高考数学二轮复习 专题九 解析几何 第3讲 圆锥曲线的几何性质考题溯源变式 理-人教版高三数学试题

（通用版）2016年高考数学二轮复习 专题九 解析几何 第3讲 圆锥曲线的几何性质考题溯源教材变式 理真题示例对应教材题材评说(2014高考课标全国卷，12分)已知点A(0，2)，椭圆E：1(ab0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点. (1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程.(选修21练习P48T7)经过椭圆y21的左焦点F1作倾斜角为60的直线l，直线l与椭圆相交于A、B两点，求AB的长.细细品味，你会知道考题实际上是教材问题的升华创造，是静态问题向动态问题变迁的高级案例，要引起高度重视.教材变式训练一、选择题变式1(选修21 P49A组T1改编)在直角坐标平面xOy中，动点M(x，y)满足10，则|OM|的取值范围是()A3，5 B4，5C6，10 D8，10解析：选B.设F1(0，3)，F2(0，3)，则10，即为|MF1|MF2|10|F1F2|，故动点M的轨迹为以F1(0，3)，F2(0，3)为焦点，以10为长轴长的椭圆，故|OM|4，5变式2(选修21 P80A组T3(2)改编)与圆O：x2y21和圆C：x2y28x120都外切的圆的圆心在()A一个椭圆上 B双曲线一支上C一条抛物线上 D一个圆上解析：选B.设圆的圆心为P，对于圆C：x2y28x120可化为(x4)2y24，设圆P的半径为r，则|PC|2r，|PO|r1，|PC|PO|10，b0)的左、右焦点，A1，A2是它的两个顶点，过F1且与实轴垂直的直线交双曲线A、B两点，若|AB|3|A1A2|，则双曲线的离心率为()A.BC2 D3解析：选C.AB所在的直线方程为xc，代入1得y，|AB|，由|AB|3|A1A2|得32a，即b23a2，c24a2，c2a，则有离心率e2，故选C.变式5(选修21 P62B组T1改编)已知双曲线1(a0，b0)的离心率为2，焦点与椭圆1的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为()A.xy0Bxy0Cxy0 D2xy0解析：选B.椭圆1的焦点为(4，0)，双曲线的焦点坐标为(4，0)，c4，在双曲线中2，c2a2b2，a2，b212，双曲线方程为1，渐近线方程为yxx，即xy0，故选B.变式6(选修21 P69例4，改编)过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点若|AF|3，则AOB的面积为()A.BC. D2解析：选C.由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，(y10，y2b0)的两个顶点，F2为右焦点，P是C上一点，PF2x轴，且存在实数，使.(1)求C的离心率与的值；(2)若SOAB，Q是C上一点，求QAB的面积的最大值解：(1)依题意ABOP，P，A(a，0)，B(0，b)，(a，b)，(c，)而，b2bc，bc，e2，e，显然AOBOF2P，.(2)由(1)可知SAOBabb2，b，a2，|AB|，椭圆C的方程为1，法一：若QAB面积最大，则Q到AB的距离最大，又kAB，设直线l：yxm，当直线l与椭圆相切时，切点即为所求的Q.由x2mxm220，2m24(m22)0，m24，m2(舍)或m2，即l：yx2，A点到l的距离d，(SQAB)max|AB|d2.法二：(三角换元)设椭圆上的点Q(2cos ，sin )，lAB：yx，Q到lAB的距离d，d，SQAB|AB|d2.即(SQAB)max2.变式10(选修21 P81B组T3改编)已知直线l与抛物线C：y22px(p0)交于A、B两点，且OAOB.(1)求证：直线l与x轴交点的横坐标为2p；(2)若ODAB，交AB于点D(2，1)，求p的值解：(1)证明：如图所示，设直线l的方程为xtym(显然l斜率不为0)，又设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y22pty2pm0，又A、B在直线l上，又OAOB，0，x1x2y1y20，(ty1m)(ty2m)y1y20，(1t2)y1y2mt(y1y2)m20，将代入得(1t2)(2pm)2pmt2m20，m2p，直线l与x轴交点的横坐标为2p.(2)kOD，依题意kAB2，lAB：y2x5，由(1)可知直线lAB与x轴交点的横坐标2p，p.