二自由度系统振动教学课件

概论v大量振动系统需要简化成多自由度系统才能反映实际问题的物理本质。举例：汽车的单自由度、二自由度、四自由度、七自由度模型v与单自由度系统比较，多自由度系统具有一些本质上的新概念，需要新的分析方法。v二自由度系统是多自由度系统最简单的特例。从二自由度系统到多自由度系统，主要是量的扩充，在问题的表述、求解方法、振动性态上没有本质区别。v数学工具：线性代数、矩阵理论车辆悬架车辆悬架结构简图车辆悬架结构简图v1、二自由度系统运动微分方程的矩阵 表示形式；v2、系统动能、势能和能量耗散函数的矩 阵表示形式；v3、运动微分方程的耦合问题。本节讲三个问题：二自由度系统简图 下面是一个典型的二自由度弹簧阻尼质量系统简图 v取 静平衡位置为坐标原点，水平向右为两个坐标的正向，根据牛顿第二定律得到整理,得运动微分方程建立 v在多自由度系统振动理论中，广泛使用矩阵记号(写为矩阵形式)其中定义质量矩阵阻尼矩阵刚度矩阵矩阵形式的改写 位移向量；速度向量；加速度向量；激励向量；矩阵形式的运动微分方程定义：运动微分方程的矩阵形式和单自由度微分方程的关系v单自由度系统v如果将 看作一维矩阵，看作一维向量，则单自由度和多自由度微分方程具有相同的形式。系统动能的矩阵表达形式系统的动能为质量矩阵的二次型系统势能的矩阵表达形式刚度矩阵的二次型系统能量耗散函数的矩阵表达形式阻尼矩阵的二次型通过对以上三个函数求偏导数，可以分别求出三个矩阵的各个元素 多自由度系统的质量矩阵，刚度矩阵和阻尼矩阵是对称矩阵质量，刚度和阻尼矩阵的确定（二阶混合偏导数在什么条件下与求导次序无关？）v1.写出系统动能、势能和能耗散函数的表达式v2.对这三个函数求偏导数，从而得到质量，刚 度和阻尼矩阵的各个元素v3.写出矩阵形式的运动微分方程。微分方程的构造步骤v由于能量为标量，对于任意的 ,，质量矩阵一定是正定的；刚度矩阵和阻尼矩阵是半正定的质量，刚度和阻尼矩阵的性质三、运动微分方程的耦合问题 v由于 的存在，使得两个质量 的振动相互影响,使刚度矩阵和阻尼矩阵成为非对角矩阵，微分方程存在耦合耦合的分类v如果质量矩阵是非对角矩阵，称方程存在 惯性耦合v如果刚度矩阵是非对角矩阵，称方程存在 弹性耦合v如果阻尼矩阵是非对角矩阵，称方程存在 阻尼耦合 非耦合v如果三个矩阵都是对角矩阵，则系统的运动微分方程没有任何耦合，变为两个独立的单自由度方程，各个未知量可以单独求解则微分方程组变成两个独立的微分方程对于本例，如果解耦v如何消除方程的耦合是（手工）求解多自由度系统运动微分方程的关键，从数学上讲，就是使三个矩阵同时成为对角矩阵。不同坐标系下的运动微分方程 v下面通过实例说明：方程是否存在耦合以及存在什么类型的耦合取决于所取的描述系统的广义坐标，并不是系统本身的性质。汽车的二自由度振动模型v汽车板簧以上部分被简化为一刚性杆，质心 C，质量 m。绕质心转动惯量Ic，k1,k2为前后板簧刚度，忽略了减振器阻尼和干摩擦等其他形式的阻尼，不计板簧以下部分的质量和刚度。v上式中用到了四个广义坐标 ，而二自由度系统只需用两个独立广义坐标描述，因此这四个广义坐标并不是彼此独立的，而且有一定变换关系、动能和势能表达式不同广义坐标下的运动微分方程。v 、，势能由于则在 和 下的运动微分方程为 方程存在：惯性耦合 弹性耦合 由于可以解出称 为由 到 的变换矩阵 取广义坐标为 和 系统的动能系统的势能运动微分方程耦合情况1.当 时，存在弹性耦合2.若 ，则刚度矩阵成为对角矩阵，方程已经解耦，变为两个彼此独立的单自由度方程，和 独立微分方程 取广义坐标为 v则yC和可以表示为：v变换矩阵动能和势能的表达式v当 时，方程存在惯性耦合，v当 ，A点和B点振动相互独立，对于汽车来说，就是前悬和后悬振动相互独立。v在汽车理论中，定义为质量分配系数v当 时，汽车前悬和后悬振动相互独立，可以分别讨论它们的振动。耦合情况结论v结论：耦合的方式（弹性耦合还是惯性耦合）是依选取的坐标而定的，而坐标选取是研究者的主观抉择，并非系统的本质特性。从这个意义上讲，这里我们应该说“坐标的耦合方式”或“运动方程的耦合方式”，而不应该说“系统的耦合方式”。广义坐标 和 的变换关系为由于势能和广义坐标选取无关：从而：不同广义坐标系下的质量、刚度、阻尼矩阵的关系不同广义坐标系下的质量、刚度、阻尼矩阵的关系v结论：从上例我们看到，系统的质量矩阵、刚度矩阵（当然也包括阻尼矩阵）的具体形式与所选取的广义坐标有关，合适的广义坐标能够解除方程的耦合，由于不同广义坐标之间存在着变换关系，所以，方程解耦的就归结为寻找一个合适的变换矩阵 ，使变换后的系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵同时成为对角矩阵。线性代数知识的复习1.特征值与特征向量2.矩阵的相似3.实对称矩阵的性质特征值与特征向量v设 是n阶矩阵，如果存在数 和非零向量 ，使得则称 为A的特征值，X为A的对应于 的特征向量 矩阵的相似v设A，B是两个n阶矩阵，如果存在n阶矩阵P，使得：B=P-1AP，则称，A相似于B，P称为A到B的相似变换矩阵。v相似矩阵具有相同的特征值实对称矩阵的特征值和特征向量v实对称矩阵：如果矩阵A的元素a(i,j)，都是实数，而且满足a(i,j)=a(j,i)，则称矩阵A为实对称矩阵。v实对称矩阵的特征值都是实数。v实对称矩阵不同特征值的特征向量是正交的。v实对称矩阵相似于对角形矩阵谢谢