函数导数与极值课件

南安国光中学 戴延清 3.3.2函数的极值与导数函数的极值与导数第一课时第一课时高二数学高二数学 选修选修1-11-1南安国光中学 戴延清 3.3.2函数的极值与导数第一课时11、函数单调性与导数关系、函数单调性与导数关系如果在某个区间内恒有如果在某个区间内恒有 ,则则 为常数为常数.设函数设函数y=f(x)在在 (a,b)内可导，内可导，f(x)在在(a,b)内内单调递单调递增增f(x)在在(a,b)内内单调递减单调递减一、复习导入一、复习导入-复习旧课复习旧课1、函数单调性与导数关系如果在某个区间内恒有 22.用导数求函数单调区间的基本步骤用导数求函数单调区间的基本步骤:注、注、单调区间不单调区间不 以以“并集并集”出现。出现。2.用导数求函数单调区间的基本步骤:注、单调区间不 以“并3 已知函数已知函数 f(x)=2x f(x)=2x3 3-6x-6x2 2+7+7(1)(1)求求f(x)f(x)的单调区间的单调区间,并画出其大致图象并画出其大致图象;(2)(2)函数函数f(x)f(x)在在x=0 x=0和和x=2x=2处的函数值与这两点附近的处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系函数值有什么关系?一、复习导入一、复习导入-复习旧课复习旧课 已知函数 f(x)=2x3-6x2+7(2)函数f(x)4利用函数的导数利用函数的导数 讨论函数讨论函数 的单调性的单调性解：解：令令 ，解得，解得 或或 ，当当 时，时，是增函数；是增函数；因此，因此，当当 时，时，是增函数；是增函数；再令再令 ，解得，解得 ，当当 时，时，是减函数；是减函数；因此，因此，利用函数的导数 讨论函数 5分析函数分析函数 在在 附近的函数附近的函数值分别与值分别与 的关系的关系.分析函数 6高台跳水运动中高度随时间变化的函数图像高台跳水运动中高度随时间变化的函数图像atho最高点最高点一、复习导入一、复习导入-导入新课导入新课h(t)=-4.9t2+6.5t+10高台跳水运动中高度随时间变化的函数图像atho最高点一、复习7一、复习导入一、复习导入-导入新课导入新课单调递增单调递增单调递减单调递减h(a)0跳水运动员在最高处附近的情况：跳水运动员在最高处附近的情况：当当t=a时，运动员距水面高度最大，时，运动员距水面高度最大，t=ataatho最高点最高点h(t)=-4.9t2+6.5t+10h (t)0h (t)000f (a)=0f(b)=0一、复习导入-导入新课探究：如图，y=f(x)在9xyoaby=f(x)00极小值点极小值点af (a)=0函数极值的定义函数极值的定义 二、讲授新课二、讲授新课-了解概念了解概念函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比附近其他点的函数值都小，f(a)=0,在x=a附近的左侧 f(a)0，点a叫做函数y=f(x)的极小值点，函数值f（a）称为函数y=f(x)的极小值；xyoaby=f(x)00极小值点af (a)=0函11xyoaby=f(x)0极大值点极大值点bf (b)=0函数极值的定义函数极值的定义 二、讲授新课二、讲授新课-了解概念了解概念函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比附近其他点的函数值都大，f(b)=0,在x=b附近的左侧 f(b)0,右侧f(b)0点b叫做函数y=f(x)的极大值点，函数值f（b）称为函数y=f(x)的极大值。xyoaby=f(x)0极大值点bf (b)=0函12函数极值的定义函数极值的定义函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比附近其他点的函数值都小，f(a)=0,在x=a附近的左侧 f(a)0，点a叫做函数y=f(x)的极小值点，函数值f（a）称为函数y=f(x)的极小值；函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比附近其他点的函数值都大，f(b)=0,在x=b附近的左侧 f(b)0,右侧f(b)0点b叫做函数y=f(x)的极大值点，函数值f（b）称为函数y=f(x)的极大值。极大值点极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值注：极值点指的是自变量注：极值点指的是自变量x的值，极值指的是函数值。的值，极值指的是函数值。xyoab二、讲授新课二、讲授新课-了解概念了解概念函数极值的定义函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比附13 f (x)0 yxOx1aby f(x)极大值极大值f(x2)极小值极小值f(x1)f (x)0 f (x)0 x2 xXx2 2 f(x)f(x)xXx1 1 f(x)f(x)增增f(x)0f(x)=0f(x)0极大值极大值减减f(x)0结论：极值点极值点x x0 0处，处，f f(x(xo o)=0,)=0,两侧单调性不同两侧单调性不同,导函数异导函数异号号。极值点的判断极值点的判断 f(x)0 yxOx1aby=f(x)极大值f(x214yabx1x2x3x4Ox探究探究 1、图中有哪些极值点？极值点唯一吗？图中有哪些极值点？极值点唯一吗？2、极大值一定比极小值大么？、极大值一定比极小值大么？yabx1x2x3x4Ox探究 1、图中有哪些极值点？极15(1)(1)极值是一个极值是一个局部概念局部概念,反映了函数在某一点附反映了函数在某一点附近的大小情况近的大小情况;(2)(2)极值点极值点是是自变量的值自变量的值，极值极值指的是指的是函数值函数值;(3)(3)函数的极大函数的极大(小小)值可能不止一个值可能不止一个,而且而且函数的函数的极大值未必大于极小值极大值未必大于极小值;【关于极值概念的几点说明】【关于极值概念的几点说明】(4)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。点不能成为极值点。(1)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附近的大小情况;16一般地,判断函数的极值的方法是:解方程 =0.当 =0时.如果在x0附近的左侧 右侧 那么,f(x0)是极大值;如果在x0附近的左侧 右侧 那么,f(x0)是极小值.即“峰顶”即“谷底”一般地,判断函数的极值的方法是:即“峰顶”即“谷底”小结17探究与思考：探究与思考：导数为导数为0的点一定是函数的极值点吗？的点一定是函数的极值点吗？探究与思考：导数为0的点一定是函数的极值点吗？18x yOf(x)x3注意：注意：f(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件是函数取得极值的必要不充分条件例如：例如：f(x)=x3f(x)=3x20，f(0)=302=0 xx0f(x)+0+f(x)导数为导数为0的点一定是函数的极值点吗？的点一定是函数的极值点吗？不一定不一定函数取得极值的充要条件是函数取得极值的充要条件是f f(x(xo o)=0,)=0,两侧导函数异号两侧导函数异号。x yOf(x)x3注意：f(x0)=0是函数取得极19极大值点极大值点极小值点极小值点.学.科.网.极大值点极小值点.学.科.网.20例例1 ：求函数：求函数 的极值的极值.解解:令令 解得解得 或或当当 ,即即 ,或或 ;当当 ,即即 .x(,2)2(2,2)2(2,+)00f(x)+单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增单调递增所以所以,当当 x=2 时时,f(x)有极大值有极大值 28/3;当当 x=2 时时,f(x)有极小值有极小值 4/3.当当 x 变化时变化时,f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表:定义域为定义域为 R，例1 ：求函数 21例题1图像-2oxy2+-+28/3-4/3f(x)=1/3 x3-4x+4例题1图像-2oxy2+-+28/3-4/3f(x)=1/22x(,-1)-1(-1,0)（0，1）1(1,+)+0-0+所以，当所以，当x=-1是，函数的极大值是是，函数的极大值是-2，当当x=1时，函数的极小值是时，函数的极小值是2注意定义域注意定义域-22例例2：求函数：求函数 的极值。的极值。x(,-1)-1(-1,0)（0，1）1(1,+)+0-23xyO 1-1xyO 1-124求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：（1）确定函数的定义域，求）确定函数的定义域，求f(x);（2）求方程）求方程f(x)=0的根的根;（3）解不等式）解不等式f(x)0、f(x)6或a0、f(x)0得出单调区间得出单调区间;（4）列出）列出x,f (x),f(x)变化情况的表格，找出极大变化情况的表格，找出极大值点和极小值点；值点和极小值点；(5)把极值点代入原函数，求出极值把极值点代入原函数，求出极值若若f (x0)左正右左正右负，则f(x0)为极大极大值；若若 f (x0)左左负右正，右正，则f(xo)为极小极小值求导求导求方程求方程f(x)=0的根的根列表列表求极值求极值口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：求导求方程f(34思考：思考：已知函数已知函数 在在 处取得极值。处取得极值。（1）求函数）求函数 的解析式；的解析式；（2）求函数）求函数 的单调区间。的单调区间。思考：已知函数 35作业习题3.3.A组第4、5题选作：已知 在x=1处取得极值,且f(1)=-1.(1)求a,b,c的值;(2)判断x=1时函数取极大值还是极小值,并说明理由。作业36