三晶体的宏观对称剖析课件

第二章第二章晶体的宏观对称晶体的宏观对称crystal symmetry 晶体的对称性是晶体的晶体的对称性是晶体的基本性质基本性质之一。之一。内部特征内部特征 格子构造格子构造 外部现象外部现象 晶体的几何多面体形态晶体的几何多面体形态 晶体的物理性质晶体的物理性质 化学性质化学性质 一、对称的概念一、对称的概念是宇宙间的普遍现象。是宇宙间的普遍现象。是自然科学最普遍和最基本的概念，是建造大是自然科学最普遍和最基本的概念，是建造大自然的密码。自然的密码。对对称称是是指指物物体体相相等等部部分分作作有有规规律律的的重重复复。对对于于晶晶体体外外形形而而言言，就就是是晶晶面面与与晶晶面面、晶晶棱棱与与晶晶棱棱、角顶与角顶的有规律重复。角顶与角顶的有规律重复。二、晶体的对称二、晶体的对称1.由由于于晶晶体体都都具具有有格格子子状状构构造造，而而格格子子状状构构造造就就是是质质点点在在三三维维空空间间周周期期重重复复的的体体现现，因因此此，所所有的晶体都是对称的有的晶体都是对称的。2.晶晶体体的的对对称称受受格格子子构构造造规规律律的的限限制制。即即只只有有符符合合格格子子构构造造规规律律的的对对称称才才能能在在晶晶体体上上出出现现，因因此，此，晶体对称又是有限的。晶体对称又是有限的。3.晶晶体体的的对对称称既既然然取取决决于于格格子子构构造造，因因此此晶晶体体的的对对称称不不仅仅体体现现在在外外形形上上，也也体体现现在在物物理理性性质质上上（光学、力学、热学、电学性质）。（光学、力学、热学、电学性质）。4.是晶体的基本性质之一。是晶体的基本性质之一。5.是晶体科学分类的依据。是晶体科学分类的依据。三、晶体的对称操作和对称要素三、晶体的对称操作和对称要素 在对晶体的对称研究中，为使晶体上相同在对晶体的对称研究中，为使晶体上相同部分作有规律重复，必须借助一定的几何要素部分作有规律重复，必须借助一定的几何要素（点、线、面）进行一定的操作（如反伸、旋（点、线、面）进行一定的操作（如反伸、旋转、反映等）才能实现，这些操作称为转、反映等）才能实现，这些操作称为对称操对称操作作(symmetryoperation)，在操作中所借助的几，在操作中所借助的几何要素，称为何要素，称为对称要素对称要素(symmetryelementsymmetryelement)。对称中心对称中心(centerofsymmetry)对称面对称面(symmetryplane)对称轴对称轴(symmetryaxis)倒转轴倒转轴(rotoinversionaxis)对对称称轴轴为为一一假假想想的的通通过过晶晶体体几几何何中中心心的的直直线线，其其对对称称操操作作为为绕绕此此直直线线的的旋旋转转。当当晶晶体体围围绕绕该该直直线线每每旋旋转转一一定定角角度度后后，晶晶体体上上的的相相同同部部分分便便出出现现一一次次重重复复。在在旋旋转转过过程程中中，相相等等部部分分出出现现重重复复时时所所必必须须的的最最小小旋旋转转角角，称称为为基基转转角角（）。在在晶晶体体旋旋转转一一周周的的过过程程中中，相相等等部部分分出现重复的次数，称为出现重复的次数，称为轴次轴次（n）。显然：显然：对称轴（对称轴（Ln）360/n或或n360/对称轴出露的位置二次对称轴(two-fold rotation)(L2)=360/2=180A Symmetrical PatternA Symmetrical Pattern66180 rotationto reproduce a motif in a symmetrical patternMotifElementOperationOperationthe symbol for a two-fold rotationfirst operation stepsecond operation step三次对称轴(Three-fold rotation)(L3)=360/3=120666step1step2step3A Symmetrical PatternA Symmetrical Pattern120 rotationto reproduce a motif in a symmetrical patternOperationOperationthe symbol for a three-fold rotation66666666666666661-fold2-fold3-fold4-fold6-fold其他的对称轴其他的对称轴(没有没有5-fold和和6-fold的的)晶体对称定律晶体对称定律 内容：只能出现轴次内容：只能出现轴次(n)为一次、二次、三次、四次和六为一次、二次、三次、四次和六次的对称轴，而不可能存在五次及高于六次的对称轴。次的对称轴，而不可能存在五次及高于六次的对称轴。证明：证明：轴次轴次n 的确定的确定:n=360/a aa+2acosa a=macosa a=(m-1)/2 1由于平行行列的结点间由于平行行列的结点间距相等，距相等，m只能取整数只能取整数m=3,2,1,0,-1a a=0,60,90,120,180n=1,6,4,3,2对称面（对称面（P）对对称称面面是是一一个个假假想想的的平平面面，与与之之相相应应的的对对称称操操作作是是此此平平面面的的反反映映。由由这这个个平平面面将将物物体体平平分分后后的的两两个个相相等等部部分分互互成成镜镜像像的的关关系系。对对称称面面必必通通过过晶晶体体的的中心。中心。=symbolforamirrorplanem对称面对称面(mirror)Reflection across a“mirror plane”reproduces a motif 晶体中对称面与晶面、晶棱有如下关系：晶体中对称面与晶面、晶棱有如下关系：（1）垂直并平分晶面；垂直并平分晶面；（2）垂直晶棱并通过它的中点；垂直晶棱并通过它的中点；(3)包含晶棱。包含晶棱。对称面可能出现的位置对称面可能出现的位置 对称面(a)与非对称面(b)对称中心（对称中心（C）对对称称中中心心是是一一个个假假想想的的点点，与与之之相相应应的的对对称称操操作作为为对对此此一一点点的的反反伸伸(Inversion)。当当晶晶体体具具有有对对称称中中心心时时，通通过过晶晶体体中中心心点点的的任任意意一一直直线线，在在其其距距中中心心点点等等间间距距的两端，必定出现晶体上两个相等部分。的两端，必定出现晶体上两个相等部分。在晶体中，若存在对称在晶体中，若存在对称中心时，其晶面必两两中心时，其晶面必两两平行、形状相同、取向平行、形状相同、取向相反。这可用来判断晶相反。这可用来判断晶体有无对称中心。体有无对称中心。具有对称中心的晶体形态具有对称中心的晶体形态 L66L27PC L33L24P旋转反伸轴（旋转反伸轴（Lin）也称为也称为倒转轴倒转轴。其对称操作是围绕直线旋转一定的角度。其对称操作是围绕直线旋转一定的角度和对于一定点的反伸。和对于一定点的反伸。对称轴对称心对称轴对称心 种类：种类：Li1=C Li2=P Li3=L3+C Li4Li6=L3+P（Rotoinversion）Li1=C2-foldrotoinversionStep1:rotate360/2Note:thisisatemporarystep,theintermediatemotifelementdoesnotexistinthefinalpattern.Step2:invertThisisthesameasm,sonotanewoperationStep 1Step 2Li2=P三次、四次、六次旋转反伸轴的操作三次、四次、六次旋转反伸轴的操作 3-foldrotoinversionStep 1:rotate 360o/3 Again,this is a temporary step,the intermediate motif element does not exist in the final patternStep 2:invert through center12Rotate another 360/3Complete second step to create face 3Third step creates face 4 (3)(1)(4)Fourth step creates face(4)(5)(2)Fifth step creates face 6(2)(6)(3)Sixth step returns to face 112341265Li3=L3+C4-foldrotoinversion1:Rotate 360/42:Invert3:Rotate 360/44:InvertABDCABCD4-fold rotoinversionA more fundamental representative of the patternThis is a unique operation6-fold rotoinversion4213Note:this is the same as a 3-fold rotation axis perpendicular to a mirror planeTopViewSo Li6=L3+P对称要素的组合对称要素的组合我们首先回忆一下列举模型的对称性：我们首先回忆一下列举模型的对称性：例如：例如：L44L25PC L66L27PC L33L24P从上面的结果可以看出什么规律？从上面的结果可以看出什么规律？对称要素组合不是任意的，必须符合对称要素对称要素组合不是任意的，必须符合对称要素的组合定律；的组合定律；当对称要素共存时，也可导出新的对称要素。当对称要素共存时，也可导出新的对称要素。对称要素组合定理：对称要素组合定理：定理定理1：Ln L2 LnnL2(L2与与L2的夹角是的夹角是Ln基转角的一半基转角的一半)逆定理：逆定理：L2与与L2相交，在其交点且垂直两相交，在其交点且垂直两L2会产生会产生Ln，其基转角是两其基转角是两L2夹角的两倍。并导出其他夹角的两倍。并导出其他n个在垂直个在垂直Ln平面内的平面内的L2。例如例如:L4 L2 L44L2,L3 L2 L33L2思考思考:两个两个L2相交相交30,交点处并垂直交点处并垂直L2所在平面会产生什所在平面会产生什么对称轴么对称轴?定理定理2：Ln P LnP C(n为偶数为偶数)逆定理：逆定理：Ln C LnP C(n为偶数为偶数)P CLnP C(n为偶数为偶数)这一定理说明了这一定理说明了L2、P、C三者中任两个可三者中任两个可以产生第三者。以产生第三者。因为偶次轴包含因为偶次轴包含L2。定理定理3：Ln P/LnnP/（P与与P夹角为夹角为Ln基转角的一半）；基转角的一半）；逆定理：逆定理：两个两个P相交，其交线必为一相交，其交线必为一Ln，其基转角为，其基转角为P夹夹角的两倍，并导出其他角的两倍，并导出其他n个包含个包含Ln的的P。（定理（定理3与定理与定理1对应）对应）思考思考:两个对称面相交两个对称面相交60,交线处会产生什么对称轴交线处会产生什么对称轴?定理定理4：Lin P/=Lin L2 Linn/2 L2 n/2 P/（n为偶数）为偶数）Linn L2 nP/（n为奇数）为奇数）32个对称型（点群）及其推导个对称型（点群）及其推导晶体形态中，全部对称要素的组合，称为该晶晶体形态中，全部对称要素的组合，称为该晶体形态的体形态的对称型对称型 或或 点群点群。一般来说，当强调。一般来说，当强调对称要素时称对称型，强调对称操作时称点群。对称要素时称对称型，强调对称操作时称点群。为什么叫点群？为什么叫点群？因为对称型中所有对称操作可因为对称型中所有对称操作可构成一个群，符合数学中群的概念，并且在操构成一个群，符合数学中群的概念，并且在操作时有一点不动，所以称为点群。作时有一点不动，所以称为点群。根据晶体中可能存在的对称要素及其组合规律，推根据晶体中可能存在的对称要素及其组合规律，推导出晶体中可能出现的对称型（点群）是非常有限的，导出晶体中可能出现的对称型（点群）是非常有限的，仅有仅有3232个。那么，这个。那么，这3232个对称型怎么推导出来？个对称型怎么推导出来？A A类对称型（高次轴不多于一个）的推导：类对称型（高次轴不多于一个）的推导：1 1）对对称称轴轴L Ln n单单独独存存在在，可可能能的的对对称称型型为为L L1 1；L L2 2；L L3 3；L L4 4；L L6 6 。2 2）对对称称轴轴与与对对称称轴轴的的组组合合。在在这这里里我我们们只只考考虑虑L Ln n与与垂垂直直它它的的L L2 2的的组组合合。根根据据上上节节所所述述对对称称要要素素组组合合规规律律L Ln n L L2 2L Ln nnLnL2 2，可可能能的的对对称称型型为为：（L L1 1L L2 2=L L2 2）；）；L L2 22 2L L2 2=3=3L L2 2；L L3 33 3L L2 2；L L4 44 4L L2 2；L L6 66 6L L2 2 如果如果L L2 2与与L Ln n斜交有可能斜交有可能出现多于一个的高次轴，出现多于一个的高次轴，这时就不属于这时就不属于A类对称型了。类对称型了。3）对对称称轴轴Ln与与垂垂直直它它的的对对称称面面P的的组组合合。考考虑虑到到组组合合规规律律Ln(偶偶次次)PLn(偶偶次次)PC，则则可可能能的的对对称称型型为为：（L1P=P）；L2PC；（L3P=Li6）；L4PC；L6PC。4）对称轴）对称轴Ln与包含它的对称面的组合。根据与包含它的对称面的组合。根据组合规律组合规律Ln PLnnP，可能的对称型为：，可能的对称型为：（L1P=P）L22P；L33P；L44P；L66P。5）对对称称轴轴Ln与与垂垂直直它它的的对对称称面面以以及及包包含含它它的的对对称称面面的的组组合合。垂垂直直Ln的的P与与包包含含Ln的的P的的交交线线必必为为垂垂直直Ln的的L2，即即Ln P P=Ln P P=LnnL2(n+1)P（C）（C只只在在有有偶偶次次轴轴垂垂直直P的的 情情 况况 下下 产产 生生），可可 能能 的的 对对 称称 型型 为为：(L1L22P=L22P）；L22L23PC=3L23PC；（L33L24P=Li63L23P）；L44L25PC；L66L27PC。6 6）旋旋转转反反伸伸轴轴单单独独存存在在。可可能能的的对对称称型型为：为：L Li i1 1=C C；L Li i2 2=P P；L Li i3 3=L L3 3C C；L Li i4 4；L Li i6 6=L L3 3P P。7）旋转反伸轴）旋转反伸轴Lin与垂直它的与垂直它的L2（或包含（或包含它的它的P）的组合。根据组合规律，当）的组合。根据组合规律，当n为为奇数时奇数时LinnL2nP，可能的对称型为：，可能的对称型为：（Li1L2P=L2PC）；）；Li33L23P=L33L23PC；当；当n为偶数时为偶数时Lin(n/2)L2(n/2)P，可能，可能的对称型为：的对称型为：（Li2L2P=L22P）；）；Li42L22P；Li63L23P=L33L24P。这样推导出来的对称型共有这样推导出来的对称型共有27个，见表个，见表32。还有还有5个是个是B类（高次轴多于一个）对称型，不要求推类（高次轴多于一个）对称型，不要求推导。导。请同学们将表请同学们将表32中空格的内容填上，空格中的内容中空格的内容填上，空格中的内容与表中其他内容是重复的。与表中其他内容是重复的。L Ln nL Ln nnL L2 2Ln P(C)Ln nPLn nL L2 2(n+1)P(C)L Li in nL Li in n nL L2 2nPL Li in n n/2L L2 2n/2PL L1 1L Li in n=CL L2 23L3L2 2L2 PCL2 2P3L L2 23PCL Li i2 2=PL L3 3L L3 33L L2 2L3 3PL Li in n=L L3 3CL3 3L L2 23PCL L4 4L L4 44L L2 2L4 PCL4 4PL4 4L L2 25PCL Li i4 4L Li i4 4 2L2 2PL L6 6L L6 66L L2 2L6 PCL6 6PL6 6L L2 27PCL Li i6 6=L L3 3 PL Li i6 6 3L L2 23P=L L3 3 3L L2 24P六、晶体的对称分类六、晶体的对称分类1、晶族、晶系、晶类的划分，见表、晶族、晶系、晶类的划分，见表3-4。这个表非常重要，一定要熟记。这个表非常重要，一定要熟记。从这个表可知有从这个表可知有7个晶系，在第一章我们已经知道个晶系，在第一章我们已经知道有有7种空间格子形式，对应种空间格子形式，对应7个晶系。个晶系。请同学们思考：由对称形式可以划出请同学们思考：由对称形式可以划出7个晶系，由个晶系，由空间格子形式也可以划出空间格子形式也可以划出7个晶系，两种方法怎么统一个晶系，两种方法怎么统一？（实际上，一个是从宏观的，另一个是从微观的。）（实际上，一个是从宏观的，另一个是从微观的。）各种晶体的对称程度有很大的差别，主要各种晶体的对称程度有很大的差别，主要表现在它们所具有的对称要素的种类、轴次和表现在它们所具有的对称要素的种类、轴次和数目上。数目上。在结晶学中，把结晶多面体中全部对称要在结晶学中，把结晶多面体中全部对称要素的总和，称为素的总和，称为对称型对称型。经过数学推导，证明。经过数学推导，证明对称型只有对称型只有32种。我们将属于同一对称型的所种。我们将属于同一对称型的所有晶体，归为一类，称为有晶体，归为一类，称为晶类晶类。晶类也只有。晶类也只有32个。个。在在32个晶类中，按它们所属的对称型特点个晶类中，按它们所属的对称型特点划分为划分为七个七个晶系晶系。再按高次对称轴的有无和高次对称轴的数再按高次对称轴的有无和高次对称轴的数目，将七个晶系并为目，将七个晶系并为三个三个晶族晶族。立方体、八面体、菱形十二面体属于同一晶类。立方体、八面体、菱形十二面体属于同一晶类。所以属于同一晶类的晶体形态上可以相差很大。所以属于同一晶类的晶体形态上可以相差很大。32个对称型见表个对称型见表3-4。本章重点总结：本章重点总结：1)对称要素：对称要素：P,Ln,C,Lin；2)对称要素组合：对称要素组合：4个定理；个定理；3)对称型：要学会用组合定理判断正确与否；对称型：要学会用组合定理判断正确与否；4)晶体的对称分类：晶体的对称分类：3个晶族，个晶族，7个晶系，个晶系，32个晶类。个晶类。49写在最后写在最后成功的基础在于好的学习习惯成功的基础在于好的学习习惯The foundation of success lies in good habits 结束语当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的，所以不要放弃，坚持就是正确的。When You Do Your Best,Failure Is Great,So DonT Give Up,Stick To The End演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日