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2024/6/141引言引言n信号：一般是时间的函数信号：一般是时间的函数n确定信号：可以用确定的时间函数表示的信号确定信号：可以用确定的时间函数表示的信号n周期信号和非周期信号周期信号和非周期信号n能量信号和功率信号能量信号和功率信号n基带信号和频带信号基带信号和频带信号n模拟信号和数字信号模拟信号和数字信号n随机信号：具有随机性，可用统计规律来描述随机信号：具有随机性，可用统计规律来描述n通信过程中要发送的信号是不可预知的，因此具有随通信过程中要发送的信号是不可预知的，因此具有随机性，是随机信号，但信号的统计特性具有规律性。机性，是随机信号，但信号的统计特性具有规律性。n噪声和干扰是随机的信号；噪声和干扰是随机的信号；n无线信道特性（可理解为系统传递函数）也是随机变无线信道特性（可理解为系统传递函数）也是随机变化的。化的。2023/8/91引言信号：一般是引言信号：一般是时间时间的函数的函数12024/6/142n随机过程：与时间有关的函数，但任一时刻的随机过程：与时间有关的函数，但任一时刻的取值不确定取值不确定(随机变量随机变量)n随机过程可以看成对应不同随机试验的时间过程的随机过程可以看成对应不同随机试验的时间过程的集合。如集合。如n(或无数）台性能完全的接收机输出的噪或无数）台性能完全的接收机输出的噪声波形，每个波形都是一个确定函数，为一个样本声波形，每个波形都是一个确定函数，为一个样本函数，各波形又各不相同。也可看成一个接收机，函数，各波形又各不相同。也可看成一个接收机，不同实验输出不同的样本函数。不同实验输出不同的样本函数。n随机过程是所有样本函数的集合。随机过程是所有样本函数的集合。2023/8/92随机随机过过程：与程：与时间时间有关的函数，但任一有关的函数，但任一时时刻的取刻的取22024/6/1431 随机过程的一般表述随机过程的一般表述(1)n样本函数：随机过程的具体实现样本函数：随机过程的具体实现n样本空间：所有实现构成的全体样本空间：所有实现构成的全体n所有样本函数及其统计特性构成了随机过程所有样本函数及其统计特性构成了随机过程2023/8/931 随机随机过过程的一般表述程的一般表述(1)32024/6/144n随机过程是随机变量概念的延伸，即随机变随机过程是随机变量概念的延伸，即随机变量引入时间变量，成为随机过程。量引入时间变量，成为随机过程。n每一个时刻，对应个样本函数的取值每一个时刻，对应个样本函数的取值xi(t),i=1,2,n是一个随机变量。是一个随机变量。n固定时刻固定时刻t1的随机变量计为的随机变量计为(t1)。n随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。的随机变量的集合。2023/8/94随机随机过过程是随机程是随机变变量概念的延伸，即随机量概念的延伸，即随机变变量引量引42024/6/1451 随机过程的一般表述随机过程的一般表述(2)n分布函数与概率密度分布函数与概率密度n随机过程随机过程(t)在任意时刻在任意时刻t1是一个随机变量是一个随机变量(t1)，其统计特性可，其统计特性可以用分布函数与概率密度函数来表示以用分布函数与概率密度函数来表示n一维分布函数一维分布函数n一维概率密度一维概率密度2023/8/951 随机随机过过程的一般表述程的一般表述(2)分布函数与概率分布函数与概率52024/6/146nn 维分布概率函数维分布概率函数nn 维概率密度函数维概率密度函数n一一维分布函数或概率密度函数仅描述了随机过程在维分布函数或概率密度函数仅描述了随机过程在任一瞬间的统计特性，进而可以对任意固定的任一瞬间的统计特性，进而可以对任意固定的n个个时刻进行概率分布与概率密度的描述。时刻进行概率分布与概率密度的描述。显然显然n 越大，对随机过程统计特性的描述就越充分。当然实际上越大，对随机过程统计特性的描述就越充分。当然实际上是根据需要来确定维数的。是根据需要来确定维数的。2023/8/96n 维维分布概率函数分布概率函数n 维维概率密度函数一概率密度函数一维维分分62024/6/147n随机过程的随机过程的n维分布函数或概率密度函数往往不维分布函数或概率密度函数往往不容易或不需要得到，常常用数字特征部分地表容易或不需要得到，常常用数字特征部分地表述随机过程的主要特征。述随机过程的主要特征。n对于通信系统而言，随机过程的数字特征就可对于通信系统而言，随机过程的数字特征就可以满足需要，也会有明确定的物理含义，还可以满足需要，也会有明确定的物理含义，还可以测量。以测量。n如通信信号的方差就是交流功率。如通信信号的方差就是交流功率。2023/8/97随机随机过过程的程的n维维分布函数或概率密度函数往往不分布函数或概率密度函数往往不72024/6/1481 随机过程的一般表述随机过程的一般表述(3)n随机过程随机过程(t)的数字特征的数字特征n(t)的的均值或数学期望均值或数学期望t的引入说明随机变量、均值是时间的函数的引入说明随机变量、均值是时间的函数注意：注意：(t)的均值是时间的确定函数，它表示随机过程的的均值是时间的确定函数，它表示随机过程的n个个（也可是无数个）样本函数曲线的摆动中心。（也可是无数个）样本函数曲线的摆动中心。n方差方差注：均值和方差只与一维概率密度函数有关，它们反映了随机注：均值和方差只与一维概率密度函数有关，它们反映了随机过程各时刻的特征。过程各时刻的特征。2023/8/981 随机随机过过程的一般表述程的一般表述(3)随机随机过过程程(t82024/6/149n自协方差函数自协方差函数n相关函数表征随机过程的内在联系，即随机过程相关函数表征随机过程的内在联系，即随机过程任意两个时刻上的随机变量之间的关联程度。任意两个时刻上的随机变量之间的关联程度。n自相关函数自相关函数注：若随机过程的均值为注：若随机过程的均值为0，则自相关函数和自协方，则自相关函数和自协方差函数完全相同；即使均值不为差函数完全相同；即使均值不为0，二者描述的随，二者描述的随机过程的特征也是一样的。常用自相关函数。机过程的特征也是一样的。常用自相关函数。2023/8/99自自协协方差函数相关函数表征随机方差函数相关函数表征随机过过程的内在程的内在联联系系92024/6/14101 随机过程的一般表述随机过程的一般表述(4)n两随机过程的数字特征两随机过程的数字特征n互相关函数互相关函数n互协方差函数互协方差函数2023/8/9101 随机随机过过程的一般表述程的一般表述(4)两随机两随机过过程的程的102024/6/14112 平稳随机过程平稳随机过程(1)n狭义平稳狭义平稳(严平稳严平稳)n一维分布与时间无关，二维分布只与时间间隔一维分布与时间无关，二维分布只与时间间隔(t1-t2)有关有关n数字特征数字特征n广义平稳广义平稳(宽平稳宽平稳)2023/8/9112 平平稳稳随机随机过过程程(1)狭狭义义平平稳稳(严严平平稳稳112024/6/14122 平稳随机过程平稳随机过程(2)n各态历经性各态历经性(遍历性遍历性)：随机过程的任一实现，经历了：随机过程的任一实现，经历了随机过程的所有可能状态随机过程的所有可能状态n 随机过程的数字特征，可以由其随机过程的数字特征，可以由其任一实现任一实现(样本函数样本函数)的数字的数字特征来代表特征来代表 遍历过程必定是平稳过程，反之不然。遍历过程必定是平稳过程，反之不然。遍历过程必定是平稳过程，反之不然。遍历过程必定是平稳过程，反之不然。遍历遍历遍历遍历 时间平均代替统计平均时间平均代替统计平均时间平均代替统计平均时间平均代替统计平均n思考：为什么要研究随机平稳随机过程思考：为什么要研究随机平稳随机过程2023/8/9122 平平稳稳随机随机过过程程(2)各各态历经态历经性性(遍遍历历122024/6/14132 平稳随机过程平稳随机过程(3)n实平稳随机过程的自相关函数实平稳随机过程的自相关函数n偶函数：偶函数：n有界性：有界性：n周期性：周期性：n统计平均功率：统计平均功率：n直流功率：直流功率：n交流功率：交流功率：2023/8/9132 平平稳稳随机随机过过程程(3)实实平平稳稳随机随机过过程的程的132024/6/14142 平稳随机过程平稳随机过程(4)n平稳随机过程的功率谱密度平稳随机过程的功率谱密度(统计平均统计平均)n单边功率谱密度单边功率谱密度(实平稳随机过程实平稳随机过程)2023/8/9142 平平稳稳随机随机过过程程(4)平平稳稳随机随机过过程的功程的功142024/6/1415图：功率信号与截断函数图：功率信号与截断函数2023/8/915图图：功率信号与截断函数：功率信号与截断函数152024/6/14162 平稳随机过程平稳随机过程(5)其中其中=t2-t1 (t)数学期望是常数，自相关函数只与时间间隔数学期望是常数，自相关函数只与时间间隔有关，所以有关，所以(t)是广义平稳过程。是广义平稳过程。2023/8/9162 平平稳稳随机随机过过程程(5)其中其中=t2-t162024/6/1417n其功率谱密度为：其功率谱密度为：n(t)的时间平均值如下：的时间平均值如下：因此随机相位余弦波是遍历的。因此随机相位余弦波是遍历的。2023/8/917其功率其功率谱谱密度密度为为：(t)的的时间时间平均平均值值如下如下172024/6/14193 高斯过程高斯过程(1)n定义：任意定义：任意 n 维概率密度是正态分布式维概率密度是正态分布式式中式中ak是均值，是均值，2是方差，是方差，B是规一化协方差矩阵。是规一化协方差矩阵。n 概率密度函数仅取决于各随机变量的均值、方差和两概率密度函数仅取决于各随机变量的均值、方差和两两之间的归一化协方差函数两之间的归一化协方差函数(相关系数相关系数)2023/8/9193 高斯高斯过过程程(1)定定义义：任意：任意 n 维维概概192024/6/14201 b12 b1nB21 1 b2nBn1 bn2 1|B|jk为为行行列列式式|B|中中元元素素bjk的的代代数数余余因因子子，bjk为为归归一一化化协协方差函数，见方差函数，见(3.33)。3 高斯过程高斯过程(2)2023/8/920 b12 b1n202024/6/1421n 重要性质：重要性质：n 高斯过程的高斯过程的n维分布只依赖各个随机变量的均值、方差维分布只依赖各个随机变量的均值、方差和规一化协方差，因此只需研究它的数字特征就可以了和规一化协方差，因此只需研究它的数字特征就可以了n广义平稳广义平稳 狭义平稳狭义平稳n 各随机变量之间互不相关各随机变量之间互不相关 统计独立统计独立n高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程。即高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程。即线性系统的输入是高斯过程，则系统输出的也是高斯过线性系统的输入是高斯过程，则系统输出的也是高斯过程。程。2023/8/921 重要性重要性质质：高斯高斯过过程的程的n维维分布只依分布只依212024/6/14223 高斯过程高斯过程(3)n一维正态分布一维正态分布n关于关于 a 对称：对称：f(a+x)=f(a-x)n在点在点 a 处取极大值处取极大值:2023/8/9223 高斯高斯过过程程(3)一一维维正正态态分布关于分布关于 a222024/6/14233 高斯过程高斯过程(4)n概率积分函数概率积分函数:n标准化正态分布标准化正态分布:n 概率分布函数概率分布函数:2023/8/9233 高斯高斯过过程程(4)概率概率积积分函数分函数:标标准化准化232024/6/1424n误差函数与互补误差函数分别表示高斯密度函数曲线尾误差函数与互补误差函数分别表示高斯密度函数曲线尾部下的面积部下的面积n 误差函数误差函数:n Q函数函数:n 互补误差函数互补误差函数:nQ函数也是一种表示高斯曲线尾部下的面积的函数。函数也是一种表示高斯曲线尾部下的面积的函数。2023/8/924误误差函数与互差函数与互补误补误差函数分差函数分别别表示高斯密度函表示高斯密度函242024/6/14254 窄带随机过程窄带随机过程(1)1.窄带随机过程窄带随机过程定义定义:随随机机过过程程通通过过以以fc为为中中心心频频率率的的窄窄带带系系统统的的输输出出，即即是是窄窄带带过过程程。所所谓谓窄窄带带系系统统，是是指指其其通通带带宽宽度度f ，f(z)近似高斯分布近似高斯分布2023/8/9435 正弦波加窄正弦波加窄带带高斯高斯过过程程(2)广广义义瑞利瑞利432024/6/14446 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统(1)n输出随机过程的均值输出随机过程的均值n输出随机过程的自相关函数与功率谱密度输出随机过程的自相关函数与功率谱密度平稳平稳平稳平稳2023/8/9446 平平稳稳随机随机过过程通程通过线过线性系性系统统(1)输输出随出随442024/6/14456 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统(2)2023/8/9456 平平稳稳随机随机过过程通程通过线过线性系性系统统(2)452024/6/14466 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统(3)奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数高斯高斯高斯高斯独立独立独立独立线性变换线性变换线性变换线性变换2023/8/9466 平平稳稳随机随机过过程通程通过线过线性系性系统统(3)奇函数奇函数462024/6/14477 高斯白噪声和带限白噪声高斯白噪声和带限白噪声n白噪声白噪声n(t)n定义：功率谱密度在所有频率上均为常数的噪声，定义：功率谱密度在所有频率上均为常数的噪声，即即 双边功率谱密度双边功率谱密度或或 单边功率谱密度单边功率谱密度式中式中 n0 正常数正常数n白噪声的自相关函数：对双边功率谱密度取傅里叶白噪声的自相关函数：对双边功率谱密度取傅里叶反变换，得到相关函数：反变换，得到相关函数：2023/8/9477 高斯白噪声和高斯白噪声和带带限白噪声限白噪声472024/6/1448n白噪声和其自相关函数的曲线：白噪声和其自相关函数的曲线：2023/8/948白噪声和其自相关函数的曲白噪声和其自相关函数的曲线线：482024/6/1449n白噪声的功率白噪声的功率由于白噪声的带宽无限，其平均功率为无穷大，即由于白噪声的带宽无限，其平均功率为无穷大，即或或n因此，真正因此，真正“白白”的噪声是不存在的，它只是构造的一种理想的噪声是不存在的，它只是构造的一种理想化的噪声形式。化的噪声形式。n实际中，只要噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信实际中，只要噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。n如果白噪声取值的概率分布服从高斯分布，则称之为如果白噪声取值的概率分布服从高斯分布，则称之为高斯白噪高斯白噪声声。n高斯白噪声在任意两个不同时刻上的随机变量之间，不仅是互高斯白噪声在任意两个不同时刻上的随机变量之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。不相关的，而且还是统计独立的。2023/8/949白噪声的功率白噪声的功率492024/6/1450n低通白噪声低通白噪声n定义：如果白噪声通过理想矩形的低通滤波器或理想定义：如果白噪声通过理想矩形的低通滤波器或理想低通信道，则输出的噪声称为低通信道，则输出的噪声称为低通白噪声低通白噪声。n功率谱密度功率谱密度n由上式可见，白噪声的功率谱密度被限制在由上式可见，白噪声的功率谱密度被限制在|f|fH内，内，通常把这样的噪声也称为通常把这样的噪声也称为带限白噪声带限白噪声。n自相关函数自相关函数2023/8/950低通白噪声低通白噪声502024/6/1451 功率谱密度和自相关函数曲线功率谱密度和自相关函数曲线n由曲线看出，这种带限白噪声只有在由曲线看出，这种带限白噪声只有在 上得到的随机变量才不相关。上得到的随机变量才不相关。2023/8/951 功率功率谱谱密度和自相关函数曲密度和自相关函数曲线线由曲由曲线线看出看出512024/6/1452n带通白噪声n定义：如果白噪声通过理想矩形的带通滤波器或理想定义：如果白噪声通过理想矩形的带通滤波器或理想带通信道，则其输出的噪声称为带通信道，则其输出的噪声称为带通白噪声带通白噪声。n功率谱密度功率谱密度设理想带通滤波器的传输特性为设理想带通滤波器的传输特性为式中式中fc 中心频率，中心频率，B 通带宽度通带宽度则其输出噪声的功率谱密度为则其输出噪声的功率谱密度为2023/8/952带带通白噪声通白噪声522024/6/1453n自相关函数自相关函数2023/8/953自相关函数自相关函数532024/6/1454带通白噪声的功率谱和自相关函数曲线带通白噪声的功率谱和自相关函数曲线2023/8/954带带通白噪声的功率通白噪声的功率谱谱和自相关函数曲和自相关函数曲线线542024/6/1455n窄带高斯白噪声n通常，带通滤波器的通常，带通滤波器的 B fc，因此称窄带滤波器，因此称窄带滤波器，相应地把带通白高斯噪声称为相应地把带通白高斯噪声称为窄带高斯白噪声窄带高斯白噪声。n窄带高斯白噪声的表达式和统计特性见窄带高斯白噪声的表达式和统计特性见3.5节。节。n平均功率平均功率 2023/8/955窄窄带带高斯白噪声高斯白噪声552024/6/1456思考题和作业思考题和作业n什么是傅立叶变换？什么是傅立叶变换？n信号的分类？能量信号与功率信号？模拟信号信号的分类？能量信号与功率信号？模拟信号与数字信号？周期信号与非周期信号？确知信与数字信号？周期信号与非周期信号？确知信号与随机信号？号与随机信号？n什么是确知信号？如何分析？什么是确知信号？如何分析？n什么是随机信号？如何分析？什么是随机信号？如何分析？n什么是平稳随机过程？平稳？各态历经性？什么是平稳随机过程？平稳？各态历经性？n几种常用的随机过程？正态随机过程？窄带随几种常用的随机过程？正态随机过程？窄带随机过程？正弦波加窄带随机过程？机过程？正弦波加窄带随机过程？n系统：随机过程经过线性系统？系统：随机过程经过线性系统？n作业：作业：32,33,35,38,392023/8/956思考思考题题和作和作业业什么是傅立叶什么是傅立叶变换变换？562024/6/1457附录附录:傅立叶变换傅立叶变换2023/8/957附附录录:傅立叶傅立叶变换变换572024/6/14581 傅立叶变换傅立叶变换n表达式：表达式：n 充分条件：充分条件：f(t)在无限区间内绝对可积在无限区间内绝对可积n 引入广义函数之后的扩展引入广义函数之后的扩展2023/8/9581 傅立叶傅立叶变换变换表达式：表达式：充分条件：充分条件：f582024/6/14591.1 傅立叶变换的运算特性傅立叶变换的运算特性n放大放大n叠加叠加n复共轭复共轭n标度换算标度换算n时移时移n频移频移时移因子时移因子时移因子时移因子频移因子频移因子频移因子频移因子2023/8/9591.1 傅立叶傅立叶变换变换的运算特性的运算特性时时移因子移因子频频移移592024/6/14601.1 傅立叶变换的运算特性傅立叶变换的运算特性n调制调制n卷积卷积n对偶对偶n微分微分n积分积分2023/8/9601.1 傅立叶傅立叶变换变换的运算特性的运算特性调调制制602024/6/14611.2 常用信号的傅立叶变换常用信号的傅立叶变换任意周任意周任意周任意周期信号期信号期信号期信号2023/8/9611.2 常用信号的傅立叶常用信号的傅立叶变换变换任意周期信号任意周期信号612024/6/14621.2 常用信号的傅立叶变换常用信号的傅立叶变换2023/8/9621.2 常用信号的傅立叶常用信号的傅立叶变换变换622024/6/14631.2 常用信号的傅立叶变换常用信号的傅立叶变换2023/8/9631.2 常用信号的傅立叶常用信号的傅立叶变换变换632024/6/1464通信系统仿真通信系统仿真n观察标准正态分布的密度函数观察标准正态分布的密度函数%仿真曲线仿真曲线 N(0,1)L=1000000;x=randn(1,L);%产生产生L个样本个样本I,Y=hist(x,50);%概率直方图概率直方图D=Y(2)-Y(1);I=I/L;%归一化归一化I=I/D;%除以横轴的步长得到密度函数除以横轴的步长得到密度函数plot(Y,I,.-);%密度函数密度函数hold on%理论曲线理论曲线 N(0,1)t=-6:0.1:6;f=exp(-t.*t/2)/sqrt(2*pi);%理论值理论值plot(t,f,r-);legend(Simulation result,Theorectic result);2023/8/964通信系通信系统统仿真仿真观观察察标标准正准正态态分布的密度函数分布的密度函数%642024/6/1465通信系统仿真通信系统仿真%观察误差函数与互补误差函数观察误差函数与互补误差函数close all;clear all;x=-4:0.1:4;y_erf=erf(x);plot(x,y_erf,b-);%erf(x)hold ony_erfc=erfc(x);%erfc(x)plot(x,y_erfc,r-);Q=0.5*erfc(x/sqrt(2);%Q(x)plot(x,Q,k-);legend(erf(x),erfc(x),Q(x);xlabel(x);ylabel(erf(x),erfc(x)and Q(x);grid2023/8/965通信系通信系统统仿真仿真%观观察察误误差函数与互差函数与互补误补误差函数差函数65
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