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海盐县教师进修学校海盐县教师进修学校 邱月亮邱月亮我的一个观点我的一个观点小学数学背景知识漫谈小学数学背景知识漫谈小学数学教学中常见的数学思想方法小学数学教学中常见的数学思想方法教师数学素养是指包括数学知识技教师数学素养是指包括数学知识技能素养、数学思维素养、运用数学能素养、数学思维素养、运用数学的素养以及数学人文素养等方面在的素养以及数学人文素养等方面在内的数学修养。内的数学修养。一、观点陈述：小学数学教师要有一定的数学素养小学数学教师要有一定的数学素养（1 1）小学数学教师数学素养的现状不太乐观）小学数学教师数学素养的现状不太乐观（2 2）由教学实践需要所决定）由教学实践需要所决定（4）是数学教师专业发展的需要是数学教师专业发展的需要（3）是数学课程标准的要求是数学课程标准的要求小学数学教师要有一定的数学素养（1 1）小学数学教师数学素养的现状不太乐观）小学数学教师数学素养的现状不太乐观湖南教育2000年第16期张新春老师的小学师生概率知识的调查与思考一文得出：小学数小学数学教师在概率方面的知识学教师在概率方面的知识与相关认识与小学生无显与相关认识与小学生无显著差异著差异 两个袋分别装着写有两个袋分别装着写有0 0、1 1、2 2、3 3、4 4、5 5六个数字的六张卡片，从每个袋六个数字的六张卡片，从每个袋中各取一张，求所得两数之和等于中各取一张，求所得两数之和等于6 6的的概率概率.分析分析 因为我们考虑的是因为我们考虑的是“从两个装着写有从两个装着写有0 0、1 1、2 2、3、4、5的六张卡片的袋中的六张卡片的袋中”各取一张，所以各取一张，所以基本事件（试验结果）有基本事件（试验结果）有 (0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，(0,5)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(5,0)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，等等36种，其中和为种，其中和为6的是的是(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)这这5种，故所求之概率应为种，故所求之概率应为5/36。而。而答案为答案为1/11则是把则是把“和和”作为基本事件，虽然其和作为基本事件，虽然其和的确有的确有11种，但这种，但这11种的概率是不同的。种的概率是不同的。爸爸给我和妹妹爸爸给我和妹妹80元钱，我俩平均元钱，我俩平均分，每人得分，每人得40元，这个元，这个40就是平均就是平均数。数。循环小数0.499999和0.5相比，它们的关系是A.0.49999小于0.5B.0.49999大于0.5C.0.49999等于0.5328人A226人68.9%B3人0.9%C93人28.4%不选6人1.8%100%98人038人58人2人100%59.2%038.8%2%设设a是集合是集合A中的任意一个元素，中的任意一个元素，b是集是集合合B中的任意一个元素，如果有中的任意一个元素，如果有“aA=aB,bB=bA”，那么可得到那么可得到 。328人正确62人18.9%错误266人81.1%不选00100%98人80人18人0100%18.4%81.6%0“a比比b多多1/2，则，则b比比a少少1/2”。这个命题在这个命题在 情情况下成立。况下成立。328人正确36人11%错误292人89%不选00100%98人70人28人0100%28.6%71.4%0如下是一些小棒的长度（单位：厘米）如下是一些小棒的长度（单位：厘米）12、8、16、11、20、25，我选择如下三根小，我选择如下三根小棒（用其长度来表示）棒（用其长度来表示）能搭出能搭出一个三角形；我选择如下的三要小棒（用一个三角形；我选择如下的三要小棒（用其长度来表示）其长度来表示）能搭出一个直能搭出一个直角三角形。角三角形。结果分别在结果分别在128人中还有人中还有50人和人和115人不能写出，人不能写出，98人中人中4人和人和14人不能人不能写出。写出。在小学数学教学中，异分母分数加减法一在小学数学教学中，异分母分数加减法一般都是先用通分的办法把它变成同分母分般都是先用通分的办法把它变成同分母分数加减法进行计算的。这种方法从数学的数加减法进行计算的。这种方法从数学的角度（数学思想方法）来看其实质就是什角度（数学思想方法）来看其实质就是什么？么？结果分别只有结果分别只有10人和人和4人分析正确，人分析正确，只占总数的只占总数的3%和和4%，使人大跌眼，使人大跌眼镜！镜！小学数学教师要有一定的数学素养（1 1）小学数学教师数学素养的现状不太乐观）小学数学教师数学素养的现状不太乐观（2 2）由教学实践需要所决定）由教学实践需要所决定现行小学教材中有许多地方注意了极限思现行小学教材中有许多地方注意了极限思想的渗透。如在直线、射线、平行线的教想的渗透。如在直线、射线、平行线的教学时，可让学生体会线的两端是可以无限学时，可让学生体会线的两端是可以无限延长的。延长的。引于中小学教师培训06年第6期在因数与倍数教学中，在因数与倍数教学中，让学生，让学生在具体的情境中通过数数感知自然数的个在具体的情境中通过数数感知自然数的个数是无限的，在活动中体验极限思想。数是无限的，在活动中体验极限思想。引于小学教学设计08年第10期(32)(8)=4师：师：内内可填除可填除0以外的任何数，只要相同就可以了，以外的任何数，只要相同就可以了，又是为什么呢？又是为什么呢？生：商不变性质。生：商不变性质。师：如果老师用师：如果老师用a表示这个数，行吗？表示这个数，行吗？生：我还有一点意见，应表明生：我还有一点意见，应表明a不等于不等于0。评析：仅仅是一道习题，教师能如此挖掘其中的极评析：仅仅是一道习题，教师能如此挖掘其中的极限思想，限思想，12221415求如左图所示的求如左图所示的面积（单位：米）面积（单位：米）我知道，射线是从一点引出的一条我知道，射线是从一点引出的一条看不见摸不着的线，而这一点也是看不见摸不着的线，而这一点也是看不见，摸不着的。看不见，摸不着的。因为偶数是自然数的一部分，所以因为偶数是自然数的一部分，所以偶数的个数就比自然数要少。偶数的个数就比自然数要少。斯斯苗苗儿儿：“一一些些课课上上得得不不好好的的原原因因不不在在于于方方法法和和技技巧巧，而而是是教教师师本本身身的的数数学学功功底底”，“因因为为无无论论是是职职前前和和职职后后都都很很少少关关注注数数学学教教师师学学科科素素养养的的提提高高”。新课程与课堂教学改革J.小学数学教育,2003,1/2:P16小学数学教师要有一定的数学素养（1 1）小学数学教师数学素养的现状不太乐观）小学数学教师数学素养的现状不太乐观（2 2）由教学实践需要所决定）由教学实践需要所决定（3）是数学课程标准的要求是数学课程标准的要求课标指出：数学是人类生活的工具；数学是人类用于交流数学是人类生活的工具；数学是人类用于交流的语言；数学能赋予人创造性；数学是一种文的语言；数学能赋予人创造性；数学是一种文化；数学既是一种过程，也是现实世界的一种化；数学既是一种过程，也是现实世界的一种反映；等等反映；等等。在数学知识的教学过程中对学生进行数学思想在数学知识的教学过程中对学生进行数学思想和方法的教学和方法的教学“从数学的角度提出问题、理解问题从数学的角度提出问题、理解问题”、“解决问题解决问题”、“数学思考数学思考”小学数学教师要有一定的数学素养（1 1）小学数学教师数学素养的现状不太乐观）小学数学教师数学素养的现状不太乐观（2 2）由教学实践需要所决定）由教学实践需要所决定（4）是数学教师专业发展的需要是数学教师专业发展的需要（3）是数学课程标准的要求是数学课程标准的要求教师专业知识教师专业知识本本体体性性知知识识学学科科知知识识条条件件性性知知识识教教育育理理论论实实践践性性知知识识教教学学经经验验教师的实践性知识与其所掌握教师的实践性知识与其所掌握的学科知识和教育学知识之间的学科知识和教育学知识之间存在着显著的关联存在着显著的关联辛涛：小学数学教师职业知识的结构与内在关系心理发展与教育2005年第2期只有当教师将自己对只有当教师将自己对学科知识学科知识的理解的理解与学生的思维及学习特点结合起来将与学生的思维及学习特点结合起来将其转化为学科教学的理解时，其转化为学科教学的理解时，学科教学科教学知识学知识对学生的学习有着显著的影响对学生的学习有着显著的影响关系关系李琼，倪玉菁：教师变量对小学生数学学习成绩影响的多水平分析教师教育研究2006年第3期李琼李琼（北京师范大学教师教育研究中心）：（北京师范大学教师教育研究中心）：小学数学教师的学科知识：专小学数学教师的学科知识：专家与非专家的对比分析家与非专家的对比分析两类教师对数学知识的理解以两类教师对数学知识的理解以及数学观方面存在着显著的差及数学观方面存在着显著的差异异 教育学报教育学报2005年第年第6期期二、小学数学背景知识漫谈实践促进实践促进自身发展自身发展需要产生数学需要产生数学二、小学数学背景知识漫谈1 1、数及其发展、数及其发展2 2、无限与极限、无限与极限现行小学教材中有许多地方注意了极限思现行小学教材中有许多地方注意了极限思想的渗透。如在直线、射线、平行线的教想的渗透。如在直线、射线、平行线的教学时，可让学生体会线的两端是可以无限学时，可让学生体会线的两端是可以无限延长的。延长的。引于中小学教师培训06年第6期在因数与倍数教学中，在因数与倍数教学中，让学生，让学生在具体的情境中通过数数感知自然数的个在具体的情境中通过数数感知自然数的个数是无限的，在活动中体验极限思想。数是无限的，在活动中体验极限思想。引于小学教学设计08年第10期(32)(8)=4师：师：内内可填除可填除0以外的任何数，只要相同就可以了，以外的任何数，只要相同就可以了，又是为什么呢？又是为什么呢？生：商不变性质。生：商不变性质。师：如果老师用师：如果老师用a表示这个数，行吗？表示这个数，行吗？生：我还有一点意见，应表明生：我还有一点意见，应表明a不等于不等于0。评析：仅仅是一道习题，教师能如此挖掘其中的极评析：仅仅是一道习题，教师能如此挖掘其中的极限思想，限思想，从一袋种子中随机地抽取五份种子进行发芽试验，结果如下表：种子数101307001500300发芽数811663913642715频率0.80.892 0.913 0.909 0.905掷硬币试验的一组数据（这些是历史上数学家所做的试验数据）实验者投掷次数下面出现次数正面出现的频率蒲丰404020480.5069德摩根409220480.5005费勒1000049790.4979皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005罗曼诺夫斯基80640396990.4923二、小学数学背景知识漫谈1 1、数及其发展、数及其发展2 2、无限与极限、无限与极限3 3、几何原本的基石、几何原本的基石几何原本几何原本定义1.点点:点不可以再分成部分.2.线线:线是无宽的长度.3.线的两端是点.4.直线直线:直线是点沿着一定方向及其相反方向无限平铺.5.面面:面只有长度和宽度.6.一个面的边是线7.平面平面:平面是是直线自身的均匀分布.8.平面角平面角:平面角是两条直线在一个平面内相交所形成的倾斜度.几何原本几何原本定义9.直线角直线角:含有角的两条线成一条直线时,其角成为直线角.10.直角与垂线直角与垂线:一条直线与另一条直线相交所形成的两邻角相等,两角皆称为直角,其中一条称为另一条的垂线.11.钝角钝角:大于直角的角.12.锐角锐角:小于直角的角.13.边界边界:边界是物体的边缘.14.图形图形:是一个边界或几个边界所围成的.几何原本几何原本定义15.圆圆:由一条线包围着的平面图形,其内有一点与这条线上任何一个点所连成的线段都相等.16.这个点叫做圆心圆心.17.直径直径是穿过圆心、端点在圆上的任意线段,该线段将圆分成两等分.18.半圆半圆:是直径与被它切割的圆弧围成的图形.半圆的圆心与原圆心相同.19.直线图形直线图形是由线段首尾顺次相接围成的.三角形三角形是由三条线段围成的,四边形四边形是由四条线段围成的,多边多边形形是由四条以上的线段围成的.几何原本几何原本定义20.三角形中,三条边相等的称等边三角形等边三角形,两条边相等的称等腰三角形等腰三角形,各边都不相等的称不等边三角形不等边三角形.22.四边形中,四条边相等并四个角为直角的称为正方正方形形;四角为直角,但边不完全相等的为长方形长方形(也叫矩形);四边相等,角不是直角的为菱形菱形;两组对边、两组对角分别相等的为平行四边形平行四边形；一组对边平行，另一组对边不平行的称为梯形梯形。21.三角形中,有一个角为直角的是直角三角直角三角形形,有一个钝角的称钝角三角形钝角三角形,三个角都为锐角的为锐角三角形锐角三角形.23.平行直线平行直线:在同一个平面内向两端无限延长不能相交的直线.几何原本几何原本公设1.过现点可以作一条直线.3.以定点为圆心及定长的线段为半径可以作圆。2.直线可以向两端无限延伸.4.凡直角都相等.5.同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若直线同侧的两个内角之和小于两直角时，则这两条直线在这一侧相交.几何原本几何原本公理1.等于同量的量彼此相等.3.等量减等量，其差仍相等。2.等量加等量，其和仍相等.4.彼此能够重合的物体是全等的.5.整体大于部分.公理公理1 1、结合公理、结合公理两点确定一条直线；两点确定一条直线；浙教版第浙教版第4 4册册2 2、移移形形公公理理一一个个图图形形变变更更位位置置后后，它它的的形状、大小都不变。形状、大小都不变。新课标人教版二下新课标人教版二下3 3、线段公理、线段公理两点间直线段最短。两点间直线段最短。浙教版第浙教版第4 4册册4 4、平平行行公公理理通通过过一一条条直直线线外外的的一一点点，必必有有且仅有一条直线与该直线平行。且仅有一条直线与该直线平行。新课标人教版四上新课标人教版四上 5 5、垂垂直直线线公公理理在在一一个个平平面面上上通通过过一一个个定定点与一条定直线垂直的直线只有一条。点与一条定直线垂直的直线只有一条。新课标人教版四上新课标人教版四上6 6、面面积积公公理理矩矩形形面面积积的的量量数数等等于于它它的的相相邻两边量数的乘积。邻两边量数的乘积。7 7、体体积积公公理理长长方方体体体体积积的的量量数数等等于于过过同同一顶点的三棱量数的乘积。一顶点的三棱量数的乘积。相关知识点的延伸（一）线段 线线段段长长短短比比较较的的概概念念，反反映映的的是是长长度度大大小小的的概概念，即是以一个标准去量的。念，即是以一个标准去量的。（浙教版第四册（浙教版第四册 ）以移形公理为根据，用叠合的方法来刻画定义的。以移形公理为根据，用叠合的方法来刻画定义的。例例如如：比比较较线线段段ABAB和和ABAB长长短短的的思思想想是是：把把线线段段ABAB放放在在ABAB上上，使使得得A A和和AA重重合合，如如果果B B和和BB也重合，则说线段也重合，则说线段ABAB和和ABAB相等。相等。（二）三角形由由三三条条线线段段围围成成的的封封闭闭图图形形（浙浙教教版版第第四四册册、第第九九册册）由由不不在在同同一一条条直直线线上上的的三三条条线线段段首首尾尾顺顺次次连连接接所所组组成的图形成的图形 由由三三条条线线段段围围成成的的图图形形（每每相相邻邻两两条条线线段段的的端端点点相相连）叫做三角形连）叫做三角形（新课标人教版四下新课标人教版四下）从从三三角角形形一一个个角角的的顶顶点点向向它它的的对对边边（或或对对边边延延长长线线）画画一一条条垂垂线线，顶顶点点到到垂垂足足间间的的线线段段叫叫做做三三角角形形的的高高，这这个个顶顶点点的的对对边边叫叫做做三三角角形形的的底底。（浙教版第九册）（浙教版第九册）自自三三角角形形的的一一个个顶顶点点向向它它所所对对的的边边线线（对对边边所所在在的的直直线线）所所引引的的垂垂直直线线，叫叫做做三三角角形形的的该该边边上上的的高高线，简称该边上的高线，简称该边上的高 三、四边形ACDB多边形多边形科学技术百科全书第一卷科学技术百科全书第一卷数学（科学出版社）数学（科学出版社）P48用线段连接由用线段连接由n个点（个点（n2）组成的有序集中每一点和紧接着）组成的有序集中每一点和紧接着的后续点（在这里要把第一点看作最后一点的后续点）所形的后续点（在这里要把第一点看作最后一点的后续点）所形成的图形叫做（成的图形叫做（n边的）多边形；这边的）多边形；这n个点称为多边形的顶点，个点称为多边形的顶点，而连接它们的线段称为多边形的边。欧几里德把多边形看作而连接它们的线段称为多边形的边。欧几里德把多边形看作是这样的图形，也看作是由这些顶点和边所围成的平面区域。是这样的图形，也看作是由这些顶点和边所围成的平面区域。现代的用法则把多边形看作是形成闭折线的直线段和顶点所现代的用法则把多边形看作是形成闭折线的直线段和顶点所构成的任何集。如果多边形的每一边只与其邻边相交，则这构成的任何集。如果多边形的每一边只与其邻边相交，则这个多边形是简单的。一个多边形是平面的或空间的，要根据个多边形是简单的。一个多边形是平面的或空间的，要根据它的边是否在一平面内而定。如果多边形所围成的区域完全它的边是否在一平面内而定。如果多边形所围成的区域完全在每边所在的（延长了的）直线的一侧，那么这个简单平面在每边所在的（延长了的）直线的一侧，那么这个简单平面多边形是凸的。多边形是凸的。3，4，5，6，7，8，10，或，或12的多边形称为的多边形称为三角形（三角形（3），四边形（），四边形（4），五边形（），五边形（5），六边形（），六边形（6），），七边形（七边形（7），八边形（），八边形（8），十边形（），十边形（10）或十二边形）或十二边形（12）。任何凸多边形的外角和是）。任何凸多边形的外角和是360。内角和是（。内角和是（n-2）180。如果凸多边形有相等的角和相等的边，就称它为正。如果凸多边形有相等的角和相等的边，就称它为正多边形。多边形。几何立体几何立体科学技术百科全书第一卷科学技术百科全书第一卷数学（科学出版社）数学（科学出版社）P133几何立体，通常称作立体，是三维空间中构成一有限部分的几何立体，通常称作立体，是三维空间中构成一有限部分的点集，这些点可以互相连续地联结起来，而与空间的其余部点集，这些点可以互相连续地联结起来，而与空间的其余部分由一称作其边界的点集相隔开。立体的内点是这样的点分由一称作其边界的点集相隔开。立体的内点是这样的点I，空间中离空间中离I在充分小的正距离在充分小的正距离d以内的一切点都是立体的点。以内的一切点都是立体的点。边界点是这样的点边界点是这样的点B，不论正数，不论正数d取得怎样小，离开取得怎样小，离开B在距离在距离d以内总有立体的点，也有不是立体的点。立体的截面由立体以内总有立体的点，也有不是立体的点。立体的截面由立体和与其相交的一已知平面的所有公共点构成。一边界截面包和与其相交的一已知平面的所有公共点构成。一边界截面包含立体的边界点但不包含其内点。由二平行平面截下的两个含立体的边界点但不包含其内点。由二平行平面截下的两个边界截面可以叫做立体的两个底面。这两平面间的距离因而边界截面可以叫做立体的两个底面。这两平面间的距离因而叫做高；由两底面间正中的平面截下的截面叫做立体的中截叫做高；由两底面间正中的平面截下的截面叫做立体的中截面。立体中任意两点联结的线段，如果总属于这立体，它就面。立体中任意两点联结的线段，如果总属于这立体，它就称作凸的。称作凸的。您数学学到什么程度您数学学到什么程度,今天您是今天您是否还记得所学的全部内容否还记得所学的全部内容?先请教一个问题先请教一个问题:三、小学数学中的数学思想方法三、小学数学中的数学思想方法 这节课的主题是什么？最主要这节课的主题是什么？最主要的思想是什么？的思想是什么？目前小学数学课堂教学评价的缺憾目前小学数学课堂教学评价的缺憾（1 1）是由数学课堂教学的现状所决定的）是由数学课堂教学的现状所决定的(a)教学目标的缺失教学目标的缺失(b)教学内容挖掘能力的缺失教学内容挖掘能力的缺失1 1、为什么、为什么重视数学思想方法的教学（渗透）重视数学思想方法的教学（渗透）（2 2）是由数学思想的实质所决定的）是由数学思想的实质所决定的数学思想是指在数学研究活动中解决数学问数学思想是指在数学研究活动中解决数学问题的根本想法，是对数学内在规律的一种理题的根本想法，是对数学内在规律的一种理性认识，也是千百来来人类在进行数学研究性认识，也是千百来来人类在进行数学研究中所找到的方法论。中所找到的方法论。数学方法是人们从事数学活动时的程序、途数学方法是人们从事数学活动时的程序、途径，是实施数学思想的技术手段径，是实施数学思想的技术手段。数学能力数学能力数学思想数学思想（3 3）是正确领会）是正确领会“课标课标”的具体体现的具体体现数学课程标准指出：数学课程标准指出：在数学知识的教学过程中对学生在数学知识的教学过程中对学生进行数学思进行数学思想和方法的教学想和方法的教学。获得获得适应未来社会生活和进一步发展所必需适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及的重要数学知识以及基本的数学思想方法基本的数学思想方法和和必要的应用技能必要的应用技能 数学课为什么要存在？数学课为什么要存在？（4 4）是数学课堂教学的根本目标之一）是数学课堂教学的根本目标之一 “数学思想和方法是数学知识在更高层次的数学思想和方法是数学知识在更高层次的抽象和概括，它蕴涵在数学知识的发生、发展和抽象和概括，它蕴涵在数学知识的发生、发展和应用的过程中，能够迁移并广泛应用于相关学科应用的过程中，能够迁移并广泛应用于相关学科和社会生活中和社会生活中,因此因此,对于数学思想和方法的考查对于数学思想和方法的考查必然要与数学知识的考查结合进行，通过数学知必然要与数学知识的考查结合进行，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法理解和掌识的考查，反映考生对数学思想和方法理解和掌握的程度考查时，要从学科整体意识和思想价握的程度考查时，要从学科整体意识和思想价值上立意，要有明确的目的值上立意，要有明确的目的,加强针对性加强针对性,注意通注意通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度.”（5 5）是学生进一步发展的需要）是学生进一步发展的需要源于高考考试大纲源于高考考试大纲2、小学数学教材中数学思想方法体现的、小学数学教材中数学思想方法体现的特征特征小小学学数数学学基本知识与基本技能基本知识与基本技能数学思想方法（1）蕴含性）蕴含性新课标人教版（新课标人教版（1515册）数学思想方法频数分布表册）数学思想方法频数分布表 数学思想方法 频数数学思想方法频数分类方法 29数学模型方法 58数形结合方法 23抽象概括方法 16归纳猜想方法 11完全归纳法 50类比法 7不完全归纳法 23比较法 75化归方法 27观察法 65公式法 27(2)(2)丰富性丰富性化归思想化归思想 “化归方法化归方法”一般是指把待解决或未解决的问题，通一般是指把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或者比较容易解决过某种转化过程，归结到一类已经解决或者比较容易解决的问题中去，最终获得原问题之解答的一种手段和方法。的问题中去，最终获得原问题之解答的一种手段和方法。待解决的问题已解决或容易解决的问题转化 解答 解答化归的一般模式集合思想集合思想集合关系的集合关系的渗透渗透并集思想的渗透并集思想的渗透集合的运算的渗透集合的运算的渗透交集思想的渗透交集思想的渗透差（余）集思想的渗透差（余）集思想的渗透因为偶数是自然数的一部分，所以因为偶数是自然数的一部分，所以偶数的个数就比自然数要少。偶数的个数就比自然数要少。弱抽象弱抽象 是指从原型中选取某一特征（侧面）加以抽象，是指从原型中选取某一特征（侧面）加以抽象，从而获得比原结构更广的结构，使原结构成为后从而获得比原结构更广的结构，使原结构成为后者的特例。者的特例。强抽象强抽象 指在原结构中增添某一特征，通过抽象获得指在原结构中增添某一特征，通过抽象获得比原结构更丰富的结构，使后者成为前者的比原结构更丰富的结构，使后者成为前者的特例。特例。广义抽象广义抽象 定义概念定义概念B时用到了概念时用到了概念A，或者证明定理，或者证明定理B时用时用到了定理到了定理A，我们就说，我们就说B比比A抽象，这样的抽象称抽象，这样的抽象称为广义抽象。为广义抽象。抽象抽象 数学模型 所谓数学模型，就是把某种事物系统所谓数学模型，就是把某种事物系统的主要特征、主要关系抽象出来，用数的主要特征、主要关系抽象出来，用数学语言概括地或近似地表述出来的一种学语言概括地或近似地表述出来的一种数学结构。数学结构。地球上的环境日益恶化。地球在吼：地球上的环境日益恶化。地球在吼：“我我受不了啦，我快要爆裂啦！受不了啦，我快要爆裂啦！”天上的玉皇大帝天上的玉皇大帝听到后很是惊讶，心想，要是地球真的爆裂，听到后很是惊讶，心想，要是地球真的爆裂，那它上面的全部生灵将要毁灭，所以他决定沿那它上面的全部生灵将要毁灭，所以他决定沿地球的赤道加一道铁箍，以防地球爆裂。可是地球的赤道加一道铁箍，以防地球爆裂。可是地球却又直喊：地球却又直喊：“太紧了，我喘不过气了太紧了，我喘不过气了”。于是玉皇大帝只好把铁箍松了一下，使得它处于是玉皇大帝只好把铁箍松了一下，使得它处处离地球处离地球1米。可是松一下，铁丝不够长了，米。可是松一下，铁丝不够长了，需要再加一段，请你帮玉皇大帝计算一下需要需要再加一段，请你帮玉皇大帝计算一下需要加多少米长的一段铁丝？加多少米长的一段铁丝？“实际”问题两个同心圆的周长差数学抽象差是2实际问题的解计算还原说明2(r+1)-2r=26.28用数学模型方法解决问题的基本步骤实际问题数学模型数学抽象数学模型的解实际问题的解逻辑推理还原说明如何提升自身的学科专业素养如何提升自身的学科专业素养 1.1.从哪些方面提升自身的学科素养从哪些方面提升自身的学科素养(1)(1)了解一些背景知识了解一些背景知识了解数和数系的相关知识了解数和数系的相关知识了解欧几里得及相关的几何知识了解欧几里得及相关的几何知识了解概率与统计方面的基础知识了解概率与统计方面的基础知识了解微积分的一些基础知识了解微积分的一些基础知识了解离散数学的一些基础知识了解离散数学的一些基础知识了解一些数学史了解一些数学史了解数学方面的轶闻趣事了解数学方面的轶闻趣事二、如何二、如何提升自身的学科专业素养提升自身的学科专业素养 1.1.从哪些方面提升自身的学科素养从哪些方面提升自身的学科素养(2)(2)掌握一些常见的数学思想方法掌握一些常见的数学思想方法二、如何二、如何提升自身的学科专业素养提升自身的学科专业素养 1.1.从哪些方面提升自身的学科素养从哪些方面提升自身的学科素养(2)(2)掌握一些常见的数学思想方法掌握一些常见的数学思想方法化归化归数形结合数形结合数学模型数学模型集合集合抽象与概括抽象与概括归纳与类比归纳与类比分类分类二、如何二、如何提升自身的学科专业素养提升自身的学科专业素养 1.1.从哪些方面提升自身的学科素养从哪些方面提升自身的学科素养2.2.从哪些途径提升自身的学科素养从哪些途径提升自身的学科素养（1 1）研读教材）研读教材陶陶西西平平：“现现在在的的改改革革有有些些太太过过份份重重视视教教学学方方式式的的改改变变，而而忽忽视视了了教教师师科科学学素素养养的的提提高高”，教教学学中中“首首先先考考虑虑的的是是怎怎么么教教，而而没没有有真真正正研研究究教教学学内容内容”。中国青年报,2006-10-30二、如何二、如何提升自身的学科专业素养提升自身的学科专业素养 1.1.从哪些方面提升自身的学科素养从哪些方面提升自身的学科素养2.2.从哪些途径提升自身的学科素养从哪些途径提升自身的学科素养（1 1）研读教材）研读教材（2 2）案例分析）案例分析圆的认识教学师师：今今天天我我们们一一起起来来学学习习一一个个特特殊殊的的曲曲线线图图形形圆圆。现现在在请请大大家家在在准准备备好好的的白白纸纸中中间间定定一一个个点点，然然后后在在这这个个定定点点的的周周围围再再打打一一些些点点，周周围围的的这这些些点点要要与与这这个个定定点点距距离离3 3厘厘米米。在在打打点点的的时时候候，请大家观察一下，你所打的那些点看起来像个什么图形？请大家观察一下，你所打的那些点看起来像个什么图形？（学生按要求动手操作。大约（学生按要求动手操作。大约1 1分钟后老师请学生汇报。）分钟后老师请学生汇报。）师师：谁谁来来汇汇报报一一下下，你你一一共共打打了了几几个个点点？这这些些点点看看起起来来像像个个什什么么图形？图形？生生1 1：我打了：我打了7 7个点，这个点，这7 7个点连起来看像一条弯弯的线。个点连起来看像一条弯弯的线。生生2 2：我打了：我打了5 5个点，把这个点，把这5 5个点依次连起来应该是一个五边形。个点依次连起来应该是一个五边形。生生3 3：我我打打了了1212个个点点，（其其他他学学生生发发出出不不相相信信的的“哦哦哟哟”声声，这这名名学学生生于于是是加加以以解解释释）我我是是把把3 3厘厘米米刻刻度度线线对对准准中中间间那那个个点点，这样我一次可以在这样我一次可以在0 0刻度线和刻度线和6 6厘米刻度线那儿各打一个点了。厘米刻度线那儿各打一个点了。师师：做做事事肯肯动动脑脑筋筋，好好样样的的。那那你你打打的的12个个点点看看起起来来像像个个什什么么图图形？形？生生3：很像一个圆形。：很像一个圆形。师师：方方法法不不同同，效效率率也也就就不不同同。打打的的点点的的个个数数不不同同，看看起起来来像像的的图图形形也也不不同同。这这样样，老老师师再再给给大大家家2分分钟钟的的时时间间，请请同同学学们们按按照照刚刚才的要求继续打点才的要求继续打点（2 2分钟后，老师请学生汇报。）分钟后，老师请学生汇报。）生生1 1：我我刚刚才才用用张张小小高高的的方方法法加加快快了了速速度度，我我打打的的点点连连起起来来看看非非常像一个圆形。常像一个圆形。生生2：我打的点连起来看也很像一个圆形。：我打的点连起来看也很像一个圆形。生生3：我也是。：我也是。师师：刚刚才才大大家家的的发发言言中中都都有有一一个个共共同同点点，那那就就是是你你们们打打的的点点合合起起来看都很像一个圆形，那能不能说是一个圆呢？来看都很像一个圆形，那能不能说是一个圆呢？生生4：我认为不能，因为这些点之间还有许多缝隙。：我认为不能，因为这些点之间还有许多缝隙。师师：讲讲得得很很有有道道理理，圆圆是是一一个个封封闭闭图图形形，所所以以此此时时打打的的点点只只能能说说轮轮廓廓像像一一个个圆圆。那那我我再再给给你你们们2分分钟钟时时间间，能能不不能能肯肯定定地地说说你你们们所所打的点组成的就是一个圆形？打的点组成的就是一个圆形？生生5：速度快一点也许可以。：速度快一点也许可以。生生6：我我认认为为不不能能。你你眼眼睛睛看看起起来来没没有有缝缝隙隙了了，但但如如果果用用放放大大镜镜或或者显微镜来看，也许又会发现许多缝隙了。者显微镜来看，也许又会发现许多缝隙了。师师：许许红红明明同同学学思思考考很很严严谨谨。那那现现在在请请同同学学们们想想象象一一下下，什什么么情情况下我们所打的点才能够组成一个圆呢？况下我们所打的点才能够组成一个圆呢？生生7：应该有无数个这样的点才能组成一个圆。：应该有无数个这样的点才能组成一个圆。生生8：这些点应该是一个挨一个，排得密密麻麻，密不透风。：这些点应该是一个挨一个，排得密密麻麻，密不透风。师师小小结结：当当我我们们按按要要求求点点5个个点点时时，还还看看不不出出像像什什么么图图形形。当当我我们们按按要要求求点点10个个点点时时，就就能能看看到到一一个个圆圆的的轮轮廓廓了了。而而当当我我们们按按要要求求点点20个个点点时时，看看起起来来就就已已经经比比较较像像一一个个圆圆了了。如如果果我我们们再再一一直直这这样样点点下下去去，点点出出无无数数个个这这样样的的点点后后，最最后后我我们们就就能能得得到到一一个个很很标标准的圆了。准的圆了。师：通过刚才的学习，你能不能用自己的话说说圆有什么特点？师：通过刚才的学习，你能不能用自己的话说说圆有什么特点？生生1：圆上每一点到中间那个定点的距离都相等。：圆上每一点到中间那个定点的距离都相等。生生2：圆是由到中间距离都相等的很多很多的点组成的。：圆是由到中间距离都相等的很多很多的点组成的。二、如何二、如何提升自身的学科专业素养提升自身的学科专业素养 1.1.从哪些方面提升自身的学科素养从哪些方面提升自身的学科素养2.2.从哪些途径提升自身的学科素养从哪些途径提升自身的学科素养（1 1）研读教材）研读教材（2 2）案例分析）案例分析（3 3）阅读数学科普读物）阅读数学科普读物经典著作：经典著作：几何原本和九章算术几何原本和九章算术数学史：数学史：数学的历程数学的历程 穆国杰穆国杰 浙江大学出版社浙江大学出版社数学及其认识数学及其认识 高隆昌高隆昌 高等教育出版社高等教育出版社数学文化：数学文化：数学文化数学文化 张楚廷张楚廷 高等教育出版社高等教育出版社数学的明天数学的明天 张奠宙张奠宙 广西教育出版社广西教育出版社数学文化数学文化 课程教材研究所数学课程教材研课程教材研究所数学课程教材研究开发中心究开发中心 人民教育出版社人民教育出版社数学思想与方法：数学思想与方法：数学思想方法简明教程章士藻数学思想方法简明教程章士藻 南京大学出版社南京大学出版社数学方法论入门数学方法论入门 郑毓信郑毓信 浙江教育出版社浙江教育出版社数学思想方法顾泠沅数学思想方法顾泠沅 中央广播电视大学出版社中央广播电视大学出版社什么是数学什么是数学 美美R.R.柯朗柯朗 H.H.罗宾罗宾 复旦大学出版社复旦大学出版社数学的创造数学的创造 吴振奎吴振奎 吴旻吴旻 上海教育出版社上海教育出版社古今数学思想古今数学思想 美美 克莱茵克莱茵 上海科学技术出版社上海科学技术出版社怎样解题怎样解题 美美 波利亚波利亚 科学出版社科学出版社数学与猜想数学与猜想 美美 波利亚波利亚 科学出版社科学出版社其他：其他：高观点下的初等数学概念沈钢高观点下的初等数学概念沈钢 浙江大学出版社浙江大学出版社逻辑与小学数学教学金成梁逻辑与小学数学教学金成梁 北京师范大学出版社北京师范大学出版社华罗庚科普选集华罗庚科普选集 上海教育出版社上海教育出版社“通俗世界名著译丛通俗世界名著译丛”上海教育出版社上海教育出版社数学的创造数学的创造 吴振奎吴振奎 吴旻吴旻 上海教育出版社上海教育出版社数：上帝的产物数：上帝的产物 谈祥柏谈祥柏 上海教育出版社上海教育出版社 “数学小丛书数学小丛书”北京数学会北京数学会 人民教育出版社人民教育出版社如何如何提升自身的学科专业素养提升自身的学科专业素养 1.1.从哪些方面提升自身的学科素养从哪些方面提升自身的学科素养2.2.从哪些途径提升自身的学科素养从哪些途径提升自身的学科素养（1 1）研读教材）研读教材（2 2）案例分析）案例分析（3 3）阅读数学科普读物）阅读数学科普读物（4 4）解答习题）解答习题请批评指正谢谢！
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