应用数理统计-课件

第一章抽样分布第一章抽样分布l1.1 基本概念基本概念l2.2 抽样分布抽样分布一、母体一、母体1、母体是指被研究事物的全体，构成母、母体是指被研究事物的全体，构成母体的元素称为个体。在数理统计中母体一般体的元素称为个体。在数理统计中母体一般为一些具有相同性质的数据的集合为一些具有相同性质的数据的集合，用随机用随机变量变量 X 表示。个体用表示。个体用X1表示。表示。例如：例如：某地区人体身高某地区人体身高 X；甲身高为甲身高为X11.1基本概念基本概念2、母体的分布：母体、母体的分布：母体X为为随机变量，随机随机变量，随机变量变量X的分布称为母体的分布。用的分布称为母体的分布。用F(x,)表示，当然，如果是离散型，可用分布律表示，当然，如果是离散型，可用分布律p(x)=P(X=x)，对于连续型随机变量，可用密度函数f(x,)。是未知参数。是未知参数。3、母体的数字特征：用母体的分布计算的、母体的数字特征：用母体的分布计算的数学期望、方差等数字特征。数学期望、方差等数字特征。（1）母体平均数）母体平均数 =E(X)（2）母体方差母体方差 =D(X)称为母体标准差称为母体标准差（3）母体）母体 k 阶原点矩阶原点矩k k=E(X k)（4）母体母体k 阶中心矩阶中心矩 k k=E(X-EX)k 注意：注意：母体的分布及数字特征是客观存在但母体的分布及数字特征是客观存在但往往未知，数理统计的任务之一研究往往未知，数理统计的任务之一研究 母体母体的分布及数字特征的分布及数字特征。所用工具是子样。所用工具是子样。二、子样二、子样1、子样：由若干个体构成的集合称为子、子样：由若干个体构成的集合称为子样。样。X1,X2,Xn称为容量为称为容量为 n 的一个的一个子样。子样。2、简单随机子样：、简单随机子样：X1,X2,Xn满足满足（1）用随机原则抽样）用随机原则抽样（2）相互独立同分布（与母体分布相同）相互独立同分布（与母体分布相同）注注:（1）数理统计的子样均为简单随机子样；）数理统计的子样均为简单随机子样；（2）如何取得简单随机子样。）如何取得简单随机子样。其一其一是随机是随机性，传统的做法是母体的所有元素编号，按性，传统的做法是母体的所有元素编号，按随机抽样方法抽取号码。随机抽样方法抽取号码。其二其二是独立性，抽样时采用有放回抽样则一是独立性，抽样时采用有放回抽样则一定是独立的，但实际情况一般是不放回抽样定是独立的，但实际情况一般是不放回抽样，此时，如果母体元素个数，此时，如果母体元素个数N充分大，而子充分大，而子样容量相对小样容量相对小n（n/N 0.1），），则可视为则可视为独立抽样。独立抽样。3、子样观察值（子样值）：、子样观察值（子样值）：子样子样X1,X2,Xn在试验前是在试验前是n维随机变量，而试维随机变量，而试验后是一组数值，称为子样值，表示为验后是一组数值，称为子样值，表示为x1,x2,xn。例：。例：X为人体身高，计划抽取为人体身高，计划抽取100人测身高，人测身高，此时为随机变量，具体实施为子样值。此时为随机变量，具体实施为子样值。4、子样分布：子样分布为子样的频数分布、子样分布：子样分布为子样的频数分布（将在第三章给出）（将在第三章给出）（1）子样平均数）子样平均数5、子样的数字特征、子样的数字特征（2）子样方差子样方差 S 称为子样标准差称为子样标准差母体特征母体特征 =E(X)=D(X)E(X-EX)2（3）子样）子样k 阶原点矩阶原点矩对子样值，对子样值，x1,x2,xn可以计算出可以计算出（4）子样子样k 阶中心矩阶中心矩子子子子样样样样母体母体母体母体数理统计的基本思路：数理统计的基本思路：母体分布母体分布F(x,)数字特征数字特征，k k,k k（未知）未知）抽样抽样试验试验x1,x2,xn子样分布及子子样分布及子样数字特征样数字特征推测推测三、统计量三、统计量1、统计量的定义：对来自母体、统计量的定义：对来自母体 X 的子样的子样X1,X2,Xn，如果子样函数，如果子样函数 g(X1,X2,Xn)不显含任何未知参数，则称不显含任何未知参数，则称g(X1,X2,Xn)为为一个统计量，对子样值一个统计量，对子样值 x1,x2,xn，计算，计算出出g(x1,x2,xn)为统计值。为统计值。例：是统计量例：是统计量（,未知）不是未知）不是统计量统计量2、常用统计量、常用统计量（1）子样数字特征）子样数字特征（2）子样位置统计量：）子样位置统计量：子样子样X1,X2,Xn按顺序排序为按顺序排序为1.2 抽样分布抽样分布一、四个分布一、四个分布（一）标准正态分布（一）标准正态分布1、标准正态分布的密度函数、标准正态分布的密度函数2、标准正态分布上侧分位数、标准正态分布上侧分位数（1）上侧分位数的定义：满足）上侧分位数的定义：满足a a a aa a a a（2）的求法：的求法：的满足的满足，故可反查表，则得，故可反查表，则得（3）的概率对称点）的概率对称点（图形对称）（图形对称）例：例：例：例：（二）（二）分布（卡方分布）分布（卡方分布）1、分布的定义：设分布的定义：设 X1,X2,Xn 独立同分独立同分布，均服从标准正态分布，即布，均服从标准正态分布，即记记 ，称，称Y 服从自由度为服从自由度为n 的的 分布分布记作记作 注：注：自由度的意义是一个平方和中独立的自由度的意义是一个平方和中独立的变量，其计算可用平方和的项数减变量的变量，其计算可用平方和的项数减变量的线性关系式的个数。线性关系式的个数。例：例：子样方差子样方差其项数为其项数为n，令令可得可得故的自由度为故的自由度为n-12、(n)的密度函数的图形：由于的密度函数的图形：由于 分布是分布是标准正态分布的平方和，故标准正态分布的平方和，故 分布总是非负分布总是非负的，因此密度函数的图形是在的，因此密度函数的图形是在 y 的右方的。的右方的。在在y的左方为的左方为0。(n)的密度函数的图形的密度函数的图形 3、上侧分位数、上侧分位数（1）定义：）定义：满足满足 （2）的概率对称点）的概率对称点（3）的求法）的求法例：例：4、分布的一个性质：设分布的一个性质：设且且U与与V 相互独立，则相互独立，则（三）（三）t 分布（分布（student分布）分布）1、t 分布的定义：设分布的定义：设 X与与 Y 相互相互独立，且独立，且记记 称称T 服从自由度为服从自由度为n 的的 t 分布，记作分布，记作2、t 分布的密度函数的图形：由于标准正分布的密度函数的图形：由于标准正态分布关于态分布关于 y 轴对称，而分母是自由度为轴对称，而分母是自由度为 n的的 分布，分布，n充分大，接近一个常数，可以证明充分大，接近一个常数，可以证明t 分布的密度函数关于分布的密度函数关于 y 轴对称。轴对称。t 分布的密度函数的图形分布的密度函数的图形 3、上侧分位数、上侧分位数（1）定义：）定义：满足满足 t t0 0（2）的概率对称点）的概率对称点（图形对称）图形对称）（3）的求法）的求法例：例：（四）（四）F 分布分布1、F 分布的定义：设分布的定义：设 U与与 V 相互相互独立，且独立，且记记 称称F 服从自由度为服从自由度为2、F 分布的密度函数的图形：由于分布的密度函数的图形：由于F 分布分布的分子与分母都是的分子与分母都是 分布，故分布，故F 分布总是非分布总是非负的，因此密度函数的图形是在负的，因此密度函数的图形是在 y 的右方的的右方的.在在y的左方为的左方为0。的的F分布记作分布记作 3、上侧分位数、上侧分位数（1）定义：）定义：满足满足 （2）的概率对称点）的概率对称点 的密度函数的图形的密度函数的图形4、的性质、的性质设，则设，则5、与的关系、与的关系独立独立X1,X2,Xna a a aa a a a t t0 0 二、抽样分布二、抽样分布（一）单母体下的抽样分布：（一）单母体下的抽样分布：X 是母体，是母体，X1,X2,Xn 来自母体来自母体 X 的子样，子样平的子样，子样平均数及子样方差为均数及子样方差为记记（修正子样方差）修正子样方差）1 1、基本定理：设母体、基本定理：设母体（1 1）（2 2）（3 3）与相互独立）与相互独立（证明略）（证明略），则有，则有2 2、单正态母体下抽样分布。母体、单正态母体下抽样分布。母体（1 1），则有，则有证明证明由由t 分布的定义，有分布的定义，有3 3、单一般母体下抽样分布。母体、单一般母体下抽样分布。母体X （条件：大子样（条件：大子样 n30）（二）两母体下的抽样分布：（二）两母体下的抽样分布：X 是母体，是母体，来自母体来自母体 X 的子样，子样的子样，子样平均数及子样方差为，平均数及子样方差为，Y 是另一母体，来自母体是另一母体，来自母体 Y的的子样，子样平均数及子样方差为，子样，子样平均数及子样方差为，X与与Y 独立独立1 1、两正态母体下抽样分布。母体、两正态母体下抽样分布。母体（1 1），则有，则有（2 2）（3 3）如果）如果s12=s22 s2 s12=s22 s2 记记 2 2、两一般母体下抽样分布。母体、两一般母体下抽样分布。母体（条件：大子样）（条件：大子样）第一章总结第一章总结母体母体子样子样X1,X2,Xn 统计量统计量 g g(X X1 1,X X2 2,X Xn n )四个分布四个分布 抽样分布抽样分布