控制与接口技术-状态方程-教学课件

华中科技大学研究生课程12024/6/23控制与接口技术控制与接口技术第一章 绪论第二章 线性离散系统的分析与校正第三章 控制系统的状态空间分析与综合第四章 STM32处理器及其应用第五章 数控（CNC）系统及其插补原理第六章 数控机床的伺服驱动系统第七章 SIMULINK交互式仿真集成环境华中科技大学研究生课程22024/6/23内容提要内容提要状态空间分析系统的优点状态空间分析系统的优点建立状态方程的方法建立状态方程的方法状态函数采样状态函数采样系统的可控性和可观性系统的可控性和可观性最优控制最优控制华中科技大学研究生课程32024/6/231、描述系统的方程具有统一的规范化的表达方式xx(t)=Ax=Ax(t)+Bu+Bu(t)y y(t)=Cx=Cx(t)+Du+Du(t)2、从本质上讲，它是一种时域分析方法(一组一阶常微分方程组)，有成熟的解析解和数值解的方法可供使用。3、不仅揭示了输入、输出之间(激励与响应)的关系，而且还揭示了系统内部各物理量(状态)的变化规律。4、该方法是一种统一的分析方法，既可以分析、处理离散系统，也可以分析、处理连续系统。状态空间分析系统的优点状态空间分析系统的优点华中科技大学研究生课程42024/6/23建立状态方程的方法建立状态方程的方法如果已知描述系统的微分方程，可以通过变量代换的方法建立状态方程。例：已知系统的微分方程令华中科技大学研究生课程52024/6/23逐次变换消去激励的导数项。令：x1=y-b2u y=x1+b2u 华中科技大学研究生课程62024/6/23令：x2=dx1/dt (b1-a1b2)u华中科技大学研究生课程72024/6/23串联形式系统传递函数串联形式系统传递函数1/s21/s231/s4x1x2x3uy串联串联形式形式华中科技大学研究生课程82024/6/23x11/s4/31/s23x2u1/s4x32/3并联并联形式形式并联形式系统传递函数并联形式系统传递函数华中科技大学研究生课程92024/6/23当其变量是一个向量时当其变量是一个向量时x(t)=Ax(t)+Bu(t)x(t)=Ax(t)+Bu(t)当其变量是一个标量时 x(t)=ax(t)+bu(t)若系统的初始条件为x(0)，其解为1/sCBA(1-e-Ts)/sD(z)r(t)e(k)u(k)u(t)x(t)y(t)？x(t)状态方程状态方程x(t)=Ax(t)+Bu(t)x(t)=Ax(t)+Bu(t)表示被控对象表示被控对象华中科技大学研究生课程102024/6/23构造函数构造函数 eAt x(t)，对其两端求导：，对其两端求导：几个重要的矩阵公式几个重要的矩阵公式华中科技大学研究生课程112024/6/23对式 x(t)=Ax(t)+Bu(t)两端左乘eAt eAt x(t)=eAt Ax(t)+eAt Bu(t)eAt x(t)eAt Ax(t)eAt Bu(t)左端恰为 deAt Ax(t)/dteAt Bu(t)对上式两端积分，有系统的时域解系统的时域解华中科技大学研究生课程122024/6/23状态方程的频域求解x(t)=Ax(t)+Bu(t)一组微分方程的矩阵描述！两端进行拉普拉斯变换，其矩阵描述为：sX(s)-x(0)=AX(s)+BU(s)X(s)=(sI-A)-1x(0)+BU(s)=(s)x(0)+BU(s)如果系统初始状态如果系统初始状态为为0，|(s)|是各是各状态传递函数的特状态传递函数的特征多项式。征多项式。系统的频域解系统的频域解华中科技大学研究生课程132024/6/23有 X(s)=(s)x(t0)+(s)BU(s)x(t)=L1(s)x(0)+L1(s)BU(s)与时域解比较有结论：系统的时域解与频域解的比较系统的时域解与频域解的比较状态转移矩阵状态转移矩阵eAt=L1(s)=L1(sI-A)-1华中科技大学研究生课程142024/6/23若对状态函数进行采样若对状态函数进行采样两边乘两边乘eAT tkT t(k+1)T 状态函数采样状态函数采样华中科技大学研究生课程152024/6/23两式相减令=(k+1)T-，d=d积分的上下限正好是一个采样周期。若被控对象前有一零阶保持器：u(t)=u(k)kTt(k+1)Tu(t)=u(k)kTt a=-1 0；1 0；b=expm(a)matlab语句语句设设T T1 1逆矩阵伴随阵逆矩阵伴随阵/矩阵行列式矩阵行列式华中科技大学研究生课程232024/6/23设系统输入为单位阶跃函数r(t)，控制变量为u(k)，系统初始条件为：x1(0)=x2(0)=0如果如果u(0)u(0)1/0.3681/0.368，则一拍达到目的。设调节器，则一拍达到目的。设调节器输出输出u(0)u(0)1/0.3681/0.368华中科技大学研究生课程242024/6/23如果希望x2(2)=1，则根据上式华中科技大学研究生课程252024/6/23 在控制工程中，有两个问题经常引起设计者的关心。那就是加入适当的控制作用后，能否在有限时间在有限时间内将系统从任一初始状态控制（转移）到希望的状态内将系统从任一初始状态控制（转移）到希望的状态上上，以通过对系统输出在一段时间内的观测，能否判对系统输出在一段时间内的观测，能否判断（识别）系统的初始状态断（识别）系统的初始状态。这便是控制系统的能控控制系统的能控性与能观性问题性与能观性问题。控制系统的能控性及能观性是现代理论中很重要的两个概念。在多变量最优控制系统中，能控性及能观性是最优控制问题解的存在性问题中最重要的问题，如果所研究的系统是不可控的，则最优控制问题的解是不存在的。系统的可控性和可观性系统的可控性和可观性华中科技大学研究生课程262024/6/23可控性定义：可控性定义：当系统用状态方程描述时，给定系统的任意初始状态，可以找到允许的输入量，在有限的时间内使系统的所有状态达到任一终止状态，则称系统是完全可控的。有状态方程xx(t)=AxAx(t)+BuBu(t)其解为：如果有限的时间内0 t t1内通过输入量u(t)的作用把系统的所有状态引向状态x x(t1)设x x(t1)=0，则应有：即在给定x x(0-)和A、B的条件下求可以使x x(t)=x x(t1)的u(t)。华中科技大学研究生课程272024/6/23换言之：上述方程有解则系统能控。根据凯莱哈米尔顿定理，e e-At-At、e eAtAt可写成有限级数：如果方程有解，等式右边左侧矩阵应满秩如果方程有解，等式右边左侧矩阵应满秩=n华中科技大学研究生课程282024/6/23可观性定义：可观性定义：当系统用状态方程描述时，给定控制后，如果系统的每一个初始状态初始状态x(0 x(0-)都可以在有限的时间内通过系统的输出输出y(t)y(t)唯一确定唯一确定，则称系统完全可观。若只能确定部分初始状态，则称系统部分可观。有状态方程 xx(t)=AxAx(t)+BuBu(t)y y(t t)=Cx=Cx(t)其解为：由于在讨论能观性问题时，输入是给定的，上式右侧第二项是确知的，设u(t)=0。y y(t t)=Ce=CeAtAtx x(0-)华中科技大学研究生课程292024/6/23根据凯莱哈米尔顿定理，e e-At-At、e eAtAt可写成有限级数：如果方程有解，等式右侧中间侧矩阵应满秩。秩如果方程有解，等式右侧中间侧矩阵应满秩。秩=n(=n(系统的阶数系统的阶数)华中科技大学研究生课程302024/6/23对离散系统xn1(k+1)=Fnnxn1(k)+Gnmum1(k)yp1(k)=Cpnxn1(k)可以推出完全可控和可观的充分必要条件为：华中科技大学研究生课程312024/6/23状态变量反馈状态变量反馈 一个系统的性能取决于系统零极点的配置，其时间响应的模态是由其极点的位置所决定的，如果可以对闭环控制系统的极点进行预先进行配置对闭环控制系统的极点进行预先进行配置，根据极点的配置设计调节器，则系统的输出会按照我们预先的想象实现。可以证明：如果系统的状态是完全能控的，则系统的极点可任意配置。有状态方程 xx(t)=AxAx(t)+BuBu(t)若使调节器的输出为系统所有状态的负反馈，有 u u(t)=-KxKx(t)x x(t)=(A ABKBK)x x(t)华中科技大学研究生课程322024/6/23在前面的推导中，有三个条件应满足：系统完全能控假设给定输入r r(t)=0；所有的系统状态x x(t)可以得到。于是，方程 xx(t)=(A ABKBK)x x(t)就成为状态的零输入响应方程，其解为状态的零输入响应。其响应过程取决于系统的极点配置。对其进行拉普拉斯变换：sX X(s)-x-x(0-)=(A ABKBK)X X(s)控制器被控对象Cx(t)y(t)r(t)u(t)华中科技大学研究生课程332024/6/23sX X(s)=(A ABKBK)X X(s)+x+x(0-)X X(s)=(sI-A+BKI-A+BK)-1-1x x(0-)|(sI-A+BKI-A+BK)|是系统状态运动方程的特征函数，极点可通过K K的调整而任意配置。因为因为(sI-A+BKI-A+BK)-1-1sI-A+BKI-A+BK*/|(sI-A+BKI-A+BK)|华中科技大学研究生课程342024/6/23最优控制最优控制 最优控制是控制系统设计的一种方法。它所研究最优控制是控制系统设计的一种方法。它所研究的中心问题是如何选择控制信号，才能保证控制的中心问题是如何选择控制信号，才能保证控制系统的性能在某种意义下最优。本章内容为：系统的性能在某种意义下最优。本章内容为：1.引言引言2.用变分法求解最优控制问题用变分法求解最优控制问题3.极小值原理及其在快速控制中的应用极小值原理及其在快速控制中的应用4.用动态规划法求解最优控制问题用动态规划法求解最优控制问题5.线性状态调节器线性状态调节器6.线性伺服机问题线性伺服机问题华中科技大学研究生课程352024/6/23数字化伺服压力机控制系统数字化伺服压力机控制系统图1 曲柄连杆压力机ARM控制系统原理图华中科技大学研究生课程362024/6/23数字化伺服压力机控制系统模型数字化伺服压力机控制系统模型图2伺服电机控制系统框图华中科技大学研究生课程372024/6/23伺服电机控制系统模型伺服电机控制系统模型图2伺服电机控制系统框图华中科技大学研究生课程382024/6/23伺服电机控制硬件系统伺服电机控制硬件系统ADCPWMGPIOUART1UART2CANADCMCSPIUART33.3V键盘输入数字显示电流反馈电压反馈转速反馈FLASH存储器3.3V电源输入电机控制连接器RS232通讯RS232通讯LIN总线通讯CAN总线通讯STM32F103图3伺服电机控制硬件框架图华中科技大学研究生课程392024/6/23伺服电机控制软件构架伺服电机控制软件构架应用层STM32F103xx标准库STM32F103xx 外部软件速度，磁通，转矩 PID速度反馈电流反馈SVPWMFOC 驱动用户接口STM32F103xx电机控制库图4伺服电机控制软件框架华中科技大学研究生课程402024/6/23数字化伺服压力机数学模型数字化伺服压力机数学模型PMSM的运动方程为华中科技大学研究生课程412024/6/23曲柄连杆滑块机构曲柄连杆滑块机构曲轴上所受的扭矩摩擦阻力矩华中科技大学研究生课程422024/6/231 引言引言什么是最优控制？以下通过直流他励电机的控制问题来说明什么是最优控制？以下通过直流他励电机的控制问题来说明问题问题1电动机的运动方程为电动机的运动方程为（1）其中，其中，为转矩系数；为转矩系数；为转动为转动惯量；惯量；为恒定的负载转矩；为恒定的负载转矩；希望：在时间区间希望：在时间区间0，tf内，电动机从静止起动，转过一定角度内，电动机从静止起动，转过一定角度后停止，使电枢电阻后停止，使电枢电阻 上的损耗上的损耗 最小，求最小，求因为因为 是时间的函数，是时间的函数，E 又是又是 的函数，的函数，E 是函数的函数，是函数的函数，称为泛函。称为泛函。（2）华中科技大学研究生课程432024/6/23采用状态方程表示，令采用状态方程表示，令于是于是（3）初始状态初始状态末值状态末值状态控制控制 不受不受限制限制性能指标性能指标（4）本问题的最优控制问题是：在数学模型（本问题的最优控制问题是：在数学模型（3）的约束下，寻求一个）的约束下，寻求一个控制控制 ，使电动机从初始状态转移到末值状态，性能指标，使电动机从初始状态转移到末值状态，性能指标E 为最小。为最小。华中科技大学研究生课程442024/6/23问题问题2对于问题对于问题1中的直流他励电动机，如果电动机从初始中的直流他励电动机，如果电动机从初始时刻时刻 的静止状态转过一个角度的静止状态转过一个角度 又停下，求控制又停下，求控制 （是受到限制的），使得所需时间最短。是受到限制的），使得所需时间最短。这也是一个最优控制问题：这也是一个最优控制问题：系统方程为系统方程为初始状态初始状态末值状态末值状态（5）性能指标性能指标（6）最优控制问题为：在状态方程的约束下，寻求最优控制最优控制问题为：在状态方程的约束下，寻求最优控制，将，将 转移到转移到 ，使，使J 为极小。为极小。华中科技大学研究生课程452024/6/23最优控制问题的一般性提法最优控制问题的一般性提法系统状态方程为系统状态方程为初始状态为初始状态为其中，其中，x 为为n 维状态向量；维状态向量；u 为为r 维控制向量；维控制向量；f 为为n 维向量函维向量函数，它是数，它是 x、u 和和t 的连续函数，并且对的连续函数，并且对x、t 连续可微。连续可微。最优。其中最优。其中 是是 x、u 和和t 的连续函数的连续函数 寻求在寻求在 上的最优控制上的最优控制 或或 ，以将系统状态从，以将系统状态从 转移到转移到 或或 的一个集的一个集合，并使性能指标合，并使性能指标最优控制问题就是求解一类带有约束条件的条件泛函极值问题。最优控制问题就是求解一类带有约束条件的条件泛函极值问题。华中科技大学研究生课程462024/6/23补充：泛函与变分法补充：泛函与变分法一、泛函与变分一、泛函与变分1、泛函的基本定义：、泛函的基本定义：如果对于某个函数集合如果对于某个函数集合 中的每一个函数中的每一个函数 ，变量，变量J 都都有一个值与之对应，则称变量有一个值与之对应，则称变量J 为依赖于函数为依赖于函数 的泛函，记的泛函，记作作可见，泛函为标量，可以理解为可见，泛函为标量，可以理解为“函数的函数函数的函数”例如：例如：（其中，（其中，为在为在 上连续可积上连续可积函数）函数）当当 时，有时，有 ；当；当 时，有时，有 。华中科技大学研究生课程472024/6/23泛函泛函 如果满足以下条件时，称为线性泛函：如果满足以下条件时，称为线性泛函：1），其中，其中c 为任意常数；为任意常数；2）对于一个任意小正数对于一个任意小正数 ，总是可以找到，总是可以找到 ，当，当 时，有时，有 就称泛函就称泛函 在在 处处是连续的。是连续的。2、泛函的变分、泛函的变分所谓泛函所谓泛函 的宗量的宗量 的变分是指两个函数间的差。的变分是指两个函数间的差。定义：设定义：设 是线性赋泛空间是线性赋泛空间 上的连续泛函，其增量可表上的连续泛函，其增量可表示为示为其中，其中，是关于是关于 的线性连续泛函，的线性连续泛函，是是关于关于 的高阶无穷小。则的高阶无穷小。则 称为泛函称为泛函 的变分。的变分。华中科技大学研究生课程482024/6/233、泛函变分的规则、泛函变分的规则1）2）3）4）泛函的变分等于泛函的变分等于华中科技大学研究生课程492024/6/23定理定理：设：设 是在线性赋泛空间是在线性赋泛空间 上某个开子集上某个开子集D 中定中定义的可微泛函，且在义的可微泛函，且在 处达到极值，则泛函处达到极值，则泛函 在在 处必有处必有4、泛函的极值、泛函的极值设设 是在线性赋泛空间是在线性赋泛空间 上某个子集上某个子集D 中的线性连续中的线性连续泛函，泛函，若在，若在 的某领域内的某领域内在在 时，均有时，均有00或或则称则称 在在 处达到极大值或极小值。处达到极大值或极小值。华中科技大学研究生课程502024/6/23欧拉方程：欧拉方程：定理：设有如下泛函极值问题：定理：设有如下泛函极值问题：其中，其中，及及 在在 上连续可微，上连续可微，和和 给定，给定，已知已知 ，则极值轨，则极值轨线线 满足如下欧拉方程满足如下欧拉方程及横截条件及横截条件注意：满足欧拉方程是必要条件，不是充分条件。注意：满足欧拉方程是必要条件，不是充分条件。华中科技大学研究生课程512024/6/232 用变分法求解最优控制问题用变分法求解最优控制问题2.1 末值时刻固定、末值状态自由情况下的最优控制末值时刻固定、末值状态自由情况下的最优控制非线性时变系统状态方程为非线性时变系统状态方程为（6）初始状态初始状态（7）其中，其中，x 为为n 维状态向量；维状态向量；u 为为r 维控制向量；维控制向量；f 为为n 维向量函数。维向量函数。要求在控制空间中寻求一个最优控制向量要求在控制空间中寻求一个最优控制向量 ，使以下性能指，使以下性能指标标（8）沿最优轨线沿最优轨线 取极小值。取极小值。（性能指标如（性能指标如（8 8）式所示的最优控制问题，是变分法中的波尔扎）式所示的最优控制问题，是变分法中的波尔扎问题问题）华中科技大学研究生课程522024/6/233 极小值原理及其在快速控制中的应用极小值原理及其在快速控制中的应用3.1 问题的提出问题的提出 用变分法求解最优控制时，认用变分法求解最优控制时，认为控制向量为控制向量 不受限制。但不受限制。但是是实际的系统，控制信号都是受到实际的系统，控制信号都是受到某种限制的。某种限制的。因此，应用控制方程因此，应用控制方程来确定最优控制，可能出错。来确定最优控制，可能出错。a)图中所示，图中所示，H 最小值出现在左最小值出现在左侧，不满足控制方程。侧，不满足控制方程。b)图中不存在图中不存在 华中科技大学研究生课程532024/6/233.2 极小值原理极小值原理非线性定常系统的状态方程为非线性定常系统的状态方程为初始时刻初始时刻 ，初始状态，初始状态 ，末值时刻，末值时刻 ，末端状态，末端状态 自由自由性能指标为末值型性能指标性能指标为末值型性能指标要求在状态方程约束下，寻求最优控制要求在状态方程约束下，寻求最优控制 及及 使使系统从系统从转移到转移到 ，并使，并使J 取极小值。取极小值。华中科技大学研究生课程542024/6/23以下就是用极小值原理解前面的问题：以下就是用极小值原理解前面的问题：设设 为容许控制，为容许控制，为对应的状态轨线。为了使它们分为对应的状态轨线。为了使它们分别成为最优控制别成为最优控制 和最优轨线和最优轨线 ，存在一个向量函数，存在一个向量函数 ，使得，使得其中哈密顿函数：其中哈密顿函数：和和 满足边界条件满足边界条件华中科技大学研究生课程552024/6/23则哈密顿函数则哈密顿函数H 相对最优控制取极小值，即相对最优控制取极小值，即或者或者在末值时刻在末值时刻 是自由的情况是自由的情况哈密顿函数沿最优轨线随时间的变化规律：哈密顿函数沿最优轨线随时间的变化规律：在末值时刻在末值时刻 是固定的情况是固定的情况几点说明：几点说明：1）极小值原理给出的只是最优控制应该满足的）极小值原理给出的只是最优控制应该满足的必要条件。必要条件。2）极小值原理的结果与用变分法求解最优问题的结果相比，）极小值原理的结果与用变分法求解最优问题的结果相比，差别仅在于差别仅在于极值条件。极值条件。4）非线性时变系统非线性时变系统也有极小值原理。也有极小值原理。3）这里给出了极小值原理，而在庞德里亚金著作论述的是）这里给出了极小值原理，而在庞德里亚金著作论述的是极极大值原理。大值原理。因为求性能指标因为求性能指标J的极小值与求的极小值与求J的极大值等价。的极大值等价。华中科技大学研究生课程562024/6/234 用动态规划法求解最优控制问题用动态规划法求解最优控制问题右图为某小城镇交通路线图。右图为某小城镇交通路线图。起点站为起点站为S，终点站为，终点站为F，站与站之间的里程标在图上，要求选择一条路线站与站之间的里程标在图上，要求选择一条路线走法，使里程最短。这是一个最优控制问题。走法，使里程最短。这是一个最优控制问题。一种办法是将从一种办法是将从S 到到F 所有可能走法都列出来，并且把每所有可能走法都列出来，并且把每种走法的里程标在各条路线上，找出最短的。种走法的里程标在各条路线上，找出最短的。4.1 动态规划法的基本思想动态规划法的基本思想华中科技大学研究生课程572024/6/23华中科技大学研究生课程582024/6/23第二个办法：从最后一段开始，第二个办法：从最后一段开始，向前倒推。当倒推到某一站时，向前倒推。当倒推到某一站时，计算该站到终点站的总里程，计算该站到终点站的总里程，并选择里程最少的走法。并选择里程最少的走法。华中科技大学研究生课程592024/6/23从该例看出，这种解法有两个特点从该例看出，这种解法有两个特点:第一，它把一个复杂的问第一，它把一个复杂的问题（即：决定一条路线的选择问题）变成许多个简单的问题题（即：决定一条路线的选择问题）变成许多个简单的问题（即：每次只决定向上走（即：每次只决定向上走（p）还是向下走（）还是向下走（q）的问题），）的问题），因此问题的求解变得简单容易了。因此问题的求解变得简单容易了。不变嵌入原理的含义是：为了解决一个特定的最优控制问题，不变嵌入原理的含义是：为了解决一个特定的最优控制问题，而把原问题嵌入到一系列相似的但易于求解的问题中去。对于而把原问题嵌入到一系列相似的但易于求解的问题中去。对于一个多级最优控制过程来说，就是把原来的多级最优控制问题一个多级最优控制过程来说，就是把原来的多级最优控制问题代换成一系列单级最优控制问题。代换成一系列单级最优控制问题。华中科技大学研究生课程602024/6/235 线性状态调节器线性状态调节器5.1 引言引言 线性系统以二次型为性能指标的最优控制问题，已经在国线性系统以二次型为性能指标的最优控制问题，已经在国内、外的工程实践中得到应用。原因如下：内、外的工程实践中得到应用。原因如下：1）被控对象是线性的，最优控制问题容易求得解析解。）被控对象是线性的，最优控制问题容易求得解析解。2）线性系统最优控制的结果，可以在小信号条件下，应用于）线性系统最优控制的结果，可以在小信号条件下，应用于非线性系统。非线性系统。3）最优控制器是线性的，易于实现。）最优控制器是线性的，易于实现。4）线性、二次型性能指标的最优控制问题除了得到最优解外，）线性、二次型性能指标的最优控制问题除了得到最优解外，还可以导出经典控制理论的一些特性。还可以导出经典控制理论的一些特性。华中科技大学研究生课程612024/6/235.2 有限时间状态调节器有限时间状态调节器线性时变系统的状态方程为线性时变系统的状态方程为寻找一个最优控制寻找一个最优控制 ，使，使为极小。为极小。其中，其中，x 为为n 维状态向量；维状态向量；u 为为r 维控制向量，且维控制向量，且u 不受限制。不受限制。其中，其中，F为为 对称半正定常数阵；对称半正定常数阵；为为 对对称半正定时变阵。称半正定时变阵。为为 对称正定时变阵。对称正定时变阵。华中科技大学研究生课程622024/6/23求解这个最优控制问题，可以用极小值原理，也可以用动态求解这个最优控制问题，可以用极小值原理，也可以用动态规划法。这里用极小值原理来求解。规划法。这里用极小值原理来求解。1）哈密顿函数为）哈密顿函数为2）伴随方程为）伴随方程为3）控制方程为）控制方程为故故J 取极小值取极小值华中科技大学研究生课程632024/6/234）将）将 代入状态方程得代入状态方程得初始状态为初始状态为可求解这个最优控制问题。可求解这个最优控制问题。另外一种求解方式：另外一种求解方式：设设其中，其中，为待定的为待定的 时变阵时变阵 对对t 求导，并且求导，并且华中科技大学研究生课程642024/6/23写成写成可以得到可以得到上式称为上式称为Riccati微分方程。其边界条件为微分方程。其边界条件为得到得到华中科技大学研究生课程652024/6/23状态反馈的闭环方程为状态反馈的闭环方程为其中其中两点说明：两点说明：1）由于矩阵黎卡提微分方程的解为对称）由于矩阵黎卡提微分方程的解为对称因此有因此有 个独立的非线性标量微分方程。个独立的非线性标量微分方程。2）最优性能指标为）最优性能指标为华中科技大学研究生课程662024/6/236 线性伺服机问题线性伺服机问题 要求系统输出跟踪某个指定的输入函数问题，称为伺服机问题。要求系统输出跟踪某个指定的输入函数问题，称为伺服机问题。有限时间伺服机问题有限时间伺服机问题线性时变系统方程线性时变系统方程要求系统的输出跟踪指定的输入函数要求系统的输出跟踪指定的输入函数 。与输出向量与输出向量y 有相同维数。寻求最优控制有相同维数。寻求最优控制 ，使以下性能指标取极小值。，使以下性能指标取极小值。性能指标性能指标J 中的加权阵中的加权阵F 和和 Q(t)为半正定，为半正定，R(t)为正定。为正定。华中科技大学研究生课程672024/6/23哈密顿函数为哈密顿函数为由控制方程由控制方程得到得到由伴随方程由伴随方程边界条件为边界条件为可以得到可以得到华中科技大学研究生课程682024/6/23可见，伺服机问题变成两点边界值问题。可见，伺服机问题变成两点边界值问题。对时间求导，得对时间求导，得，有，有得得另外一种方法：这时不能像线性调节器那样，仅认为另外一种方法：这时不能像线性调节器那样，仅认为 和和 有关系。为此，设有关系。为此，设华中科技大学研究生课程692024/6/23可以得到可以得到解出解出 和和 后，就求得最优控制后，就求得最优控制可见，可见，包括两项：一项是状态包括两项：一项是状态x 反馈；另一项代表跟踪反馈；另一项代表跟踪 所必须的控制信号。所必须的控制信号。谢谢！