数字运算——容斥原理课件

数字运算数字运算数字运算1容斥原理“容斥原理容斥原理”一共有五种小一共有五种小题型，分型，分别用五种不同的思用五种不同的思路来路来解答。解答。对于于“两集合容斥原理两集合容斥原理”：1.如果如果题目涉及的是目涉及的是这样五个量五个量满足条件足条件A的数目的数目满足条件足条件B的数目的数目同同时满足条件足条件A和和B的数目的数目条件条件A、B都不都不满足的数目足的数目总数，那么数，那么选用用“两集合两集合标准型准型”的的标准公式作答准公式作答；AUB=A+B-AnB=总-外外2.如果如果题目涉及目涉及“只只满足条件足条件A的数目的数目”或者或者“只只满足条足条件件B的数目的数目”，那么，那么标准公式无法解答，一般准公式无法解答，一般选用用“两集两集合合图示示标数数”来完成答来完成答题。容斥原理“容斥原理”一共有五种小题型，分别用五种不同的思路来2容斥原理对于于“三集合容斥原理三集合容斥原理”：1.关于关于满足两个条件的描述，如果足两个条件的描述，如果题目只涉及目只涉及满足条足条件件A、B的数目的数目满足条件足条件B、C的数目的数目满足条件足条件C、A的数目，一般的数目，一般选用用“三集合三集合标准型准型”的的标准公式作答；准公式作答；2.如果如果题目涉及目涉及“只只满足条件足条件A、B的数目的数目”，一般，一般选用用“三集合三集合图示示标数数”来作答来作答；3.如果如果题目涉及目涉及“满足一个条件的数目足一个条件的数目”和和“满足两个足两个条件的数目条件的数目”，只，只给了我了我们一个一个总数而不是分数而不是分项的数字，的数字，一般一般选用用“三集合整体重复型三集合整体重复型”的公式来作答。的公式来作答。容斥原理对于“三集合容斥原理”：3容斥原理两集合标准两集合标准型型核心公式核心公式：满足条件足条件A的的个数个数+满足足条件条件B 的个数的个数-两者都两者都满足的个数足的个数=总个数个数-两者都不两者都不满足的足的个数个数【例【例1】（浙江】（浙江2013-54）某班）某班对50 名学生名学生进行体行体检，有，有20 人近人近视，12 人超重，人超重，4 人人既近既近视又超重，又超重，该班有多少班有多少人既不近人既不近视又不超重？又不超重？()A.22 人人 B.24 人人 C.26 人人 D.28 人人将将题干数据干数据带入到核心公式中：入到核心公式中：20=124=50-x答案答案为A选项若若问题之近之近视不超重，或只超重不近不超重，或只超重不近视的，的，则不可解不可解容斥原理两集合标准型核心公式：满足条件A的个数+满足条件B4容斥原理【例【例2】（天津】（天津2013-12）有）有70 名学生参加数学、名学生参加数学、语文考文考试，数学考，数学考试得得60 分以上的分以上的有有56 人，人，语文考文考试得得60 分以分以上的有上的有62 人，都不及格的有人，都不及格的有4 人，人，则两两门考考试都得都得60 分分以上以上的有的有多少人？（多少人？（）A.50 B.51 C.52 D.53核心核心公式：公式：56+62-x=70-4数学及格数学及格+语文及格文及格-语文数学都及格文数学都及格=总数数-不及格不及格X=52容斥原理【例2】（天津2013-12）有70 名学生参加数学5容斥原理两两集合图示标集合图示标数型数型核心核心公式公式涉及涉及到两个集合的容斥原理到两个集合的容斥原理问题时，如果，如果题目提及目提及“只只满足某足某1 个条件个条件”的数目，的数目，那么那么我我们无法通无法通过标准的两准的两集合容斥原理公式得到答案。集合容斥原理公式得到答案。这时，推荐大家利用，推荐大家利用简洁的的“文氏文氏图”标数得到所求数得到所求结果。果。图示示标数的关数的关键是：从最中是：从最中间“两个条件都两个条件都满足足”的数的数字入手。字入手。【例【例3】（北京】（北京2013-73）一批游客中每人都去了）一批游客中每人都去了A、B 两两个景点中至少一个。只去了个景点中至少一个。只去了A的的游客和没去游客和没去A 的游客数量的游客数量相当，且两者之和是两个景点都去了的人数的相当，且两者之和是两个景点都去了的人数的3 倍。倍。则只去一只去一个景点个景点的人数占游客的人数占游客总人数的比重人数的比重为（）A.2/3 B.C.4/5 D.5/6答案答案为B选项 1 1.5 1.5 A B容斥原理两集合图示标数型核心公式涉及到两个集合的容斥原6容斥原理【例【例4】（国考】（国考2014-67）工厂）工厂组织职工参加周末公益活工参加周末公益活动，有，有80%的的职工工报名参加，名参加，报名名参加周六活参加周六活动的人数的人数与与报名参加周日活名参加周日活动的人数比的人数比为2：1，两天的活，两天的活动都都报名参加的名参加的人数人数为只只报名参加周日活名参加周日活动的人数的的人数的50%。问未未报名参加活名参加活动的人数是只的人数是只报名参加周六活名参加周六活动的人数的人数的的？A.20%B.30%C.40%D.50%总数为10个人，未报名人数为2，答案为2/5，C选项 1 2 5六日容斥原理【例4】（国考2014-67）工厂组织职工参加周末公7容斥原理三三集合标准型集合标准型特特别注意：上式左注意：上式左边代表至少代表至少满足三个条件之一的情况，足三个条件之一的情况，也等于也等于总数减去三个条件数减去三个条件都不都不满足的情况。足的情况。【例【例5】（安徽】（安徽2011-15）如）如图所示：所示：A、B、C 分分别是面是面积为60、170、150 的三的三张不同形状的卡片，它不同形状的卡片，它们部分重部分重叠放在一起盖在桌面上，叠放在一起盖在桌面上，总共盖共盖住的住的面面积为280，且，且A 与与B、B 与与C、C 与与A 重叠部分的面重叠部分的面积分分别是是22、60、35。问阴影部分的面阴影部分的面积是多少？（是多少？（）A.15 B.16 C.17 D.18三集合容斥原理公式：280=60+170+150-22-60-35+x，x=17，C选项容斥原理三集合标准型特别注意：上式左边代表至少满足三个条8容斥原理三集合标准型三集合标准型【例【例6】（】（2012 年年421 联考考54）某公司招聘）某公司招聘员工，按工，按规定每人至多可投考两个定每人至多可投考两个职位位，结果果共共42 人人报名，甲、名，甲、乙、丙三个乙、丙三个职位位报名人数分名人数分别是是22 人、人、16 人、人、25 人，其人，其中同中同时报甲甲、乙、乙职位的人数位的人数为8 人，同人，同时报甲、丙甲、丙职位位的人数的人数为6 人，那么同人，那么同时报乙、丙乙、丙职位的位的人数人数为：A.7 人人 B.8 人人 C.5 人人 D.6 人人42=22+16+25-8-6-x+0 x=7容斥原理三集合标准型【例6】（2012 年421 联考9容斥原理三集合图示标数型三集合图示标数型【例【例7】外】外语学校有英学校有英语、法、法语、日、日语教教师共共27 人，其中人，其中只能只能教英教英语的有的有8 人，人，只能只能教教日日语的有的有6 人，能教英、日人，能教英、日语的有的有5 人，能教法、日人，能教法、日语的有的有3 人，能教英、法人，能教英、法语的有的有4人人，三种都能教的有，三种都能教的有2 人，人，则只能只能教法教法语的有多少人（的有多少人（）A.4 人人 B.5 人人 C.6 人人 D.7 人人当当题目条件不能直接代入目条件不能直接代入标准公式准公式时，我，我们可以考可以考虑利利用用图示配合，示配合，标数解答。数解答。1.特特别注意注意“满足某条件足某条件”和和“仅满足某条件足某条件”的区分；的区分；2.特特别注意有没有注意有没有“三个条件都不三个条件都不满足足”的情形；的情形；3.标数数时，注意由中，注意由中间向外向外围标记。容斥原理三集合图示标数型【例7】外语学校有英语、法语、日10容斥原理三集合整体重复型三集合整体重复型【例【例8】（】（陕西西2013-78）五年）五年级一班共有一班共有55 个学生，在暑个学生，在暑假期假期间都参加了特都参加了特长培培训班班，35 人参加人参加书法班，法班，28 人参加人参加美美术班，班，31 人参加舞蹈班，其中以上三种特人参加舞蹈班，其中以上三种特长培培训班都参班都参加加的有的有6 人，人，则有（有（）人只参加了一种特）人只参加了一种特长培培训班班。A.45 B.33 C.29 D.22 55=x+y+694=x+2y+18得出y=27，则x=22容斥原理三集合整体重复型【例8】（陕西2013-78）五11容斥原理三集合整体重复型三集合整体重复型【例【例9】（北京】（北京2014-80）某旅行）某旅行团共有共有48 名游客，都名游客，都报名名参参观了三个景点中的至少了三个景点中的至少一个一个。其中，只参。其中，只参观了一个景点了一个景点的人数与至少参的人数与至少参观了两个景点的人数相同，是参了两个景点的人数相同，是参观了三个了三个景点景点A CB的的人数的人数的4 倍。倍。则需要需要为这些游客些游客购买多少多少张景点景点门票票？A.48 B.72 C.78 D.84W=x+y+z A+B+C=x+2y+3z；根据根据题干条件：干条件：x=y+z=4z，求，求A+B+Cy=3z，x=4z，代入上式得出，代入上式得出z=6，则x=24，y=18答案答案为？容斥原理三集合整体重复型【例9】（北京2014-80）某1213写在最后写在最后成功的基础在于好的学习习惯成功的基础在于好的学习习惯The foundation of success lies in good habits13写在最后成功的基础在于好的学习习惯谢谢聆听 学习就是为了达到一定目的而努力去干,是为一个目标去战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard,Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal谢谢聆听Learning Is To Achieve A C14