平面任意力系00-课件

HEZHX6/14/20241平面任意力系v主要内容v平面任意力系向作用面内一点简化v平面任意力系的平衡条件与平衡方程v物体系的平衡 静定与静不定问题v平面简单桁架的内力计算6/14/20242平面任意力系作用于物体上的力都处于（或近似处于）同一平面内，作用线呈任意分布的力系。当物体所受的力对称于某一平面时，可以简化为对称平面内的平面力系。3-1 平面任意力系向一点简化6/14/202431.力的平移定理可以将作用于刚体上A点的力F 平行移动到任一点O，但是必须同时附加一个力偶，附加力偶的矩等于原来的力F 对新作用点O的矩，即MO(F)=Fd一个力分解一个力和一个力偶合成3-1 平面任意力系向一点简化6/14/20244OFOFMO利用该定理解释一些工程中的力学现象6/14/202452.平面任意力系向作用面内一点简化 主矢和主矩 简化结果平面汇交力系和平面力偶系平面汇交力系和平面力偶系一个力（一个力（主矢主矢）和一个力偶（）和一个力偶（主矩主矩）6/14/20246简化结果 主矢和主矩主矢力系中各力的矢量和主矩力系中各力对简化中心之矩的代数和。主矩与简化中心位置有关。主矢与简化中心位置无关。OF1F2FnxyOjiM1M2MnFnF2F1FRMOxyOji6/14/20247其中：xi、yi是力 Fi作用点的坐标主矢和主矩的解析表达式6/14/20248合力矩定理平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点之矩的代数和，即6/14/20249固定端约束AMAFAAMAFAxFAyA6/14/202410(1)平面任意力系简化为一个力偶 主矢不为零，主矩为零，即(2)平面任意力系简化为一个合力此时主矩与简化中心位置无关。主矢为零，主矩不为零，即合力的作用线通过简化中心。3、平面任意力系的简化结果分析6/14/202411(2)平面任意力系简化为一个合力 主矢与主矩均不为零，即合力作用线与简化中心的距离d 为：FRMOOOFRdOOFRFRdOOFR6/14/202412（3）平面任意力系平衡主矢与主矩均为零，即平面任意力系平衡的必要和充分条件：力系的主矢和对于任一点的主矩都等于零。6/14/2024133-2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程平面任意力系平衡的解析条件各力在两个任选坐标轴上的的投影的代数和分别为零；各力对于任一点之矩的代数和也等于零。平面任意力系平衡的必要和充分条件力系的主矢和对于任一点的主矩都等于零。6/14/202414平面任意力系的平衡方程平面任意力系平衡的解析条件各力在两个任选坐标轴上的的投影的代数和分别为零；各力对于任一点之矩的代数和也等于零。6/14/202415平面任意力系平衡方程的其它两种形式（1）二矩式平衡方程x轴不得垂直于A、B 两点的连线FRABx6/14/202416平面任意力系平衡方程的其它两种形式（2）三矩式平衡方程A、B、C三点不得共线FRABC6/14/202417【例1】水平梁AB长l，受三角形分布的载荷作用，载荷的最大值为q。求合力的大小以及作用线的位置。【解】（1）求合力则合力为距A端x处取微段dx，其上的作用力为其中ABxqFRhxdxlq（2）求合力作用线位置由合力矩定理，有设FR离A端的距离为h，微段dx上的作用力对A点的力矩为6/14/202418【例3】图示外伸梁AB的尺寸a已知，所受载荷有集度为q的均布力、力偶矩为M2qa2的集中力偶和集中力FP3qa。试求A、B处的约束力。FPABMqaaa【解】考察外伸梁的平衡，受力如图所示。FAxFAyFB力偶对任一点之矩都等于其力偶矩M6/14/202419【例4】梁AD受力如图所示。F500N，FA1000 N，q 1000N/m，2000N m，a2m，求支座B、C的约束力。aaaFAABMqFCDFBxFByFC【解】以梁AD为研究对象，分析受力如图。建立坐标系，列平衡方程解得yxO6/14/202420【例5】直角刚架ABC承受插入端约束。已知尺寸a、b，力F，力偶M。试求插入端约束的全部约束力。abABCFM【解】以直角刚架ABC为研究对象，受力如图。列平衡方程FCyMCFCx约束反力偶MC的方向与已知力和力偶的差有关6/14/202421【解后总结】直角刚架实际上是在三个力偶作用下平衡。当M=Fa 时，有此时刚架在两个力偶作用下平衡。从理论上来说，插入端若换成铰链约束，刚架仍然平衡，但是这种平衡是不稳定的。当刚架受微小扰动后将绕C点转动。abABCFMFCy6/14/202422【例6】体重为W的体操运动员在吊环上做十字支撑。已知 l、d(两肩关节间距离)、W1(两臂总重)。假设手臂为匀质杆，试求肩关节受力。6/14/202423【解】首先考察人体整体平衡再考察手臂AB的平衡，视关节A为固定端约束。6/14/202424用平衡方程定性判断受力分析的正确性力系的平衡方程不仅用于对受力图进行未知力(量)的定量计算，而且还可用于定性判断受力图的正确性。力系的平衡方程集中体现了力系的平衡概念。用平衡方程定性判断受力分析正确性的过程，也是掌握或加深理解平衡概念的过程。【解后总结】力学模型的正确简化是力学分析至关重要的一步。本题若是将关节A处简化为铰链约束，则会得到错误结果。6/14/202425HEZHX123第一次3-4，3-5b（二选一）3-7，3-8（二选一）6/14/202426平面任意力系平衡条件的工程应用-杠杆的平衡图示踏板的平衡条件：当杠杆受（任意）力系作用时，其平衡条件为：作用在杠杆上的主动力系对支点的力矩代数和等于零，即6/14/202427【例9】图示铁路式起重机。当杆OC倾角为45时，最大起重量P60kN。杆OC重P120kN。a=6m，b=1m。求起重机工作时不致翻倒的机身与平衡锤的总重量P2。【解】取起重机系统为研究对象，受力如图。ACBDP1P245P15 ba/2aOFNAFNB此即起重机不致翻倒的最小平衡配重当平衡重小于某一临界值时，将绕A点转动，此时B点约束反力为零。因此起重机就像以A为支点的杠杆。6/14/202428【讨论】（1）翻倒问题是工程中一类典型的应用问题，其实质是绕支点的杠杆平衡问题。ACBDP1P245P15 ba/2aOFNAFNB（2）起重机工作时不翻倒的条件：6/14/2024293-3 物体系的平衡 静定和静不定问题1.物体系及其平衡特点静不定问题物体系未知量不能完全由独立平衡方程求出的问题。未知量个数独立平衡方程数静定问题物体系未知量可以完全由独立平衡方程求出的问题。未知量个数=独立平衡方程数系统整体平衡，每个物体也平衡。因此，既可以取整体为对象，也可以取部分或单个物体为对象。受力图上不考虑内（约束）力。2.静定与静不定问题6/14/202430ABFPFBFAABqlABqlABFPFBFACFC静不定问题物体系未知量不能完全由独立平衡方程求出的问题。未知量个数独立平衡方程数静定问题物体系未知量可以完全由独立平衡方程求出的问题。未知量个数=独立平衡方程数。6/14/202431【解】先以杆AB为研究对象，受力如图。FAFB将均布载荷跨将均布载荷跨梁布置，结果梁布置，结果如何？如何？【例8】图示组合梁由AB和BC在B处铰接，C为固定端。若M20kNm，q15kN/m。试求A、B、C三处的约束力。CBq2m2m1mAMqAB6/14/202432CBMqABFAFB再以杆BC为研究对象，受力如图。列平衡方程FBMCFCxFCyCBMCBq2m2m1mAM6/14/202433FC【例10】图示构架,重物重P10kN,ADDB2m，CDDE1.5m，不计摩擦及杆、滑轮的重量。求杆BC所受的力和杆AB作用于销钉D的力。ACEDPBDCEPBFFDxFDy【解】以杆CE连同滑轮、绳索和重物组成的物系为研究对象，分析受力如图。6/14/202434设滑轮半径为R，列平衡方程DCEPBFFDxFDyFC【解后小结】（1）本题用三力矩方程求解，避免了解联立方程。（2）滑轮半径并不影响计算结果，只要其强度足够即可。6/14/202435BPCEDK【例11】图示构架。已知重力为P，DC=CE=AC=CB=2l；滑轮半径分别为R，r，且R=2r=l，45。试求A、E支座的约束力及BD杆所受的力。RrFAFExFEy【解】先以系统整体为研究对象，分析受力如图。列平衡方程解得A6/14/202436BPCEDKCEDKRrFAFExFEy再以DE杆为研究对象，受力如图。列平衡方程式中（如图）解得FKFExFEyFDBFCxFCyBPRFBxFByFKA6/14/202437【例12】图示平衡系统，不计杆件自重以及摩擦。已知F、q、M、L。试求：（1）系统独立方程数；（2）系统未知约束力数；（3）固定端A处的约束力。llABllCFMDq【解】（1）系统独立方程数9个；（2）系统独立未知约束力数9个；得（3）首先取DC杆为研究对象，受力如图，列平衡方程CFMDFDFCxFCy6/14/202438再取BCD为研究对象，受力如图，列平衡方程其中解得lABllCFMDqFDFBxFByCFMDqB6/14/202439最后取系统整体为研究对象，受力如图，列平衡方程解得lABllCFMDqFDFAxFAyFDMA6/14/202440 灵活选择平衡对象，实际上是正确进行受力分析，也涉及正确判断所选平衡对象的独立平衡方程数与未知约束力个数的问题。【解后总结】利用力偶系的平衡概念进行平面力系的受力分析往往比较简便 刚体系统由多个刚体组成。平衡对象选择的好坏，将决定能否求出、或能否方便地求出所需结果。对刚体系统，平衡对象可以选择整体系统、单个刚体，或部分刚体的组合体。6/14/202441HEZHX第二次3-11，3-13（二选一）3-14，3-15（二选一）3-7，3-8，3-9a，3-146/14/202442【例13】图示结构，已知F1、F2、q，m，求固定端A处的约束反力。a2a3aa456/14/202443【例14】图示结构由丁字梁与直梁铰接而成，自重不计。已知P12kN，q0.5kN/m，M5kNm，L2m。试求：支座C 及固定端A 处的约束反力。6/14/2024443-4 平面简单桁架的内力计算桁架杆件两端彼此用铰链连接而成的结构，受力后几何形状不变。理想桁架6/14/202445节点平面桁架平面简单桁架杆件内力的计算方法（2）截面法用截面假想将桁架截开，取其一部分为研究对象，求取被截杆件的内力。截面可以是平面或曲面。（1）节点法逐个取节点为对象求取杆件内力。一般每个节点的未知力不超过两个。对于杆件数目较多的桁架，节点法计算量大，一般可用计算机求解。6/14/202446C2m2mFPBA1D304325【例14】图示平面桁架。在节点D处受集中载荷FP10kN 的作用，求桁架各杆件所受的内力。【解】（1）求支座反力以桁架整体为研究对象，受力如图。列平衡方程能否快速简便地求得上述约束反力？C2m2mFPBA1D304325FAyFByFBx6/14/202447（2）依次取一个节点为对象，求各杆内力对节点A列平衡方程同理，对节点C、D列方程可得：（3）判断各杆受拉还是受压，并校核计算结果（如将力P作用于节点C，则可知CD杆受力为零，称为零力杆）C2m2mFPBA1D304325F2F1FAyAFAyFByFBx6/14/202448【例15】图示平面桁架，各杆长度等于1m。在节点E上作用载荷P110kN，在节点G上作用载荷P27kN。试计算杆1、2和3的内力。【解】（1）求支座反力以桁架整体为研究对象，受力如图。列平衡方程FAyFByFAxCEFP11DG32P2AB6/14/202449列平衡方程（2）用假想截面将1、2、3杆截开，取桁架左半部分为研究对象。假定各杆受拉。解得xCEF1P1AF2DFAxFAyF3y6/14/202450【例16】广告牌CD的支撑结构如图所示,自重不计。风载为q(N/m),几何尺寸如图。求1,2,3,4号杆件受力。6/14/202451【解】选假想截面-将1#，2#，3#杆截开。取上部为研究对象，受力分析如图。列平衡方程解得6/14/202452再用假想截面II-II将EK杆、4#杆及HC杆截开。取上部为研究对象，受力如图。由H 节点平衡可知解得列平衡方程6/14/202453【例17】K形桁架的尺寸如图所示，已知载荷FP，试求杆1，2的受力。6/14/202454【解法一】考察系统整体的平衡。考察节点C的平衡得6/14/202455用假想截面将桁架截成左、右二部分。考察左部分的平衡。得（压）得（拉）6/14/202456【解法二】首先考察系统整体的平衡，得外约束反力。然后用“曲截面”将桁架截成左，右二部分。考察左部分平衡。6/14/202457【解后总结】解法一比较烦复，原因是应用截面法截取桁架，只会用“直截面”，而不会用“曲截面”。所谓“直截面”就是用一条直线（或平面）来截取桁架的部分，而“曲截面”则与之相反，用的是一条曲线（或平面）。解法一综合应用了节点法与截面法。一般来说，节点法用于求桁架的全部（或大部）杆件内力；而截面法则用于求桁架中几根（或少数）杆件的受力。但这不是绝对的。本题只求两根杆件受力，也可以综合应用节点法与截面法。解法二中出现了“三铰拱受力形式”6/14/202458本章小结p掌握力的平移定理以及平面任意力系向一点简化的合成结果及平衡条件。了解主矢和主矩的概念。p会判断静定与静不定问题。熟练应用平面任意力系平衡方程的三种形式求解平面任意力系的平衡问题。p会应用节点法、截面法求解平面桁架杆件的内力。p选取研究对象时，一般考虑取整个系统、子系统或单个物体，分别画出每个研究对象的受力图。p 根据具体情况灵活选择平衡方程的形式以及投影轴和矩心，尽量使一个方程式中只含一个未知量。6/14/202459HEZHX作业3-19，3-20（二选一）3-24，3-29（二选一）6/14/202460【例题3-18】试判断图示桁架中的所有零力杆。6/14/202461【解法一】考察节点C因此整个桁架有4根零力杆：1，4，7，10。考察节点E考察节点D6/14/202462【解法二】利用节点法求得1，4，7，10为零力杆，同上。因此整个桁架有6根零力杆：1，4，7，10，11，13。求得FRB，并知其沿铅垂方向考察桁架整体平衡求得FRA并知其也沿铅垂方向考察节点B考察节点A6/14/202463去掉零力杆后的桁架结构如图所示 6/14/202464【解后总结】桁架中的零力杆虽然不受力，但却是保持结构坚固性所必需的。因为桁架中的载荷往往是变化的。在一种载荷工况下的零力杆，在另种载荷工况下就有可能承载。如果缺少了它，就不能保证桁架的坚固性。分析桁架内力时，如首先确定其中的零力杆，对后续分析往往有利。解法一漏掉了其它零力杆，原因是完全依靠考察节点的平衡来判断桁架的零力杆，这是不够的。6/14/202465【解后总结】判断零力杆的方法：节点法。若在一个节点上有两根杆件，且无载荷或其它约束力作用，则此二杆均为零力杆（图a）；若在一个节点上有三根杆件，且其中二杆共线，在此节点上同样无载荷或其它约束力作用，则不共线的杆必为零力杆（图b）。6/14/202466【例2】起重机重P1=10kN，可绕铅直轴AB转动，起吊的重物P2=40kN，起重机的重心C到转动轴的距离为1.5m，其它尺寸如图所示。求止推轴承A和轴承B处的约束力。【解】以起重机为研究对象，受力如图。由于对称性，主动力和约束反力在同一平面内，因此，A处约束力反有两个，B处有一个。取图示坐标系，列平面任意力系的平衡方程：解得6/14/202467 三、平面平行力系的平衡方程A、B 两点的连线不得与各力平行或yOxF1F2F3Fn6/14/202468练习应用“曲截面”法求解平面桁架问题【练习1】图示桁架的载荷FP和尺寸d均为已知。试求杆件FK和JO的受力。6/14/202469练习应用“曲截面”法求解平面桁架问题【练习2】图示桁架的截荷FP和尺寸均已知。试求杆AB的受力。6/14/202470【练习】判断所有零力杆，画出去掉零力杆后的结构6/14/202471供娄浪颓蓝辣袄驹靴锯澜互慌仲写绎衰斡染圾明将呆则孰盆瘸砒腥悉漠堑脊髓灰质炎(讲课2019)脊髓灰质炎(讲课2019)