边值问题的变分形式课件

第三章边值问题的变分形式1 1 二次函数的极值二次函数的极值2 2 两点边值问题两点边值问题3 3 二阶椭圆型边值问题二阶椭圆型边值问题第三章边值问题的变分形式 第三章边值问题的变分形式第三章边值问题的变分形式11 1 二次函数的极值二次函数的极值1 二次函数的极值2 3 4 5 6定理定理1.1 设矩阵设矩阵A对称正定，则下列两个对称正定，则下列两个问题等价：问题等价：定理1.1 设矩阵A对称正定，则下列两个问题等价：72 2 两点边值问题两点边值问题uxxlAB02 两点边值问题uxxlAB08 9 10 11 广义导数概念 广义导数概念广义导数概念 广义导数概念 12 13引理引理2.1 （变分法基本引理）（变分法基本引理）引理2.1 （变分法基本引理）14 15 例子2 例子2 16 17其示意其示意图，曲，曲线的峰无限高，但无限窄，但曲的峰无限高，但无限窄，但曲线下的面下的面积为1。为偶函数。偶函数。这种函数的提出首先是物理的要求，如种函数的提出首先是物理的要求，如质点概念，有点概念，有质量，体量，体积为零，所以密度零，所以密度为无无穷，但密度，但密度对体体积的的积分却是一个有限分却是一个有限值，即，即质量。可以用量。可以用这种函数描述种函数描述质点密度点密度。t其示意图，曲线的峰无限高，但无限窄，但曲线下的面积为1。为偶18Sobolev空间空间Sobolev空间19边值问题的变分形式课件20 21 22 例子1 例子1 23 24两个基本性质两个基本性质两个基本性质两个基本性质两个基本性质两个基本性质25 26 27 28 29定理定理2.1定理2.130边值问题的变分形式课件31边值问题的变分形式课件32边值问题的变分形式课件33 非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理 非齐次边界条342.4 虚功原理虚功原理2.4 2.4 虚功原理虚功原理2.4 虚功原理2.4 虚功原理35 36定理定理2.2定理2.237定理定理2.3定理2.338 3 3 二阶椭圆型边值问题二阶椭圆型边值问题 3 二阶椭圆型边值问题39边值问题的变分形式课件40边值问题的变分形式课件41边值问题的变分形式课件42我们学习过我们学习过Green第一公式：第一公式：3.2 3.2 极小位能原理极小位能原理3.2 极小位能原理极小位能原理我们学习过Green第一公式：3.2 极小位能原理3.2 极43边值问题的变分形式课件44边值问题的变分形式课件45边值问题的变分形式课件46两个基本性质两个基本性质两个基本性质两个基本性质两个基本性质两个基本性质47 48 49定理定理3.1定理3.150例子1例子151边值问题的变分形式课件52边值问题的变分形式课件533.3自然边界条件自然边界条件3.33.3自然边界条件自然边界条件3.3自然边界条件3.3自然边界条件54 55定理定理3.2定理3.2563.4 虚功原理虚功原理 3.4 3.4 虚功原理虚功原理G3.4 虚功原理 57边值问题的变分形式课件58边值问题的变分形式课件59.二次函数的极值、变分法的基本引理，二次函数的极值、变分法的基本引理，二次泛函、广义导数与二次泛函、广义导数与Sobolev空间的概念；空间的概念；.极小位能原理与虚功原理；两个定理极小位能原理与虚功原理；两个定理在偏微分方程中的应用；在偏微分方程中的应用；（重点重点）.如何用极小位能原理与虚功原理将微分如何用极小位能原理与虚功原理将微分方程建立等价的变分问题方程建立等价的变分问题（难点难点）主要内容主要内容.二次函数的极值、变分法的基本引理，.极小位60重点：重点：难点：难点：极小位能原理与虚功原理极小位能原理与虚功原理如何利用极小位能原理与虚功原理将微分如何利用极小位能原理与虚功原理将微分方程建立等价的变分问题方程建立等价的变分问题重点难点重点：难点：极小位能原理与虚功原理如何利用极小位能原理与虚功61G.Green(G.Green(格林格林)简介简介 1793.7.14生于诺丁汉，生于诺丁汉，1841.5.31卒于剑卒于剑 桥桥童年在父亲的磨坊干活；同时自修数学、物理；童年在父亲的磨坊干活；同时自修数学、物理；32岁，出版了小册子数学分析在电磁学中的岁，出版了小册子数学分析在电磁学中的应用，其中有著名的应用，其中有著名的Green公式。公式。父亲去世后，父亲去世后，1833年以自费生的身份进入剑桥大年以自费生的身份进入剑桥大学科尼斯学院学习，学科尼斯学院学习，1837年获学士学位，年获学士学位，1839年年聘为剑桥大学教授。在数学物理方面有出色成就。聘为剑桥大学教授。在数学物理方面有出色成就。他是第一个沿欧洲大陆的研究方法前进英国数学他是第一个沿欧洲大陆的研究方法前进英国数学家，其工作开创了庞大的剑桥物理学派。家，其工作开创了庞大的剑桥物理学派。Stokes,Thomson,Maxwell等等G.Green(格林格林)简介简介G.Green(格林)简介 1793.7.14生于诺丁62