资源描述
第第五五章章 非非线线性性系系统的的振振动动 5.1 非非线线性振性振动动概述概述 5.2 非非线线性振性振动问题动问题的主要特点的主要特点5.3 非非线线性振性振动问题动问题的研究方法的研究方法5.4 分叉与混沌的概念分叉与混沌的概念 王卫滨.不不能能用用线线性性微微分分方方程程描描述述的的振振动动称称为为非非线线性性振振动动。恢恢复复力力与与位位移移不不成成正比或阻尼力不与速度一次方成正比的系正比或阻尼力不与速度一次方成正比的系统统的振的振动动。工工程程技技术术与与自自然然界界中中的的振振动动问问题题及及现现象象，绝绝大大多多数数属属于于非非线线性性的的，线线性振性振动动系系统统往往是往往是对对非非线线性系性系统进统进行行简简化与近似的化与近似的结结果。果。1、内在的非、内在的非线线性因素性因素发发生非生非线线性振性振动动的原因：的原因：振振动动系系统统内部出内部出现现非非线线性回复力性回复力振振动动系系统统的参量不能保持常数的参量不能保持常数，如漏如漏摆摆、荡荡秋千。秋千。单摆单摆（或复（或复摆摆）的回复力矩的回复力矩自激振自激振动动5.1 非非线线性振性振动动概述概述.2、外在的非、外在的非线线性影响性影响非非线线性阻尼的影响性阻尼的影响策策动动力力为为位移或速度的非位移或速度的非线线性函数性函数如如如如线线性振性振动动与非与非线线性振性振动动的最大区的最大区别别：线线性振性振动满动满足叠加原理足叠加原理非非线线性振性振动动不不满满足叠加原理足叠加原理.非非线线性振性振动动方程的一般形式方程的一般形式 线性振动方程 非线性振动方程 变质量 惯性力非线性阻尼力非线性恢复力非线性激振力.5.2 非非线线性振性振动问题动问题的主要特点的主要特点(1)非非线线性振性振动动系系统统的的频频率与系率与系统统响响应应的振幅和初始条件有关的振幅和初始条件有关 线性振动系统的振动周期不随振幅大小而变化 .(2)对对于非于非线线性振性振动动系系统统,叠加原理不适用叠加原理不适用 对于线性微分方程 对于非线性系统.(3)非非线线性振性振动动系系统统的共振曲的共振曲线线不同于不同于线线性振性振动动系系统统，存，存在跳在跳跃跃和滞后和滞后现现象象 在激励比较强烈而系统的阻尼又很小的情况下,主共振的幅频特性的曲线有反向弯曲。.(4)某些有阻尼的非某些有阻尼的非线线性振性振动动系系统统会出会出现现自激振自激振动动，振幅不，振幅不衰减衰减 线性系统中自由振动总是衰减的.(5)强强迫振迫振动动系系统统有超有超谐谐波响波响应应和次和次谐谐波响波响应应成分成分 简谐激振力作用下的非线性系统 响应波形除了与激振力频率相同的谐波外,还含有频率为激振频率的几分之一.由于存在次谐波与超谐波振动,非线性系统共振频率的数目将多于系统的自由度.(6)存在存在多个多个简谐简谐激振力作用下的激振力作用下的组组合振合振动动.(7)存在存在频频率俘率俘获现获现象象 在非线性振动系统 中，当系统以 振动，受到另一 激励时，系统可能以其中之一的频率振动，即频频率俘率俘获获.（8）在一定条件会出）在一定条件会出现现分叉分叉现现象与混沌运象与混沌运动动 DuffingDuffing方程的倍周期分叉方程的倍周期分叉现现象与混沌运象与混沌运动动.5.3 非非线线性振性振动问题动问题的研究方法的研究方法.一、任意一、任意摆摆角情况下角情况下单摆单摆的运的运动动 线线性系性系统统（数学定（数学定义义）：）：若若则则满满足足是是线线性的；性的；为为非非线线性，性，则则自由自由单摆单摆的运的运动动方程：方程：线线性近似：性近似：当当 很小，很小，(sin )若若.若若 为为任意任意值值，故自由故自由单摆为单摆为非非线线性振性振动动系系统统：令令，以及，以及，则则上式上式变为变为而而(sin ).方程解的非唯一性方程解的非唯一性1.设设初始条件初始条件为为 0=，0=0，运运动动分析：分析：在最高点在最高点 =，=0，系系统统非非稳稳定平衡点。可能出定平衡点。可能出现现三种运三种运动动情况：情况：a.停留在停留在该顶该顶点，点，尔尔后径直下落；后径直下落；b.调头调头沿原路返回；沿原路返回；c.越越过该顶过该顶点点继续继续向前运向前运动动。则则其解其解为为.对对于一般于一般单摆单摆的运的运动动方程方程（受周期性（受周期性驱动驱动力作力作 用的阻尼用的阻尼单摆单摆）：一个复一个复杂杂的非的非线线性系性系统统。其解更。其解更为为复复杂杂。结论结论：对对于一个非于一个非线线性系性系统统，在确定的初始条件，在确定的初始条件 下，其解可能具有不可下，其解可能具有不可预测预测的随机性。的随机性。.第第第第5 5章章章章 非非非非线线线线性振性振性振性振动动动动 5.3.1 非非线线性振性振动动的近似解析方法的近似解析方法 定性分析方法讨论振动系统在奇点（平衡位置）附近的运动稳定性，它不需要求解系统的动力学微分方程。但定性分析方法的研究对象主要限于自治系统，而且不能定量地计算系统运动的时间历程，不能获得系统的频率、振幅等基本参数。只有极少的非线性系统能获得精确的解析解，因此，对大多非线性系统只能采用近似解析的方法。近似解析方法主要用于弱非线性系统。.第第第第5 5章章章章 非非非非线线线线性振性振性振性振动动动动 5.3.1 非非线线性振性振动动的近似解析方法的近似解析方法谐谐波平衡法波平衡法 谐波平衡法的基本思想是设振动系统微分方程的解能用系数未知的傅立叶级数表示，然后将外激励展成同样周期的傅立叶级数，代入方程。由动力学方程两端同阶谐波的系数相等，得到未知系数的线性代数方程组，解方程组，得到振动系统微分方程傅立叶级数形式的解。讨论非线性系统的在外激励下的受迫振受迫振动动：设方程的解方程的解可以用周期为T 的傅立叶级数表示.第第第第5 5章章章章 非非非非线线线线性振性振性振性振动动动动 5.3.1 非非线线性振性振动动的近似解析方法的近似解析方法其中,将外激励力F(t)展开为同样周期的傅立叶级数：将级数形式的解及其各阶导数和级数形式的激励力一起代入动力学方程中，整理各阶谐波的系数，令相同谐波分量的系数相等，就可以得到级数形式解中各个待定系数a0、a1n和a2n为未知数的2n+1阶线性代数方程组：解线性代数方程组，得到方程级数解的系数。.第第第第5 5章章章章 非非非非线线线线性振性振性振性振动动动动 5.3.1 非非线线性振性振动动的近似解析方法的近似解析方法摄动摄动法法 讨论带小参数小参数的单自由度非自治系统：其中，e为与变量 x，t 无关的常数。当e充分小时，系统为弱非线性系统，e 称作小参数。当e=0 时，上述系统退化为一个派生系派生系统统 设派生系统的周期解为 x0(t)，当观测到原系统也存在周期解时，可以在派生系统周期解的基础上加以修正构成原系统的周期解x(t，e)，并展开为 e 的幂级数.第第第第5 5章章章章 非非非非线线线线性振性振性振性振动动动动 5.3.1 非非线线性振性振动动的近似解析方法的近似解析方法 将原系统周期解的表达式代入原方程两端，并将f(x,)在基本解(x0,)的领域内展开成泰勒级数:.第第第第5 5章章章章 非非非非线线线线性振性振性振性振动动动动 5.3.2 非非线线性振性振动动的数的数值值分析方法分析方法 数数值值分析方法分析方法就是对非线性系统进行数值积分，在时域内把响应的时间历程离散化，对每一时间步长内可按线性系统来进行计算，并对每一步的结果进行修正。这种方法又称为逐步积分法或直接积分法。数数值值分析方法得到广泛分析方法得到广泛应应用的原因用的原因 一个原因是因为非线性分析理论发展的不完善性，对很多问题无法进行理论上的分析；另一个原因是数值分析理论的发展和计算工具性能的提高使得数值分析成为可能。.第第第第5 5章章章章 非非非非线线线线性振性振性振性振动动动动 5.3.2 非非线线性振性振动动的数的数值值分析方法分析方法 常用的数常用的数值值分析方法分析方法 非线性振动的数值方法是把非线性方程化为对每一时间步长D t 内的线性方程来求解，常用的数值分析方法有纽马纽马克克（Newmark）法）法、威威尔尔逊逊（Wilson）法法、RungeKutta法法等。纽马纽马克（克（Newmark）法）法梯形法 最早由欧拉欧拉提出，其基本思想是将方程的解，即位移响应展成泰勒级数，并只保留一阶导数。即关于 t D t 瞬时的速度和位移均可由前一步 t 瞬时的速度和位移来表示：或.第第第第5 5章章章章 非非非非线线线线性振性振性振性振动动动动 5.3.2 非非线线性振性振动动的数的数值值分析方法分析方法 在有了t 瞬时的位移 和速度 后，由满足 t 瞬时的微分方程得到 t 瞬时的加速度：由以下两式得到 t D t 瞬时的速度和位移：依此类推，给定初值 和 后，就可以获得任何 瞬时系统的运动速度和位移。位移截断误差为0(D t2)。.第第第第5 5章章章章 非非非非线线线线性振性振性振性振动动动动 5.3.2 非非线线性振性振动动的数的数值值分析方法分析方法 欧拉欧拉法的几何意义是用折线代替曲线，计算精度较低，一般只用于起步或与其它方法配合使用。高斯高斯对欧拉法进行了改进，用t 瞬时和 t D t 瞬时的平均速度代替欧拉法中t 瞬时的速度，即：这里用导数的平均代替t 瞬时的导数值，称为梯形法，它采用 t D t 瞬时的微分方程，因此，为隐式格式。xn+1的表达式也可以写成如下的形式：用平均加速度代替t 瞬时的导数值是纽马纽马克法克法的一个特例。.第第第第5 5章章章章 非非非非线线线线性振性振性振性振动动动动 5.3.2 非非线线性振性振动动的数的数值值分析方法分析方法 纽马纽马克法克法的积分格式：纽马纽马克法克法来自于梯形法，它按照泰勒级数展开式，保留到二阶导数加速度项，并引入两个参数g 和b对截去的高阶小量作修正。通常，取g 1/2会产生负阻尼，即积分计算中导致振幅的增长，因此，最常用的参数为g 1/2，而变动b。这种方法又称为纽马纽马克克b b法法。当g 1/2，b 1/2时方法是无条件稳定的。.第第第第5 5章章章章 非非非非线线线线性振性振性振性振动动动动 5.3.2 非非线线性振性振动动的数的数值值分析方法分析方法 纽马纽马克法克法每步积分满足tDt 时的末端方程：由积分格式解出末端速度与加速度矢量得：代入末端方程，得：.第第第第5 5章章章章 非非非非线线线线性振性振性振性振动动动动 5.3.2 非非线线性振性振动动的数的数值值分析方法分析方法 其中：从第一式可解出tDt 时的位移。.第第第第5 5章章章章 非非非非线线线线性振性振性振性振动动动动 5.3.2 非非线线性振性振动动的数的数值值分析方法分析方法 威威尔尔逊逊（Wilson）法）法以线性加速度法为基础，引入参数 ，在时域 范围内，假设加速度按线性规律变化，在数学上先得到 瞬时的一组方程，称为预报方程，然后再求出 瞬时的位移、速度和加速度。设t为自t开始的时间变量，适用于 ，根据线性加速度的假设可得在此时间域内的加速度为积分后得.第第第第5 5章章章章 非非非非线线线线性振性振性振性振动动动动 5.3.2 非非线线性振性振动动的数的数值值分析方法分析方法 当t=D t 时，可得到t+D t 瞬时的速度和位移解出得到 的表达式：.第第第第5 5章章章章 非非非非线线线线性振性振性振性振动动动动 5.3.2 非非线线性振性振动动的数的数值值分析方法分析方法 取t+D t 瞬时的方程 由于加速度按线性变化，因此，外力fn+也可以近似取为线性变化：综合以上各式，便可以得到求解位移xn+的方程式：其中，.第第第第5 5章章章章 非非非非线线线线性振性振性振性振动动动动 5.3.2 非非线线性振性振动动的数的数值值分析方法分析方法 有了t+D t 瞬时的位移可依次求出 t+D t 瞬时的加速度、速度和位移：当 时，方法无条件稳定。RungeKutta法法对常微分方程进行数值求解的有力工具，它可以有效地解决常微分方程的初值问题对于一阶常微分方程，其初值问题一般表达为：.第第第第5 5章章章章 非非非非线线线线性振性振性振性振动动动动 5.3.2 非非线线性振性振动动的数的数值值分析方法分析方法 RungeKutta法法的公式：的公式：.第第第第5 5章章章章 非非非非线线线线性振性振性振性振动动动动 5.3.2 非非线线性振性振动动的数的数值值分析方法分析方法 高高阶问题阶问题的求解的求解 前面所述的Runge Kutta方法可以求解一阶的常微分方程，但实际的振动系统大多是二阶系统。对于高阶系统可以引入变量转化为一阶常微分方程组，然后就可以用RungeKutta方法进行求解了。对于二阶方程：引入变量：则上述二阶方程可以化为一阶方程组：.第第第第5 5章章章章 非非非非线线线线性振性振性振性振动动动动 5.3.2 非非线线性振性振动动的数的数值值分析方法分析方法 RungeKutta法法的的计计算公式：算公式：设设h为积为积分的步分的步长长，则则有：有：.第第第第5 5章章章章 非非非非线线线线性振性振性振性振动动动动 5.4 分叉与混沌的基本概念分叉与混沌的基本概念 非非线线性振性振动动的的分叉分叉与与混沌混沌简简介介 分叉与混沌是目前非线性系统研究的一个热点。下面简单介绍一下分叉和混沌的简单概念和示例。分叉问题起源于力学失稳现象的研究。若任意小的参数变化会使结构不稳定的动力学系统的相轨迹发生突然变化，则称这种变化为分叉分叉。.第第第第5 5章章章章 非非非非线线线线性振性振性振性振动动动动 5.4 分叉与混沌的基本概念分叉与混沌的基本概念 研究一个含参数的动力学系统：其中，x为状态变量，m 为分叉参数或称控制变量。当参数m连续变化时，若系统的相迹结构在 处发生突然变化，则称系统发生分叉。平衡点和极限环随参数 m 变化的图形称为分叉图。Hopf Hopf 分叉分叉研究一个平面动力系统:.第第第第5 5章章章章 非非非非线线线线性振性振性振性振动动动动 5.4 分叉与混沌的基本概念分叉与混沌的基本概念 该该系系统统相相轨轨迹随参数迹随参数m m 的的变变化而化而变变化化的情形的情形如下如下图图所示：所示：从图上可以清晰地看出，当参数m由负数经过零变化到正数时，从系统平衡点“冒”出一个极限环，这就是所谓的Hopf Hopf 分叉分叉。.第第第第5 5章章章章 非非非非线线线线性振性振性振性振动动动动 5.4 分叉与混沌的基本概念分叉与混沌的基本概念 混沌振混沌振动动 混沌振动是一种由确定性系统产生对于初始条件极为敏感而具有随机性和长期预测不可能性的往复非周期运动。考虑一个由非线性弹簧和线性阻尼组成的弹簧质量系统在简谐激励作用下的受迫振动。弹性回复力与变形的关系满足：则系统的运动方程为.第第第第5 5章章章章 非非非非线线线线性振性振性振性振动动动动 5.4 分叉与混沌的基本概念分叉与混沌的基本概念 从右图中可以看到，随着时间的变化，开始很接近的两个信号越来越分开，这就是系统对初初值值的敏感的敏感性性，这也是混沌振动的一个基本特征，这也使得混沌振动具有长期不可预测性。仅有初值敏感性还不能称为混沌振动，混沌振动还必须是往复的非周期性运动，这是非线性系统的又一个特征。.第第第第5 5章章章章 非非非非线线线线性振性振性振性振动动动动 5.4 分叉与混沌的基本概念分叉与混沌的基本概念 Poincare庞庞加莱（法国数学家）映射加莱（法国数学家）映射 刻划混沌的一个工具刻划混沌的一个工具Poincare映射为孤立点孤立点系统运动是周期运周期运动动；Poincare映射为封封闭闭曲曲线线系统运动是拟拟周期运周期运动动；Poincare映射为分形分形系统运动是混沌运混沌运动动。.非非线线性性系系统振振动实例例非线性惯性式共振筛非线性惯性式给料机.
展开阅读全文