建立数学模型教学课件

建立数学模型建立数学模型41、俯仰终宇宙，不乐复何如。42、夏日长抱饥，寒夜无被眠。43、不戚戚于贫贱，不汲汲于富贵。44、欲言无予和，挥杯劝孤影。45、盛年不重来，一日难再晨。及时当勉励，岁月不待人。数学模型的特征n1.实践性实践性：有实际背景，有针对性。接受实践的检验。n2.应用性应用性：注意实际问题的要求。强调模型的实用价值。n3.综合性综合性：数学知识的综合。模型的综合。n例1.赛程安排n 五支球队在同一场地上进行单循环比赛。共进行十场比赛。如何安排赛程对各队来说都是公平的。n B 1n C 9 2n D 3 5 7n E 6 8 10 4n A B C Dn 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10nAB BC AD DE BD AE CD BE AC CEn间隔场次数n A B C D En 1 0 4 0 1n 2 2 1 0 1n 2 2 0 1 1 n问题：赛程如何做到公平安排？问题：赛程如何做到公平安排？n 如何安排比赛的赛程，使相邻比赛如何安排比赛的赛程，使相邻比赛各队最小的间隔场次达到可能的最各队最小的间隔场次达到可能的最大？大？n n 支球队比赛的最少相隔场次的上限n n1.n=2k+1，共赛 N=n(n-1)/2=k(2k+1)场.n 考查其中 k+1场比赛,n 有 2(k+1)=n+1 支球队参赛,n 其中至少有一个队参赛两次,为A队.n 这个队的两场比赛相隔场次最多时为第 1 场和第 k+1 场,n 相隔的场次为 r=k-1=(n-3)/2.n 2.n=2k(偶数),共赛n(n-1)/2=k(2k-1)场.n 考查其中 k+1 场比赛,n共有 2k+2=n+2 支球队参赛,n 其中至少有两个队重复参赛,为A队,B队.n 使A,B两个队至少的相隔场次最多的安排为:n 若 A,B两队在这 k 次比赛中不相遇,则n A队:a1=1,a2=k,B队:b1=2,b2=k+1 n或n A队:a1=2,a2=k+1,B队:b1=1,b2=k n 相隔场次为 r=k-2=n/2-2=(n-4)/2.n 若 A,B两队在这 k 次比赛中相遇,则n A队:a1=1,a2=k,B队:b1=1,b2=k+1 n或n A队:a1=1,a2=k+1,B队:b1=1,b2=k n 相隔场次为 r=k-2=n/2-2=(n-4)/2.n 综合上述结果,有n 各队每两场比赛至少相隔场次的上限应该为n r=(n-3)/2例 2：交通路口红绿灯n十字路口绿灯亮15秒，最多可以通过多少辆汽车？假设n1.车辆相同，从静止开始做匀加速动。n2.车距相同，启动延迟时间相等。n3.直行，不拐弯，单侧，单车道。n4.秩序良好，不堵车。n车长L，车距D，加速度a，启动延迟Tn时间t，车位Sn（t）模型n1.停车位模型：Sn(0)=(n-1)(L+D)n2.启动时间:tn=nTn3.行驶模型:Sn(t)=Sn(0)+1/2 a(t-tn)2,ttnn4.限速行驶:n tn*=a/v*+tn n Sn(t)=Sn(0)+1/2 a(tntn*)2+v*(t-tn*),ttn*n =Sn(0)+1/2 a(t-tn)2,tn*ttnn =Sn(0)tnt参 数 估 计nL=5m，D=2m，T=1s，nv*=40km/h=1.1m/sna=2.6m/s22m/s2.n汽车 1 2 3 4 5 6 7 8n位置(m)124.6 110.5 88.4 59.2 41.1 23.0 4.9 -13.2n15秒的绿灯可以通过秒的绿灯可以通过 7 辆汽车辆汽车 n如果这个模型经检验与实际情况没有明显的不同。如果这个模型经检验与实际情况没有明显的不同。n那么就可以使用这个模型对这个十字路口的车流那么就可以使用这个模型对这个十字路口的车流量的情况进行更深入分析，量的情况进行更深入分析，n提取进一步的信息。提取进一步的信息。n我们可以考虑每一辆汽车到达交通路口的停车线我们可以考虑每一辆汽车到达交通路口的停车线的时间。的时间。n令第令第 n 辆汽车到达坐标原点辆汽车到达坐标原点O的时刻为的时刻为 tO(n)。这。这时应该有时应该有Sn(tO)=0。n根据模型在停车线处将有如下的关系根据模型在停车线处将有如下的关系n注意到子模型中关于注意到子模型中关于 Sn(0),tn 和和 tn*的表达式，的表达式，并且将并且将 tO 解出来，可锝解出来，可锝n利用前面得到的参数的估计值就可以算出每辆汽利用前面得到的参数的估计值就可以算出每辆汽车到达车到达O点的时刻。点的时刻。n再计算出每辆汽车到达最高限速的时刻再计算出每辆汽车到达最高限速的时刻tn*n与之相比较与之相比较n n 1 2 3 4 5 6 7 8 n tn*6.5 7.5 8.5 9.5 10.5 11.5 12.5 13.5 ntO(n)1 4.6 6.74 8.58 10.29 13.18 14.81 16.44，n我们发现在穿过路口的这七辆汽车当中我们发现在穿过路口的这七辆汽车当中n前五两汽车在还没有到达最高的限速之前就已经前五两汽车在还没有到达最高的限速之前就已经进入路口了。进入路口了。n真正以最高的限速穿过路口的汽车只有最后的两真正以最高的限速穿过路口的汽车只有最后的两辆。辆。n显然这样的交通灯控制策略对于路口的利用率是显然这样的交通灯控制策略对于路口的利用率是不高的。不高的。n例例3.生猪饲养生猪饲养n n一头重量是一头重量是100kg的猪，的猪，在上一周每天增重约在上一周每天增重约2kg。n五天前售价为五天前售价为7.8元元/kg，但现在猪价下降到，但现在猪价下降到7.5元元/kg，n饲料每天需花费饲料每天需花费7.1元。前期投入约元。前期投入约500元元n求出售猪的最佳时间。求出售猪的最佳时间。n假设假设 n 1.1.出售前，猪每天增重相同。出售前，猪每天增重相同。n 2.2.猪的售价每天降低的数量相同猪的售价每天降低的数量相同 n 3.3.用于猪饲料的花费每天不变用于猪饲料的花费每天不变n 4.4.猪在饲养和出售期间内不再有其他的花猪在饲养和出售期间内不再有其他的花费费n 变量和参量变量和参量：n饲养时间饲养时间 t(日日),猪的重量猪的重量w(t)(kg),售价售价p(t)元元/kgn售猪所获得的总收益售猪所获得的总收益R(t)(元元)，n t 天内饲料的总花费天内饲料的总花费C(t)(元元)，n最终获得的净收益最终获得的净收益P(t)(元元)。n猪的现价猪的现价 p0(元元/kg),售价日减少量售价日减少量 r(元元/kg)，n猪的初重猪的初重w0(kg)，猪的日增重量，猪的日增重量 g(kg/日日)，n每天饲料的花费每天饲料的花费 k(元元)，前期投入，前期投入c0（元）。（元）。模型模型：重量重量 w(t)=w0+g t,n单价单价 p(t)=p0 r t,n总花费总花费 C(t)=c0+k t,n总收益总收益 R(t)=p(t)w(t)n净收益的模型净收益的模型n P=R(t)C(t)=(p0-rt)(w0+gt)-(c0+kt)n参数估计参数估计nw0=100,g=2,np0=7.5,r=0.06,nk=7.1,k0=500nP(t)=R(t)C(t)n =(7.50.06 t)(100+2 t)(500+7.1 t)n P(t)=250+1.9t 0.12 t2.n 问题：求售猪的时间问题：求售猪的时间t使净收益使净收益P(t)最高最高n P(t)=250+1.9t 0.12 t2.n则有则有 t=1.9/(20.12)n 得得 t=7.98(日日)n P(8)=250+1.97.90.127.92=257.52n结论：结论：n饲养饲养8天然后出售天然后出售,净收益最高为净收益最高为257.52元元n结论可靠吗？结论可靠吗？n分析分析n1.参数参数r,g的变化对售猪时间的变化对售猪时间 t 的影响的影响n 价格变化率价格变化率 r 对售猪时间对售猪时间t 的影响的影响.n 价格价格 p(t)=7.5 r t,n 净收益净收益 P(t)=(7.5-rt)(100+2t)-(500+7.1t)n 最大值点最大值点 t=(7.9-100r)/(4r)n -5%-1%+1%+5%n r 0.057 0.0594 0.06 0.0606 0.063n t 9.74 8.25 7.92 7.59 6.35n 23%4.2%-4.2%-19.8%n增重率增重率 g 对售猪时间对售猪时间 t 的影响的影响.n 重量重量 w(t)=100+g tn 净收益净收益 P(t)=(7.5-0.06t)(100+gt)-(500+7.1t)n 最大值点最大值点 t=(7.5g13.1)/(0.12g)n -5%-1%+1%+5%n g 1.9 1.98 2 2.02 2.1 n t 5.04 7.37 7.92 8.46 10.51n -36.6%-6.9%0 6.8%32.7%nr,g 的变化对售猪的时间的影响是灵敏的的变化对售猪的时间的影响是灵敏的n将上面的分析过程进一步数学化，将上面的分析过程进一步数学化，n如果参数如果参数 r 改变了改变了r，n将导致售猪的时间将导致售猪的时间 t 有有t的改变量。的改变量。n则它们的相对改变量的比值是则它们的相对改变量的比值是 t/t 与与r/r 之比。之比。n令令r 0，按照导数的定义，则有，按照导数的定义，则有 n n我们称这个极限值为模型值我们称这个极限值为模型值 t 随参数随参数 r 变化变化的灵敏度，记为的灵敏度，记为 S(t,r)。nP=R(t)C(t)=(p0-rt)(w0+gt)-(c0+kt)n =(p0w0-c0)+(p0g-w0r-k)t-grt2n最大值点最大值点n最优净收益最优净收益n由于售猪时间与增重量的关系为由于售猪时间与增重量的关系为 nt=(7.5g13.1)/(0.12 g)。n故可以算出在故可以算出在 g=2 附近，附近，t 关于关于 g 的灵敏度为的灵敏度为n n它表明，生猪的日增重量每增加它表明，生猪的日增重量每增加 1%，将导致售猪，将导致售猪时间要延长时间要延长6.89%。n参数值的变化对于售猪的最优时间的影响是很灵敏参数值的变化对于售猪的最优时间的影响是很灵敏的。的。n如果要得到准确的生猪最优的出售时间，如果要得到准确的生猪最优的出售时间，n需要求更加准确地估计参数需要求更加准确地估计参数 r 和和 g 的数值。的数值。n2.参数参数 r,g 的变化对净收益的变化对净收益 P 的影响的影响n固定生猪日增重量固定生猪日增重量 g=2 kg，n价格变化价格变化 r 在对售猪得到的净收益的影响。有在对售猪得到的净收益的影响。有n P(t,r)=(7.5 r t)(100+2 t)-(500+7.1 t)n =250+(7.9100 r)t 2 r t2n由于随着由于随着r 的不同最优售猪的时间会发生变化的不同最优售猪的时间会发生变化n模型为模型为t=(7.9-100 r)/(4 r)。n随着随着 r 的变化，在最优售猪时间出售生猪时得的变化，在最优售猪时间出售生猪时得到的净收益为到的净收益为P 关于关于 r 的灵敏度为的灵敏度为n当模型的参数当模型的参数 r 和和 g 在我们设定的数值附近变在我们设定的数值附近变化时，化时，n尽管生猪出售的最优时间会有很大的变化，尽管生猪出售的最优时间会有很大的变化，n但所得到的净收益的变化是不大的。但所得到的净收益的变化是不大的。n这两个参数每改变这两个参数每改变1%的大小，的大小，n仅使得净收益有仅使得净收益有 0.275%和和 0.432%的变化。的变化。n绝对的数值为绝对的数值为 257.32元元0.275%=0.77元元 和和 257.32元元0.432%=1.11元的变化。元的变化。n在前面关于关于生猪生长和销售情况线性变化在前面关于关于生猪生长和销售情况线性变化的假设下的假设下n尽管对参数所作的估计虽然不是完全准确的，尽管对参数所作的估计虽然不是完全准确的，但是是可靠的。但是是可靠的。n关于猪的重量增加和价格降低是线性函数的假设关于猪的重量增加和价格降低是线性函数的假设不总是成立的。不总是成立的。n但是我们确信，如果没有什么意外，在短时间内但是我们确信，如果没有什么意外，在短时间内n它们它们的变化率的变化率 w 和和 p 的变化就不会太大。的变化就不会太大。n短时间内模型关于线性函数的假设是近似成立的。短时间内模型关于线性函数的假设是近似成立的。n这时如果参数发生较大的变化，这时如果参数发生较大的变化，例如例如g或或r有有5%的改变的改变n令令 g=(1.9，2，2.1)，r=(0.057,0.06,0.063)n将他们配成不同的组合代入模型中，并且使用计将他们配成不同的组合代入模型中，并且使用计算机绘出净收益随时间变化的图像，算机绘出净收益随时间变化的图像，(2,0.06)(2.1,0.057)(2,0.057)(2.1,0.06)(2,0.06)(2，0.063)(1.9,006)(1.9,0.063)n可以看出，可以看出，n当猪的增重量当猪的增重量g2，售价的减少量，售价的减少量r0.06时时n生猪的最优出售时间均处于生猪的最优出售时间均处于8天之前，天之前，n其最优的净收益值均低于参数组（其最优的净收益值均低于参数组（2，0.06）时）时的净收益的净收益257.52元。元。n但是差别很小，不超过但是差别很小，不超过2元。元。n如果在这段时间内内如果在这段时间内内 w 和和 p 不能近似为定常的数值，不能近似为定常的数值，n可以直接使用净收益值可以直接使用净收益值n P(t)=w(t)p(t)(k0+k t)n每天的改变量来判断生猪出售的时间。每天的改变量来判断生猪出售的时间。n我们分别用我们分别用P，w 和和 p表示净收益，生猪重量和出售表示净收益，生猪重量和出售的价格的日改变量，的价格的日改变量，n则近似地有如下的关系：则近似地有如下的关系：n P=P(t+1)P(t)=wp(t)+w(t)p-k-wp n wp(t)+w(t)pkn式中第一项代表由于生猪增重而增加的收益。式中第一项代表由于生猪增重而增加的收益。n第二项代表因价格下降而受到的经济损失。第二项代表因价格下降而受到的经济损失。n这个模型告诉我们，这个模型告诉我们，n只要预测下一天售猪所增加的收益大于饲养的费用，就应只要预测下一天售猪所增加的收益大于饲养的费用，就应暂不卖出，继续饲养。暂不卖出，继续饲养。n建议这位农民可以放心地继续饲养一周。建议这位农民可以放心地继续饲养一周。n在这期间是不会错过最佳售猪的时间的。在这期间是不会错过最佳售猪的时间的。n在这一周的后期每天要观察生猪增重和出售价在这一周的后期每天要观察生猪增重和出售价格的情况，判断是否需要出售。格的情况，判断是否需要出售。n在周末净收益的动态仍旧看好，在周末净收益的动态仍旧看好，n可以依据所得到的数据重新估计可以依据所得到的数据重新估计w0,w,p0和和 p，再用模型继续分析计算。，再用模型继续分析计算。建模问题与数学问题的处理建模问题与数学问题的处理n问题的叙述：原始、粗糙、不规范。n问题的假设：问题的研究手段。n问题的分析：推理正确，符合实际情况n问题的标准：与实际情况差异不大或结论可信。n问题的答案：不确定、不封闭。66、节制使快乐增加并使享受加强。德谟克利特67、今天应做的事没有做，明天再早也是耽误了。裴斯泰洛齐68、决定一个人的一生，以及整个命运的，只是一瞬之间。歌德69、懒人无法享受休息之乐。拉布克70、浪费时间是一桩大罪过。卢梭