资源描述
2.3 2.3 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度 连续型随机变量连续型随机变量X 所有可能取值充满一个所有可能取值充满一个区间，对这种类型的随机变量，不能象离散型区间，对这种类型的随机变量，不能象离散型随机变量那样，以指定它取每个值的概率的方随机变量那样，以指定它取每个值的概率的方式去给出其概率分布，而是需要通过给出所谓式去给出其概率分布，而是需要通过给出所谓“概率密度函数概率密度函数”的方式来描述。的方式来描述。下面我们就来介绍对连续型随机变量的描下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法。述方法。12.3 连续型随机变量及其概率密度 连续型随机变量X定义定义：设随机变量：设随机变量X 的分布函数为的分布函数为F(x)，如果，如果存在非负函数存在非负函数f(x),使得对于任意实数使得对于任意实数x,有有 连续型随机变量连续型随机变量则称则称X 为为连续型随机变量连续型随机变量，其中函数，其中函数f(x)称为称为X 的的概率密度函数概率密度函数，简称概率密度。，简称概率密度。可知可知,连续型随机变量的分布函数连续型随机变量的分布函数F(x)是是整个实轴上的整个实轴上的连续函数连续函数.若概率密度若概率密度f(x)在点在点x连续连续,则则 F (x)=f(x)2定义：设随机变量X 的分布函数为F(x)，如果存在非负函数f分布函数分布函数 F(x)与密度函数与密度函数 f(x)的几何意义的几何意义x yF(x)x3分布函数 F(x)与密度函数 f(x)的几何意义x 概率密度函数概率密度函数f(x)的性质的性质(3)(3)常利用这两个常利用这两个性质检验一个性质检验一个函数能否作为函数能否作为连续性随机变连续性随机变量的密度函数，量的密度函数，或求其中的未或求其中的未知参数。知参数。(1)(2)P(x1Xx2)=F(x2)F(x1)xo f(x)P(x10,有有得得 P(X=a)=0 X=a a Xa 0P(X=a)P(a Xa)=F(a)F(a )5注:对连续型随机变量 X 和任意实数a,总有P(X=a)=0故故:(1)P(A)=0 A是不可能事件是不可能事件(2)连续型随机变量连续型随机变量X落在区间的概率落在区间的概率与区间是否包含端点无关与区间是否包含端点无关 即即:P(aXb)=P(aXb)=P(aXb)=P(aXb)6故:(1)P(A)=0 A是不可能事件(2)连续型随机例例1 1 设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为 f(x)=Ae|x|,x+试求试求:(1):(1)常数常数A (2)(2)P(0X0 x0(2)P(0X0 x0(2)P(0X1)8 X的分布函数为的分布函数为:综合得综合得:9 X的分布函数为:综合得:9例例2 2 设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为 试求试求X的分布函数的分布函数 解解:当当x0时时,当当0 x1时时,=010例2 设随机变量X的概率密度为 试求X的分布函数 解:当x当当1x2时时,当当x2时时,=111当1x0)0)为常数。为常数。263.正态分布 设连续型随机变量X 具有概率密度则称X 服从棣莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，棣莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面。这一公式被认为是正态分布的首次露面。在十九世纪前叶高斯在十九世纪前叶高斯(Gauss)又将正态分布加又将正态分布加以推广，所以正态分布也通常称为高斯分布。以推广，所以正态分布也通常称为高斯分布。由密度函数可求得由密度函数可求得X 的分布函数为的分布函数为 正态分布是实践中应用最为广泛，在理论正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究最多的分布之一，它在概率统计中占有上研究最多的分布之一，它在概率统计中占有特别重要的地位。特别重要的地位。27棣莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为是正态正态分布正态分布 的图形特点的图形特点正态分布的密度曲线是一条关于正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形曲线对称的钟形曲线特点是特点是“两头小，中间大，左右对称两头小，中间大，左右对称”28正态分布 的图形特点正态分布的密度曲线是一条正态分布正态分布 的图形特点的图形特点 决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的决定了图形中峰的陡峭程度。陡峭程度。位置参数位置参数 形状参数形状参数29正态分布 的图形特点 决定了图形的中心正态分布下概率密度函数正态分布下概率密度函数f(x)的性质的性质(1)图形关于直线图形关于直线 x=对称：对称：f(+x)=f(-x)(2)在在 x=时时,f(x)取得最大值取得最大值:(3)在在 x=时时,曲线曲线 y=f(x)在对应的点处有在对应的点处有 拐点拐点(4)曲线曲线 y=f(x)以以x轴为渐近线轴为渐近线(5)曲线曲线 y=f(x)的图形呈单峰状的图形呈单峰状30正态分布下概率密度函数f(x)的性质(1)图形关于直线 应用场合应用场合 若随机变量若随机变量 X 受到众多相互独立的随机因素受到众多相互独立的随机因素的影响，而每一个别因素的影响都是微小的，且的影响，而每一个别因素的影响都是微小的，且这些影响可以叠加这些影响可以叠加,则则 X 服从正态分布。服从正态分布。可用正态变量描述的实例：可用正态变量描述的实例：各种测量的误差；各种测量的误差；工厂产品的尺寸；工厂产品的尺寸；海洋波浪的高度；海洋波浪的高度；热噪声电流强度等热噪声电流强度等u u u 人的生理特征；人的生理特征；农作物的收获量；农作物的收获量；u u u 学生们的考试成绩；学生们的考试成绩；u 31应用场合 若随机变量 X 受到众多相互独立的随机因素的影一种重要的正态分布一种重要的正态分布 N(0,1)标准正态分布标准正态分布其分布函数为其分布函数为如果随机变量如果随机变量XN(0,1),则其密度函数为则其密度函数为课本附有标准正态分布表课本附有标准正态分布表P351，可查表求得，可查表求得 (x)32一种重要的正态分布其分布函数为如果随机变量XN(0,1),(2)N(,2)的分布函数的分布函数F(x)与与N(0,1)的分的分布布 函数函数(x)的关系的关系:N(0,1)的性质的性质(1)对称性对称性:(x)=(x)(x)=1 (x)xo-x (x)33(2)N(,2)的分布函数F(x)与N(0,1)的(3)(4)ab,XN(,2),有有:34(3)(4)ab,XN(,2),有:例例2 2 已知已知且且P(2X 4)=0.3,求求 P(X 0)。解解I:I:例例1 1 课本课本P6935例2 已知且P(2X 4)=0.3,求 P(X 0解解II:II:图解法图解法由正态分布的图形特点可知由正态分布的图形特点可知0.20.30.336解II:图解法由正态分布的图形特点可知0.20.336例例3 设设 XN(3,4),试求试求:(1)P(2X5)(2)P(2Xc)=P(Xc),求求c的的值值 解解:又又 =3,=2(1)P(2X5)=0.5328=F(5)F(2)=(1)(0.5)=(1)1 (0.5)37例3 设 XN(3,4),试求:(1)P(2X5)(2)P(2Xc)=1 P(Xc)=P(Xc)P(Xc)=0.5F(c)=0.5c=338(2)P(2X 3故至少要进行故至少要进行 4 次独立测量才能满足要求。次独立测量才能满足要求。40设 A 表示进行 n 次独立测量至少有一次n 3故至少要
展开阅读全文