平面法向量的求法课件

附录附录28 28 平面法向量的求法平面法向量的求法三、法向量的求法：三、法向量的求法：二、相关知识：二、相关知识：一、法向量的概念：一、法向量的概念：1.1.直接法：直接法：3.3.三步法：三步法：2.2.验证法：验证法：一设二乘三特值一设二乘三特值 特殊易得直接写特殊易得直接写 感觉良好验证法感觉良好验证法 6.6.行列式行列式(叉积叉积)法：法：4.4.平面方程平面方程(截距截距)法：法：5.5.含含速算法：速算法：均要伪装成：均要伪装成：三步法三步法附录28 平面法向量的求法三、法向量的求法：二、相关知识：1一、法向量的概念：一、法向量的概念：（参课本（参课本P P：103103）已知直线已知直线l平面平面，是是一个的法向量一个的法向量l则称直线则称直线 l 的方向向量的方向向量显然法向量显然法向量只关心方向只关心方向不关心长度不关心长度向量除外向量除外一、法向量的概念：（参课本P：103）已知直线l平面，2二、相关知识：二、相关知识：一、法向量的概念：一、法向量的概念：3.3.行列式简述：行列式简述：4.4.向量积：向量积：1.1.几个常见的结论：几个常见的结论：2.2.平面方程与法向量：平面方程与法向量：二、相关知识：一、法向量的概念：3.行列式简述：4.向量积：3二、相关知识：二、相关知识：1.1.几个常见的结论：几个常见的结论：双双就是轴就是轴 谁非谁平行谁非谁平行若若 ,则则 与与x 轴平行轴平行若若 ,则则 与与y 轴平行轴平行若若 ,则则 与与z 轴平行轴平行 单单就是面就是面 谁谁谁垂直谁垂直若若 ,则则 与与x 轴垂直轴垂直若若 ,则则 与与y 轴垂直轴垂直若若 ,则则 与与z 轴垂直轴垂直二、相关知识：1.几个常见的结论：双就是轴 谁非谁平4的法向量是的法向量是 的法向量是的法向量是 的法向量是的法向量是 双双补单补单1.1.几个常见的结论：几个常见的结论：双双就是轴就是轴 谁非谁平行谁非谁平行 单单就是面就是面 谁谁谁垂直谁垂直的法向量是 的法向量是 的法向量是 双补单1.几个常5 单单负倒参负倒参的法向量是的法向量是 的法向量是的法向量是 的法向量是的法向量是 或或 或或 或或 单负倒参的法向量是 的法向量是 的法向量是 或 或 或6二、相关知识：二、相关知识：1.1.几个常见的结论：几个常见的结论：2.2.平面方程与法向量：平面方程与法向量：在空间直角坐标系中，平面在空间直角坐标系中，平面的方程是：的方程是：AxByCzD0 (0 (ABC0)0)则则 是平面是平面的一个法向量的一个法向量 当平面当平面的横、纵、竖截距分别是：的横、纵、竖截距分别是：a，b，c(abc0)0)时时 有有 二、相关知识：1.几个常见的结论：2.平面方程与法向量：在空73.3.行列式简述：行列式简述：1.1.几个常见的结论：几个常见的结论：2.2.平面方程与法向量：平面方程与法向量：二、相关知识：二、相关知识：3.行列式简述：1.几个常见的结论：2.平面方程与法向量：二83.3.行列式简述：行列式简述：二阶行列式：二阶行列式：引入符号引入符号 表示算式表示算式 即即 称符号称符号 为二阶行列式为二阶行列式 二行二列二行二列是上述行列式的展开式是上述行列式的展开式其计算的结果叫做行列式的值其计算的结果叫做行列式的值 a.定义：定义：3.行列式简述：二阶行列式：引入符号 93.3.行列式简述：行列式简述：二阶行列式：二阶行列式：a.定义：定义：b.运算运算对角线法则：对角线法则：主对角线主对角线副对角线副对角线3.行列式简述：二阶行列式：a.定义：b.运算对角线10练习练习1.1.计算下列二阶行列式的值：计算下列二阶行列式的值：练习1.计算下列二阶行列式的值：11定义定义三行三列三行三列a.定义：定义：三阶行列式：三阶行列式：称其为三阶行列式称其为三阶行列式 称其为称其为行列式的展开式行列式的展开式 二阶行列式：二阶行列式：其计算的结果叫做其计算的结果叫做行列式的值行列式的值定义三行三列a.定义：三阶行列式：称其为三阶行列式 12行行标标列列标标行列13a.定义：定义：三阶行列式：三阶行列式：b.运算：运算：(1)(1)沙路法：沙路法：(2)(2)对角线法则：对角线法则：(3)(3)性质法：性质法：二阶行列式二阶行列式a.定义：三阶行列式：b.运算：(1)沙路法：(2)对14(1)(1)沙路法沙路法 记记(1)沙路法 记(2)(2)(2)(2)对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号红线上三元素的乘积冠以正号 蓝线上三元素的乘积冠以负号蓝线上三元素的乘积冠以负号(2)对角线法则注意 红线上三元素的乘积冠以正号(3)(3)(3)(3)性质法性质法性质法性质法 11a33322322aaaa(3)性质法 11a33322322aaaa(3)(3)(3)(3)性质法性质法性质法性质法 33322322aaaa11a12a33312321aaaa33312321aaaa(3)性质法 33322322aaaa11a12a333(3)(3)(3)(3)性质法性质法性质法性质法 33322322aaaa11a12a33312321aaaa(3)性质法 33322322aaaa11a12a33(3)(3)(3)(3)性质法性质法性质法性质法 33322322aaaa11a12a33312321aaaa32312221aaaa13a(3)性质法 33322322aaaa11a12a33(3)(3)(3)(3)性质法性质法性质法性质法 33322322aaaa11a12a33312321aaaa32312221aaaa13a三阶行列式三阶行列式 二阶行列式二阶行列式(3)性质法 33322322aaaa11a12a333练习练习2.2.利用利用性质性质计算三阶行列式的值计算三阶行列式的值 ：练习2.利用性质计算三阶行列式的值：22二、相关知识：二、相关知识：一、法向量的概念：一、法向量的概念：3.3.行列式简述：行列式简述：4.4.向量积：向量积：1.1.几个常见的结论：几个常见的结论：2.2.平面方程与法向量：平面方程与法向量：二、相关知识：一、法向量的概念：3.行列式简述：4.向量积：23定义定义:那么那么,叫做叫做 与与 的向量积的向量积 4.4.向量积：向量积：设设 由由 与与 按下列方式给出按下列方式给出:模：模：:方向：方向：垂直于垂直于 与与 所决定的平面所决定的平面的指向遵循右手规则的指向遵循右手规则(从从 转向转向 来确定来确定)记作记作:又称外积又称外积,叉积叉积右手规则右手规则 定义:那么,叫做 与 的向量积 4.向量积24定义定义:4.4.向量积：向量积：坐标运算坐标运算:()()记忆方法记忆方法:S1S1：构造三阶行列式：构造三阶行列式S2S2：将行列式展开即可：将行列式展开即可 定义:4.向量积：坐标运算:(25已知已知求求析析：因：因练习练习3.3.求向量积求向量积问题：问题：是两向量的是两向量的向量向量积积 不是两向量的不是两向量的数量数量积积已知求析：因练习3.求向量积问题：是两向量的向量积 26已知已知求求析析：因：因()()练习练习3.3.求向量积求向量积已知求析：因()练习3.求27三、法向量的求法：三、法向量的求法：1.1.直接法：直接法：3.3.三步法：三步法：2.2.验证法：验证法：一设二乘三特值一设二乘三特值 特殊易得直接写特殊易得直接写 感觉良好验证法感觉良好验证法 6.6.行列式行列式(叉积叉积)法：法：4.4.平面方程平面方程(截距截距)法：法：5.5.含含速算法：速算法：均要伪装成：均要伪装成：三步法三步法三、法向量的求法：1.直接法：3.三步法：2.验证法：一设二281.1.直接法：直接法：特殊易得直接写特殊易得直接写 ACDB yzx坐标面或于其平行的面的法向量，可直接写出：坐标面或于其平行的面的法向量，可直接写出：面面xoy或于其平行的面的法向量是或于其平行的面的法向量是面面yoz或于其平行的面的法向量是或于其平行的面的法向量是面面zox或于其平行的面的法向量是或于其平行的面的法向量是1.直接法：特殊易得直接写 ACDB yzx坐标面或于其平292.2.验证法：验证法：感觉良好验证法感觉良好验证法 例例1.1.如图如图,已知正方体已知正方体ABD-AABD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为1 1法向量是法向量是_ACDB yzx是平面是平面A A1 1C C1 1B B的法向量的法向量 故故因因解：解：建立如图所示的坐标系建立如图所示的坐标系则平面则平面ACDACD1 1的的令令已感知到某向量是所求法向量已感知到某向量是所求法向量用线面垂直判定定理验证即可用线面垂直判定定理验证即可2.验证法：感觉良好验证法 例1.如图,已知正方体ABD30设设 是平面是平面的法向量，则的法向量，则不妨取不妨取一设二乘三特值一设二乘三特值即即BCA3.3.三步法：三步法：设 是平面的法向量，则不妨取一设二乘31例例2.2.如图如图,已知正方体已知正方体ABD-AABD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为2 2M M2 2则平面则平面M M1 1BMBM2 2D D1 1的法向量是的法向量是_是是A A1 1A,CCA,CC1 1中点，中点，,M,M1 1,M,M2 2 分别分别解：建立如图所示的坐标系解：建立如图所示的坐标系 M M1 1设设 是是平面平面M M1 1BMBM2 2D D1 1的法向量的法向量,则则BACDxzy不妨取不妨取即即是平面是平面M M1 1BMBM2 2D D1 1的法向量的法向量例2.如图,已知正方体ABD-A1B1C1D1的棱长为2M232三、法向量的求法：三、法向量的求法：1.1.直接法：直接法：3.3.三步法：三步法：2.2.验证法：验证法：一设二乘三特值一设二乘三特值 特殊易得直接写特殊易得直接写 感觉良好验证法感觉良好验证法 4.4.平面方程平面方程(截距截距)法：法：三、法向量的求法：1.直接法：3.三步法：2.验证法：一设二33xyzOA(a,0,0)B(0,b,0)C(0,0,c)当平面当平面的横、纵、竖截距分别是：的横、纵、竖截距分别是：a，b，c(abc0)0)时时 有有 4.4.平面方程平面方程(截距截距)法：法：xyzOA(a,0,0)B(0,b,0)C(0,0,c34例例3.(20143.(2014年新课标年新课标)如图如图,三棱柱三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中，中，侧面侧面BBBB1 1CCCC1 1为菱形为菱形,ABABB B1 1C C 证明：证明：AC=ABAC=AB1 1 若若ACACABAB1 1，CBBCBB1 1=60=600 0，AB=BCAB=BC求二面角求二面角A A-A A1 1B B1 1-C C1 1的余弦值的余弦值ABC1A1B1C析析1 1：三线垂直要证明三线垂直要证明xzyO O建立如图所示的坐标系建立如图所示的坐标系不妨设不妨设 OB OB1 1=1 =1 ,故其故其截距是截距是 故其法向量故其法向量是是 ,1,1,1,1析析2 2：因因平面平面AAAA1 1B B1 1就是平面就是平面ABABB B1 1则 B B1 1(0,1,0)(0,1,0)B B(,0,0)(,0,0)A A(0,0,1)(0,0,1)例3.(2014年新课标)如图,三棱柱ABC-A1B1C35例例3.(20143.(2014年新课标年新课标)如图如图,三棱柱三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中，中，侧面侧面BBBB1 1CCCC1 1为菱形为菱形,ABABB B1 1C C 证明：证明：AC=ABAC=AB1 1 若若ACACABAB1 1，CBBCBB1 1=60=600 0，AB=BCAB=BC求二面角求二面角A A-A A1 1B B1 1-C C1 1的余弦值的余弦值ABC1A1B1C析析1 1：三线垂直要证明三线垂直要证明xzyO O,故其故其截距是截距是 故其法向量故其法向量是是 ,-1,-1,1,1析析2 2：因因平面平面A A1 1B B1 1C C1 1/平面平面A AB BC C则 B B1 1(0,1,0)(0,1,0)B B(,0,0)(,0,0)A A(0,0,1)(0,0,1)平面平面AAAA1 1B B1 1的法向量是的法向量是 例3.(2014年新课标)如图,三棱柱ABC-A1B1C36应用平面方程应用平面方程(截距截距)法求法向量时，要注意：法求法向量时，要注意：1.1.要充分利用割补法、运动观要充分利用割补法、运动观2.2.书写要伪装成：三步法书写要伪装成：三步法 ABC1A1B1CxzyO O应用平面方程(截距)法求法向量时，要注意：1.要充分利用37例例4.4.(2005(2005年湖南年湖南)BACDA A1 1D D1 1C C1 1B B1 1O O是底面是底面A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的的中心，中心，则O O到平面到平面ACAC1 1D D1 1的距离的距离为A.B.C.D.A.B.C.D.O Oxzy析：析：建立如图所示的坐标系建立如图所示的坐标系,则则故平面故平面ACAC1 1D D1 1的法向量为的法向量为 故所求距离为故所求距离为如如图,正方体正方体ABCDAABCDA1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱的棱长为1 1故平面故平面ACAC1 1D D1 1的截距是的截距是 1 1,1,1,【B B】绕轴轴为绕轴轴为例4.(2005年湖南)BACDA1D1C1B1O是底面A38三、法向量的求法：三、法向量的求法：1.1.直接法：直接法：3.3.三步法：三步法：2.2.验证法：验证法：一设二乘三特值一设二乘三特值 特殊易得直接写特殊易得直接写 感觉良好验证法感觉良好验证法 4.4.平面方程平面方程(截距截距)法：法：5.5.含含0 0速算法：速算法：1.1.单单负倒参负倒参三、法向量的求法：1.直接法：3.三步法：2.验证法：一设二39xyzOABDCC1A1B1D1例例5.5.在棱长为在棱长为1 1的正方体的正方体ACAC1 1中，中，M M为棱为棱A A1 1B B1 1的中点的中点 求平面求平面BMCBMC1 1的一个法向量的一个法向量M(1,1,0)(1,1)析析1 1：为为 (0,1,1)析析2 2：单单负倒参负倒参析析3 3：故平面故平面BMCBMC1 1的法向量的法向量析析4 4：又因又因故故即即书写要伪装成：三步法书写要伪装成：三步法 xyzOABDCC1A1B1D1例5.在棱长为1的正方体AC405.5.含含速算法：速算法：2.2.双双补单补单1.1.单单负倒参负倒参则则 或或若平面若平面内的内的是平面是平面的一个法向量的一个法向量 2.2.双双补单补单 换位加负号换位加负号因为，书写要伪装成：三步法因为，书写要伪装成：三步法 且含有两个且含有两个，应用三步法时计算量很少，应用三步法时计算量很少 该类型问题，直接应用三步法较佳该类型问题，直接应用三步法较佳 5.含速算法：2.双补单1.单负倒参则 415.5.含含速算法：速算法：2.2.双双补单补单 换位加负号换位加负号1.1.单单负倒参负倒参3.3.无无可配凑可配凑 若平面若平面内的内的且向量坐标中均不含且向量坐标中均不含，则用：，则用：配凑出含配凑出含的的，从而回归到含，从而回归到含型型5.含速算法：2.双补单 换位加负号1.单负倒参342例例6.6.若平面若平面内的内的求平面求平面的一个法向量的一个法向量 析析1 1：因：因析析3 3：又因：又因析析2 2：故：故的法向量一定可设为的法向量一定可设为 故故即即书写要伪装成：三步法书写要伪装成：三步法 3.3.无无可配凑可配凑 例6.若平面内的求平面的一个法向量 析1：因析3：又因43三、法向量的求法：三、法向量的求法：1.1.直接法：直接法：3.3.三步法：三步法：2.2.验证法：验证法：一设二乘三特值一设二乘三特值 特殊易得直接写特殊易得直接写 感觉良好验证法感觉良好验证法 6.6.行列式行列式(叉积叉积)法：法：4.4.平面方程平面方程(截距截距)法：法：5.5.含含速算法：速算法：三、法向量的求法：1.直接法：3.三步法：2.验证法：一设二446.6.行列式行列式(叉积叉积)法：法：若平面若平面内的内的则平面则平面的一个法向量的一个法向量 ()()书写要伪装成：三步法书写要伪装成：三步法 6.行列式(叉积)法：若平面内的则平面的一个法向量 (45例例7.7.若平面若平面内的内的求平面求平面的一个法向量的一个法向量 析析：因：因书写要伪装成：三步法书写要伪装成：三步法 6.6.行列式行列式(叉积叉积)法：法：()()例7.若平面内的求平面的一个法向量 析：因书写要伪装成46三、法向量的求法：三、法向量的求法：1.1.直接法：直接法：3.3.三步法：三步法：2.2.验证法：验证法：一设二乘三特值一设二乘三特值 特殊易得直接写特殊易得直接写 感觉良好验证法感觉良好验证法 6.6.行列式行列式(叉积叉积)法：法：4.4.平面方程平面方程(截距截距)法：法：5.5.含含速算法：速算法：1.1.前三法是基础，可以上卷面前三法是基础，可以上卷面 2.2.后三法是提高，不能后三法是提高，不能“上桌面上桌面”3.3.方法多了，就没有好方法方法多了，就没有好方法 需伪装成：三步法需伪装成：三步法 要灵活地运用：要灵活地运用：割补、运动割补、运动等手法等手法 多法并举、准确、快速地求出法向量多法并举、准确、快速地求出法向量 三、法向量的求法：1.直接法：3.三步法：2.验证法：一设二47附加作业：附加作业：1.(1.(20102010年天津简化年天津简化)如图如图,在长方体在长方体 A AB BD DC CF FE E和平面和平面FEDFED的法向量的法向量DDDD1 1上的点上的点,且且ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,E,F,E,F分别是棱分别是棱CCCC1 1求平面求平面A A1 1EDED2.(2.(20172017年全国年全国简化简化)如图如图,在四棱锥在四棱锥P-ABCDP-ABCD中中AB/CDAB/CD，且，且PA=PD=AB=DCPA=PD=AB=DC求平面求平面APBAPB和平面和平面PBCPBC的法向量的法向量 A AB BD DC CP P附加作业：1.(2010年天津简化)如图,在长方体 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