现代控制理论第一章课件

第一章控制系统的状态空间描述第一章控制系统的状态空间描述4、根据系统传递函数的方块图建立状态空间表达式、根据系统传递函数的方块图建立状态空间表达式步骤：步骤：1）将系统的各个环节变换成相应的模拟结构图；2）将积分器的输出选为系统的状态变量，由模拟结构图写出系统的状态方程和输出方程。1/s u 典型环节转换成结构图4、根据系统传递函数的方块图建立状态空间表达式步骤：1现代控制理论第一章课件例例1（见书）（见书）例1（见书）图中有三个积分环节，三阶系统，取三个状态变量如上图（选图中有三个积分环节，三阶系统，取三个状态变量如上图（选择积分环节后的变量为状态变量）：择积分环节后的变量为状态变量）：则有：则有：写成矩阵形式：写成矩阵形式：图中有三个积分环节，三阶系统，取三个状态变量如上图（选择积分前面已经介绍了SISO系统从传递函数求系统的状态空间表达式,下面将介绍其逆问题,即怎样从状态空间表达式求系统的传递函数阵。已知MIMO线性定常系统的状态空间表达式为其中x为n维状态向量;u为r维输入向量;y为m维输出向量。1.4 从状态空间表达式求系统传递函数（阵）从状态空间表达式求系统传递函数（阵）其中x为n维状态向量;1.4 从状态空间表达式求系统传递函数对上式取拉氏变换,有其中X(s)、U(s)和Y(s)分别为x(t)、u(t)和y(t)的拉氏变换;x(0)为x(t)的在初始时刻t=0的值。q由于传递函数阵描述的是系统输入输出间动态传递关系,不考虑系统初始条件的影响。因此令x(0)=0,于是由状态方程的拉氏变换式有X(s)=(sI-A)-1BU(s)对上式取拉氏变换,有其中X(s)、U(s)和Y(s)分别为x将上述X(s)代入输出方程,有 Y(s)=C(sI-A)-1B+DU(s)线性定常连续系统的传递函数阵为 G(s)=C(sI-A)-1B+D 若对于输入与输出间无直接关联项(即D=0)的系统,则有 G(s)=C(sI-A)-1B将上述X(s)代入输出方程,有对r维输入、m维输出的MIMO系统,若其输入输出的拉氏变换分别为U(s)和Y(s),则系统的输入输出间的动态关系可表示为Y(s)=G(s)U(s)其中G(s)称为传递函数阵,其每个元素为标量传递函数。G(s)的形式为其中Gij(s)描述了第i个输出与第j个输入之间的动态传递关系。对r维输入、m维输出的MIMO系统,若其输入输出的拉氏变换分 SISO系统，用传递函数系统，用传递函数G(s)描述，描述，G(s)是一个元素；是一个元素；MIMO系统，多个输入对多个输出，故引入传递函数矩阵系统，多个输入对多个输出，故引入传递函数矩阵G(s)，G(s)是一个矩阵，可以表征多个输入对系统输出的影是一个矩阵，可以表征多个输入对系统输出的影响；响；同一系统，不同的状态空间表达式对应的传递函数阵应是相同一系统，不同的状态空间表达式对应的传递函数阵应是相同的。即同的。即描述系统输入与输出间动态传递关系的传递函数阵对状态变换具有不变性。SISO系统，用传递函数G(s)描述，G(s)是一个元素；例例例例 求由求由 所表述系统的所表述系统的W(s)解解解解：由传递函数矩阵公式得：由传递函数矩阵公式得：根据矩阵求逆公式：根据矩阵求逆公式：例 解：由传递函数矩阵公式得：根据矩阵求逆公式求得：求得：求得传递函数阵为：求得传递函数阵为：求得：求得传递函数阵为：1.5 组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵已知两独立子系统的状态空间描述和传递函数如下已知两独立子系统的状态空间描述和传递函数如下研究系统三种连接下的数学模型研究系统三种连接下的数学模型1）串联串联2）并联）并联3）反馈）反馈1.5 组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵已知两独立子系统1)1)并联连接并联连接并联连接组合系统结构图并联连接组合系统结构图1)并联连接并联连接组合系统结构图设两个子系统的传递函数阵为其对应的状态空间表达式分别为设两个子系统的传递函数阵为其对应的状态空间表达式分别为从图可知u1=u2=u y1+y2=y故可导出并联联结组合系统的状态空间模型为从图可知因此因此,由上述状态空间表达式可知由上述状态空间表达式可知,并联组合系统的状态并联组合系统的状态变量的维数为子系统的状态变量的维数之和。变量的维数为子系统的状态变量的维数之和。由组合系统的状态空间表达式可求得组合系统的传递函由组合系统的状态空间表达式可求得组合系统的传递函数阵为数阵为并联组合系统的传递函数阵为各并联子系统的传递函数并联组合系统的传递函数阵为各并联子系统的传递函数阵之和。阵之和。因此,由上述状态空间表达式可知,并联组合系统的状态变量的维数2)串联连接串联连接串联联接组合系统方块结构图串联联接组合系统方块结构图设图所示的串联联结的组合系统的两个子系统的传递函数阵分别和并联连结的结构相同,其对应的状态空间表达式也分别相同。2)串联连接串联联接组合系统方块结构图设图所示的串联联结的从图可知 u1=u u2=y1 y2=y因此可导出串联组合系统的状态空间方程为从图可知相应的输出方程为相应的输出方程为串联连接组合系统的状态变量的维数为子系统的状态变量的维数之和。由串联组合系统的状态空间模型可求得组合系统的传递函数阵为串联连接组合系统的状态变量的维数为子系统的状态变量的维数之和串联联结组合系统的传递函数阵为串联系统各子系统的传递函数阵的顺序乘积。应当注意,由于矩阵不满足乘法交换律,故在上式中G1(s)和G2(s)的位置不能颠倒,它们的顺序与它们在系统中的串联联结顺序一致。串联联结组合系统的传递函数阵为串联系统各子系统的传递函数阵的3)反馈连接反馈连接反馈连接组合系统结构图反馈连接组合系统结构图3)反馈连接反馈连接组合系统结构图设对应于图所示的反馈联结组合系统的两个子系统的传递函数阵为其对应的状态空间模型分别为设对应于图所示的反馈联结组合系统的两个子系统的传递函数阵为其从图可知u1=u-y2 u2=y1=y因此可导出反馈组合系统的状态空间模型为从图可知即有反反馈馈联联结结组组合合系系统统的的状状态态变变量量的的维维数数为为子子系系统统的的状状态态变变量量的的维数之和。维数之和。Y(s)=G0(s)U1(s)=G0(s)U(s)-Y2(s)=G0(s)U(s)-F(s)Y(s)I+G0(s)F(s)Y(s)=G0(s)U(s)Y(s)=I+G0(s)F(s)-1G0(s)U(s)反馈联结组合系统的传递函数为反馈联结组合系统的传递函数为G(s)=I+G0(s)F(s)-1G0(s)或或 G(s)=G0(s)I+F(s)G0(s)-1由反馈联结组合系统的联结图可知即有反馈联结组合系统的状态变量的维数为子系统的状态变量的维数状态空间模型不具有唯一性.原因原因:状态变量的不同选择两个问题:各种不同选择的状态变量之间,以及它们所对应的状态空间模型之间的关系如何?如何把一般形式的状态空间模型变换成特定形式的状态空间模型,以降低系统的分析问题和设计问题的难度。1.6 状态向量的线性变换和状态空间表达式的状态向量的线性变换和状态空间表达式的特征标准型特征标准型状态空间模型不具有唯一性.1.6 状态向量的线性变换和状态空1.系统状态的线性变换系统状态的线性变换对于一个n阶动态系统,可通过选择适当的n个状态变量以建立状态空间模型来描述它。n个状态变量的选择却不是唯一的。这一点可利用线性代数中的基底不唯一来理解。一个n维线性独立的状态变量向量,在n维状态空间中构成一个坐标系,即相当于空间中的一个基底。根据线性代数知识,在这个空间中还存在另外的坐标系,且与原坐标系存在一个线性变换关系。1.6.1 状态空间的线性变换状态空间的线性变换1.系统状态的线性变换1.6.1 状态空间的线性变换上述状态变量向量x与 间的变换,称为状态的线性变换。由线性代数知识可知,它们之间必有如下变换关系设描述同一个线性线性状态空间的两个n维的状态变量向量分别为其中P为nn维的非奇异变换矩阵。值得指出的是:变换矩阵P只有为非奇异的,才能使x和 间的变换关系是等价的、唯一的和可逆的。上述状态变量向量x与 间的变换,称为状态的线性变换。q两种表达式之间存在什么关系两种表达式之间存在什么关系?2.状态空间模型的线性变换设在状态变量x和 下,系统状态空间模型分别为将变换关系x=P 代入(A,B,C,D)的状态方程中有两种表达式之间存在什么关系?2.状态空间模型的线性变换设在状由于变换矩阵P非奇异,因此有则有系统的初始条件也必须作相应的变换,即将上式与状态空间模型 比较,则线性系统(A,B,C,D)在线性变换矩阵P下的各矩阵具有如下对应关系其中t0为系统运动的初始时刻。由于变换矩阵P非奇异,因此有则有系统的初始条件也必须作相应的1.6.2 系统特征值的不变性与系统的不变量系统特征值的不变性与系统的不变量p由前面的讨论可知,当选择不同的状态变量,则获得不同的状态空间模型描述。实际上,状态空间模型只是系统在不同的状态变量选择下对系统的一种描述,它随状态变量选择的不同而不同,并不具有唯一性和不变性。那么,到底系统在状态空间中有哪些描述,哪些性质是不变的,是不随状态变量的选取不同而变化的?p线性定常系统的特征结构由特征值和特征向量所表征。系统的特征结构对系统运动的特性和行为具有重要的影响,决定了系统的基本特性。1.6.2 系统特征值的不变性与系统的不变量1.系统的特征值和特征向量状态空间的线性变换,只是改变了描述系统的角度(或说坐标系),系统的本质特征应保持不变。对于线性定常系统来说,系统的特征值(极点)决定了系统的基本特性。特征值应是系统不变的本质特征之一。系统经状态线性变换后,其本质特征之一的特征值应保持不变,亦即状态线性变换不改变系统的基本特性。下面先讨论矩阵特征值和特征向量的定义。1.系统的特征值和特征向量定义定义1 设v是n维非零向量,A是nn矩阵。若方程组Av=v成立,则称为矩阵A的特征值特征值,非零向量v为所对应的矩阵A的特征向量特征向量。将上述特征值的定义式写为(I-A)v=0 其中I为nn的单位矩阵。因此,由代数方程论可知,上式有非零特征向量v的解的充要条件为|I-A|=0 并称上式为矩阵A的特征方程特征方程,而|I-A|为A的特征多项式特征多项式。定义1 设v是n维非零向量,A是nn矩阵。若方程组将|I-A|展开，可得|I-A|=n+a1n-1+an-1+an=0其中ai(i=1,2,n)称为特征多项式的系数。因此,nn维的矩阵A的特征多项式为n阶多项式。若矩阵A为实矩阵,则对应的特征方程为一实系数代数方程,共有n个根。这n个根或为实数,或为成对出现的共轭复数。求解矩阵特征值的方法即为求解矩阵A的特征方程。n阶的特征方程的n个根1,2,n即为矩阵A的n个特征值。在得到特征值i后,由定义可求得矩阵对应于i的特征向量vi。将|I-A|展开，可得矩阵特征值的概念可推广至线性定常系统(A,B,C,D)。定义2 对于线性定常系统(A,B,C,D),系统的特征值即为系统矩阵A的特征值。关于系统特征值,几点注记:A.一个n维线性定常系统必然有n个特征值与之对应。B.对于物理上可实现的系统,其系统矩阵必为实矩阵。因此,线性定常系统的特征多项式必为实系数多项式,即系统的特征值或为实数,或为成对出现的共轭复数。矩阵特征值的概念可推广至线性定常系统(A,B,C,D)。2.系统特征值的不变性系统的特征值表征了系统本质的特征。而线性变换只是相当于对系统从另外一个角度来描述而已,并未改变系统的本质。刻划了系统本质特征的系统特征值应不随线性变换而改变,即有如下结论:线性定常系统特征值对线性变换具有不变性。2.系统特征值的不变性对于这个结论,亦可证明如下:设系统原状态空间模型中的系统矩阵为A,经线性变换后,系统矩阵为可见,系统经线性变换后,其特征值不变。矩阵 的特征多项式为即证明了A的特征多项式等于的 特征多项式。|I-A|=n+a1n-1+an-1+an=0对于这个结论,亦可证明如下:后,系统矩阵为可见,系统经线性变3.特征向量的计算如何求解特征值i对应的特征向量?求解特征向量,即求如下齐次矩阵代数方程的非零解(iI-A)vi=0由于i为A的特征值,故iI-A不可逆。因此,由代数方程理论可知,该方程组的解并不唯一。由特征向量的定义可知,我们需求解的是线性独立的特征向量。实际上,具体求特征向量时,可假定其特征向量的某个或几个元素的值,然后再求得该特征向量其他元素的值。3.特征向量的计算现代控制理论第一章课件现代控制理论第一章课件现代控制理论第一章课件当特征方程存在重根时,线性独立的特征向量可能不唯一。因此,就产生如下问题:问题问题:对应于特征值i究竟有几个独立的特征向量?答案答案:矩阵的重特征值i所对应的线性独立的特征向量可能不止一个。它的独立特征向量的数目等价于系统的维数与线性方程组的线性独立的方程数之差,即为n-rank(iI-A)其中rank为矩阵的秩。当特征方程存在重根时,线性独立的特征向量可能不唯一。因此,r重的特征值可能存在1至r个线性独立的特征向量。由此,导出如下问题:独立的特征向量数到底有什么意义？它与特征值的重数之间有何关系?下面引入代数重数与几何重数两个概念。代数重数代数重数。由特征方程求得的特征值i的重数称为特征值i的代数重数。几何重数几何重数。特征值i线性独立的特征向量数称为特征值i的几何重数。因此,r重的特征值可能存在1至r个线性独立的特征向量。例 求如下矩阵的特征向量q解解 1.由特征方程|I-A|=0求得系统的特征值。例 求如下矩阵的特征向量解 1.由特征方程|I-A|=0解该特征方程,可求得系统的特征值为1=1 2=3=2即2为系统的二重特征值,其代数重数为22.计算1=1的特征向量。按定义有(1I-A)v1=0即解该特征方程,可求得系统的特征值为解之得特征向量v1的通解为v1=v11 v11 2v11令v11=1,解之得v1=v11 v12 v13=1 1 23.计算重特征值2=3=2的特征向量。按定义有(2I-A)v2=0即解之得特征向量v1的通解为3.计算重特征值2=3=2的由于n-rank(2I-A)=2因此,特征值应有2个独立特征向量,故该重特征值的几何重数亦为2。解之得特征向量v2的通解为v2=v21 v22 v21令v21=1,v22=0和1,解之得v2=1 0 1 和 v3=1 1 1即重特征值2有两个线性独立的特征向量。由于4.广义特征向量某些重特征值的线性独立特征向量数(几何重数)小于其代数重数,从而使得矩阵所有特征值所对应的线性独立特征向量数之和小于矩阵维数。为此,为能进行空间的结构分解和分析,下面引入一组辅助的空间变换基向量-广义特征向量。定义 广义特征向量是重特征值i所对应的某个线性独立的特征向量vj满足如下方程组的向量vj,k:解上述方程组一直到无解为止,就可求得特征值i的特征向量vj所对应的所有广义特征向量vj,k。4.广义特征向量解上述方程组一直到无解为止,就可求得特征值重特征值i的特征向量vj的广义特征向量vj,1,vj,2,组成的向量链称为i的特征向量vj对应的特征向量链。广义特征向量并不是矩阵的特征向量,它只是与对应的特征向量组成该矩阵在n维线性空间中的一个不变子空间。矩阵的所有特征向量和广义特征向量线性独立,并且构成n维线性空间的一组基底。重特征值i的特征向量vj的广义特征向量vj,1,vj,2,q下面通过一个例子来简单介绍线性空间的特征子空间分解。例,某5维线性空间,存在一个3重特征值和一个2重特征值。3重特征值有2个独立特征向量,2重特征值有1个独立特征向量。则该线性空间可分解为如下3个独立的不变特征子空间。下面通过一个例子来简单介绍线性空间的特征子空间分解。现代控制理论第一章课件q若该5维线性空间,3重特征值有1个独立特征向量,2重特征值有2个独立特征向量。则该线性空间可分解为如下3个独立的不变特征子空间。若该5维线性空间,例例 求如下矩阵的特征向量和广义特征向量解解 1.由特征方程|I-A|=0可求得系统的特征值为1=2=3=-1即-1为系统的三重特征值,其代数重数为3。2.计算对应于三重特征值-1的特征向量。按定义有 (1I-A)v1=0例 求如下矩阵的特征向量和广义特征向量解 1.由特征方程|即由于 n-rank(1I-A)=2 因此,该特征值应有2个独立特征向量,故该重特征值的几何重数亦为2。由于该重特征值的几何重数小于代数重数，因此存在广义特征向量。解之得如下特征向量的通解式 v1=v11 v12 -(v11+v12)/2即由于 n-rank(1I-A)=2分别令两组独立的v11 v12即可求得三重特征值1的两个线性独立的特征向量。三重特征值-1只有两个线性独立特征向量,其几何重数为2。因此,重特征值-1的两个独立特征向量中有一个一定存在广义特征向量。下面通过求广义特征向量来辅助决定选取合适的v11和v12。分别令两组独立的v11 v12即可求得三重特征值1的3.计算对应于特征向量的广义特征向量。特征向量v1的广义特征向量v v1,2满足 (1I-A)v1,2=-v1即因此,根据方程的可解性,存在广义特征向量的特征向量v1中的v11和v12满足v11=-3v123倍关系3.计算对应于特征向量的广义特征向量。因此,根据方程的可解此时的广义特征向量的解为v1,2=r1 r2 -(r1+r2-v12)/2其中r1和r2为任意数。因此存在广义特征向量的特征向量v1为和其对应的广义特征向量可以分别取为v1=v11 v12 -(v11+v12)/2 =-3v12 v12 v12 =1 -1/3 -1/3v1,2=r1 r2 -(r1+r2-v12)/2 =1 2/3 -1此时的广义特征向量的解为另外一个不存在广义特征向量的三重特征值1的特征向量为v2=v11 v12 -(v11+v12)/2=1 0 -1/2p本例共求得3个特征向量和广义特征向量。由于矩阵A的维数为33,因此对应于上述特征向量和广义特征向量,已不存在其他广义特征向量。另外一个不存在广义特征向量的三重特征值1的特征向量为1.6.3 线性系统状态空间表达式的特征规范型线性系统状态空间表达式的特征规范型以特征值表征的标准型1、对角线规范型、对角线规范型对角线规范形是指系统矩阵A为对角线矩阵的一类状态空间模型。对于该类状态空间模型,由于在系统分析和综合时,清晰直观,使问题得以简化该类系统可简化成n个一阶惯性环节的并联故在状态空间分析法中是较重要的一类特殊状态空间模型。任何具有任何具有n个线性独立特征向量的状态空间模型一定能经状个线性独立特征向量的状态空间模型一定能经状态变换变换成对角线规范形。态变换变换成对角线规范形。1.6.3 线性系统状态空间表达式的特征规范型q结论 已知线性定常系统的状态方程为其中系统矩阵若A的n个特征值1,2,n所对应的特征向量线性独立,则必存在变换矩阵P,使其进行状态变换 x=P 后为对角线规范形,即系统的状态方程为为对角线矩阵,并且变换矩阵P可取为P=p1 p2 pn其中pi为矩阵A对应于特征值i的特征向量。结论 已知线性定常系统的状态方程为其中系统矩阵若A的n个特征证明 若pi为对应与特征值i的独立特征向量,则必有Api=ipi因此有Ap1 Ap2 Apn=1p1 2p2 npn对上式两边分别有 Ap1 Ap2 Apn=Ap1 p2 pn=AP证明 若pi为对应与特征值i的独立特征向量,则必有故AP=Pdiag1 2 n即P-1AP=diag1 2 n即证明了结论。对原状态方程进行线性变换 后,可得故即证明了结论。对原状态方程进行线性变换 例例：关于非奇异变换阵和状态方程的非唯一性：关于非奇异变换阵和状态方程的非唯一性考虑系统考虑系统 为：为：非奇异变换后非奇异变换后 1）若选择非奇异变换阵）若选择非奇异变换阵T为：为：结论结论：不同的非奇异变换阵，对应不同的状态方程，：不同的非奇异变换阵，对应不同的状态方程，非唯一性非唯一性2）若选择非奇异变换阵）若选择非奇异变换阵T为：为：对角线矩阵对角线矩阵对角线矩阵对角线矩阵例：关于非奇异变换阵和状态方程的非唯一性考虑系统 例例例例 线性定常系统线性定常系统 ，其中：，其中：将此状态方程化为对角线标准型将此状态方程化为对角线标准型.当当 时，时，2)确定非奇异矩阵确定非奇异矩阵P 解解解解:1)求其特征值求其特征值:例当 时，2)确定非奇异矩阵P 取取:当当 时，时，取取:同理当同理当 时，时，得得:取:当 时，取:同理当 3）求）求对角线标准型为：对角线标准型为：3）求对角线标准型为：2、约旦规范形、约旦规范形若系统存在重特征值且线性独立特征向量数小于该特征值若系统存在重特征值且线性独立特征向量数小于该特征值的重数时的重数时,则系统矩阵则系统矩阵A不能变换成对角线矩阵。不能变换成对角线矩阵。在此种情况下在此种情况下,A可变换成约旦矩阵可变换成约旦矩阵,系统表达式可变换成系统表达式可变换成约旦规范形。约旦规范形。下面将分别讨论下面将分别讨论约旦块和约旦矩阵约旦块和约旦矩阵约旦规范形及其计算约旦规范形及其计算2、约旦规范形1）约旦块和约旦矩阵矩阵的约旦块的定义为由l个约旦块Ji组成的块对角的矩阵称为约旦矩阵,如J=block-diagJ1 J2 Jl1）约旦块和约旦矩阵由l个约旦块Ji组成的块对角的矩阵称为下述矩阵均为约旦矩阵上述第一个约旦矩阵有两个约旦块,分别为11维的特征值2的约旦块和33维的特征值-1的约旦块;第二个约旦矩阵有三个约旦块,分别为11维的特征值3的约旦块以及11维和22维的特征值-1的两个约旦块。对角线矩阵可视为约旦矩阵的特例对角线矩阵可视为约旦矩阵的特例,其每个约旦块的维数为11。下述矩阵均为约旦矩阵上述第一个约旦矩阵有两个约旦块,分别为12)约旦规范形及其计算定义 系统矩阵A为约旦矩阵的状态空间模型称为约旦规范形。与对角线规范形一样,约旦规范形也是线性定常系统的状态空间分析中一种重要的状态空间模型。下面讨论一般状态空间模型与约旦规范形之间的线性变换的计算问题。对于任何有重特征值且其线性独立特征向量数小于其维数的矩阵,虽然不能通过相似变换化成对角线矩阵,但可经相似变换化为约旦矩阵。可经相似变换化为约旦矩阵。2)约旦规范形及其计算状态空间模型变换与对角线规范形、约旦矩阵规范状态空间模型变换与对角线规范形、约旦矩阵规范形的关系形的关系?一般状态空间表达式对角线规范形约旦规范形n个独立特征向量代数重数=几何重数代数重数几何重数n个独立特征向量与广义特征向量特例线性变换状态空间模型变换与对角线规范形、约旦矩阵规范形的关系?一般状若将对角线矩阵视为约旦矩阵的特例的话,则任何矩阵皆可经相似变换化为约旦矩阵。相应地,任何状态空间模型都可经状态变换变换成约旦规范形。对角线矩阵：各状态变量间是完全解耦的。对角线矩阵：各状态变量间是完全解耦的。约当型矩阵：各状态变量间最简单的耦合形式，每约当型矩阵：各状态变量间最简单的耦合形式，每个变量至多和下一个变量有关联。个变量至多和下一个变量有关联。任何矩阵都可变换成约旦矩阵,但能变换成有几个约旦块的约旦矩阵,则与系统的特征向量有关。对此有如下结论:矩阵所变换成的约旦矩阵的约旦块数等于该矩阵的线性独立特征向量数(即几何重数)。若将对角线矩阵视为约旦矩阵的特例的话,则任何矩阵皆可经相似变注意注意注意注意：对于每个特征值，其独立特征矢量的个数为：对于每个特征值，其独立特征矢量的个数为具有重特征根，但具有重特征根，但具有重特征根，但具有重特征根，但A A独立的特征向量的个数仍然为独立的特征向量的个数仍然为独立的特征向量的个数仍然为独立的特征向量的个数仍然为n n个个个个：由线性代数矩阵的对角化可知，此时，仍能变换成对角由线性代数矩阵的对角化可知，此时，仍能变换成对角线标准型。线标准型。具有重特征根，且具有重特征根，且具有重特征根，且具有重特征根，且A A独立的特征向量的个数小于独立的特征向量的个数小于独立的特征向量的个数小于独立的特征向量的个数小于n n个个个个：这种情况下，不能变换成对角线标准型。故引入这种情况下，不能变换成对角线标准型。故引入约当标准型。约当标准型。要进行线性变换，需增加广义特征矢量，构成要进行线性变换，需增加广义特征矢量，构成要进行线性变换，需增加广义特征矢量，构成要进行线性变换，需增加广义特征矢量，构成P P变换阵变换阵变换阵变换阵注意：对于每个特征值，其独立特征矢量的个数为具有重特征根，但结论结论 已知线性定常系统的状态方程为x=Ax+Bu若A的共有p(pn)个互异的特征值,l(pln)个线性独立特征向量pi及相应的广义特征向量pi,j(i=1,2,l;j=1,2,mi),则必存在变换矩阵P,使其进行状态变换x=P 后为约旦规范形,即系统的状态方程为其中系统矩阵为约旦矩阵,并且变换矩阵P可取为P=P1 P2 Pl变换矩阵 P=P1 P2 Pl中的Pi为矩阵A对应于线性独立特征向量pi的特征向量链组成的分块矩阵结论 已知线性定常系统的状态方程为其中系统矩阵为约旦矩阵,并q例 试将下列状态空间模型变换为约旦规范形例 试将下列状态空间模型变换为约旦规范形解解 1.先求A的特征值。由特征方程可求得特征值为1=2=3=2 4=-12.求特征值所对应的特征向量。求得特征值2由如下两个线性独立特征向量P1,1=1 1 -1 1/3 P2,1=1 0 0 -1p2,1的广义特征向量为P2,2=1 1 0 -1特征值-1的特征向量为P3,1=0 0 0 1解 1.先求A的特征值。由特征方程可求得特征值为3.取A的特征向量和广义特征向量组成变换矩阵P并求逆阵P-1,即有3.取A的特征向量和广义特征向量组成变换矩阵P并求逆阵P-4.计算各矩阵4.计算各矩阵3）当）当A阵为友矩阵阵为友矩阵对线性定常系统，如果其特征值对线性定常系统，如果其特征值 互异，互异，且系数矩阵且系数矩阵且系数矩阵且系数矩阵A A是友矩阵是友矩阵是友矩阵是友矩阵，则将系统状态方程化为对角线标准型的非奇异矩阵，则将系统状态方程化为对角线标准型的非奇异矩阵P是一个是一个范德蒙矩阵范德蒙矩阵范德蒙矩阵范德蒙矩阵，具有如下形式：，具有如下形式：3）当A阵为友矩阵其特征多项式为|I-A|=n+a1n-1+an-1+an即该类矩阵的最后一行与特征多项式的系数一一对应。该类特殊系统矩阵A称为友矩阵友矩阵。单位矩阵其特征多项式为单位友矩阵的特征向量的特点:当特征值为i时,其对应的特征向量为该结论可由下式证明。即pi为友矩阵的特征值i对应的特征向量。友矩阵的特征向量的特点:该结论可由下式证明。即pi为友矩阵的因此,当友矩阵的特征值互异时,将友矩阵变换成对角线矩阵的变换矩阵恰为下述范德蒙矩阵范德蒙矩阵q例 试将下列状态空间模型变换为对角线规范形因此,当友矩阵的特征值互异时,将友矩阵变换成对角线矩阵的变换解解 1.先求A的特征值。由特征方程可求得特征值为1=0 2=-1 3=-22.由于A为友矩阵,故将A变换成对角线矩阵的变换矩阵P及其逆阵P-1分别为解 1.先求A的特征值。由特征方程可求得特征值为3.计算各矩阵4.系统在新的状态变量下的状态空间模型为3.计算各矩阵4.系统在新的状态变量下的状态空间模型为 如果系数矩阵如果系数矩阵A是友矩阵是友矩阵 如果其特征值如果其特征值 是是m重根，重根，是两两相异的，则是两两相异的，则将系统状态方程化为将系统状态方程化为Jordan约当标准型的非奇异矩阵约当标准型的非奇异矩阵T，其形式为：其形式为：如果系数矩阵A是友矩阵 例例例例：线性定常系统线性定常系统 ，其中，其中将状态方程化为对角线标准型将状态方程化为对角线标准型.解解解解：1 1）确定系统特征值）确定系统特征值）确定系统特征值）确定系统特征值.例：解：2)2)确定非奇异变换阵确定非奇异变换阵确定非奇异变换阵确定非奇异变换阵T T2)确定非奇异变换阵Tq解解 1.先求A的特征值。由特征方程可求得特征值为1=-1 2=3=-2例：解 1.先求A的特征值。由特征方程可求得特征值为例：3.计算各矩阵2.由于A为友矩阵,故将A变换成对角线矩阵的变换矩阵P及其逆阵P-1分别为3.计算各矩阵2.由于A为友矩阵,故将A变换成对角线矩阵4.系统在新的状态变量下的状态空间模型为4.系统在新的状态变量下的状态空间模型为1.7 离散时间系统状态空间表达式离散时间系统状态空间表达式离散时间系统差分方程表示：考虑0初始条件，其对应脉冲传函为：1.7 离散时间系统状态空间表达式离散时间系统差分方程表示：其中x(kT)、u(kT)和和y(kT)分别分别为n维的状态向量、r维的输入向量和m维的输出向量;G(T)、H(T)、C(T)和和D(T)分别分别为nn维的系统矩阵、nr维的输入矩阵、mn维的输出矩阵和mr维的直接传输矩阵。离散系统的状态空间模型离散系统的状态空间模型其中x(kT)、u(kT)和y(kT)分别为n维的状态向量、离散系统状态空间模型的意义离散系统状态空间模型的意义:状态方程状态方程为一阶差分方程组,它表示了在(k+1)T采样时刻的状态x(k+1)T)与在kT采样时刻的状态x(kT)和输入u(kT)之间的关系。描述的是系统动态特性,其决定系统状态变量的动态变化。输出方程输出方程为代数方程组,它表示了在kT采样时刻时,系统输出y(kT)与状态x(kT)和输入u(kT)之间的关系。描述的是输出与系统内部的状态变量的关系。线性离散系统状态空间模型中的各矩阵的意义与连续系统一致。离散系统状态空间模型的意义:为书写简便,可将离散系统状态空间模型中的T省去q与连续系统相类似,线性定常离散系统状态空间模型的结构图如下图所示。线性定常离散系统状态空间模型的结构图为书写简便,可将离散系统状态空间模型中的T省去与连续系统相类小结习题：14；16；17；19(1)本章结束本章结束小结