度。c.如果一个系统的质量发生变化，能量必有如果一个系统的质量发生变化，能量必有 相应的变化。相应的变化。d.对一个孤立系统而言，总能量守恒，总质对一个孤立系统而言，总能量守恒，总质 量也守恒。量也守恒。相对论总能量相对论总能量相对论总能量相对论总能量2.2 相对论总能量说明：a.物体处于静止状态时，物体38相对论总能量相对论总能量相对论总能量相对论总能量相对论质能关系在军事上的应用：核武器相对论质能关系在军事上的应用：核武器相对论总能量相对论质能关系在军事上的应用：核武器393.3.3.3.动量与能量的关系动量与能量的关系动量与能量的关系动量与能量的关系在相对论中：在相对论中：由以上两式消去由以上两式消去 可得：可得：动量与能量的关系动量与能量的关系动量与能量的关系动量与能量的关系3.动量与能量的关系在相对论中：由以上两式消去 可得：动量40E对于以光速运动的物体：对于以光速运动的物体：光子：光子：动量与能量的关系动量与能量的关系动量与能量的关系动量与能量的关系E对于以光速运动的物体：光子：动量与能量的关系41例题：例题：原子核的结合能。已知质子和中子的质量分原子核的结合能。已知质子和中子的质量分 别为别为:两两个个质质子子和和两两个个中中子子组组成成一一氦氦核核 ，实实验验测测得得它它的的质质量量为为MA=4.0001 50u，试试计计算算形形成成一一个个氦氦核核时时放放出出的能量。的能量。(1u=1.660 10-27kg)而而从从实实验验测测得得氦氦核核质质量量MA小小于于质质子子和和中中子子的的总总质质量量M，这这差差额额称称 M=M-MA为为原原子子核核的的质质量量亏亏损损。对对于于 核核解解:两个质子和两个中子组成氦核之前，总质量为两个质子和两个中子组成氦核之前，总质量为相对论动力学基础相对论动力学基础相对论动力学基础相对论动力学基础例题：原子核的结合能。已知质子和中子的质量分两个质子和两个42根据质能关系式得到的结论：物质的质量和能量根据质能关系式得到的结论：物质的质量和能量之间有一定的关系，当系统质量改变之间有一定的关系，当系统质量改变 M 时，一时，一定有相应的能量改变定有相应的能量改变 由由此此可可知知，当当质质子子和和中中子子组组成成原原子子核核时时，将将有有大大量量的的能能量量放放出出，该该能能量量就就是是原原子子核核的的结结合合能能。所所以形成一个氦核时所放出的能量为以形成一个氦核时所放出的能量为相对论动力学基础相对论动力学基础相对论动力学基础相对论动力学基础根据质能关系式得到的结论：物质的质量和能量之间有一定的关系，43例题：例题：设有两个静止质量都是设有两个静止质量都是 m0 的粒子，以大小的粒子，以大小 相同、相同、方向相反的速度相撞，反应合成一方向相反的速度相撞，反应合成一 个复合粒子。试求这个复合粒子的静止质量。个复合粒子。试求这个复合粒子的静止质量。式式中中 M 和和 V 分分别别是是复复合合粒粒子子的的质质量量和和速速度度。显然显然V=0，这样，这样所以所以解：解：设两个粒子的速率都是设两个粒子的速率都是 v，由动量守恒和能，由动量守恒和能 量守恒定律得量守恒定律得相对论动力学基础相对论动力学基础相对论动力学基础相对论动力学基础例题：设有两个静止质量都是 m0 的粒子，以大小式中 M44这这表表明明复复合合粒粒子子的的静静止止质质量量 M0 大大于于 2m0，两两者者的差值的差值式式中中 Ek 为为两两粒粒子子碰碰撞撞前前的的动动能能。由由此此可可见见，与与动动能能相相应应的的这这部部分分质质量量转转化化为为静静止止质质量量，从从而而使使碰撞后复合粒子的静止质量增大了。碰撞后复合粒子的静止质量增大了。相对论动力学基础相对论动力学基础相对论动力学基础相对论动力学基础这表明复合粒子的静止质量 M0 大于 2m0，两者的差值式中45例例题题：一一束束具具有有能能量量为为 、动动量量为为 的的光光子子流流，与与一一 个个静静止止的的电电子子作作弹弹性性碰碰撞撞，散散射射光光子子的的能能量量为为 ，动动 量量为为 。试试证证光光子子的的散散射射角角 满满足下式：足下式：此处此处 m0 是电子的静止质量，是电子的静止质量，h 为普朗克常量为普朗克常量.电子电子x 相对论动力学基础相对论动力学基础相对论动力学基础相对论动力学基础例题：一束具有能量为 、动量为 46与与此此同同时时电电子子向向着着某某一一角角度度 的的方方向向飞飞去去，它它的的能能量和动量分别变为量和动量分别变为 mc2 和和即即在在二二者者作作弹弹性性碰碰撞撞时时，应应满满足足能能量量守守恒恒和和动动量量守守恒两个定律，恒两个定律，证明：证明：在图中，入射光子的能量和动量分别为在图中，入射光子的能量和动量分别为和和 ,与与物物质质中中质质量量为为m0的的静静止止自自由由电电子子发发生生碰碰撞撞。碰碰撞撞后后，设设光光子子散散射射开开去去而而和和原原来来入入射射方方向向成成 角，这时它的能量和动量分别变为角，这时它的能量和动量分别变为 和和 和和 代表在光子运动方向的单位矢量。代表在光子运动方向的单位矢量。（1）相对论动力学基础相对论动力学基础相对论动力学基础相对论动力学基础与此同时电子向着某一角度的方向飞去，它的能量和动量分别变为47 从从图图中中可可以以看看出出，矢矢量量 是是矢矢量量 和和 所组成平行四边形的对角线，所以所组成平行四边形的对角线，所以或或（1）也可改写为）也可改写为（3）（4）相对论动力学基础相对论动力学基础相对论动力学基础相对论动力学基础（2）从图中可以看出，矢量 是矢量48将式（将式（4）平方再减去式（）平方再减去式（3），得到），得到上式可写成上式可写成由此可得由此可得亦即亦即相对论动力学基础相对论动力学基础相对论动力学基础相对论动力学基础将式（4）平方再减去式（3），得到上式可写成由此可得亦即相对49将式（将式（4）平方再减去式（）平方再减去式（3），得到），得到上式可写成上式可写成由此可得由此可得亦即亦即相对论动力学基础相对论动力学基础相对论动力学基础相对论动力学基础将式（4）平方再减去式（3），得到上式可写成由此可得亦即相对50