高考数学二轮复习 专题九 解析几何 第1讲 直线与圆考题溯源变式 理-人教版高三数学试题

（通用版）2016年高考数学二轮复习 专题九 解析几何 第1讲 直线与圆考题溯源教材变式 理真题示例对应教材题材评说(2014高考课标全国卷，12分)已知点P(2，2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A、B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求l的方程及POM的面积.(必修2 P133B组T4)如图，圆x2y28内有一点P0(1，2)，AB为过点P0且倾斜角为的弦.(1)当135时，求AB的长；(2)当弦AB被点P0平分时，写出直线AB的方程.让教材静态问题活起来，变成了高效保真的动态高考试题，让人耳目一新，倍感亲切，真是为有源头活水来.教材变式训练一、选择题变式1(必修2 P100A组T5改编)直线l1的斜率为，直线l2过点P(1，2)，且倾斜角是l1倾斜角的2倍则l2的方程为()Axy10 B4x3y20C3x4y50 D4x5y60解析：选B.设l1的倾斜角为，则tan ，tan 2，由题意知，l2的倾斜角为2，l2的斜率为，l2的方程为y2(x1)，即4x3y20，故选B.变式2(必修2 P101B组T5改编)若直线l沿x轴向左平移a个单位(a0)，再沿y轴向上平移b个单位(b0)，回到原来的位置，则直线l的斜率为()A. BC. D解析：选B.设P是直线l上任一点直线回到原来的位置，即为P向左平移a个单位，再向上平移b个单位，到达T，即PT确定的直线即为原直线(如图)，斜率ktan tan(180)tan .变式3(必修2 P105例3改编)已知点A(1，2)，B(3，4)P是x轴上一点，且|PA|PB|，则PAB的面积为()A15BC6D解析：选D.AB的中点坐标为M(1，3)，kAB，AB的中垂线方程为y32(x1)即2xy50.令y0，则x，即P点的坐标为(，0)|AB|2.P到AB的距离为|PM|.SPAB|AB|PM|2.变式4(必修2 P132A组T5改编)直线3xy60被圆x2y22y40截得的弦长为()A.BC2D解析：选B.圆的方程为x2(y1)25，即圆心为(0，1)，半径r为，圆心到直线的距离d，所以弦长|AB|22，故选B.变式5(必修2 P119例2改编)过点A(5，1)，B(7，3)，C(2，8)的圆的面积为()A15 B20C25 D30解析：选C.由题意得线段AB的中垂线方程为x2y80，线段BC的中垂线方程为xy10，将联立解得，过三点A，B，C圆的圆心坐标为(2，3)，则该圆的半径为r5，该圆的面积Sr225，故选C.变式6(必修2 P124B组T3改编)已知A(1，0)，B(2，0)，动点C满足|CA|2|CB|，则ABC面积的最大值是()A2 B3C4 D6解析：选B.设动点C(x，y)，|CA|2|CB|，2，y2x26x5(1x5)，|y|，|y|max2，ABC面积的最大值为Smax|AB|y|max323，故选B.二、填空题变式7(必修 2 P132A组T7改编)圆x2y22x2y0关于直线l：xy10对称的圆的方程是_解析：x2y22x2y0，(x1)2(y1)22，该圆的半径为，圆心为(1，1)设该圆关于直线l的对称圆的圆心为(m，n)两圆圆心连线段的中点在直线l上，即mn40.且过两圆圆心的直线与l垂直，即1，mn0.联立可得圆x2y22x2y0关于直线l对称的圆的方程为(x2)2(y2)22.答案：(x2)2(y2)22变式8(必修2 P133B组T3改编)圆x2y24上恰有三个点到直线xym0的距离都等于1，则m_解析：由题意知直线xym0为斜率为1的半径的中垂线，圆心到该直线的距离为1，即1，m.答案：三、解答题变式9(必修2 P133A组T8改编)RtABC中，斜边|BC|6，以BC的中点为圆心，半径为2的圆与BC分别交于P，Q.(1)建立适当的直角坐标系，求APQ的重心G的轨迹方程；(2)求证：|AP|2|AQ|2为定值解：(1)以BC中点为原点，以BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系(如图)，则B(3，0)，C(3，0)，P(2，0)，Q(2，0)设APQ的重心G的坐标为(x，y)，3，A(3x，3y)，又ABC为直角三角形，所以1(y0)，APQ的重心G的轨迹方程为x2y21(y0)(2)证明：设A(m，n)，由(1)知m2n29(n0)，|AP|2(m2)2n2m24m4n2，|AQ|2(m2)2n2m24m4n2，|AP|2|AQ|22m22n282(m2n2)826，|AP|2|AQ|2为定值变式10(必修2 P144B组T6改编)已知C：x2y22x4y200，直线l：(2m1)x(m1)y7m40.(1)求证：直线l与C恒有两个交点；(2)若直线l与C的两个交点分别为A、B，求线段AB中点P的轨迹方程，并求弦AB的最小值解：(1)证明：C：x2y22x4y200，即(x1)2(y2)225，又直线l：(2m1)x(m1)y7m40恒过定点Q(3，1)且点Q在C内部，直线l与C恒有两个交点(2)由题意知，设点P(x，y)为弦AB的中点，由(1)可知0，而(x1，y2)，(x3，y1)，(x1)(x3)(y2)(y1)0，化简得：x2y24x3y50，点P的轨迹方程为x2y24x3y50，由圆的几何性质可知，当Q(3，1)是弦AB的中点时，|AB|最小|CQ|，圆C的半径为5，|AB|min24.