数值计算方法第4章剖析课件

实际问题中经常要涉及到实际问题中经常要涉及到函数值的计算函数值的计算问题：问题：（1）如果如果函数表达式函数表达式本身比较复杂，且需要多次本身比较复杂，且需要多次重复计算重复计算时，时，计算量会很大；计算量会很大；（2）有的函数甚至有的函数甚至没有表达式没有表达式，只是一种，只是一种表格函数表格函数，而我们需，而我们需要的函数值可能不在该表格中。要的函数值可能不在该表格中。对于这两种情况，我们都需要寻找一个对于这两种情况，我们都需要寻找一个计算方便且表达简单计算方便且表达简单的函数来的函数来近似代替近似代替，这就是，这就是数值逼近数值逼近问题。问题。已知定义于区间已知定义于区间 上的实值函数上的实值函数 在在 个互异节点个互异节点 处的函数值处的函数值 ，若函数集合，若函数集合 中的函中的函数数 满足满足则称则称 为为 在函数集合在函数集合 中关于节点中关于节点 的一个插的一个插值函数，并称值函数，并称 为被插值函数为被插值函数,a,b,a,b为插值区间，为插值区间，为插值节点，（为插值节点，（*）式为插值条件。）式为插值条件。插值的定义插值的定义/*Algebraic Interpolation*/插值插值类型类型代数代数插值：集合插值：集合 为多项式函数集为多项式函数集x0 x1x2x3x4xg(x)f(x)几何几何意义：意义：有理有理插值：集合插值：集合 为有理分式函数集为有理分式函数集/*Rational*/三角三角插值：集合插值：集合 为三角函数集为三角函数集/*Trigonometric*/1 代数多项式插值的概念:当给出了函数f(x)的n+1个点后,构造一个多项式P(x),满足如下两个条件:(1)p(x)是一个不超过n次的多项式;(2)在给定的点xi(i=0,1,n)上与f(xi)取相同的值,即p(xi)=f(xi)(i=0,1,n)。通常称p(x)为f(x)的插值函数,点xi为插值节点,f(x)为被插函数，条件（1）和条件（2）为插值条件。4.1 代数多项式插值2 代数多项式插值的存在性和唯一性证明：P(x)为n次代数多项式，设p(x)=a0+a1x+a2x2+anxn因为在n+1个已知节点p(x)=f(x),将n+1个（xi,f(xi)代入p(x),可得（方程组1）其中，未知量a0,a1,an的系数矩阵行列式为范德蒙行列式：给定的n+1个节点互异，即xixj(ij)上述行列式不为零，方程组1有唯一非零解，即p(x)存在且唯一。3 代数插值多项式的构造-Lagrange插值(1)线性Lagrange插值给定f(x)的2点函数表，求一个f(x)的近似函数经过这两个已知点。xx0 x1yy0y1可得线性可得线性Lagrange插值为插值为(直线方程直线方程的两点式表示形式的两点式表示形式)L1(x)=l0(x)*y0+l1(x)*y1其中l0(x)称为Lagrange插值关于节点x0的插值基函数,l1(x)称为Lagrange插值关于节点x1的插值基函数：l0(x)=l1(x)=XY0y0 x0 x1y1y=f(x)y=L1(x)插值基函数的特插值基函数的特点是在对应节点点是在对应节点上取值上取值1,其他节其他节点上取点上取0。线性Lagrange代数多项式插值的基函数图形:XYX1X21l0(x)XYX1X21l1(x)(2)二次Lagrange多项式插值给定f(x)的3点函数表,求f(x)的近似函数.xx0 x1x2yy0y1y2可得二次可得二次Lagrange插值为插值为L2(x)=l0(x)*y0+l1(x)*y1+l2(x)*y2其中插值基函数：其中插值基函数：l0(x)=l1(x)=l2(x)=二次Lagrange代数多项式插值的基函数图形:XYX1X21X3l0(x)XYX1X21X3l1(x)XYX1X21X3l2(x)x0 x1x2xnl0(x)l1(x)ln(x)思考：1 请填写下面的请填写下面的n次次Lagrange插值基函数的数值表：插值基函数的数值表：1110000000002 模仿模仿1次和次和2次次Lagrange插值基函数，写出插值基函数，写出n次次Lagrange插值基函数表达式。插值基函数表达式。（3）n次Lagrange代数多项式插值插值3请写出请写出n次次Lagrange插值的表达式插值的表达式li(x)=，即li(x)=4 例题1X0123Y-5-6-116已知f(x)的部分函数表如下，试用Lagrange插值计算x=4，x=5处f(4)和f(5)处的值。解：函数表中有解：函数表中有4个点，可以构造个点，可以构造3次次Lagrange插值多项式插值多项式：当当x=4时，时，f(4)=L3(4)=43-24-5=51当当x=5时，时，f(4)=L3(5)=53-25-5=110计算步骤：计算步骤：求出所有的基函数；求出所有的基函数；将基函数与对应的函将基函数与对应的函数值相乘；数值相乘；将所有的积求和；将所有的积求和；例：例：已知已知分别利用分别利用 sin x 的的1次、次、2次次 Lagrange 插值计算插值计算 sin 50 并估计误差。并估计误差。解：解：n=1分别利用分别利用x0,x1 以及以及 x1,x2 计算计算利用利用sin 50 =0.7660444)185(50sin10 p pL0.77614利用利用sin 50 0.76008,n=2sin 50 0.7654,5 相关的Matlab程序x,y代表已知节点的值；代表已知节点的值；u 代表待求节点的自变量代表待求节点的自变量；v 代表与代表与u对应的对应的Lagrange插值函数值插值函数值。W代表求代表求v时的时的Lagrange插插值基函数。值基函数。例题2已知f(x)的部分函数表如下，试用 Matlab编程生成它的Lagrange插值，画出L(x)的曲线和所有的(x,y)点。X123456Y161821171512小结：1 这堂课的内容是什么？2 代数多项式插值要满足哪2个条件？它的几何意义是什么？3 Lagrange插值基函数的特点是什么？公式是怎样的？4 Lagrange插值的公式是怎样的？作业：1 已知函数表如下：X00.511.522.5Y-1-0.7501.2535.25试用（0，-1），（1，0）和（2，3）三个点构造二次Lagrange插值L2(x),并用其余三点验证L2(x)。4.2 多项式插值的近一步研究为了理论分析的方便，引入记号 n+1(x)=(x-x0)(x-x1)(x-xn)它是一个n+1次多项式，并且n+1(xk)=(xk-x0)(xk-x1)(xk-xk-1)(xk-xk+1)(x-xn)则Lagrange插值多项式为它与函数f(x)相比存在截断误差Rn(x)=f(x)-Ln(x)称为插值多项式的余项。注注注注：（1 1）插值误差与节点插值误差与节点插值误差与节点插值误差与节点 和和和和 之间的之间的之间的之间的距离距离距离距离有关；有关；有关；有关；（2 2）如果如果如果如果 本身本身本身本身为多项式，其插值函数为本身。为多项式，其插值函数为本身。为多项式，其插值函数为本身。为多项式，其插值函数为本身。（3 3）通常不能确定通常不能确定 ,而是估计而是估计 ,x(a,b)将将 作为误差估计上限。作为误差估计上限。一、Hermite插值1、Hermite插值问题及插值公式4.3 Hermite插值和分段插值分段插值Hermite插值多项式的构造插值多项式的构造思想思想类似于类似于Lagrange插值多项式的构造方法，即通过构插值多项式的构造方法，即通过构造一组造一组插值基函数插值基函数来表示来表示Hermite插值多项式。插值多项式。设满足前述设满足前述2n+2个条件的插值多项式个条件的插值多项式 为为其中其中 ，满足满足的计算方法：的计算方法：和和均为均为2n+1次多项式，且有次多项式，且有n个二重根个二重根和和令令其中其中代入条件代入条件解之得解之得从而得到从而得到插值基函数插值基函数下面求另一组下面求另一组插值基函数插值基函数令令Hermite插值多项式插值多项式其中其中x0 x1x2x3x4xH9(x)f(x)全导数的全导数的Hermite插值多项式的插值多项式的几何意义几何意义如如n=1时时Hermite插值多项式插值多项式 为为例：对函数f(x)=ln(x),给定 f(1)=0 f(2)=0.693147 f(1)=1 f(2)=0.5试用三次Hermite插值多项式H3(x)计算f(1.5)的近似值。4.3 分段线性插值分段线性插值高次插值评述高次插值评述从插值余项角度分析从插值余项角度分析 为了提高为了提高插值精度插值精度，一般来说应该增加，一般来说应该增加插值节点插值节点的个数，这的个数，这从插值余项的表达式也可以看出，但不能简单地这样认为，原因从插值余项的表达式也可以看出，但不能简单地这样认为，原因有三个：有三个：插值余项与插值余项与节点的分布节点的分布有关；有关；余项公式成立的前提条件是余项公式成立的前提条件是 有有足够阶连续导数足够阶连续导数（即函数（即函数足够光滑），但随着节点个数的增加，这个条件一般很难成立；足够光滑），但随着节点个数的增加，这个条件一般很难成立；随着节点个数的增加，随着节点个数的增加，可能会增大。可能会增大。随着节点个数增加到随着节点个数增加到某个值某个值，误差反而会增加。，误差反而会增加。注意下面图中注意下面图中曲线曲线的变化情况！的变化情况！例例3：在在 5,5上考察上考察 的的Ln(x)。取取-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 n 越大，越大，端点端点附近变化附近变化越大，称为越大，称为Runge 现象现象Ln(x)f(x)2 2、从稳定性角度分析、从稳定性角度分析设设由由 和和 构造出的插值多项式分别记为构造出的插值多项式分别记为:和和这说明插值多项式的这说明插值多项式的扰动扰动是由节点是由节点函数值扰动函数值扰动引起的引起的 解决方法分段插值-分段线性插值、分段Hermite插值、插值、三次样条三次样条插值插值分段插值的构造方法分段插值的构造方法将将插值区间插值区间划分为若干个小区间（通常取等距划分）划分为若干个小区间（通常取等距划分）采用采用低次低次插值插值在区间在区间 上得到上得到分段函数分段函数分段分段线性线性插值插值基函数基函数(1)、分段线性插值分段线性插值 /*piecewise linear interpolation*/在每个区间在每个区间 上，用上，用1阶多项式阶多项式(直线直线)逼近逼近 f(x):几何意义几何意义分段线性插值从整体上看，逼近效果是较好的，但失去了分段线性插值从整体上看，逼近效果是较好的，但失去了原函数的原函数的光滑性光滑性。设给定节点设给定节点及相应的函数值及相应的函数值 ，在在a,ba,b上存在，上存在，是在是在a,ba,b上由数据上由数据构成的分段线性插值函数，则构成的分段线性插值函数，则其中其中 证明：证明：在每个小区间在每个小区间 在区间在区间 上上 当当 时时作业：已知下列平方根表，用三次Hermite插值求 的值。4321y16941x0.1251/60.250.5y拟合问题VS逼近问题1 拟合问题假设已获得某函数关系的成批离散实验数据或观测数据，拟合问题就是为这样的大量离散数据建立对应的、近似的连续模型的一种应用基础问题。所建立的模型的基本形式是一条曲线（一元曲线），称为拟合曲线或经验公式。它不要求目标模型（即拟合曲线）精确地过已知的各离散点，只要求目标模型符合已知离散点分布的总体轮廓，并与已知离散点的误差按某种意义尽量地小。通常采用“误差的平方和最小”的原则，即最小二乘拟合问题。2 逼近问题一般是指“连续函数逼近问题”，即对连续函数如fCa,b,研究用有限维空间中的简单函数如来近似（逼近）连续函数。通常研究两种基本的逼近问题：最佳平方逼近最佳一致逼近4.5 曲线拟合的（线性）最小二乘法例：已知实验数据如下，试求其拟合曲线。X13467F-2.1-0.9-0.60.60.9例2：人口估计广义广义多项式多项式4.6 函数的最佳平方逼近函数的最佳平方逼近一、一、函数逼近问题的提法函数逼近问题的提法 假设假设 是定义在某区间是定义在某区间 上的函数，现寻求另一个上的函数，现寻求另一个构构造简单造简单、计算量小计算量小的函数的函数 来近似地代替：来近似地代替：为区间为区间 上的一个上的一个线性无关线性无关函数系函数系为一组实常数。为一组实常数。就是我们前面讨论的就是我们前面讨论的多项式逼近多项式逼近若若线性无关线性无关函数系取函数系取常用的常用的函数系函数系：幂幂 函数系：函数系：三角三角函数系：函数系：指数指数函数系：函数系：多项式插值的多项式插值的收敛性收敛性问题：问题：注：注：结论并不是对结论并不是对所有函数所有函数都成立都成立 函数逼近构造函数逼近构造思想思想：要求构造函数在要求构造函数在整个区间整个区间上上与已知函数的误差尽可能与已知函数的误差尽可能小小 误差误差度量度量标准：标准：其中其中 为为权权函数函数（2）（1）对于给定的函数系对于给定的函数系 ，寻求一组系数，寻求一组系数使得函数使得函数 满足满足（1）（2）一致一致逼近逼近逼近逼近二、二、最佳最佳平方平方逼近逼近/*/*Best Approximation in Quadratic Norm*/假设假设 ，是是a,ba,b上的一个线性无上的一个线性无关函数系关函数系,且且 ,为为a,ba,b上的一个权函数上的一个权函数如果存在一组系数如果存在一组系数使得使得广义广义多项式多项式满足满足称函数称函数 为为 在在a,ba,b上关于权函数上关于权函数 的的最佳最佳平方平方逼近或逼近或最小二乘最小二乘逼近；逼近；特别，特别，若若 ，则称，则称 是是 在在a,ba,b上的上的最佳平方最佳平方逼近逼近.2、最佳平方逼近的解法/法方程作业：设测得某过程的下列离散数据，试建立形如y=a+bx3的拟合曲线xi-3-2-10123Yi-1.76 0.421.201.341.432.254.38返回返回写在最后写在最后成功的基成功的基础在于好的学在于好的学习习惯The foundation of success lies in good habits59 结束语当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的，所以不要放弃，坚持就是正确的。When You Do Your Best,Failure Is Great,So DonT Give Up,Stick To The End演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日