压电效应与压电方程课件

压电效应与压电方程压电效应与压电方程Piezoelectric effectPiezoelectric equations1wangclsdu.edu压电效应与压电方程Piezoelectric effect1v压电效应的基本现象压电效应的基本现象v石英晶体的压电效应，压电方程组石英晶体的压电效应，压电方程组v压电常数与对称性压电常数与对称性v压电晶体的切割压电晶体的切割,v四类压电方程组，旋转坐标系，四类压电方程组，旋转坐标系，v次级压电效应，压电常数之间的关系次级压电效应，压电常数之间的关系v机电耦合系数机电耦合系数主要内容主要内容 2wangclsdu.edu压电效应的基本现象主要内容 2wangclsdu.edu压电效应的基本现象压电效应的基本现象通俗来说通俗来说:压电效应是指材料在压力作用下产生压电效应是指材料在压力作用下产生电信号的效应电信号的效应;或者在电场作用下或者在电场作用下,材料发生机械材料发生机械形变的现象。形变的现象。压电效应有严格的定义，上述说法只是一个简单压电效应有严格的定义，上述说法只是一个简单直观描述。直观描述。压电效应由压电方程描写；材料的压电性由压电压电效应由压电方程描写；材料的压电性由压电常数决定。常数决定。3wangclsdu.edu压电效应的基本现象通俗来说:压电效应是指材料在压力作用下产生压电效应的基本现象压电效应的基本现象晶体的介电常数、弹性常数与晶体的对称性密切晶体的介电常数、弹性常数与晶体的对称性密切相关。相关。同样，压电常数也与晶体的对称性密切相关。因同样，压电常数也与晶体的对称性密切相关。因此不是从压电晶体上随意切下一块晶片，就能做此不是从压电晶体上随意切下一块晶片，就能做压电元件，而是要根据该压电晶体的压电常数来压电元件，而是要根据该压电晶体的压电常数来设计晶片的切割。设计晶片的切割。4wangclsdu.edu压电效应的基本现象晶体的介电常数、弹性常数与晶体的对称性密切正正压电效应压电效应当压电晶体受到外力而发生形变时，在它的当压电晶体受到外力而发生形变时，在它的某些表面上出现与外力成某些表面上出现与外力成线性比例线性比例电荷积累，电荷积累，这个现象称为压电效应。这个现象称为压电效应。是一种线性响应！是一种线性响应！5wangclsdu.edu正压电效应当压电晶体受到外力而发生形变时，在它的某些表面上出石英晶体的压电效应石英晶体的压电效应现以现以 石英晶体为例，因为石英晶体为例，因为 石英晶体在石英晶体在18801880年就发现了压电效应，是最早发现的压年就发现了压电效应，是最早发现的压电晶体，也是目前最好的和最重要的压电晶电晶体，也是目前最好的和最重要的压电晶体之一。体之一。石英晶体的最大特点是：石英晶体的最大特点是：性能稳定，频率温度系数低（可以做到频率性能稳定，频率温度系数低（可以做到频率温度系数接近于零），在通讯技术中有广泛温度系数接近于零），在通讯技术中有广泛地应用。地应用。6wangclsdu.edu石英晶体的压电效应现以石英晶体为例，因为石英晶体在1图图4-14-1：石英晶体属于六角晶系石英晶体属于六角晶系3232点群，它的坐标系点群，它的坐标系o-xyzo-xyz。7wangclsdu.edu图4-1：石英晶体属于六角晶系32点群，它的坐标系o-x光轴光轴 电轴电轴 机械轴机械轴 z z轴轴与与天天然然石石英英晶晶体体的的上上、下下顶顶角角连连线线重重合合（即即与与晶晶体体的的C C轴轴重重合合）。因因为为光光线线沿沿z z轴轴通通过过石石英英晶晶体体时不产生双折射，故称时不产生双折射，故称z z轴为石英晶体的轴为石英晶体的光轴光轴。x x轴轴与与石石英英晶晶体体横横截截面面上上的的对对角角线线重重合合（即即与与晶晶体体的的a a轴轴重重合合），因因为为沿沿x x方方向向对对晶晶体体施施加加压压力力时时，产产生生的的压压电电效效应应最最显显著著，故故常常称称x x轴轴为为石石英英晶晶体体的的电轴电轴。z z轴轴与与z z轴轴的的方方向向规规定定后后，y y轴轴方方向向也也就就定定了了，如如图图4-1 4-1 a a所所示示。y y轴轴与与石石英英晶晶体体横横截截面面对对边边的的中中点点连连线重合，常称为线重合，常称为机械轴机械轴。8wangclsdu.edu光轴 电轴 机械轴 z轴与天然石英晶体的上、下顶角连线重在在晶晶体体x x轴轴垂垂直直的的方方向向上上，切切下下一一块块薄薄晶晶片片，晶晶片片面面与与x x轴轴垂垂直直，如如图图4-1b4-1b所所示示，称称为为x x切切割割。更更详详细细的的说说法法是是：如如果果晶晶片片的的厚厚度度沿沿x x轴轴方方向向，长长度度沿沿y y方方向向，则则称称为为xyxy切切割割。该该晶晶片片的的长长度度为为l l，宽宽度度为为l lw w，厚厚度度为为l lt t，与与x x轴轴垂垂直直的的二二个个晶晶面面上上涂涂上上电电极极，并并与与冲冲击击电电流流计计连连接接（测测量量电电量量用用），如如图图4-1c4-1c所示。所示。9wangclsdu.edu在晶体x轴垂直的方向上，切下一块薄晶片，晶片面与x轴垂直，如现分别进行如下实验现分别进行如下实验（1 1）当当晶晶片片受受到到沿沿x x轴轴方方向向的的力力FxFx作作用用时时，通通过过冲冲击击电电流流计计，可可测测出出在在x x轴轴方方向向电电极极面面上上的的电电荷荷q q(1)(1)1 1。并并发发现现x x轴轴方方向向电电极极面面上上的的电电荷荷密密度度（q q(1)(1)1 1/ll/llw w）的的大大小小与与x x轴轴方方向向单单位位面面积积上上的力（的力（Fx/llFx/llw w）成正比，即：）成正比，即：10wangclsdu.edu现分别进行如下实验（1）当晶片受到沿x轴方向的力Fx作用时，因因 为为（q q(1)(1)1 1/ll/llw w）是是 极极 化化 强强 度度 分分 量量 P P(1)(1)1 1；（Fx/llFx/llw w）为）为x x方向的应力方向的应力X X1 1，于是得到，于是得到(4-1)(4-1)式式中中，P P(1)(1)1 1为为晶晶片片只只受受到到x x方方向向的的应应力力X X1 1作作用用时时，在在x x方方向向产产生生的的极极化化强强度度分分量量，比比例例系系数数d d1111称称为为压电常数。压电常数。即：即：11wangclsdu.edu因为（q(1)1/llw）是极化强度分量P(1)1；（Fx/（2 2）当当晶晶片片受受到到沿沿y y方方向向的的力力F Fy y作作用用时时，通通过过冲冲击击电电流流计计，可可测测出出在在x x轴轴方方向向电电极极面面上上的的电电荷荷q q(2)(2)1 1，并并发发现现x x方方向向电电极极面面上上的的电电荷荷密密度度（q q(2)(2)1 1/ll/llw w）的的大大小小与与y y方方向向单单位位面面积积上上的的力力（Fx/lFx/lw wl lt t）成成正正比比，因因为为（q q(2)(2)1 1/ll/llw w）是是极极化化强度分量强度分量P P(2)(2)1 1。12wangclsdu.edu（2）当晶片受到沿y方向的力Fy作用时，通过冲击电流计，可测（F Fy y/l/lw wl lt t）为）为y y方向的应力方向的应力X X2 2，于是有，于是有式中，式中，P P(2)(2)1 1为晶片只受到为晶片只受到y y方向的应力方向的应力X X1 1作用作用时，在时，在x x方向产生的极化强度分量，比例系数方向产生的极化强度分量，比例系数d d1212也称为压电常数。也称为压电常数。即：即：13wangclsdu.edu（Fy/lwlt）为y方向的应力X2，于是有式中，P(2)1实实验验上上还还发发现现当当X X1 1=X=X2 2时时，存存在在P P(2)(2)1 1=-P-P(1)(1)1 1，由由此此可可得得d d1111=-d=-d1212，即即石石英英晶晶体体的的压压电电常常数数d d1212的的大大小等于压电常数小等于压电常数d d1111的负值。的负值。14wangclsdu.edu实验上还发现当X1=X2时，存在P(2)1=-P(1)1，15wangclsdu.edu15wangclsdu.edu（3 3）当晶片受到沿）当晶片受到沿z z方向的力方向的力F Fz z作用时，通过冲作用时，通过冲击电流计，并发现击电流计，并发现x x方向电极面上不产生电荷。方向电极面上不产生电荷。即有即有(4-3)(4-3)因为因为X X3 3 0 0，故压电常数，故压电常数d d1313=0=0。由此可见，对于。由此可见，对于x x切割的石英晶片，当切割的石英晶片，当z z方向受到应力方向受到应力X X3 3的作用时，的作用时，在在x x方向并不产生压电效应。方向并不产生压电效应。16wangclsdu.edu（3）当晶片受到沿z方向的力Fz作用时，通过冲击电流计，并发（4 4）当晶片受到切应力）当晶片受到切应力X X4 4作用时，通过冲击电作用时，通过冲击电流计，可测出在流计，可测出在x x方向电极面上的面电荷密度方向电极面上的面电荷密度（q q(4)(4)1 1/ll/llw w）=P=P(4)(4)1 1，并发现，并发现P P(4)(4)1 1与与X X2 2成正，成正，于是于是(4-4)(4-4)式中，式中，P P(4)(4)1 1为晶片只受切应力为晶片只受切应力X X4 4作用时，在作用时，在x x方向产生的极化强度分量，比例系数方向产生的极化强度分量，比例系数d d1414称为压称为压电常数。电常数。17wangclsdu.edu（4）当晶片受到切应力X4作用时，通过冲击电流计，可测出在x18wangclsdu.edu18wangclsdu.edu（5 5）当晶片受到切应力）当晶片受到切应力X X5 5或或X X6 6作用时，通过冲作用时，通过冲击电流计，并发现击电流计，并发现x x方向电极面上不产生电方向电极面上不产生电荷，于是有荷，于是有(4-5)(4-5)因为因为X X5 5 0 0，X X6 6 0 0，故压电常数，故压电常数d d1515=0=0，d d1616=0=0，由，由此可见，对于此可见，对于x x切割的石英晶片，当受到切应力切割的石英晶片，当受到切应力X X5 5或或X X6 6的作用时，在的作用时，在x x方向并不产生压电效应。方向并不产生压电效应。19wangclsdu.edu（5）当晶片受到切应力X5或X6作用时，通过冲击电流计，并发综合上述实验结果得到，选综合上述实验结果得到，选x x方向为电极面，方向为电极面，当电场当电场E=0E=0时，应力张量时，应力张量X X对对x x方向的极化强度方向的极化强度分量分量P P1 1的贡献为：的贡献为：20wangclsdu.edu综合上述实验结果得到，选x方向为电极面，当电场E=0时，应力当选当选y y方向为电极面，重复上述实验，当电场方向为电极面，重复上述实验，当电场E=0E=0时，时，应力张量应力张量X X对对y y方向的极化强度分量方向的极化强度分量P P2 2的贡献为：的贡献为：（4-74-7）即石英晶体的压电常数即石英晶体的压电常数d d2525=-d=-d1414，d d2626=-2d=-2d1111。21wangclsdu.edu当选y方向为电极面，重复上述实验，当电场E=0时，应力张量X当选当选z z方向为电极面，重复上述实验，当电场方向为电极面，重复上述实验，当电场E=0E=0时，应力张量时，应力张量X X对对z z方向的极化强度分量方向的极化强度分量P P3 3的的贡献为：贡献为：（4-84-8）22wangclsdu.edu当选z方向为电极面，重复上述实验，当电场E=0时，应力张量X根据（根据（4-64-6）、（）、（4-74-7）以及（）以及（4-84-8）式的结果，）式的结果，可得到石英晶体的正向压电效应表示式用矩阵表可得到石英晶体的正向压电效应表示式用矩阵表示为：示为：23wangclsdu.edu根据（4-6）、（4-7）以及（4-8）式的结果，可得到石英在压电物理中常用电位移在压电物理中常用电位移D D代替极化强度代替极化强度P P，当，当电场电场E=0E=0时，时，D=D=0 0E+P=PE+P=P，电位移的三个分量：，电位移的三个分量：D D1 1=P=P1 1，D D2 2=P=P2 2，D D3 3=P=P3 3。将这些关系代入到（将这些关系代入到（4-94-9）式，即得到用电位移）式，即得到用电位移分量与应力分量表示的石英晶体正向压电效应分量与应力分量表示的石英晶体正向压电效应的表示式为，的表示式为，24wangclsdu.edu在压电物理中常用电位移D代替极化强度P，当电场E=0时，D=式中附标式中附标E E表示电场强度表示电场强度E=0E=0。25wangclsdu.edu式中附标E表示电场强度E=0。25wangclsdu.ed从以上两式式可以看出：从以上两式式可以看出：（1 1）对对于于石石英英晶晶体体不不是是在在任任何何方方向向上上都都存存在在压压电电效效应应，只只有有在在某某些些方方向向上上，在在某某些些力力的的作作用用下下，产产生生才才能能出出现现正正压压电电效效应应。例例如如，在在石石英英晶晶体体x x方方向向，只只有有X X1 1、X X2 2、X X4 4作作用用时时，才才能能在在x x方方向向压压电电效效应应，而而X X3 3、X X5 5、X X6 6不不能能在在x x方方向向压压电电效效应应。在在石石英英晶晶体体的的z z方方向向，不不论论在在什什么么方方向向作作用用多多大大的的力力，都不能在都不能在z z方向压电效应。方向压电效应。26wangclsdu.edu从以上两式式可以看出：26wangclsdu.edu（2 2）石石英英晶晶体体的的独独立立压压电电常常数数只只有有d d1111与与d d1414两两个，它们的数值是：个，它们的数值是：d d1111=-2.31=-2.31 1010-12-12库仑库仑/牛顿，牛顿，d d1414=0.73=0.73 1010-12-12库仑库仑/牛顿。牛顿。27wangclsdu.edu（2）石英晶体的独立压电常数只有d11与d14两个，它们的数对对于于一一般般的的情情况况，例例如如属属于于三三斜斜晶晶系系1 1（C C1 1）点点群群的的压压电电晶晶体体是是完完全全各各向向异异性性的的，独独立立的的压压电电常常数数共有共有1818个，用矩阵表示即为，个，用矩阵表示即为，28wangclsdu.edu对于一般的情况，例如属于三斜晶系1（C1）点群的压电晶体是完可见压电常数可见压电常数d d的矩阵形式是一个三行六列矩阵，的矩阵形式是一个三行六列矩阵，即即d d是一个三级张量。一般情况下正压电效应的是一个三级张量。一般情况下正压电效应的表示式为：表示式为：29wangclsdu.edu可见压电常数d的矩阵形式是一个三行六列矩阵，即d是一个三级张或简写为：或简写为：或：或：30wangclsdu.edu或简写为：或：30wangclsdu.edu逆压电效应逆压电效应 inverse effect inverse effect当当晶晶体体受受到到电电场场E E的的作作用用时时，晶晶体体产产生生与与电电场场成成线线性性比比例例的的畸畸变变，这这个个现现象象称称为为逆逆压压电电效效应应。逆逆压压电电效效应应的的产产生生是是由由于于压压电电晶晶体体受受到到电电场场的的作作用用时时，在在晶晶体体内内部部产产生生应应力力，这这个个应应力力常常称称为为压压电电应应力力。通通过过压压电电应应力力的的作作用用，产产生生压压电电形变。形变。仍以石英晶体为例说明如下。仍以石英晶体为例说明如下。31wangclsdu.edu逆压电效应 inverse effect当晶体受到电场E的作（1 1）选用石英晶体的）选用石英晶体的x x切割晶片，以切割晶片，以x x面为电极面。面为电极面。当晶片只受到当晶片只受到x x方向的电场分量方向的电场分量E E1 1作用（应力张量作用（应力张量X=0X=0）时，分别在）时，分别在x x方向和方向和y y方向产生应变方向产生应变x x1 1和和x x2 2以以及切应变及切应变x x4 4，这些应变都与，这些应变都与E E1 1成正比，即成正比，即其中下标其中下标X X表示应力张量表示应力张量X=0X=0。32wangclsdu.edu（1）选用石英晶体的x切割晶片，以x面为电极面。当晶片只受到（2 2）以）以y y面为电极面，当晶片只受到面为电极面，当晶片只受到y y方向的电方向的电场分量场分量E E2 2作用时，分别产生切应变作用时，分别产生切应变x x5 5和和x x6 6，这，这些应变都与些应变都与E E2 2正比，即：正比，即：33wangclsdu.edu（2）以y面为电极面，当晶片只受到y方向的电场分量E2作用时（3 3）以）以z z面为电极面，当晶片只受到面为电极面，当晶片只受到z z方向的电方向的电场分量场分量E E3 3作用时，晶片不产生任何形变。作用时，晶片不产生任何形变。综合上述结果，得到石英晶体的逆压电效应表示综合上述结果，得到石英晶体的逆压电效应表示式，用矩阵表示为式，用矩阵表示为34wangclsdu.edu（3）以z面为电极面，当晶片只受到z方向的电场分量E3作用时逆压电效应逆压电效应35wangclsdu.edu逆压电效应35wangclsdu.edu从上式可以看出：从上式可以看出：（1 1）对对于于石石英英晶晶体体不不是是在在任任何何方方向向上上都都存存在在逆逆压压电电效效应应，只只有有在在某某些些方方向向，在在某某些些电电场场作作用用下下，才才能能产产生生逆逆压压电电效效应应。例例如如，当当x x方方向向电电场场分分量量E E1 1作作用用时时，可可产产生生压压电电形形变变x x1 1和和x x2 2以以及及压压电电切切应应变变x x4 4。又又如如当当z z方方向向电电场场分分量量E E3 3作作用用时时，晶晶体体不不会会产产生生任任何形变。何形变。36wangclsdu.edu从上式可以看出：36wangclsdu.edu（2 2）逆逆压压电电常常数数与与正正压压电电常常数数相相同同，并并且且一一一一对应。对应。（3 3）有有正正压压电电效效应应方方向向就就有有相相应应的的逆逆压压电电效效应应。晶晶体体中中那那个个方方向向上上有有正正压压电电效效应应，则则此此方方向上一定存在逆压电效应。向上一定存在逆压电效应。37wangclsdu.edu（2）逆压电常数与正压电常数相同，并且一一对应。37wang对于一般的情况，例如三斜晶系中的压电晶体，对于一般的情况，例如三斜晶系中的压电晶体，它的逆压电效应用矩阵表示即为，它的逆压电效应用矩阵表示即为，38wangclsdu.edu对于一般的情况，例如三斜晶系中的压电晶体，它的逆压电效应用矩transpose将将正正压压电电效效应应方方程程式式与与逆逆压压电电效效应应方方程程式式比比较较，可可见见逆逆压压电电效效应应表表示示式式中中，压压电电常常数数矩矩阵阵是是正正压压电电常常数数矩矩阵阵d d的的转转置置矩矩阵阵。常常用用表表示示d dt t。d dt t是是一一个个六六行行三三列列的的矩矩阵阵，于于是是逆逆压压电电效效应应方方程程式式可简写为可简写为或或39wangclsdu.edutranspose将正压电效应方程式与逆压电效应方程式比较，关于压电常数关于压电常数d dnini的意义的意义压压电电晶晶体体与与其其它它晶晶体体的的主主要要区区别别在在于于压压电电晶晶体体的的介介电电性性质质与与弹弹性性性性质质之之间间存存在在线线性性耦耦合合关关系系，而而压压电电常常数数就就是是反反映映这这种种耦耦合合关关系系的的物理量。物理量。40wangclsdu.edu关于压电常数dni的意义压电晶体与其它晶体的主要区别在于压电由由（4-174-17）式式可可得得，d dnini=(=(x xi i/E En n)X X，即即应应力力X X为为零零时时（或或X X为为常常数数时时），由由于于电电场场强强度度分分量量E En n的的改改变变引引起起应应变变分分量量x xi i的的改改变变与与电电场场强强度度分分量量E En n的的改改变变之之比比。或或者者说说d dnini为为应应力力为为零零时时，压压电电晶晶体体的的应变分量应变分量x xi i随电场强度分量随电场强度分量E En n的变化率。的变化率。41wangclsdu.edu由（4-17）式可得，dni=(xi/En)X，即应力X由由（4-134-13）式式可可得得，d dmjmj=(=(D Dm m/X Xj j)E E，为为电电场场强强度度为为零零时时（或或E E为为常常数数时时），由由于于应应力力分分量量X Xj j的的改改变变引引起起电电位位移移分分量量D Dm m的的改改变变与与应应力力分分量量X Xj j的的改改变变之之比比。或或者者说说d dmjmj为为电电场场强强度度为为零零时时，压压电电晶晶体体的的电位移分量电位移分量D Dm m随应力分量随应力分量X Xj j的变化率。的变化率。实实验验上上常常根根据据d dmjmj=(=(D Dm m/X Xj j)E E来来测测量量压压电电晶晶体体的的压电常数压电常数d dmjmj。42wangclsdu.edu由（4-13）式可得，dmj=(Dm/Xj)E，为电场强 压电常数与对称性压电常数与对称性 43wangclsdu.edu 压电常数与对称性 43wangclsdu.edu与与介介电电常常数数和和弹弹性性常常数数一一样样，晶晶体体的的压压电电常常数数也也与与晶晶体体的的对对称称性性有有关关。不不同同的的对对称称性性的的晶晶体体，不不仅仅压压电电常常数数的的数数值值不不同同，而而且且独独立立的的压压电电常常数也不同。数也不同。这这一一节节的的主主要要内内容容是是如如何何根根据据不不同同类类型型的的压压电电晶晶体体的的对对称称性性，来来确确定定它它的的压压电电效效应应和和压压电电常常数数。先先介介绍绍晶晶体体的的对对称称性性与与电电偶偶极极矩矩分分布布；其其次次 一一石石英英晶晶体体和和钛钛酸酸钡钡晶晶体体为为例例做做进进一一步步的的分分析讨论。析讨论。44wangclsdu.edu与介电常数和弹性常数一样，晶体的压电常数也与晶体的对称性有关晶体的对称性与电偶极矩分布晶体的对称性与电偶极矩分布 压压电电晶晶体体物物理理性性质质的的特特点点是是，形形变变能能使使晶晶体体产产生生极极化化（或或者者说说能能改改变变晶晶体体的的极极化化状状态态），而而极极化化现现象象直直接接与与电电偶偶极极矩矩的的分分布布有有关关。因因此此可可以以通通过过晶晶体体内内部部的的电电偶偶极极矩矩分分布布与与晶晶体体对对称称性性之之间间的的关关系来讨论晶体的压电性。系来讨论晶体的压电性。45wangclsdu.edu晶体的对称性与电偶极矩分布 压电晶体物理性质的特点是，形变能对称中心对称中心 具具有有对对称称中中心心的的晶晶体体是是非非压压电电晶晶体体。如如果果具具有有对对称称中中心心的的晶晶体体在在某某一一方方向向上上存存在在电电偶偶极极矩矩，则则根根据据对对称称中中心心的的对对称称要要求求，也也必必定定存存在在大大小小相相等等、方方向向相相反反的的电电偶偶极极矩矩，如如图图4-34-3所所示示，这这些些一一对对对对大大小小相相等等、方方向向相相反反的的电电偶偶极极矩矩彼彼此抵消，对总极化无贡献。此抵消，对总极化无贡献。46wangclsdu.edu对称中心 具有对称中心的晶体是非压电晶体。如果具有对称中心的具有对称中心的电偶极矩分布图具有对称中心的电偶极矩分布图 47wangclsdu.edu具有对称中心的电偶极矩分布图 47wangclsdu.edu晶晶体体的的任任何何形形变变也也不不能能改改变变这这个个中中心心对对称称性性质质。所所以以，凡凡具具有有对对称称中中心心的的晶晶体体，肯肯定定是是非非压压电电晶晶体体。七七大大晶晶系系3232类类点点群群中中，有有2121类类不不存存在在对对称称中中心心，而而这这2121类类无无对对称称中中心心的的晶晶体体中中，除除去去属属于于432432点点群群的的晶晶体体未未发发现现有有压压电电效效应应外外，其其余余2020类类无无中中心心对对称称的的晶晶体体具具有有压压电电效效应应，如如表表4-14-1所示。所示。48wangclsdu.edu晶体的任何形变也不能改变这个中心对称性质。所以，凡具有对称中对称面对称面 设设x x面面为为对对称称面面，根根据据对对称称面面的的对对称称性性要要求求，当当晶晶体体的的坐坐标标由由x x-x-x、y yy y、z zz z时时，晶晶体体的的性性质质应应保保持持不不变变。如如果果在在对对称称面面的的一一侧侧，例例如如x x方方向向，存存在在一一个个电电偶偶极极矩矩PxPx，则则在在对对称称面面的的另另一一侧侧，-x-x方方向向，也也一一定定存存在在一一个个大大小小相相等等、方方向向相相反反的的电电偶偶极极矩矩PPx x（如如图图4-44-4所所示示），才才能满足能满足x x面是对称面的对称性要求。面是对称面的对称性要求。49wangclsdu.edu对称面 设x面为对称面，根据对称面的对称性要求，当晶体的坐标图图4-4 4-4 具有对称面的电偶极矩分布图具有对称面的电偶极矩分布图50wangclsdu.edu图4-4 具有对称面的电偶极矩分布图50wangclsdu.可见垂直于对称面的方向上，电偶极矩的和等于可见垂直于对称面的方向上，电偶极矩的和等于零。但是，在平行于对称面方向上与垂直于对称零。但是，在平行于对称面方向上与垂直于对称面方向上的情况不一样。在平行于对称面方向上面方向上的情况不一样。在平行于对称面方向上可以存在不等于零的电偶极矩，（这与对称面的可以存在不等于零的电偶极矩，（这与对称面的对称性要求并不矛盾），就是说与对称面平行的对称性要求并不矛盾），就是说与对称面平行的电偶极矩电偶极矩P P可以不等于零。可以不等于零。51wangclsdu.edu可见垂直于对称面的方向上，电偶极矩的和等于零。但是，在平行于四阶旋转轴四阶旋转轴设设z z轴轴为为四四阶阶轴轴，根根据据四四阶阶轴轴的的对对称称性性要要求求，当当晶晶体体绕绕z z轴轴转转9090 后后，x xy y，y y-x-x；当当晶晶体体绕绕z z轴轴转转180180 后后，x x-x-x，y y-y-y；当当晶晶体体绕绕z z轴轴转转270270 后后，x x-y-y，y yx x。晶晶体体经经过过上上述述转转动动后后，晶晶体体的的性性质质应应保保持持不不变变。如如果果在在x x方方向向存存在在电电偶偶极极矩矩，则则在在y y方方向向、-y-y方方向向和和-x-x方方向向上上，也也一一定定存存在在大大小小相相等等、方方向向相相反反的的电电偶偶极极矩矩，如如同同4-54-5所示。所示。52wangclsdu.edu四阶旋转轴设z轴为四阶轴，根据四阶轴的对称性要求，当晶体绕z这这样样才才能能满满足足z z轴轴是是四四阶阶轴轴的的对对称称性性要要求求。所所以以在在x x方方向向和和y y方方向向的的电电偶偶极极矩矩等等于于零零。而而z z 轴轴的的情情况况与与x x轴轴和和y y轴轴不不一一样样，在在z z轴轴方方向向上上，可可以以存存在在不不等等于于零零的的电电偶偶极极矩矩（这这与与z z轴轴是是四四阶阶轴轴的的对对称称性性要要求求不不矛矛盾盾）。就就是是说说与与四四阶阶轴轴平平行行的的电电偶偶极极矩可以不等于零。矩可以不等于零。53wangclsdu.edu这样才能满足z轴是四阶轴的对称性要求。所以在x方向和y方向的图图4-5 4-5 具有四阶轴的电偶极矩分布图具有四阶轴的电偶极矩分布图 54wangclsdu.edu图4-5 具有四阶轴的电偶极矩分布图 54wangclsdu二阶轴、三阶轴、六阶轴的情况与四阶轴情况类二阶轴、三阶轴、六阶轴的情况与四阶轴情况类似，即与二阶轴、三阶轴、六阶轴平行的电偶似，即与二阶轴、三阶轴、六阶轴平行的电偶极矩可以不等于零。极矩可以不等于零。如果晶体同时存在对称面和某阶轴，则须结合对如果晶体同时存在对称面和某阶轴，则须结合对称面和某阶轴的对称性要求，综合分析讨论。称面和某阶轴的对称性要求，综合分析讨论。55wangclsdu.edu二阶轴、三阶轴、六阶轴的情况与四阶轴情况类似，即与二阶轴、三 石英晶体的对称性与压电性石英晶体的对称性与压电性 石石英英晶晶体体（SiOSiO2 2）所所以以能能产产生生压压电电效效应应，是是与与石石英英晶晶体体内内部部结结构构分分不不开开的的。组组成成 石石英英晶晶体体的的硅硅离离子子SiSi4+4+与与氧氧离离子子O O2 2-在在垂垂直直于于晶晶体体z z轴轴的的xy xy 平平面面（或或称称为为z z平平面面）上上的的投投影影位位置置，如如图图4-64-6所示。所示。56wangclsdu.edu石英晶体的对称性与压电性 石英晶体（SiO2）所以能图图4-64-6硅硅原原子子和和氧氧原原子子在在z z平平面面上上的的投投影影位位置置，以以及及由由于于在在x x方方向向上上受受到到压压力力或或张张力力作作用用时时，产产生正压电效应示意图生正压电效应示意图 57wangclsdu.edu图4-6硅原子和氧原子在z平面上的投影位置，以及由于在x方向当当晶晶体体未未受受到到力力的的作作用用时时，SiSi4+4+与与O O2-2-在在xy xy 平平面面上上的的投投影影正正好好分分布布在在六六角角形形的的顶顶点点上上，如如图图4-6a4-6a所所示示，这这时时由由SiSi4+4+与与O O2-2-所所形形成成的的电电偶偶极极矩矩大大小小相相等等，相相互互之之间间夹夹角角为为120120，如如图图4-74-7所所示示。由由于于这这些些电电偶偶极极矩矩的的矢矢量量和和等等于于零零（即即晶晶体体的的极极化化强强度度等等于零），晶体表面不出现电荷。于零），晶体表面不出现电荷。58wangclsdu.edu当晶体未受到力的作用时，Si4+与O2-在xy 平面上的投影当当晶晶体体受受到到x x方方向向的的压压力力F Fx x作作用用时时，晶晶体体在在x x方方向向被被压压缩缩，如如图图4-6b4-6b所所示示。这这时时由由SiSi4+4+与与O O2-2-所所形形成成的的电电偶偶极极矩矩大大小小不不等等，相相互互之之间间夹夹角角也也不不等于等于120120 了，如图了，如图4-7b4-7b所示。所示。59wangclsdu.edu当晶体受到x方向的压力Fx作用时，晶体在x方向被压缩，如图4由由于于这这些些电电偶偶极极矩矩在在x x方方向向上上的的分分量量和和不不等等于于零零，在在y y方方向向上上的的分分量量和和仍仍等等于于零零，所所以以晶晶体体在在x x面面上上出出现现电电荷荷，即即晶晶体体在在x x方方向向出出现现正正压压电电效效应应。同同理理，当当晶晶体体在在x x方方向向受受到到张张力力F Fx x作作用用时时，晶晶体体在在x x方方向向被被拉拉伸伸，如如图图4-6c4-6c所所示示，这这时时电电偶偶极极矩矩在在x x方方向向上上的的分分量量和和也也不不等等于于零零，在在y y方方向向上上的的分分量量和和仍仍等等于于零零，如如图图4-7c4-7c所所示示，所所以以晶晶体体在在x x面面上上出出现现电电荷荷（电电荷荷的的符符号号与与压压缩缩时时相相反反），即即晶晶体体在在x x方方向向出出现正压电效应。现正压电效应。60wangclsdu.edu由于这些电偶极矩在x方向上的分量和不等于零，在y方向上的分量图图4-7 4-7 由由-石英晶体的硅原子和氧原子所形石英晶体的硅原子和氧原子所形成的电偶极矩分布图成的电偶极矩分布图61wangclsdu.edu图4-7 由-石英晶体的硅原子和氧原子所形成的电偶极矩分布在了解在了解 石英晶体的压电效应的机制之后，再回石英晶体的压电效应的机制之后，再回过头来讨论过头来讨论 石英晶体的对称性与压电效应之石英晶体的对称性与压电效应之间的关系间的关系 。石英晶体是属于三方晶系石英晶体是属于三方晶系3232点群，它的点群，它的z z轴是轴是三阶轴，三阶轴，x x轴是二阶轴。当晶体绕轴是二阶轴。当晶体绕x x轴转轴转180180 后，后，z z-z-z，y y-y-y，但晶体的介电性质、弹性性质和，但晶体的介电性质、弹性性质和压电性质都保持不变。如果，在压电性质都保持不变。如果，在z z轴方向存在电轴方向存在电偶极矩，则当晶体绕偶极矩，则当晶体绕x x轴转轴转180180 后，电偶极矩的后，电偶极矩的方向就会从方向就会从+z+z方向变为方向变为-z-z方向，于是晶体的性质方向，于是晶体的性质就发生了变化。就发生了变化。62wangclsdu.edu在了解石英晶体的压电效应的机制之后，再回过头来讨论石这这是是与与x x轴轴是是二二阶阶轴轴的的对对称称性性要要求求相相违违背背的的，所所以以在在z z轴轴方方向向上上电电偶偶极极矩矩等等于于零零。而而x x轴轴的的情情况况与与z z轴轴不不一一样样，在在x x轴轴方方向向上上可可以以存存在在电电偶偶极极矩矩。因因为为晶晶体体的的x x轴轴是是选选定定与与晶晶体体的的a a轴轴重重合合的的，当当晶晶体体绕绕z z轴轴转转120120 或或240240 后后，x x轴轴与与另另外外两两个个电电偶偶极极矩矩重重合合，晶晶体体的的的的性性质质不不会会发发生生任任何何变变化化，如图如图4-84-8所示。所示。63wangclsdu.edu这是与x轴是二阶轴的对称性要求相违背的，所以在z轴方向上电偶图图4-84-8 64wangclsdu.edu图4-8 64wangclsdu.edu由由此此可可见见，x x轴轴方方向向上上存存在在电电偶偶极极矩矩与与z z轴轴是是三三阶阶轴轴的的对对称称性性要要求求不不矛矛盾盾；与与x x轴轴是是二二阶阶轴轴的的对对称称性性要要求求不不矛矛盾盾，就就是是说说，属属于于3232点点群群的的晶晶体体，在在其其xyxy平平面面内内，可可以以存存在在三三个个大大小小相相等等，互互成成120120 夹夹角角的的偶偶极极矩矩。这这是是根根据据3232点点群群晶晶体的对称性得到的结论。体的对称性得到的结论。65wangclsdu.edu由此可见，x轴方向上存在电偶极矩与z轴是三阶轴的对称性要求不当当晶晶体体受受到到应应力力X X1 1或或X X2 2作作用用时时，晶晶体体在在x x方方向向、y y方方向向和和z z方方向向都都要要产产生生伸伸长长或或缩缩短短的的形形变变。因因为为z z方方向向的的伸伸缩缩形形变变不不能能改改变变z z方方向向电电偶偶极极矩矩等等于于零零的的状状态态，所所以以在在z z方方向向不不出出现现压压电电效效应应，这这就就要要求求 石石英英晶晶体体的的压压电电常常数数：d d3131=0=0，d d3232=0=0。66wangclsdu.edu当晶体受到应力X1或X2作用时，晶体在x方向、y方向和z方向因因为为x x方方向向的的伸伸缩缩形形变变，能能使使PP、P”P”、PP在在x x方方向向的的分分量量发发生生变变化化（例例如如形形变变前前PP、P”P”、PP在在x x方方向向的的分分量量和和等等于于零零，形形变变后后在在x x方方向向的的分分量量和和不不等等于于零零），因因而而在在x x方方向向产产生生压压电电效效应应，这这就就要要求求 石石英英晶体的压电常数：晶体的压电常数：d d1111 0 0，d d1212 0 0。67wangclsdu.edu因为x方向的伸缩形变，能使P、P”、P在x方向的分量因因为为y y方方向向的的伸伸缩缩形形变变，不不能能改改变变PP、P”P”、PP在在y y方方向向的的分分量量和和等等于于零零的的状状态态，所所以以y y方方向向的的伸伸缩缩形形变变对对压压电电效效应应无无贡贡献献，这这就就要要求求压压电电常常数数：d d2121=0=0，d d2222=0=0。当当晶晶体体受受到到应应力力X X3 3作作用用时时，晶晶体体在在z z方方向向和和x x、y y 方方向向也也要要产产生生伸伸长长或或缩缩短短的的形形变变，因因为为z z方方向向的的伸伸缩缩对对压压电电效效应应无无贡贡献献，故故压压电电常常数数d d3333=0=0。因因为为T T3 3作作用用在在x x、y y 方方向向产产生生相相同同的的伸伸缩缩，不不能能改改变变原原来来PP、P”P”、PP的的矢矢量量和和为为零零的的状状态态，对对压电效应无贡献，故压电常数压电效应无贡献，故压电常数d d1313=0=0，d d2323=0=0。68wangclsdu.edu因为y方向的伸缩形变，不能改变P、P”、P在y方向的钛酸钡晶体的对称性与压电性钛酸钡晶体的对称性与压电性 19421942年年发发现现钛钛酸酸钡钡陶陶瓷瓷具具有有压压电电性性后后，19471947年年成成功功制制备备钛钛酸酸钡钡单单晶晶。钛钛酸酸钡钡是是具具有有压压电电效效应应的的铁铁电电体体，是是继继 石石英英晶晶体体之之后后发发现现的的另另一一类类重重要要的的压压电电材材料料。它它的的发发现现和和发发展展，在在理理论论上上和和应应用用上上都都对对压压电电铁铁电电物物理理合合材材料料起起了了促促进进作用。作用。69wangclsdu.edu钛酸钡晶体的对称性与压电性 1942年发现钛酸钡陶瓷具有压电室室温温时时，钛钛酸酸钡钡晶晶体体的的原原胞胞是是一一个个长长方方体体，钡钡离离子子BaBa2+2+位位于于长长方方体体的的八八个个角角上上，氧氧离离子子O O2-2-位位于于长长方方体体六六个个面面的的面面心心，钛钛离离子子TiTi4+4+则则位位于于长长方方体体的的中心之上（或之下）的某一位置，如图中心之上（或之下）的某一位置，如图4-94-9所示。所示。钙钛矿结构的名称来自钛酸钙钙钛矿结构的名称来自钛酸钙CaTiOCaTiO3 3Perovskite from PerovskyPerovskite from Perovsky钙钛矿结构钙钛矿结构 perovskite perovskite70wangclsdu.edu室温时，钛酸钡晶体的原胞是一个长方体，钡离子Ba2+位于长方图图4-9 4-9 钛酸钡晶体的晶胞，钛酸钡晶体的晶胞，钡离子，钡离子，氧离子，氧离子，钛离子，晶胞参数钛离子，晶胞参数a=b,caa=b,ca71wangclsdu.edu图4-9 钛酸钡晶体的晶胞，钡离子，氧离子，钛离子因因为为在在钙钙钛钛矿矿结结构构中中正正负负电电荷荷中中心心不不重重合合，所所以以存存在在一一个个与与c c轴轴平平行行的的电电偶偶极极矩矩，即即钛钛酸酸钡钡晶晶体体存存在在自自发发极极化化，c c轴轴就就是是极极化化轴轴。这这一一点点是是钛钛酸酸钡钡晶晶体体与与 石石英英晶晶体体不不同同的的地地方方，石石英英晶晶体体有有压压电电效效应应，但但无无自自发发极极化化，所所以以它它是是压压电电晶晶体体，而而不不是是铁铁电电体体。钛钛酸酸钡钡晶晶体体具具有有自自发发极极化化，又又有有压压电电效应，所以钛酸钡晶体被称为铁电晶体。效应，所以钛酸钡晶体被称为铁电晶体。72wangclsdu.edu因为在钙钛矿结构中正负电荷中心不重合，所以存在一个与c轴平行钛钛酸酸钡钡晶晶体体属属于于四四方方晶晶系系4mm4mm点点群群，z z轴轴是是四四阶阶轴轴（z z轴轴与与c c轴轴平平行行），x x面面和和y y面面（即即yzyz平平面面和和zxzx平平面面）是是对对称称面面。根根据据z z轴轴是是四四阶阶轴轴的的要要求求，只只有有与与z z轴轴平平行行的的方方向向上上，可可以以存存在在不不为为零零的的电电偶偶极极矩矩；又又根根据据x x面面、y y面面是是对对称称面面的的对对称称性性要要求求，只只有有x x面面与与y y面面的的交交线线平平行行方方向向上上，可可以以存存在在不不等等于于零的电偶极矩。零的电偶极矩。73wangclsdu.edu钛酸钡晶体属于四方晶系4mm点群，z轴是四阶轴（z轴与c轴平因因为为x x面面与与y y面面的的交交线线正正好好与与z z轴轴重重合合，可可见见只只有有在在z z轴轴方方向向，可可以以存存在在不不等等于于零零的的电电偶偶极极矩矩，在在x x轴轴方方向向和和与与y y轴轴方方向向的的电电偶偶极极矩矩等等于于零零，如如图图4-4-1010所所示示。就就是是说说属属于于4mm4mm点点群群的的晶晶体体的的的的对对称称性性所所得得到到的的结结论论，与与从从钛钛酸酸钡钡晶晶胞胞结结构构所所得得到到的的结结论完全一致。论完全一致。74wangclsdu.edu因为x面与y面的交线正好与z轴重合，可见只有在z轴方向，可以图图4-10 z4-10 z轴是四阶轴，轴是四阶轴，x x面、面、y y面是面是对称面时的电偶极矩分布图对称面时的电偶极矩分布图75wangclsdu.edu图4-10 z轴是四阶轴，x面、y面是对称面时的电偶极矩分知知道道了了钛钛酸酸钡钡晶晶体体的的电电偶偶极极矩矩的的分分布布后后，就就可可以以进进一一步步讨讨论论钛钛酸酸钡钡晶晶体体的的压压电电效效应应与与压压电电常常数数。当当晶晶体体分分别别受受到到应应力力X X1 1、X X2 2或或X X3 3的的作作用用时时，晶晶体体在在x x方方向向、与与y y方方向向和和z z方方向向都都要要产产生生伸伸长长或或缩缩短短的的形形变变，因因为为z z方方向向存存在在电电偶偶极极矩矩，z z方方向向的的伸伸缩缩形形变变要要改改变变这这个个电电偶偶极极矩矩的的大大小小，因因而而在在z z方方向向产产生生压压电电效效应应，这这就就要要求求钛钛酸酸钡钡晶晶体体的的压压电电常常数数：d d3131 0 0，d d3232 0 0，d d3333 0 0。76wangclsdu.edu知道了钛酸钡晶体的电偶极矩的分布后，就可以进一步讨论钛酸钡晶又又由由于于z z轴轴是是四四阶阶轴轴，x x、y y可可以以互互换换而而不不改改变变晶晶体的性质，故有：体的性质，故有：d d3131=d=d3232。因因为为x x方方向向和和y y方方向向的的伸伸缩缩应应变变，不不能能改改变变x x方方向向和和y y方方向向电电偶偶极极矩矩等等于于零零的的状状态态，所所以以在在x x方方向向和和y y方方向向不不出出现现压压电电效效应应，这这就就表表明明钛钛酸酸钡钡晶晶体体的的压电常数：压电常数：d d1111=d=d1212=d=d1313=d=d2121=d=d2222=d=d2323=0=0。77wangclsdu.edu又由于z轴是四阶轴，x、y可以互换而不改变晶体的性质，故有：当当晶晶体体受受到到切切应应力力X X4 4的的作作用用时时，晶晶体体要要产产生生切切应应变变，并并使使原原来来与与z z轴轴平平行行的的电电偶偶极极矩矩发发生生向向y y方方向向的的偏偏转转，其其结结果果使使y y方方向向出出现现不不等等于于零零电电偶偶极极矩矩。如如图图4-114-11所所示示，因因而而在在y y方方向向产产生生压压电电效效应应，这这就就表明钛酸钡的压电常数表明钛酸钡的压电常数d d2424 0 0。但但是是由由X X4 4引引起起的的切切应应变变，不不改改变变原原来来x x方方向向和和z z方方向向的的电电偶偶极极矩矩状状态态，即即在在x x方方向向和和z z方方向向不不出出现现压压电效应，故压电常数电偶极矩电效应，故压电常数电偶极矩d d1414=d=d3434=0=0。78wangclsdu.edu当晶体受到切应力X4的作用时，晶体要产生切应变，并使原来与z图图4-11 4-11 切应变切应变X X4 4的作用的作用79wangclsdu.edu图4-11 切应变X4的作用79wangclsdu.edu当当晶晶体体受受到到切切应应力力X X5 5的的作作用用时时，与与X X4 4的的情情况况类类似似，如如图图4-124-12所所示示。同同理理可可得得钛钛酸酸钡钡晶晶体体的的压压电电常常数数d d1515 0 0，d d2525=d=d3535=0=0。又又由由于于z z轴轴是是四四阶阶轴轴，x x轴轴和和y y轴轴可以互换而不改变晶体的性质，故有可以互换而不改变晶体的性质，故有d d2424=d=d1515。因因为为xyxy平平面面上上的的电电偶偶极极矩矩为为零零；当当晶晶体体受受到到X X6 6的的作作用用产产生生的的切切应应变变，不不能能改改变变x x方方向向、y y方方向向和和z z方方向向原原来来的的电电偶偶极极矩矩状状态态，所所以以在在时时x x方方向向和和z z方方向向不出现压电效应，故有不出现压电效应，故有d d1616=d=d2626=d=d3636=0=0。80wangclsdu.edu当晶体受到切应力X5的作用时，与X4的情况类似，如图4-12最后得到钛酸钡晶体的压电常数用矩阵表示如下：最后得到钛酸钡晶体的压电常数用矩阵表示如下：81wangclsdu.edu最后得到钛酸钡晶体的压电常数用矩阵表示如下：81wangc可见钛酸钡晶体的独立的压电常数为可见钛酸钡晶体的独立的压电常数为d d1515、d d1111和和d d3333三个：三个：d d1515=392=392 1010-12-12库仑库仑/牛顿牛顿 d d3131=-34.5=-34.5 1010-12-12库仑库仑/牛顿牛顿d d3333=85.6=85.6 1010-12-12库仑库仑/牛顿牛顿82wangclsdu.edu可见钛酸钡晶体的独立的压电常数为d15、d11和d33三个：独立压电常数的数目独立压电常数的数目与与介介电电常常数数和和弹弹性性常常数数一一样样，也也可可以以根根据据晶晶体体的的对对称称性性，采采用用压压电电常常数数的的足足标标代代换换法法和和坐坐标标变变换换法法确确定定晶晶体体的的独立压电常数的数目。独立压电常数的数目。83wangclsdu.edu独立压电常数的数目与介电常数和弹性常数一样，也可以根据晶体的足标代换法足标代换法代代换换时时应应注注意意到到压压电电常常数数是是一一个个三三阶阶张张量量，压压电电常数的三足标与二足标的关系为：常数的三足标与二足标的关系为：84wangclsdu.edu足标代换法代换时应注意到压电常数是一个三阶张量，压电常数的三4mm4mm点群点群下下面面以以用用4mm4mm点点群群晶晶体体为为例例,说说明明用用足足标标代代换换法法求求出出的的独独立立压压电电常常数数数数目目的的过过程程。为为了了简简单单省省略略了了字字母母d,d,而而只只保保留留了了下下标标。这这样样压压电电常常数数矩矩阵阵的的一一般表示形式为：般表示形式为：注意：下标的两个数字表示的意义不同！注意：下标的两个数字表示的意义不同！85wangclsdu.edu4mm点群下面以用4mm点群晶体为例,说明用足标代换法求出的先考虑先考虑4 4度旋转轴的对称操作，在此操作下，度旋转轴的对称操作，在此操作下，x xy y，y y-x-x，z zz z，单下标：单下标：1 12 2，2 2-1-1，3 33 3，对应的双下标为：对应的双下标为：(xx,yy,zz,yz,xz,xy)(xx,yy,zz,yz,xz,xy)1 12 2，2 21 1，3 33 3，4 4-5-5，5 54 4，6 6-6-686wangclsdu.edu先考虑4度旋转轴的对称操作，在此操作下，86wangclsd压电常数矩阵变化为压电常数矩阵变化为对称性要求对称性要求12，21，33，4-5，54，6-612，2-1，3387wangclsdu.edu压电常数矩阵变化为对称性要求12，21，33，4-5再考虑镜面再考虑镜面m m对称操作：对称操作：在此