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定轴转动运动微分方程定轴转动运动微分方程 质心运动定理质心运动定理 习题习题6-9图示匀质细杆OA和EC的质量分别为50 kg和100 kg，并在点A焊成一体。若此结构在图示位置由静止状态释放，求刚释放时铰链求刚释放时铰链O处的约束力和杆处的约束力和杆EC在在A处的弯矩处的弯矩。不计铰链摩擦 定轴转动刚体惯性力系向质心及给定点的简化定轴转动刚体惯性力系向质心及给定点的简化 求杆求杆EC在在A处的弯矩处的弯矩 动静法动静法：取杆OA为研究对象（也可取杆EC），将其惯性力系向质心C点或固定点O简化 主矢：C点主矩：O点主矩：对Q点取矩即可得到MA。定轴转动刚体惯性力系向质心及给定点的简化定轴转动刚体惯性力系向质心及给定点的简化直角形刚性弯杆OAB 由OA 与AB 两均质杆固接而成，其中AB=2R,OA=R,AB 杆的质量为m。图示瞬时杆绕O 轴转动的角速度与角加速度分别为 与，则AB 杆的惯性力系向O 点简化的结果为_（方向标在图上）得到向质心C点的主矢和主矩后，再向O点简化应用动静法，惯性力系简化时，矩心可以任意取，一般简化到质心，一力和一力偶C样题：图示系统位于同一铅垂面内，由均质杆和均质圆盘铰接而成。已知：杆长l，质量为m；圆盘半径为r，质量为m。不计各处摩擦，系统在=30 位置由静止开始运动，求此瞬时(1)AB 杆的角加速度；杆的角加速度；(2)支承支承A 处，杆所受的反力处，杆所受的反力定轴转动运动微分方程 质心运动定理 补充运动学方程：若要求铰接o处的反力，则有：X，Y盘的绝对角速度为？盘的绝对角速度为？故圆盘做平动圆盘做平动铰接铰接动静法求支承求支承A 处杆所受的反力处杆所受的反力取圆盘为研究对象，运用动静法，向质心A简化圆盘A处所受杆的力为：支承支承A 处杆所受的反力：处杆所受的反力：对比习题对比习题6-9 一个焊接，一个铰接，有区别！一个焊接，一个铰接，有区别！碰撞前后关于碰撞点的动量矩守恒碰撞前后关于碰撞点的动量矩守恒习题习题6-18方法一：碰撞前后对E点动量矩守恒碰撞前：Q：什么时候对某点计算动量矩时可以用这个简洁公式？A：当此点是质心质心或是速度瞬心速度瞬心时可以用，只是此时的J是对此点的惯性矩。碰撞后杆上与E点重合点既不是速度瞬心，更不是质心，故不能用。恢复系数是对碰撞点的法向速度定义的对质心的动量矩定理的积分形式对质心的动量矩定理的积分形式方法二：应用对刚体平面运动微分方程的积分形式运动学关系：联立即可求解对质心对质心碰撞前后关于碰撞点的动量矩守恒碰撞前后关于碰撞点的动量矩守恒样题：一根均质杆长为，质量为，在重力作用下从水平状态开始运动，下降高度为时，一端突然铰支住（如图所示），此时杆的瞬时角速度为：碰撞前后关于碰撞点碰撞前后关于碰撞点A的动量矩守恒的动量矩守恒碰撞前系统对的动量矩碰撞后系统对的动量矩转角的方向转角的方向习题8-13列写系统的运动微分方程与相应的首次积分。首先，选取大环滚动的转角和连线的转角为广义坐标由运动形式可假定顺时针时和为正，小环转角2逆时针为正。计算大环和小环动能及系统势能，其中最主要的是计算小环的角速度及其质心速度。小环的角速度计算小环的角速度计算在平动坐标系xy中，O2点相对速度为：在平动坐标系xy中，两环接触点P的相对速度大环上此点的相对速度为：小环上此点的相对速度为：纯滚动条件：小环的质心速度计算小环的质心速度计算小环质心速度的表达式：代入拉氏函数：L=T-V 拉氏方程改写为：从而得到系统运动微分方程首次积分首次积分求首次积分，因L中不显含：故有广义动量守恒广义动量守恒：主动力有势，L中不显含时间t广义能量守恒广义能量守恒：小环的角速度计算小环的角速度计算习题8-14圆盘A上p点速度：B点速度：圆盘B上p点速度：与习题8-13比较动能定理在简单刚体系统中的应用动能定理在简单刚体系统中的应用样题：三（25 分）长为2r,质量为m的均质细杆AB 套在光滑且无质量的套筒D 内，A 端可沿半径为r 的铅垂面内的光滑圆槽滑动，在=45 处将杆无初速地释放，求当滑到=00 位置时：（1）AB 杆的角速度AB 与角角速度AB ；（2）在此瞬时A、D 处的约束力。单自由度应用动能定理求运动量应用动量/矩定理约束力动能定理在简单刚体系统中的应用动能定理在简单刚体系统中的应用系统仅受重力此有势力，保守系统，机械能守恒取最低点D为零势能位置动能可表达为：怎么求？动能定理在简单刚体系统中的应用动能定理在简单刚体系统中的应用以套筒D为动系，杆AB相对运动就是沿套筒方向的平动，考察A点运动，A点运动轨迹已知，其绝对速度、相对速度和牵连速度的方向都是可以通过分析得到的，牵连速度大小也可知。牵连速度大小相对速度大小A点速度合成：动能定理在简单刚体系统中的应用动能定理在简单刚体系统中的应用质心C点速度合成：牵连速度大小相对速度大小动能定理在简单刚体系统中的应用动能定理在简单刚体系统中的应用系统势能（取最低点为零势能点）：系统动能：即：对时间求导得：动能定理在简单刚体系统中的应用动能定理在简单刚体系统中的应用应用动量/矩定理对质心C点取矩：质心加速度：动能定理在简单刚体系统中的应用动能定理在简单刚体系统中的应用单自由度应用动能定理求运动量应用动量/矩定理约束力自己做！图示提升机构由不可伸长且质量可不计的绳子图示提升机构由不可伸长且质量可不计的绳子FEGHD将轮将轮C、D及及B连接成一连接成一系统。所有轮子与绳子之间没有相对滑动，斜面足够粗糙，绳子系统。所有轮子与绳子之间没有相对滑动，斜面足够粗糙，绳子DH段与斜面段与斜面平行。平行。C、D为均质轮，质量各为为均质轮，质量各为m，半径为，半径为R；轮；轮B为非偏心轮，质量为为非偏心轮，质量为4m，对轮心的回转半径为对轮心的回转半径为R，半径为，半径为2R；质量为；质量为m的重物的重物A通过无质量的绳子悬挂通过无质量的绳子悬挂在轮在轮B的中心。求在重力的作用下系统运动过程中；的中心。求在重力的作用下系统运动过程中；(1)重物重物A下降的加速度；下降的加速度；(2)绳子绳子EF,HG,HD的张力；的张力；(3)轮轮D与地面的摩擦力与地面的摩擦力分析：系统具有一个自由度。取重物分析：系统具有一个自由度。取重物A下降的距下降的距离为广义坐标。其中重物离为广义坐标。其中重物A做直线运动，轮做直线运动，轮B、D做平面运动，轮做平面运动，轮C做定轴转动。做定轴转动。利用动能定理求解此题：系统的动能增量系统的动能增量外力做功外力做功注意到：该式对任意时刻均成立，故两边对求导即：以轮以轮B和重物和重物A整体为研究对象整体为研究对象运用相对圆轮的质心B的动量矩定理：运用相对圆轮的质心B的质心运动定理补充运动学方程：(1)(2)(3)联立方程联立方程(1)、(2)、(3)解得：解得：以轮以轮D为研究对象为研究对象运用相对圆轮的质心D的动量矩定理：运用相对圆轮的质心D的质心运动定理验证结果验证结果以轮以轮C为研究对象为研究对象运用相对圆轮的质心C的动量矩定理：图示系统中，质量为图示系统中，质量为M的平台可在光滑水平面上滑动，质量为的平台可在光滑水平面上滑动，质量为m的均质圆轮相的均质圆轮相对平台作纯滚动，与轮心相连的两弹簧的刚度的系数均为对平台作纯滚动，与轮心相连的两弹簧的刚度的系数均为k/2，相对平衡位置，相对平衡位置在平台的中点。在平台的中点。1.写出系统的拉格朗日函数及运动微分方程；写出系统的拉格朗日函数及运动微分方程；2.2.求出系统的首次积分并说明其物理意义；求出系统的首次积分并说明其物理意义；3.3.求圆轮相对于平台的微振动的周期。求圆轮相对于平台的微振动的周期。分析：该系统是完整有势系统，且具有两个自由度分析：该系统是完整有势系统，且具有两个自由度取平台的水平位移和轮心相对平台的位移为广取平台的水平位移和轮心相对平台的位移为广义坐标。平台做平动，圆轮做平面运动。义坐标。平台做平动，圆轮做平面运动。系统动能：系统势能：系统运动方程：系统运动方程：（）（）由（）得：上式代到（）得：拉格朗日函数L不显含时间t，故存在广义能量积分，即：实际上就本题而言，上式就表示了系统的机械能守恒实际上就本题而言，上式就表示了系统的机械能守恒拉格朗日函数L不显含，故存在广义动量积分，即：实际上就本题而言，上式就表示了系统的水平动量守恒实际上就本题而言，上式就表示了系统的水平动量守恒在图示机构中，已知均质轮A、均质轮B质量均为m，半径为r，物块C质量也为m轮A与刚度系数为k的弹簧连接，并沿水平面纯滚动，不计导向轮O的质量和摩擦初始时，系统静止，弹簧为原长且x=0。1.以x为广义坐标建立系统运动微分方程；2.求系统微振动的固有频率。分析：系统是完整有势系统，且具有一个自由度。轮A、B做平面运动；物块C做直线运动利用动能定理解此题运用第二类拉格朗日方法解此题：零势能面的确定：系统开始运动物块A所在的水平面零势能面质量为 的圆形槽在弹簧作用下在光滑水平面上运动，在槽中心悬挂长为 质量为的均质杆。不计各处摩擦。1.请使用图示广义坐标建立系统的运动微分方程（时弹2.簧处于原长）；3.2.写出系统的运动力学守恒量（首次积分）分析：平台作平动，杆做平面运动。系统是完整有势系统样题：图示A为均质薄壁圆筒，为均实心圆柱。两物体质量、半径均相同，分别置于两个倾角相同的斜面上。若两物体同时从高为处无初速地滚下，且滚动无滑动，则：(1)先滚到最低处(2)先滚到最低处 (3)两物体同时滚到最低处 A的质量分布在薄壁上，B质量均匀分布，显然A对质心的惯性矩要大于B动能定理可知，下降相同的高度，动能增加是一样的，由柯希尼定理纯滚动：故A点质心速度慢于B点，B先滚到最低处样题：半径为的均质圆轮绕水平轴定轴转动，其上作用有一力偶矩M，如图所示。在轮边缘处饺接长为质量为的均质杆AB，则对应于广义坐标和的广义力分别为：广义力如何求？广义力如何求？解析法解析法力偶所做虚功：不变，给 一个虚位移几何法几何法不变，给 一个虚位移 刚性盒在水平面内作直线简谐运动，运动方程。一均质杆长为，质量为，悬挂于刚性盒中，在图示平面内运动。利用图示广义坐标，1.写出单摆的运动微分方程；2.2.当刚体盒振幅很小且时，的最大值趋近于：运用对O点的动量矩定理：一根均质杆长为，质量为，以常角速度绕铅垂轴轴转动，杆与铅垂轴夹角为，则杆端受到的约束力矩为：运用动静法原理解题：在图示的刚性框内装有两个微振动系统：线性弹簧质量系统和无质量刚性杆小球系统，两微振动系统的固有频率相同。若已知，试计算弹簧的刚性系数。若刚性框以匀加速度向上运动，则(a)系统的频率，(b)系统的频率(a)(b)(a)(b)结论(a)频率不变；(b)频率增加总结总结理力三大核心概念：理力三大核心概念：角速度角速度，虚位移虚位移，质心质心 角速度：角速度：动系基矢量对时间的导数动系基矢量对时间的导数 虚位移：虚位移：在给定瞬时，质点系符合约束的无限小假想位移，记为在给定瞬时，质点系符合约束的无限小假想位移，记为 质心：质点系质心定义质心：质点系质心定义 连续体质心：连续体质心：大多数情况下推荐应用质心动量大多数情况下推荐应用质心动量/动量矩定理动量矩定理质心是不会骗人的！质心是不会骗人的！图示图示A为均质薄壁圆筒，为均实心圆柱。两物体质量、半径均相同，分别置为均质薄壁圆筒，为均实心圆柱。两物体质量、半径均相同，分别置于两个倾角相同的斜面上。若两物体同时从高为处无初速地滚下，且滚动无于两个倾角相同的斜面上。若两物体同时从高为处无初速地滚下，且滚动无滑动，则：滑动，则：(1)先滚到最低处先滚到最低处(2)先滚到最低处先滚到最低处 (3)两物体同时滚到最低处两物体同时滚到最低处 判断、谁先滚到最低点。实际上可以比较A、B质心谁先达到最低点。另一方面，质心做直线运动。利用动能定理来解此题空心球实心球质心做匀加速直线运动实心球先落地半径为的均质圆轮绕水平轴定轴转动，其上作用有一力偶矩半径为的均质圆轮绕水平轴定轴转动，其上作用有一力偶矩M，如图所，如图所示。在轮边缘处饺接长为质量为的均质杆示。在轮边缘处饺接长为质量为的均质杆AB，则对应于广义坐标和，则对应于广义坐标和的广义力分别为：的广义力分别为：质量为，半径为的均质圆盘，在水平光滑面上以角速度绕质心转动。突质量为，半径为的均质圆盘，在水平光滑面上以角速度绕质心转动。突然在盘的边缘处用一销钉固定住，则此后圆盘角速度的大小为然在盘的边缘处用一销钉固定住，则此后圆盘角速度的大小为系统对点的动量矩守恒系统对点的动量矩守恒变化前变化前变化后变化后对任意一点动量矩对任意一点动量矩一根均质杆长为，质量为，在重力作用下从水平状态开始运动，下降高度一根均质杆长为，质量为，在重力作用下从水平状态开始运动，下降高度为时，一端突然铰支住（如图所示），此时杆的瞬时角速度为：为时，一端突然铰支住（如图所示），此时杆的瞬时角速度为：系统对的动量矩守恒系统对的动量矩守恒碰撞前系统做平动：碰撞前系统做平动：由动能定理得：为碰撞前瞬间杆的质心速度其中：碰撞前系统对的动量矩碰撞后系统做定轴转动：碰撞后系统做定轴转动：碰撞后系统对的动量矩在半径为的可绕轴转动的两个相同的圆轮上，分别作用力和力偶矩在半径为的可绕轴转动的两个相同的圆轮上，分别作用力和力偶矩在这两种情况下圆轮的角加速度；处的约束力。在这两种情况下圆轮的角加速度；处的约束力。利用刚体平面运动的微分方程解题：利用刚体平面运动的微分方程解题：思考题：思考题：求圆轮的角加速度求处约束反力长为长为2r，质量为，质量为m的均质细杆的均质细杆AB套在光滑的且无质量的套筒套在光滑的且无质量的套筒D内，内，A端可端可沿半径为沿半径为r的铅垂面内的光滑槽滑动，在处将杆无初速地释放，求当的铅垂面内的光滑槽滑动，在处将杆无初速地释放，求当滑到位置时：滑到位置时：1.AB杆的角速度与角加速度；杆的角速度与角加速度；2.在此瞬时在此瞬时A、D处的约束力；处的约束力；分析：系统具有一个自由度，杆分析：系统具有一个自由度，杆AB做平面运动。取做平面运动。取杆与铅垂线的夹角为广义坐标。在任意处，质杆与铅垂线的夹角为广义坐标。在任意处，质心可表示：心可表示：系统的动能增量系统的动能增量重力做功重力做功求反力：以杆为研究对象运用相对杆的质心C的质心运动定理系统仅受重力此有势力，保守系统，机械能守恒取最低点D为零势能位置动能可表达为：怎么求？以套筒D为动系，杆AB相对运动就是沿套筒方向的平动，考察A点运动，A点运动轨迹已知，其绝对速度、相对速度和牵连速度的方向都是可以通过分析得到的，牵连速度大小也可知。牵连速度大小相对速度大小A点速度合成：质心C点速度合成：牵连速度大小相对速度大小系统势能（取最低点为零势能点）：系统动能：即：对时间求导得：图示系统位于同一铅垂面内，由均质杆和均质圆盘铰接而成。已知：杆长，质量为；圆盘半径为，质量为。不计各处摩擦，系统在位置由静止开始运动，求此瞬时：1.AB杆的角加速度；2.支承A处，杆所受的反力。分析：AB杆作定轴转动，圆轮A做平动利用相对点A的动量矩定理运用对定点O的动量矩定理运用质心运动定理运用动能定理解此题分析：杆做定轴转动，轮A做平动运用动静法解此题利用静力学平衡条件：即：同理：存在广义能量积分两个相同的均质圆盘，平放在光滑水平面上，在其上各作用一水平力与，位置如图所示，作用在轮心上，作用在轮缘上，圆盘由静止开始运动。1.两圆盘分别作什么运动：2.2.若，哪个圆盘的质心运动得快：由相对质心的动量矩定理：圆盘A做平动；圆盘B平面运动（又滚又滑）质心的运动定理：两个圆盘的质心运动一样快思考题：如图所示：一常力作用在圆轮上。当轮心向前行进后，求该力所作的功。已知：圆轮做纯滚动，且常力的作用线与圆轮相切。直角形刚性弯杆OAB有OA与AB两均质杆固接而成，其中AB2R，OA=R，AB杆的质量为m。图示瞬时杆绕O轴转动的角速度与角加速度分别为与，则AB的惯性力系向O点简化的结果为：图示均质杆长为，质量为，图示均质杆长为，质量为，A、B两端分别沿框架的铅直边和水平面无摩两端分别沿框架的铅直边和水平面无摩擦滑动，擦滑动，B端连接于原长为的弹簧上，框架以匀角速度绕铅垂轴转动。端连接于原长为的弹簧上，框架以匀角速度绕铅垂轴转动。用广义坐标建立杆用广义坐标建立杆AB的运动微分方程，并判断运动的首次积分。的运动微分方程，并判断运动的首次积分。微分方程自行推导微分方程自行推导显然拉格朗日函数不显含时间，存在广义能量积分