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专科数学主讲：印世杰QQ：707046524Tel:13164657574 2024/5/61专科数学主讲：印世杰2023/8/11第一部分代数 数、式、方程、和方程组1 集合和简易逻辑2 函 数3 不等式和不等式组4 数 列5 复 数2 导 数762024/5/62第一部分 代 数 数、式、方程、和方程组1一、实数实数有理数无理数整数分数正整数零负整数正分数负分数正无理数负无理数自然数有限小数或无限循环小数无限不循环小数第一章数、式、方程和方程组2024/5/63一、实数实数有理数无理数整数分数正整数零负整数正分数负分数正1、有理数、无理数无限不循环小数无限不循环小数叫做无理数叫做无理数.例如：例如：无止境无止境,无规律无规律有理数有理数：整数和分数，可以化成分数整数和分数，可以化成分数 （q 0)无理数无理数带根号开不尽带根号开不尽与与和和e e有有关关按一定规律但不循环按一定规律但不循环2024/5/641、有理数、无理数无限不循环小数叫做无理数.例如：无止境,2、数轴（实数和数轴上的点一一对应）（思考）：（思考）：我们已经知道每一个有理数都可以用数轴上的点我们已经知道每一个有理数都可以用数轴上的点表示出来，那么无理数能在数轴上表示出来吗？表示出来，那么无理数能在数轴上表示出来吗？例：把下列实数表示在数轴上例：把下列实数表示在数轴上,并比较它们的大小并比较它们的大小(用用“”号连接号连接)01-1-1.4，3.33.3，1.53.31.5-1.42024/5/652、数 轴（实数和数轴上的点一一对应）（思考）：我们已经知道几个概念相反数 若a、b互为相反数，则 a+b=0。倒数（do sh）若a、b互为倒数，则 ab=1。（0没有倒数）绝对值 在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值（用|x|来表示）。在数轴上，表示一个数a的点到数b的点之间的距离，叫做a-b的绝对值，记作|a-b|。2024/5/66几个概念相反数2023/8/16二、式代数式：由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式。分类代数式有理式无理式整式分式单项式多项式2024/5/67二、式代数式：由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方几个概念整式（分母中不含字母的有理式）整式运算，单项式相乘，多项式相乘（因式分解）分式 分母中含有字母二次根式 最简根式，分母有理化2024/5/68几个概念整式（分母中不含字母的有理式）2023/8/18三、方程和方程组方程概念 含有未知数的等式一元一次方程 一般形式：一元二次方程 标准形式：ax+bx+c=0（a，b，c为常数，x为未知数，且a0）。求根公式：2024/5/69三、方程和方程组方程概念2023/8/19分式方程 等号两边至少有一个分母含有未知数的有理方程叫做分式方程，如：解法：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，验根。方程组 二元一次方程组：2024/5/610分式方程2023/8/110第二章集合和简易逻辑基本概念2024/5/611第二章 集合和简易逻辑基本概念2023/8/1112024/5/6122023/8/1122024/5/6132023/8/1132024/5/6142023/8/1142024/5/6152023/8/115总结：集合：把确定的对象看成一个整体，用A,B,C表示。元素：集合中的每一个对象，用a,b,c表示。特征：确定性，互异性，无序性元素与集合的关系：属于（）空集：（数0，集合0，的区别）常见数集及记号表示方法：列举法、描述法、图示法 2024/5/616总结：2023/8/1162024/5/6172023/8/1172024/5/6182023/8/1182、集合间的关系 包含，真包含，并，补子集：对于两个集合A，B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，A包含于B，称集合A为集合B的子集。交集：以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交（集），记作AB（或BA），读作“A交B”（或“B交A”），即AB=x|xA,且xB并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并集，记作AB（或BA），读作“A并B”（或“B并A”），即AB=x|xA,或xB补集：属于全集U不属于集合A的元素组成的集合称为集合A的补集，记作CuA，即CuA=x|xU,且x不属于A2024/5/6192、集合间的关系 包含，真包含，并，补2023/8充分条件 定义：如果有事物情况A，则必然有事物情况B；如果没有事物情况A而未必没有事物情况B，A就是B的充分而不必要条件，简称充分条件。必要条件 如果没有事物情况A，则必然没有事物情况B，也就是说如果有事物情况B则一定有事物情况A，那么A就是B的必要条件。B能推导出A，A就是B的必要条件，等价于B是A的充分条件。充分必要条件 如果有事物情况A，则必然有事物情况B；如果没有事物情况A，则必然没有事物情况B，A就是B的充分必要条件（简称：充要条件）。简单地说，满足A，必然B；不满足A，必然不B，则A是B的充分必要条件。（A可以推导出B，且B也可以推导出A）。3、简易逻辑2024/5/620充分条件3、简易逻辑2023/8/120(1)如果已知p q，我们就说p是q的充分条件，q是p的必要条件.例如，“若x=y,x2=y2”是一个真命题，可写成x=y x2=y2 ,“x=y”是“x2=y2”的充分条件，“x2=y2”是“x=y”的必要条件.(2)如果既有p q，又有q p，就记作 p q.这时，p既是q的充分条件，又是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称充要条件.例如，命题p：x+2是无理数，命题q：x是无理数.由于“x+2是无理数”“x是无理数”，所以p是q的充要条件.2024/5/621(1)如果已知p q，我们就说p是q的充分条件，q2024/5/6222023/8/1222024/5/6232023/8/1232024/5/6242023/8/1242024/5/6252023/8/1252024/5/6262023/8/1262024/5/6272023/8/1272024/5/6282023/8/1282024/5/6292023/8/129第三章函数函数定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，按某个对应法则，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量，记作 y=f(x),f为对应法则。定义域，值域，对应法则（表示方法：集合法，区间法）求定义域法则：1、依据函数解析式中所包含的运算(除法、开平方等)对自变量的制约要求，通过解不等式(组)求得定义域;2、依据确定函数y=f(x)的对应法则f对作用对象的取值范围的制约要求，通过解不等式(组)求得定义域;3、根据问题的实际意义，规定自变量的取值范围，求得定义域。函数表示法 解析法、列表法、图像法 2024/5/630第三章 函数函数定义：2023/8/130函数性质 1、单调性 对于区间a,b上的函数f(x),任意x1、x2a,b，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2),则f(x)在a,b上单调增加；（增函数）当 x1 f(x2),则f(x)在a,b上单调减少；（减函数）2、奇偶性 偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.2024/5/631函数性质2023/8/131 利用定义判断函数奇偶性的步骤:1)首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称;2)确定f(-x)与f(x)的关系;3)作出相应结论:若f(-x)=f(x)或 f(-x)-f(x)=0，则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或 f(-x)+f(x)=0，则f(x)是奇函数.注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定;(2)由 f(-x)f(x)=0或f(x)/f(-x)=1来判定;(3)利用定理，或借助函数的图象判定.3、周期性 对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。2024/5/632 利用定义判断函数奇偶性的步骤:2023/8/132反函数概念 一般地，设函数y=f(x)(xA)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x=g(y).若对于y在C反函数中的任何一个值，通过x=g(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=g(y)就表示y是自变量，x是因变量，是y的函数，这样的函数y=g(x)(xC)叫做函数y=f(x)(xA)的反函数，记作y=f-1(x)。反函数y=f-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.（1）函数f（x）与他的反函数f-1（x）图象关于直线y=x对称；（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；2024/5/633反函数概念2023/8/133几个常见函数讨论这几个函数的定义域、值域、图像、单调性、奇偶性、反函数：正比例函数 y=kx(k为常数且k0）一次函数 y=kx+b(k、b是常数且k0)反比例函数 (k为常数且k0)二次函数 （其中a,b,c是常数，且a0)指数 y=ax(a0,a1)对数 y=logax(a0,a1)2024/5/634几个常见函数讨论这几个函数的定义域、值域、图像、单调性、奇偶第四章不等式和不等式组不等式概念 表示两个两之间大小关系的式子。性质 如果 a a；如果 a b,b c,那么 a c;如果 a b,那么 a+c 0,则 (当且仅当a=1时等号成立）；2024/5/635第四章 不等式和不等式组不等式概念2023/8/135解不等式：求未知数的可取值集合同解不等式：解集相同同解原理一元一次不等式 ax b或 ax b(a0)一元一次不等式组 多个不等式解得交集 一元二次不等式 绝对值不等式|x|a区间的概念 x|axb,表示为 a,b x|axb,表示为（a,b)2024/5/636解不等式：求未知数的可取值集合2023/8/136第五章数列2024/5/637第五章 数 列2023/8/137定义 按一定次序排列的一列数称为数列。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项排在第n位的数称为这个数列的第n项。数列一般形式：a1,a2,a3,an,简单记为：an通项公式 如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式。如:数列前n项和 前n项和一般用Sn表示，即 已知Sn,求an时可用公式 S1 n=1,an=Sn-Sn-1 n2.2024/5/638定义2023/8/1382024/5/6392023/8/1392024/5/6402023/8/1402024/5/6412023/8/141数列分类：有穷，无穷等差数列 一般形式：a1,a1+d,a1+2d,a1+(n-1)d,通项公式：an=a1+(n-1)d 前n项和：等比数列 一般形式：a1,a1q,a1q2,a1qn-1,通项公式：an=a1qn-1 前n项和：当q=1时，Sn=na1 当q1时，*性质2024/5/642数列分类：有穷，无穷2023/8/1422024/5/6432023/8/1432024/5/6442023/8/144第六章复数2024/5/645第六章 复 数2023/8/1452024/5/6462023/8/1462024/5/6472023/8/1472024/5/6482023/8/1482024/5/6492023/8/1492024/5/6502023/8/150第七章导数2024/5/651第七章 导 数2023/8/1512024/5/6522023/8/1522024/5/6532023/8/1532024/5/6542023/8/1542024/5/6552023/8/1552024/5/6562023/8/1562024/5/6572023/8/1572024/5/6582023/8/1582024/5/6592023/8/1592024/5/6602023/8/1602024/5/6612023/8/1612024/5/6622023/8/1622024/5/6632023/8/1632024/5/6642023/8/1642024/5/6652023/8/1652024/5/6662023/8/1662024/5/6672023/8/1672024/5/6682023/8/1682024/5/6692023/8/1692024/5/6702023/8/1702024/5/6712023/8/1712024/5/6722023/8/1722024/5/6732023/8/1732024/5/6742023/8/1742024/5/6752023/8/175第二部分三角第八章 三角函数及有关概念2024/5/676第二部分 三 角第八章 三角函数及有关概念2023/8/12024/5/6772023/8/177第九章三角函数式的变换2024/5/678第九章 三角函数式的变换2023/8/1782024/5/6792023/8/1792024/5/6802023/8/1802024/5/6812023/8/1812024/5/6822023/8/1822024/5/6832023/8/183第十章三角函数的图像和性质2024/5/684第十章 三角函数的图像和性质2023/8/1842024/5/6852023/8/1852024/5/6862023/8/1862024/5/6872023/8/1872024/5/6882023/8/1882024/5/6892023/8/1892024/5/6902023/8/190第十一章解三角形2024/5/691第十一章 解三角形2023/8/1912024/5/6922023/8/1922024/5/6932023/8/1932024/5/6942023/8/1942024/5/6952023/8/1952024/5/6962023/8/196第三部分平面解析几何第十二章 平面向量2024/5/697第三部分 平面解析几何第十二章 2023/8/1972024/5/6982023/8/1982024/5/6992023/8/1992024/5/61002023/8/11002024/5/61012023/8/11012024/5/61022023/8/11022024/5/61032023/8/11032024/5/61042023/8/11042024/5/61052023/8/11052024/5/61062023/8/1106第十三章直线2024/5/6107第十三章 直线2023/8/11072024/5/61082023/8/11082024/5/61092023/8/11092024/5/61102023/8/11102024/5/61112023/8/11112024/5/61122023/8/11122024/5/61132023/8/1113第十四章圆锥曲线1、曲线和方程 圆2024/5/6114第十四章 圆锥曲线1、曲线和方程 圆2023/8/12024/5/61152023/8/11152024/5/61162023/8/11162024/5/61172023/8/11172、椭圆2024/5/61182、椭圆2023/8/11183、双曲线2024/5/61193、双曲线2023/8/11194、抛物线2024/5/61204、抛物线2023/8/11202024/5/61212023/8/11212024/5/61222023/8/1122第四部分立体几何2024/5/6123第四部分 立体几何2023/8/1123第十五章直线和平面2024/5/6124第十五章 直线和平面2023/8/11242024/5/61252023/8/11252024/5/61262023/8/11262024/5/61272023/8/11272024/5/61282023/8/1128第十六章 空间向量2024/5/6129第十六章 空间向量2023/8/11292024/5/61302023/8/11302024/5/61312023/8/11312024/5/61322023/8/11322024/5/61332023/8/11332024/5/61342023/8/11342024/5/61352023/8/11352024/5/61362023/8/11362024/5/61372023/8/11372024/5/61382023/8/1138五、概率统计2024/5/6139五、概率统计2023/8/11392024/5/61402023/8/11402024/5/61412023/8/11412024/5/61422023/8/11422024/5/61432023/8/11432024/5/61442023/8/11442024/5/61452023/8/11452024/5/61462023/8/11462024/5/61472023/8/11472024/5/61482023/8/1148第十九章概率与统计初步2024/5/6149第十九章 概率与统计初步2023/8/11492024/5/61502023/8/11502024/5/61512023/8/11512024/5/61522023/8/11522024/5/61532023/8/11532024/5/61542023/8/11542024/5/61552023/8/1155
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