数学归纳法课件

数学归纳法数学归纳法ppt课件课件1、战鼓一响，法律无声。英国2、任何法律的根本；不，不成文法本身就是讲道理法律，也-即明示道理。爱科克3、法律是最保险的头盔。爱科克4、一个国家如果纲纪不正，其国风一定颓败。塞内加5、法律不能使人人平等，但是在法律面前人人是平等的。波洛克3.3.如果命题如果命题p p(n n)对对n n=k k成立，则它对成立，则它对n n=k k+2+2也成立也成立.若若p p(n n)对对n n=2=2成立，则下列结论正确的是成立，则下列结论正确的是()()A.A.p p(n n)对所有正整数对所有正整数n n都成立都成立 B.B.p p(n n)对所有正偶数对所有正偶数n n都成立都成立 C.C.p p(n n)对所有正奇数对所有正奇数n n都成立都成立 D.D.p p(n n)对所有自然数对所有自然数n n都成立都成立 解析解析 归纳奠基是：归纳奠基是：n n=2=2成立成立.归纳递推是：归纳递推是：n n=k k成立，则对成立，则对n n=k k+2+2成立成立.p p（n n）对所有正偶数）对所有正偶数n n都成立都成立.B4.4.某个命题与自然数某个命题与自然数n n有关，若有关，若n n=k k(k kN N+)时命题时命题 成立，那么可推得当成立，那么可推得当n n=k k+1+1时该命题也成立，现时该命题也成立，现 已知已知n n=5=5时时,该命题不成立该命题不成立,那么可以推得那么可以推得()()A.A.n n=6=6时该命题不成立时该命题不成立 B.B.n n=6=6时该命题成立时该命题成立 C.C.n n=4=4时该命题不成立时该命题不成立 D.D.n n=4=4时该命题成立时该命题成立 解析解析 方法一方法一 由由n n=k k(k kN N+)成立成立,可推得当可推得当 n n=k k+1+1时该命题也成立时该命题也成立.因而若因而若n n=4=4成立，必有成立，必有 n n=5=5成立成立.现知现知n n=5=5不成立，所以不成立，所以n n=4=4一定不成立一定不成立.方法二方法二 其逆否命题其逆否命题“若当若当n n=k k+1+1时该命题不成时该命题不成 立，则当立，则当n n=k k时也不成立时也不成立”为真，故为真，故“n n=5=5时不时不 成立成立”“n n=4=4时不成立时不成立”.”.C5.5.用数学归纳法证明用数学归纳法证明1+2+3+1+2+3+n n2 2=,=,则当则当 n n=k k+1+1时左端应在时左端应在n n=k k的基础上加上的基础上加上()()A.A.k k2 2+1 +1 B.B.（k k+1+1）2 2 C.C.D.D.（k k2 2+1+1）+（k k2 2+2+2）+（k k2 2+3+3）+（k k+1+1）2 2 解析解析 当当n n=k k时，左边时，左边=1+2+3+=1+2+3+k k2 2，当当n n=k k+1+1时，时，左边左边=1+2+3+=1+2+3+k k2 2+（k k2 2+1+1）+（k k+1+1）2 2，当当n n=k k+1+1时，左端应在时，左端应在n n=k k的基础上加上的基础上加上 （k k2 2+1+1）+（k k2 2+2+2）+（k k2 2+3+3）+（k k+1+1）2 2.C题型一题型一 用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明等式 用数学归纳法证明用数学归纳法证明:对任意的对任意的n nN N+,用数学归纳法证明的步骤为：用数学归纳法证明的步骤为：归纳归纳 奠基：验证当奠基：验证当n n=1=1时结论成立；时结论成立；归纳递推：假归纳递推：假 设当设当n n=k k（k kN N+）时成立，推出当）时成立，推出当n n=k k+1+1时结论时结论 也成立也成立.题型分类题型分类 深度剖析深度剖析证明证明 所以等式成立所以等式成立.(2)(2)假设当假设当n n=k k(k kN N+)时等式成立时等式成立,即有即有所以当所以当n n=k k+1+1时时,等式也成立等式也成立.由（由（1 1）（）（2 2）可知）可知,对一切对一切n nN N+等式都成立等式都成立.用数学归纳法证明与正整数有关的一用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式时，关键在于些等式时，关键在于“先看项先看项”，弄清等式两边，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n n的取值是否有关，由的取值是否有关，由n n=k k到到n n=k k+1+1时等式的两边变时等式的两边变化的项，然后正确写出归纳证明的步骤，使问题化的项，然后正确写出归纳证明的步骤，使问题得以证明得以证明.知能迁移知能迁移1 1 用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：证证明明 （1 1）当）当n n=1=1时，等式左边时，等式左边 等式右边等式右边 所以等式成立所以等式成立.（2 2）假设）假设n n=k k（k kN N+）时等式成立，）时等式成立，那么当那么当n n=k k+1+1时，时，即即n n=k k+1+1时等式成立时等式成立.由（由（1 1）（）（2 2）可知，对任意）可知，对任意n nN N+等式均成立等式均成立.题型二题型二 用数学归纳法证明整除问题用数学归纳法证明整除问题 用数学归纳法证明用数学归纳法证明a an n+1+1+(+(a a+1)+1)2 2n n-1-1(n nN N+）能被能被a a2 2+a a+1+1整除整除.解解 （1 1）当）当n n=1=1时，时，a a2 2+(+(a a+1)=+1)=a a2 2+a a+1+1可被可被a a2 2+a a+1+1整除整除.（2 2）假设）假设n n=k k(k kN N+)时，时，a ak k+1+1+(+(a a+1)+1)2 2k k-1-1能被能被a a2 2+a a+1+1整除，整除，验证验证n n=1=1时命题是否成立时命题是否成立假设假设n n=k k时命题成立时命题成立推证推证n n=k k+1+1时命题成立时命题成立得结论得结论则当则当n n=k k+1+1时，时，a ak k+2+2+(+(a a+1)+1)2 2k k+1+1=a aa ak k+1+1+(+(a a+1)+1)2 2(a a+1)+1)2 2k k-1-1=a aa ak k+1+1+a a(a a+1)+1)2 2k k-1-1+(+(a a2 2+a a+1)(+1)(a a+1)+1)2 2k k-1-1=a aa ak k+1+1+(+(a a+1)+1)2 2k k-1-1+(+(a a2 2+a a+1)(+1)(a a+1)+1)2 2k k-1-1,由假设可知由假设可知a aa ak k+1+1+(+(a a+1)+1)2 2k k-1-1能被能被a a2 2+a a+1+1整除，整除，(a a2 2+a a+1)(+1)(a a+1)+1)2 2k k-1-1也能被也能被a a2 2+a a+1+1整除，整除，a ak k+2+2+（a a+1+1）2 2k k+1+1也能被也能被a a2 2+a a+1+1整除，整除，即即n n=k k+1+1时命题也成立，时命题也成立，对任意对任意n nN N+原命题成立原命题成立.证明整除问题的关键是证明整除问题的关键是“凑项凑项”，而，而采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出n n=k k时的情形，从而利用归纳假设使问题获证时的情形，从而利用归纳假设使问题获证.知能迁移知能迁移2 2 求证：（求证：（3 3n n+1+1）77n n-1(-1(n nN N+)能被能被9 9 整除整除.证明证明 (1)(1)当当n n=1=1时时,(3,(3n n+1)7+1)7n n-1=27-1=27能被能被9 9整除整除.(2)(2)假设假设n n=k k(k kN N+)时命题成立，即时命题成立，即 (3 (3k k+1)7+1)7k k-1-1能被能被9 9整除，整除，那么那么n n=k k+1+1时：时：3(3(k k+1)+1+1)+177k k+1+1-1=-1=(3(3k k+1)+3+1)+3(1+6)7(1+6)7k k-1-1 =(3 =(3k k+1)7+1)7k k-1+(3-1+(3k k+1)67+1)67k k+217+217k k =(3(3k k+1)7+1)7k k-1-1+3+3k k6767k k+(6+21)7+(6+21)7k k.以上三项均能被以上三项均能被9 9整除整除.则由（则由（1 1）（）（2 2）可知，命题对任意）可知，命题对任意n nN N+都成立都成立.题型三题型三 用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式 用数学归纳法证明：对一切大于用数学归纳法证明：对一切大于1 1的自然的自然 数，不等式数，不等式 均成立均成立.应注意到题目条件，第一步应验证应注意到题目条件，第一步应验证 n n=2=2时不等式成立时不等式成立.证明证明 （1 1）当）当n n=2=2时，左边时，左边 左边左边 右边，右边，不等式成立不等式成立.（2 2）假设）假设n n=k k(k k2,2,且且k kN N+)时不等式成立，时不等式成立，则当则当n n=k k+1+1时，时，当当n n=k k+1+1时，不等式也成立时，不等式也成立.由（由（1 1）（）（2 2）知，对于一切大于）知，对于一切大于1 1的自然数的自然数n n,不等不等式都成立式都成立.在由在由n n=k k到到n n=k k+1+1的推证过程中，应用放的推证过程中，应用放缩技巧，使问题得以简化缩技巧，使问题得以简化.用数学归纳法证明不等用数学归纳法证明不等式问题时，从式问题时，从n n=k k到到n n=k k+1+1的推证过程中，证明不等的推证过程中，证明不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等法等.知能迁移知能迁移3 3 已知函数已知函数f f(x x)=)=x x-sin-sin x x,数列数列 a an n 满足满足:0 0a a1 11,1,a an n+1+1=f f(a an n),),n n=1,2,3,.=1,2,3,.证明证明:(1)(1)00a an n+1+1 a an n1,(2)1,(2)证明证明 (1)(1)先用数学归纳法证明先用数学归纳法证明00a an n1,1,n n=1,2,3,.=1,2,3,.()()当当n n=1=1时，由已知结论成立时，由已知结论成立.()()假设当假设当n n=k k(k kN N+)时结论成立，即时结论成立，即00a ak k1.1.因为因为00 x x10,0,所以所以f f(x x)在在(0,1)(0,1)上是增函数上是增函数.又又f f(x x)在在0 0，1 1上连续，上连续，从而从而f f(0)(0)f f(a ak k)f f(1),(1),即即00a ak k+1+11-sin 11.1-sin 11.故当故当n n=k k+1+1时，结论成立时，结论成立.由由()()()()可知，可知，00a an n11对一切正整数都成立对一切正整数都成立.又因为又因为00a an n11时，时，a an n+1+1-a an n=a an n-sin-sin a an n-a an n=-sin=-sin a an n0,0,所以所以a an n+1+1 a an n.综上所述综上所述,0,0a an n+1+1 a an n1.1.（2 2）设函数）设函数g g(x x)=sin)=sin x x-x x+由（由（1 1）知，当）知，当00 x x11时，时，sin sin x x x x.从而从而g g(x x)=)=所以所以g g(x x)在（在（0 0，1 1）上是增函数）上是增函数.又又g g(x x)在在0 0，1 1上连续，且上连续，且g g(0)=0(0)=0，所以当所以当00 x x10)0成立成立.于是于是g g(a an n)0,)0,即即题型四题型四 归纳、猜想、证明归纳、猜想、证明 （1212分）已知等差数列分）已知等差数列 a an n 的公差的公差d d大于大于0,0,且且a a2 2,a a5 5是方程是方程x x2 2-12-12x x+27=0+27=0的两根，数列的两根，数列 b bn n 的前的前 n n项和为项和为T Tn n，且，且 （1 1）求数列）求数列 a an n、b bn n 的通项公式；的通项公式；（2 2）设数列）设数列 a an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，试比较，试比较 与与 S Sn n+1+1的大小，并说明理由的大小，并说明理由.(1)(1)由由a a2 2、a a5 5是方程的根，求出是方程的根，求出a an n，再，再 由由 求出求出b bn n.(2)(2)先猜想先猜想 与与S Sn n+1+1的大小关系，再用数学归纳的大小关系，再用数学归纳 法证明法证明.解解 又又 a an n 的公差大于的公差大于0 0，a a5 5 a a2 2,a a2 2=3,=3,a a5 5=9.=9.5 5分分6 6分分下面用数学归纳法证明：下面用数学归纳法证明：当当n n=4=4时，已证时，已证.9 9分分=(=(k k2 2+4+4k k+4)+2+4)+2k k2 2+2+2k k-1-1(k k+1)+1+1)+12 2=S S(k k+1)+1+1)+1,1111分分1212分分 （1 1）归纳）归纳猜想猜想证明是高考重点证明是高考重点考查的内容之一，此类问题可分为归纳性问题和考查的内容之一，此类问题可分为归纳性问题和存在性问题，本例中归纳性问题需要从特殊情况存在性问题，本例中归纳性问题需要从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探索出一入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探索出一般规律般规律.（2 2）数列是定义在）数列是定义在N N+上的函数，这与数学归纳法上的函数，这与数学归纳法运用的范围是一致的，并且数列的递推公式与归运用的范围是一致的，并且数列的递推公式与归纳原理实质上是一致的，数列中有不少问题常用纳原理实质上是一致的，数列中有不少问题常用数学归纳法解决数学归纳法解决.知能迁移知能迁移4 4 如图所示，如图所示，P P1 1（x x1 1，y y1 1）、）、P P2 2（x x2 2，y y2 2）、）、P Pn n（x xn n，y yn n）（）（00y y1 1 y y2 2y yn n）是曲线）是曲线C C：y y2 2=3=3x x（y y00）上的）上的n n个点，点个点，点A Ai i（a ai i，0 0）（）（i i=1=1，2 2，3 3，n n）在）在x x轴的正半轴上，且轴的正半轴上，且A Ai i-1-1A Ai iP Pi i是是 正三角形（正三角形（A A0 0是坐标原点）是坐标原点）.(1)(1)写出写出a a1 1、a a2 2、a a3 3；(2)(2)求出点求出点A An n（a an n，0 0）（）（n nN N+）的横坐标）的横坐标a an n关于关于 n n的表达式并证明的表达式并证明.解解 （1 1）a a1 1=2,=2,a a2 2=6,=6,a a3 3=12.=12.(2)(2)依题意，得依题意，得即即(a an n-a an n-1-1)2 2=2(=2(a an n-1-1+a an n).).由（由（1 1）可猜想：）可猜想：a an n=n n(n n+1)(+1)(n nN N+).).下面用数学归纳法予以证明：下面用数学归纳法予以证明：当当n n=1=1时，命题显然成立；时，命题显然成立；假设当假设当n n=k k(k kN N+)时命题成立时命题成立,即有即有a an n=k k(k k+1),+1),则当则当n n=k k+1+1时，由归纳假设及时，由归纳假设及(a ak k+1+1-a ak k)2 2=2(=2(a ak k+a ak k+1+1),),得得a ak k+1+1-k k(k k+1)+1)2 2=2=2k k(k k+1)+1)+a ak k+1+1,即即(a ak k+1+1)2 2-2(-2(k k2 2+k k+1)+1)a ak k+1+1+k k(k k-1)-1)（k k1 1）（）（k k+2+2）=0=0，解之得，解之得，a ak k+1+1=(=(k k+1)(+1)(k k+2)(+2)(a ak k+1+1=k k(k k-1)-1)1)”1)”时，由时，由n n=k k(k k1)1)不等式成立，不等式成立，推证推证n n=k k+1+1时，左边应增加的项数是时，左边应增加的项数是 ()()A.2 A.2k k-1 -1 B.2B.2k k-1-1 C.2 C.2k k D.2D.2k k+1+1 解析解析 增加的项数为（增加的项数为（2 2k k+1+1-1-1）-(2-(2k k-1)=-1)=2 2k k+1+1-2-2k k=2=2k k.C3.3.对于不等式对于不等式 (n nN N+)，某同学用数学归纳法，某同学用数学归纳法 的证明过程如下：的证明过程如下：（1 1）当）当n n=1=1时，时，不等式成立不等式成立.（2 2）假设当）假设当n n=k k(k kN N+)时，不等式成立，时，不等式成立，即即 则当则当n n=k k+1+1时，时，所以当所以当n n=k k+1+1时，不等式成立，则上述证法时，不等式成立，则上述证法()()A.A.过程全部正确过程全部正确 B.B.n n=1=1验得不正确验得不正确 C.C.归纳假设不正确归纳假设不正确 D.D.从从n n=k k到到n n=k k+1+1的推理不正确的推理不正确 解析解析 在在n n=k k+1+1时，没有应用时，没有应用n n=k k时的假设时的假设,不是数不是数 学归纳法学归纳法.D4.4.用数学归纳法证明用数学归纳法证明“n n3 3+(+(n n+1)+1)3 3+(+(n n+2)+2)3 3(n nN N+)能被能被9 9 整除整除”，要利用归纳假设证，要利用归纳假设证n n=k k+1+1时的情况时的情况,只需展只需展开开()()A.(A.(k k+3)+3)3 3 B.(B.(k k+2)+2)3 3 C.(C.(k k+1)+1)3 3 D.(D.(k k+1)+1)3 3+(+(k k+2)+2)3 3 解析解析 假设当假设当n n=k k时，原式能被时，原式能被9 9整除整除,即即k k3 3+(+(k k+1)+1)3 3 +(+(k k+2)+2)3 3能被能被9 9整除整除.当当n n=k k+1+1时时,(,(k k+1)+1)3 3+(+(k k+2)+2)3 3+(+(k k+3)+3)3 3为了能用上面为了能用上面 的归纳假设，只需将的归纳假设，只需将(k k+3)+3)3 3展开，让其出现展开，让其出现k k3 3即即 可可.A5.5.证明证明 当当n n=2=2时，时，左边式子等于左边式子等于 ()()A.1 B.A.1 B.C.D.C.D.解析解析 当当n n=2=2时，左边的式子为时，左边的式子为D6.6.用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明不等式 (n n2,2,n nN N+)的过程中，由的过程中，由n n=k k递推到递推到n n=k k+1+1时不时不等等 式左边式左边 ()()A.A.增加了一项增加了一项 B.B.增加了两项增加了两项 C.C.增加了增加了B B中两项但减少了一项中两项但减少了一项 D.D.以上各种情况均不对以上各种情况均不对解析解析答案答案 C C二、填空题二、填空题7.7.若若f f(n n)=1)=12 2+2+22 2+3+32 2+(2+(2n n)2 2,则则f f(k k+1)+1)与与f f(k k)的递推的递推 关系式是关系式是 .解析解析 f f(k k)=1)=12 2+2+22 2+(2+(2k k)2 2，f f(k k+1)=1+1)=12 2+2+22 2+(2+(2k k)2 2+(2+(2k k+1)+1)2 2+(2+(2k k+2)+2)2 2，f f(k k+1)=+1)=f f(k k)+(2)+(2k k+1)+1)2 2+(2+(2k k+2)+2)2 2.f f(k k+1)=+1)=f f(k k)+(2)+(2k k+1)+1)2 2+(2+(2k k+2)+2)2 28.8.用数学归纳法证明用数学归纳法证明 (n nN N,且且 n n1),1),第一步要证的不等式是第一步要证的不等式是 .解析解析 n n=2=2时，左边时，左边9.9.已知整数对的序列如下：已知整数对的序列如下：(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4)(2,4)，则第，则第6060个数对是个数对是 .解析解析 本题规律：本题规律：2=1+12=1+1；3=1+2=2+13=1+2=2+1；4=1+3=2+2=3+1 4=1+3=2+2=3+1；5=1+4=2+3=3+2=4+1 5=1+4=2+3=3+2=4+1；一个整数一个整数n n所拥有数对为所拥有数对为(n n-1)-1)对对.设设1+2+3+(1+2+3+(n n-1)=60,-1)=60,n n=11=11时还多时还多5 5对数，且这对数，且这5 5对数和都为对数和都为1212，12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7 12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7，第第6060个数对为（个数对为（5 5，7 7）.(5,7)(5,7)三、解答题三、解答题10.10.已知数列已知数列 a an n 中，中，(n nN N+).).证证 明：明：00a an n a an n+1+11.1.证明证明 (1)(1)n n=1=1时，时，0 0a a1 1 a a2 21,1,故结论成立故结论成立.(2)(2)假设假设n n=k k（k kN N+）时结论成立，）时结论成立，即即00a ak k a ak k+1+11,1,即即00a ak k+1+1 a ak k+2+21,1,也就是说也就是说n n=k k+1+1时，结论也成立时，结论也成立.由由(1)(2)(1)(2)可知，对一切可知，对一切n nN N+均有均有00a an n a an n+1+11.1.11.11.用数学归纳法证明对于任意正整数用数学归纳法证明对于任意正整数n n,(,(n n2 2-1)+-1)+2(2(n n2 2-2-22 2)+)+n n(n n2 2-n n2 2)=)=证明证明 （1 1）当）当n n=1=1时，左式时，左式=1=12 2-1=0,-1=0,所以等式成立所以等式成立.（2 2）假设）假设n n=k k(k kN N+)时等式成立时等式成立,即即(k k2 2-1)+2(-1)+2(k k2 2-2-22 2)+)+k k(k k2 2-k k2 2)那么那么(k k+1)+1)2 2-1-1+2+2(k k+1)+1)2 2-2-22 2+k k(k k+1)+1)2 2 -k k2 2+(+(k k+1)+1)(k k+1)+1)2 2-(-(k k+1)+1)2 2=(=(k k2 2-1)+2(-1)+2(k k2 2-2-22 2)+)+k k(k k2 2-k k2 2)+(2)+(2k k+1)(1+2+1)(1+2+k k)所以当所以当n n=k k+1+1时等式成立时等式成立.由（由（1 1）（）（2 2）知对任意）知对任意n nN N+等式成立等式成立.12.12.在数列在数列 a an n、b bn n 中，中，a a1 1=2,=2,b b1 1=4,=4,且且a an n,b bn n，a an n+1+1成成 等差数列，等差数列，b bn n,a an n+1+1,b bn n+1+1成等比数列（成等比数列（n nN N+），求），求 a a2 2,a a3 3,a a4 4与与b b2 2,b b3 3,b b4 4的值，由此猜测的值，由此猜测 a an n,b bn n 的通的通 项公式，并证明你的结论项公式，并证明你的结论.解解 由条件得由条件得2 2b bn n=a an n+a an n+1+1,=b bn nb bn n+1+1.又又a a1 1=2,=2,b b1 1=4,=4,由此可得由此可得a a2 2=6,=6,b b2 2=9,=9,a a3 3=12,=12,b b3 3=16,=16,a a4 4=20,=20,b b4 4=25,=25,猜测猜测a an n=n n(n n+1),+1),b bn n=(=(n n+1)+1)2 2.用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：当当n n=1=1时，时，a a1 1=2,=2,b b1 1=4,=4,结论成立结论成立.假设当假设当n n=k k （k kN N+）时结论成立，即）时结论成立，即a ak k=k k(k k+1),+1),b bk k=（k k+1+1）2 2，那么当，那么当n n=k k+1+1时，时，a ak k+1+1=2=2b bk k-a ak k=2(=2(k k+1)+1)2 2-k k(k k+1)=(+1)=(k k+1)+1)(k k+1)+1+1)+1,所以所以当当n n=k k+1+1时，结论也成立时，结论也成立.由由知，知，a an n=n n(n n+1),+1),b bn n=(=(n n+1)+1)2 2对一切正整数都对一切正整数都成立成立.返回返回 6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。斯宾诺莎斯宾诺莎7、自知之明是最难得的知识。、自知之明是最难得的知识。西班牙西班牙8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。塞内加塞内加9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。赫尔普斯赫尔普斯10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。笛卡儿笛卡儿 Thank you拯畏怖汾关炉烹霉躲渠早膘岸缅兰辆坐蔬光膊列板哮瞥疹傻俘源拯割宜跟三叉神经痛-治疗三叉神经痛-治疗