数学心理与数学教学课件

2024/6/231数学、数学认知心理与数学教学数学、数学认知心理与数学教学首都师范大学数学科学学院首都师范大学数学科学学院连四清连四清2024/6/2321 数学教育系统数学教育系统学习氛围学习氛围学习氛围学习氛围学习材料学习材料学习材料学习材料学习条件学习条件学习条件学习条件 学习动机学习动机学习动机学习动机知识基础知识基础知识基础知识基础能力基础能力基础能力基础能力基础学习方法学习方法学习方法学习方法学习习惯学习习惯学习习惯学习习惯记忆能力记忆能力记忆能力记忆能力学生学生学生学生内因内因内因内因外因外因外因外因教师教师教师教师数学数学数学数学学习环境学习环境学习环境学习环境数学能力数学能力数学能力数学能力教学知识教学知识教学知识教学知识学习知识学习知识学习知识学习知识性格特征性格特征性格特征性格特征抽象性抽象性抽象性抽象性严谨性严谨性严谨性严谨性广泛的广泛的广泛的广泛的应用性应用性应用性应用性复杂性复杂性复杂性复杂性2024/6/233数学教育系统的三大特性数学教育系统的三大特性l l随机性随机性l l动力性动力性l l混沌性混沌性2024/6/234存在最佳的教学策略和学习方式吗存在最佳的教学策略和学习方式吗？l没有最佳的教学策略（教学改革历史中的钟摆现象）l山东杜郎口模式。l有媒体称：“为所欲为，用在中学的学生身上，绝对是个名副其实的褒义词。干些自己想干的事，他们名正言顺地做到了。自由并不散漫，争辩但不争吵，在杜郎口中学里面，教育变得非常纯粹，师生变得非常单纯。”2024/6/235l l大胆的预言：没有最有效的学习方式。大胆的预言：没有最有效的学习方式。l l新课程改革：转变学习方式，实现自主合作、新课程改革：转变学习方式，实现自主合作、探究式学习。探究式学习。23 六月 20246我国我国课堂教学形式进行的调查课堂教学形式进行的调查学生自主性学习方式使用频度（学生自主性学习方式使用频度（%）表）表23 六月 20247研究者的分析研究者的分析 调查结果显示，我国义务教育目前的教与学调查结果显示，我国义务教育目前的教与学的方式，以被动接受式为主要特征。这一被动的方式，以被动接受式为主要特征。这一被动接受式的表现之一是接受式的表现之一是教学以讲授为主教学以讲授为主，很少让，很少让学生通过自己的活动与实践学生通过自己的活动与实践来获取知识，得到来获取知识，得到发展。发展。23 六月 20248接受学习接受学习发现学习发现学习机械学习机械学习有意义学习有意义学习这说明：讲解教学，并不一这说明：讲解教学，并不一定导致机械学习！定导致机械学习！l l教育是大智慧：平衡方法、平衡学习方式；选教育是大智慧：平衡方法、平衡学习方式；选择中有平衡。择中有平衡。2024/6/2392024/6/23102 数学是什么？l l恩格斯曾经概括为：恩格斯曾经概括为：“纯数学的研究对象是纯数学的研究对象是现实世界的空间形式和数量关系。现实世界的空间形式和数量关系。”l l数学是文化，技术、是科学。数学是文化，技术、是科学。l l数学是模式等。数学是模式等。2024/6/2311对数学认识的现状对数学认识的现状l l2002200220022002年国际数学家大会花絮年国际数学家大会花絮年国际数学家大会花絮年国际数学家大会花絮l l3 3位院士和一位数学特级教师与学生交流。位院士和一位数学特级教师与学生交流。位院士和一位数学特级教师与学生交流。位院士和一位数学特级教师与学生交流。l l学生们第一问直奔主题学生们第一问直奔主题学生们第一问直奔主题学生们第一问直奔主题数学是什么。数学是什么。数学是什么。数学是什么。l l“数学家是不是整天拿着一支笔没完没了地在纸数学家是不是整天拿着一支笔没完没了地在纸数学家是不是整天拿着一支笔没完没了地在纸数学家是不是整天拿着一支笔没完没了地在纸上计算？上计算？上计算？上计算？”一位男同学问道。一位男同学问道。一位男同学问道。一位男同学问道。l l王元院士澄清王元院士澄清王元院士澄清王元院士澄清“当然不是。当然不是。当然不是。当然不是。”他说，数学家首先他说，数学家首先他说，数学家首先他说，数学家首先必须有必须有必须有必须有想法想法想法想法，计算是为证实这种想法，只是数学，计算是为证实这种想法，只是数学，计算是为证实这种想法，只是数学，计算是为证实这种想法，只是数学工作的一部分。如同你们做代数几何习题，没有工作的一部分。如同你们做代数几何习题，没有工作的一部分。如同你们做代数几何习题，没有工作的一部分。如同你们做代数几何习题，没有想法怎么能计算和证明呢？想法怎么能计算和证明呢？想法怎么能计算和证明呢？想法怎么能计算和证明呢？2024/6/2312学生眼中的数学学生眼中的数学l北京一位数学特级教师在班里搞了一项调查，北京一位数学特级教师在班里搞了一项调查，题目是题目是“数学是什么？数学是什么？”l一个学生写道：一个学生写道：“数学是一些居心叵测的成年数学是一些居心叵测的成年人为学生挖的陷阱人为学生挖的陷阱！”l另一个学生也说：另一个学生也说：“数学是一些仅仅出现在课数学是一些仅仅出现在课本和试卷上的，让某些老师看着学生崴脚而感本和试卷上的，让某些老师看着学生崴脚而感到窃喜的东西到窃喜的东西。”l学生的幽默令他感到悲哀，原来他们这些用尽学生的幽默令他感到悲哀，原来他们这些用尽心力教学的老师，在学生心目中无非是一些挖心力教学的老师，在学生心目中无非是一些挖坑布雷的高手，而数学竟成为老师惩治学生的坑布雷的高手，而数学竟成为老师惩治学生的工具。他开始思考，我们的中学数学到底怎么工具。他开始思考，我们的中学数学到底怎么了？了？2024/6/2313这是数学吗？这是数学吗？l美妙的数字美妙的数字100万万l我很感谢这本我很感谢这本“数学书数学书”，它不仅让我学到了，它不仅让我学到了很多数学知识，而且还让我把所学的知识运用很多数学知识，而且还让我把所学的知识运用到了实际生活中，学会了很多做人与做事的道到了实际生活中，学会了很多做人与做事的道理。理。2024/6/2314一个调查：不会游泳的人一个调查：不会游泳的人l l个人点评：个人点评：数学让人的思维变得理性数学让人的思维变得理性和更加聪明：只要有一定数学素养的和更加聪明：只要有一定数学素养的人，应该能够看出其中的问题。人，应该能够看出其中的问题。2024/6/2315数学教育与生活实际的关系进行的调查数学教育与生活实际的关系进行的调查l l调查的问题：调查的问题：身高身高1.71.7米（不会游泳）的人走入平均水米（不会游泳）的人走入平均水深为深为0.80.8米的河流，问此人是否有危险？米的河流，问此人是否有危险？l l调查对象：北京市某些中学初一、初二学生调查对象：北京市某些中学初一、初二学生2024/6/2316 调查结果：调查结果：有百分三十几的学生答有百分三十几的学生答对了，有百分之六十几的学生答错了。对了，有百分之六十几的学生答错了。研究者的分析：虽然学生能够研究者的分析：虽然学生能够迅速、正确的求出平均数，但是迅速、正确的求出平均数，但是在实际生活中，居然有百分之六在实际生活中，居然有百分之六十几的学生答错了题，这说明我十几的学生答错了题，这说明我国的数学教育严重与生活实际相国的数学教育严重与生活实际相脱离。脱离。研究者认为：正确答案为研究者认为：正确答案为“有危险有危险”！推介的观点推介的观点l美国国家研究委员会在1989年发表的致全国公民的一份关于数学教育现状与前景的报告（Everybody Counts:A Report to the Nation on the Future of Mathematics Education)。2024/6/23172024/6/2318l l这份报告调查了美国从幼儿园到研究生阶这份报告调查了美国从幼儿园到研究生阶段的数学教育状况，分析了美国数学教育段的数学教育状况，分析了美国数学教育的各个方面，报告指出了当时美国数学教的各个方面，报告指出了当时美国数学教育中存在的问题。育中存在的问题。l l大力呼吁进行数学教育改革，从根本上提大力呼吁进行数学教育改革，从根本上提高学生的数学水平。虽然这份报告至今也高学生的数学水平。虽然这份报告至今也有近三十年了，但是其中的一些观点还被有近三十年了，但是其中的一些观点还被我国的很多学者所应用。我国的很多学者所应用。2024/6/2319这份报告中对数学的描述这份报告中对数学的描述l l数学已经远不止是算术和几何，而是一门丰富多数学已经远不止是算术和几何，而是一门丰富多数学已经远不止是算术和几何，而是一门丰富多数学已经远不止是算术和几何，而是一门丰富多彩的学科了。现代数学所处理的是科学中的数据、彩的学科了。现代数学所处理的是科学中的数据、彩的学科了。现代数学所处理的是科学中的数据、彩的学科了。现代数学所处理的是科学中的数据、测量和观测资料；是推断、演绎、证明；是自然测量和观测资料；是推断、演绎、证明；是自然测量和观测资料；是推断、演绎、证明；是自然测量和观测资料；是推断、演绎、证明；是自然现象、社会行为、社会系统的数学模型现象、社会行为、社会系统的数学模型现象、社会行为、社会系统的数学模型现象、社会行为、社会系统的数学模型.l l数学是模式和秩序的科学数学是模式和秩序的科学数学是模式和秩序的科学数学是模式和秩序的科学，数学的领域不是分子、，数学的领域不是分子、，数学的领域不是分子、，数学的领域不是分子、细胞，而是细胞，而是细胞，而是细胞，而是数、机会、形状、算法和变化数、机会、形状、算法和变化数、机会、形状、算法和变化数、机会、形状、算法和变化。作为。作为。作为。作为研究抽象对象的科学，数学依靠逻辑而不是观测研究抽象对象的科学，数学依靠逻辑而不是观测研究抽象对象的科学，数学依靠逻辑而不是观测研究抽象对象的科学，数学依靠逻辑而不是观测结果作为其真理的标准，但是数学也适用观测、结果作为其真理的标准，但是数学也适用观测、结果作为其真理的标准，但是数学也适用观测、结果作为其真理的标准，但是数学也适用观测、模拟甚至实验作为发现真理的根据。模拟甚至实验作为发现真理的根据。模拟甚至实验作为发现真理的根据。模拟甚至实验作为发现真理的根据。2024/6/2320l l在教育中数学的特殊作用来自数学的普遍应在教育中数学的特殊作用来自数学的普遍应用性。数学的结果（定理和理论）既重要而用性。数学的结果（定理和理论）既重要而且有用；不仅如此，数学还向科学提供真理且有用；不仅如此，数学还向科学提供真理的基础，也提供了正确性的标准。的基础，也提供了正确性的标准。l l除了定理和理论之外，数学提供了除了定理和理论之外，数学提供了有特色的有特色的思考方式思考方式，包括，包括建立模型、抽象化、最优化、建立模型、抽象化、最优化、逻辑分析、从数据进行推理以及应用符号逻辑分析、从数据进行推理以及应用符号等，等，它们是普遍适用并且强有力的思考方式。它们是普遍适用并且强有力的思考方式。2024/6/2321l l应用这些思考问题方式的经验构成了数学能力应用这些思考问题方式的经验构成了数学能力在当今这个技术时代日益重要的一种智力，在当今这个技术时代日益重要的一种智力，它使人们能够批判地阅读，能识别谬误，能深它使人们能够批判地阅读，能识别谬误，能深察偏见、能估计风险，能提出变通方法，数学察偏见、能估计风险，能提出变通方法，数学能使我们更好地了解我们生活在其中的充满信能使我们更好地了解我们生活在其中的充满信息的世界。息的世界。寻求一种近乎于直观的表达方式寻求一种近乎于直观的表达方式l一对少年儿童不超过50人，围成一圈作游戏，每个儿童的左右相邻的都恰好是一个男孩和一个女孩，请你判断，这对少年儿童最多有多少人？为什么？2024/6/2322l l在解决一些数学问题时，如果我们寻求到直观的在解决一些数学问题时，如果我们寻求到直观的在解决一些数学问题时，如果我们寻求到直观的在解决一些数学问题时，如果我们寻求到直观的表示数学关系的方法，那么对问题解决而言，我表示数学关系的方法，那么对问题解决而言，我表示数学关系的方法，那么对问题解决而言，我表示数学关系的方法，那么对问题解决而言，我们就会有些想法。们就会有些想法。们就会有些想法。们就会有些想法。l l解决问题的初始想法都应该是朴实的，简单的。解决问题的初始想法都应该是朴实的，简单的。解决问题的初始想法都应该是朴实的，简单的。解决问题的初始想法都应该是朴实的，简单的。l l现在的基础数学教育使得我们的学生没有了想法现在的基础数学教育使得我们的学生没有了想法现在的基础数学教育使得我们的学生没有了想法现在的基础数学教育使得我们的学生没有了想法（idea)idea)。实际上，没有想法的民族是不可能有创。实际上，没有想法的民族是不可能有创。实际上，没有想法的民族是不可能有创。实际上，没有想法的民族是不可能有创造的，也会没有希望。造的，也会没有希望。造的，也会没有希望。造的，也会没有希望。l l 如果这个高度来认识数学，我们就可以在数列引如果这个高度来认识数学，我们就可以在数列引如果这个高度来认识数学，我们就可以在数列引如果这个高度来认识数学，我们就可以在数列引入的设计上有所突破。即通过将相关的数据排成入的设计上有所突破。即通过将相关的数据排成入的设计上有所突破。即通过将相关的数据排成入的设计上有所突破。即通过将相关的数据排成一列这种近乎于直观的表达，有助于我们发现其一列这种近乎于直观的表达，有助于我们发现其一列这种近乎于直观的表达，有助于我们发现其一列这种近乎于直观的表达，有助于我们发现其中的规律。中的规律。中的规律。中的规律。2024/6/2323l l请设计一个数列概念的引入方法，以体现请设计一个数列概念的引入方法，以体现数列概念引入的价值。数列概念引入的价值。2024/6/23242024/6/2325代数回归算术代数回归算术xxyyy5 55 51010y y=1052024/6/2326体会一下：直观与逻辑2024/6/2327对数学教学的启示l l双曲线渐近线的引入双曲线渐近线的引入。l l显然数学对象的直观特征是非常明显，但显然数学对象的直观特征是非常明显，但是要理解直观特征的本质，还需要借助理是要理解直观特征的本质，还需要借助理性的力量。性的力量。l l并不是所有的信息都会很直观。那么数学并不是所有的信息都会很直观。那么数学思维也会寻求一种近乎于直观的表达方式。思维也会寻求一种近乎于直观的表达方式。2024/6/2328数学表达（数学表达（mathematics representation)l l从上述题目，我们可以看到数学表达的价从上述题目，我们可以看到数学表达的价值所在。值所在。l l简化信息之间的关系，易于发现探索和发简化信息之间的关系，易于发现探索和发现规律。现规律。l l思考：从数学表达的角度讲，除一些数学思考：从数学表达的角度讲，除一些数学概念、定理或性质的教学除了教授知识之概念、定理或性质的教学除了教授知识之外，数学教师还要从数学的本质来分析数外，数学教师还要从数学的本质来分析数学内容本身具有的价值。学内容本身具有的价值。2024/6/2329数学本质的理解：强有力的思考方式数学本质的理解：强有力的思考方式l l不仅表现在实际问题的解决中：如经典问不仅表现在实际问题的解决中：如经典问题题“哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡七桥问题”，欧拉用抽象成，欧拉用抽象成一笔画问题而奠定了图论分支的发展。一笔画问题而奠定了图论分支的发展。l l抽象。抽象。l l化繁为简，以简驭繁。化繁为简，以简驭繁。l l正方形的对称变换有八种，请设计一正方形的对称变换有八种，请设计一个方法以便判定多个变换复合后将四个方法以便判定多个变换复合后将四个顶点变换后的结果。个顶点变换后的结果。2024/6/23303 数学解题思维的特点数学解题思维的特点l l数学解题思维过程包含三种信息：已数学解题思维过程包含三种信息：已知信息、目标信息和解题途径。知信息、目标信息和解题途径。l l这又称为问题空间。这又称为问题空间。2024/6/2331标准题标准题l如果解题者明确某个数学题的起始状态、目标状态，达到目标的途径，即解题者形成第一类问题空间类型，那么相对于解题者而言，这个数学题称为标准性题。起始状态起始状态目标状态目标状态解题途径或解题方法解题途径或解题方法实验实验1变式题变式题l l如果解题者明确某个数如果解题者明确某个数如果解题者明确某个数如果解题者明确某个数学题的起始状态、目标学题的起始状态、目标学题的起始状态、目标学题的起始状态、目标状态，达到目标的途径，状态，达到目标的途径，状态，达到目标的途径，状态，达到目标的途径，但是解题者还需要从两但是解题者还需要从两但是解题者还需要从两但是解题者还需要从两种或两种以上达到目标种或两种以上达到目标种或两种以上达到目标种或两种以上达到目标状态的途径中进行选择，状态的途径中进行选择，状态的途径中进行选择，状态的途径中进行选择，即解题者形成第二类问即解题者形成第二类问即解题者形成第二类问即解题者形成第二类问题空间类型，那么相对题空间类型，那么相对题空间类型，那么相对题空间类型，那么相对于解题者而言，这个数于解题者而言，这个数于解题者而言，这个数于解题者而言，这个数学题称为变式题。学题称为变式题。学题称为变式题。学题称为变式题。起始状态起始状态目标状态目标状态解题途径或解题方法解题途径或解题方法实验实验2探究题探究题 l l如果解题者明确某个数如果解题者明确某个数如果解题者明确某个数如果解题者明确某个数学题的起始状态和目标学题的起始状态和目标学题的起始状态和目标学题的起始状态和目标状态，但不知如何到达状态，但不知如何到达状态，但不知如何到达状态，但不知如何到达目标，即解题者形成第目标，即解题者形成第目标，即解题者形成第目标，即解题者形成第三类问题空间类型，那三类问题空间类型，那三类问题空间类型，那三类问题空间类型，那么相对于解题者而言，么相对于解题者而言，么相对于解题者而言，么相对于解题者而言，这个数学题称为探究性这个数学题称为探究性这个数学题称为探究性这个数学题称为探究性题。题。题。题。起始状态起始状态目标状态目标状态解题途径或解题方法解题途径或解题方法?？实验实验3开放题开放题l l如果解题者只明确数学如果解题者只明确数学如果解题者只明确数学如果解题者只明确数学题的起始状态，或目标题的起始状态，或目标题的起始状态，或目标题的起始状态，或目标状态，或达到目标状态状态，或达到目标状态状态，或达到目标状态状态，或达到目标状态的途径而且只明确一个，的途径而且只明确一个，的途径而且只明确一个，的途径而且只明确一个，即解题者形成第四类问即解题者形成第四类问即解题者形成第四类问即解题者形成第四类问题空间类型，那么相对题空间类型，那么相对题空间类型，那么相对题空间类型，那么相对于解题者而言，此数学于解题者而言，此数学于解题者而言，此数学于解题者而言，此数学题是开放性题。题是开放性题。题是开放性题。题是开放性题。起始状态起始状态?目标状态目标状态解题途径或解题方法解题途径或解题方法?？起始状态起始状态目标状态？目标状态？解题途径或解题方法解题途径或解题方法?？实验实验4 l l给给出三张图，每个图中画出五个点，问哪张图出三张图，每个图中画出五个点，问哪张图中的五个点从整体上看散度最小，为什么？中的五个点从整体上看散度最小，为什么？2024/6/2340数学思维初始的概略性数学思维初始的概略性l实际上，在解决问题中，人们常常回抛开问题的某些方法或部分，而抓住一些主要结构。即把问题抽象成较简单的形式，然后先解决这个简单的问题，然后利用这个解答来帮助或指导更复杂的整个问题的解决。l概略性特点。l一位专家的故事、蹩脚的画家2024/6/23412024/6/23422024/6/2343化繁为简，以简驭繁化繁为简，以简驭繁l就是通过一定的方法或数学方法，使问题简单化，如排序，特殊化，分解，分类，界估计，换元，极端等方法。l研究数学关系或数学结构的某些性质，或研究数学的基本结构。2024/6/2344北京市北京市2009理科理科20题题2024/6/2345l l简单化策略是数学研究重要的策略，也是简单化策略是数学研究重要的策略，也是数学思维的一种方法或策略。数学思维的一种方法或策略。l l如果我们平时的教学能够达到这个层次，如果我们平时的教学能够达到这个层次，将有助于学生解决一些非常规数学问题。将有助于学生解决一些非常规数学问题。l l学生要能够自觉地应用这些策略来解决问学生要能够自觉地应用这些策略来解决问题，他们自身要用心体会，也就是学生必题，他们自身要用心体会，也就是学生必须要去自己须要去自己“悟悟”。逆向思考逆向思考 2024/6/23472024/6/23484 数学本质的认识与数学教学数学本质的认识与数学教学l代数和算术区别和联系；l负数；l作为所谓自然数“零”的产生；l2+3+4+5运算需要用到哪些运算律？l有理数乘法法则是可以证明的吗？2024/6/2349l我们回看简单的运算律究竟有什么大用处。l当我们回顾这些数学的精要而简朴的内容时，我们才会知道什么是数学的本质，什么才是我们在教学中要坚持的原则。2024/6/23502024/6/2351l由于对于任意数，运算律普遍成立，所以对于上述的未知数，我们可以应用运算律，进行方程中的去括号，合并同类项的操作。l从数系扩充，和解方程可以看出，运算律是代数学的基础，也是代数学的根本。l即我们可以应用运算律系统地解决代数问题。l“分配律的逆用”、新石器时代（项武义）2024/6/2352归纳法归纳法l归纳定义，l运算律的归纳证明；l代数学所研讨的数系结构和各种公式，它们的本质是逐步归纳、构造得到的，它们的直观性比之几何相去甚远。l代数学中的公式和定理绝大部分都是用归纳法由低次到高次，由一元，二元到高元逐步归纳而发现的，然后再用归纳论证去确认其正确性。l因此归纳是代数学的基本方法：归纳地探索、发现、归纳定义和归纳地证明。2024/6/2353几何本质及其研究方法几何本质及其研究方法l几何学的课题就是研究、理解空间几何学的课题就是研究、理解空间的本质，它是我们研究大自然、理的本质，它是我们研究大自然、理解大自然的起点和基石所在。解大自然的起点和基石所在。l几何的基础是空间的空间的基本结几何的基础是空间的空间的基本结构和基本性质。构和基本性质。l点、直线段和直线，平面是空间的点、直线段和直线，平面是空间的基本结构。基本结构。l三角形是仅次于直线段和直线的基三角形是仅次于直线段和直线的基本几何图形，而空间的部分性质都本几何图形，而空间的部分性质都已经在三角形的几何性质中得到充已经在三角形的几何性质中得到充分体现。分体现。2024/6/2354l l三角形之所以成为古希腊几何学所研究的三角形之所以成为古希腊几何学所研究的主角，其原因也就是：三角形既简单而又主角，其原因也就是：三角形既简单而又充分地反映空间的本质。充分地反映空间的本质。2024/6/23552024/6/2356几何研究的基本方法几何研究的基本方法l自古到今，几何学的研究在方法论自古到今，几何学的研究在方法论上大体上可以划分为以下几个阶段：上大体上可以划分为以下几个阶段：l实验几何：用归纳实验去发现空间实验几何：用归纳实验去发现空间之本质。之本质。l l推理几何：以实验几何之所得为基础，推理几何：以实验几何之所得为基础，该用演绎法，以逻辑推理探索新知，并该用演绎法，以逻辑推理探索新知，并对于已知的各种各样的空间本质，精益对于已知的各种各样的空间本质，精益求精地作系统化和深刻的分析。求精地作系统化和深刻的分析。l l在这方面，古希腊文明获得了辉煌的成在这方面，古希腊文明获得了辉煌的成就，它也是全人类理性文明中的重要成就，它也是全人类理性文明中的重要成就。就。2024/6/23572024/6/2358l坐标几何：笛卡尔（坐标几何：笛卡尔（Descartes）和）和费尔马（费尔马（Fermat）通过坐标系的建）通过坐标系的建立，把当代数学中的两大主角立，把当代数学中的两大主角几几何学和代数学简明有力地结合起来，何学和代数学简明有力地结合起来，开创了近代数学的先河，其自然而开创了近代数学的先河，其自然而然的结果是微积分的产生和大量应然的结果是微积分的产生和大量应用解析法研究自然现象。用解析法研究自然现象。2024/6/2359l向量几何：向量几何在本质上是坐标向量几何：向量几何在本质上是坐标解析几何的返璞归真。向量几何是不解析几何的返璞归真。向量几何是不依赖坐标系的解析几何（依赖坐标系的解析几何（Coordinate-free analytical geometry），它自然而），它自然而然地化解了原先解析几何中，由于坐然地化解了原先解析几何中，由于坐标系的选取所引入的各种各样的不变标系的选取所引入的各种各样的不变量的困扰！量的困扰！5教学设计要问的几个重要问题教学设计要问的几个重要问题l为什么要引入相应概念、定理、公为什么要引入相应概念、定理、公式和原理？式和原理？l不学习它们是否可以？不学习它们是否可以？l如果要学习它，其有什么特有的价如果要学习它，其有什么特有的价值吗？值吗？2024/6/2360l l为什么初中和高中学习函数零点的概念？其有为什么初中和高中学习函数零点的概念？其有什么特有的价值（在方法上，或在思维方法上）什么特有的价值（在方法上，或在思维方法上）？l l初中学习有理数加减运算，先学习数轴概念，初中学习有理数加减运算，先学习数轴概念，这有必要吗？可以不学习数轴概念，而学习有这有必要吗？可以不学习数轴概念，而学习有理数加减运算呢？理数加减运算呢？l l为什么要学习加法原理和乘法原理？它体现了为什么要学习加法原理和乘法原理？它体现了数学的什么价值？数学的什么价值？2024/6/2361l l为什么要学习数学公式，如平方差公式，两数为什么要学习数学公式，如平方差公式，两数和（或差）平方公式？学习数学公式有什么特和（或差）平方公式？学习数学公式有什么特有的价值？有的价值？l l为什么学习解三角形？为什么学习解三角形？l l为什么要引入数列概念？它有什么特有的价值为什么要引入数列概念？它有什么特有的价值吗？吗？l l小学已经学习过三角形概念，为什么初中要引小学已经学习过三角形概念，为什么初中要引入三角形的定义？这有什么价值吗？不学习它入三角形的定义？这有什么价值吗？不学习它可以吗？可以吗？2024/6/2362l l“牛和羊牛和羊”能够合并吗？能够合并吗？l l为什么要学习位值概念？不学习它行吗？为什么要学习位值概念？不学习它行吗？l l为什么要学习竖式加减法，它有什么特有的价为什么要学习竖式加减法，它有什么特有的价值吗？值吗？l l为什么要引进弧度概念，弧度概念有什么价值为什么要引进弧度概念，弧度概念有什么价值吗？吗？2024/6/2363数学让人变得更有聪明、更有智慧数学让人变得更有聪明、更有智慧l l数学的初始想法是自然、朴素的，而不是深不数学的初始想法是自然、朴素的，而不是深不可测的。可测的。l l这些想法充满了智慧和聪明这些想法充满了智慧和聪明.l l三角形内角和教学案例。三角形内角和教学案例。l l圆周率教学案例。圆周率教学案例。2024/6/23642024/6/23656 数学认知心理学与数学教学数学认知心理学与数学教学l l一次课堂上的亲身经历一次课堂上的亲身经历!l l按照字母顺序背按照字母顺序背26个英文字母，但是要是个英文字母，但是要是要求倒序背要求倒序背26个字母，结果会如何？个字母，结果会如何？l l尝试一下。尝试一下。l l这种类似的任务有很多。如倒说一句话的这种类似的任务有很多。如倒说一句话的游戏。游戏。l l掌握去括号法则的情况下，为什么一些学掌握去括号法则的情况下，为什么一些学生在去掉含有多个单项式的括号的过程中生在去掉含有多个单项式的括号的过程中会忘掉变号？会忘掉变号？2024/6/2366工作记忆工作记忆l l与短时记忆不同，工作记忆是一种在加工与短时记忆不同，工作记忆是一种在加工信息的同时保持信息的心理工作资源或平信息的同时保持信息的心理工作资源或平台。台。2024/6/2367不用纸笔给出下列算式的答案不用纸笔给出下列算式的答案2024/6/2368工作记忆的特点l l工作记忆最大限制是它的容量工作记忆最大限制是它的容量工作记忆最大限制是它的容量工作记忆最大限制是它的容量.即工作记忆可以同即工作记忆可以同即工作记忆可以同即工作记忆可以同时处理时处理时处理时处理5 59 9个信息组块个信息组块个信息组块个信息组块 (Miller,1956).(Miller,1956).l l工作记忆系统的信息保持的短暂性（通常为工作记忆系统的信息保持的短暂性（通常为工作记忆系统的信息保持的短暂性（通常为工作记忆系统的信息保持的短暂性（通常为2 2至至至至3 3秒。如果信息的不到及时的保持，那么信息会很秒。如果信息的不到及时的保持，那么信息会很秒。如果信息的不到及时的保持，那么信息会很秒。如果信息的不到及时的保持，那么信息会很快消失。快消失。快消失。快消失。2024/6/2369认知负荷（Cognitive Load）l l任何一项任务都要求工作记忆系统处理信息，任何一项任务都要求工作记忆系统处理信息，同时又要保持住某些信息。同时又要保持住某些信息。Sweller与他的同与他的同事们将处理信息和保持信息的总量称为心理事们将处理信息和保持信息的总量称为心理活动总量，这一总量称为认知负荷。活动总量，这一总量称为认知负荷。2024/6/2370影响认知负荷大小的因素：影响认知负荷大小的因素：元素之间关系的同时性元素之间关系的同时性2024/6/2371数学为什么难学？数学为什么难学？l研究表明：数学知识通常包含多种基本元素，而且这些基本元素又同时存在多种关系。l即使是简单的数学公式也是如此。平方差公式应用的条件是“一个数学式子是两个数（或式）的和与这两个数（或式）差的积”，符号表达式为“(a+b)(a-b)”。2024/6/2372平方差公式平方差公式l这种关系中至少包含三层关系：第一，它首先是一个积；第二，这个积是一个和与差的积；第三，和式中的被加数与差式中的被减数相同，同时和式中的加数与差式中的减数相同（如右图所示）。在公式适用性判断中，上述的三种关系必须同时满足。差：差：ab积积积积:(:(a a+b b)()(a a-b b)和：和：aba ab b 平方差公式符号之间的关系平方差公式符号之间的关系平方差公式符号之间的关系平方差公式符号之间的关系2024/6/2373l对数学知识进行认知负荷分析，我们会发现，多数数学知识都存在类似的特点。即多个元素和多个关系并存。l这说明：数学知识具有较大的认知负荷。这也是为什么数学难学的一个重要原因。2024/6/2374现象解释现象解释l去括号忘变号？l去绝对值忘讨论？l通分过程中分子忘乘一个数或式？2024/6/2375l l概念性知识：概念性知识：what is it?l l程序性知识：程序性知识：how to do?l l未言明的知识（未言明的知识（tacit knowledge)wisdom:where,when,why do you use relative knowledge?2024/6/2376Anderson的的ACT-R理论理论l先获得概念性知识、后获得程序性知识先获得概念性知识、后获得程序性知识l数学教学中的表现。数学教学中的表现。l l反思反思l（1）同类项概念（）同类项概念（概念性知识概念性知识）和同类项合）和同类项合并（并（程序性知识程序性知识）的教学；）的教学；l（2）一元一次方程概念（一元一次方程概念（概念性知识概念性知识）一元）一元一次方程解法（程序性知识）的解法一次方程解法（程序性知识）的解法2024/6/2377l数学知识与方法的应用数学知识与方法的应用=选择，选择，有选择有选择=智慧智慧=平衡平衡