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柱体体积柱体体积=底面积底面积 高高特点：平顶特点：平顶.柱体体积柱体体积=？特点：曲顶特点：曲顶.一、问题的提出一、问题的提出曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 设设 一一 立立 体体 的的 底底 是是xOy面面上上的的闭闭区区域域 D 它它的的侧侧面面是是以以 D的的 边边 界界曲曲线线为为准准线线而而母母线线平平行行于于z轴轴的的柱柱面面 它它的的顶顶是是曲曲 面面 z f(x y)这这 里里f(x y)0且且 在在 D上上连连续续 这这种种立立体体叫叫做做曲曲顶顶柱柱体体 解法解法:类似定积分解决问题的思想类似定积分解决问题的思想:给定曲顶柱体给定曲顶柱体:底：底：xOy 面上的闭区域面上的闭区域 D顶顶:连续曲面连续曲面侧面：侧面：以以 D 的边界为准线的边界为准线,母线平行于母线平行于 z 轴的柱面轴的柱面求其体积求其体积.“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,求求 极限极限”曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积1)“大化小大化小”用用任意任意曲线网分曲线网分D为为 n 个区域个区域以它们为底把曲顶柱体分为以它们为底把曲顶柱体分为 n 个个2)“常代变常代变”在每个在每个3)“近似和近似和”则则中中任取任取一点一点小曲顶柱体小曲顶柱体4)“4)“取极限取极限”令令步骤如下：步骤如下：用用小小平平顶顶柱柱体体的的体体积积近近似似代替小曲顶柱体的体积代替小曲顶柱体的体积 Vk Vk f(k k)k 用小平顶柱体的体积之和用小平顶柱体的体积之和近似代替整个曲顶柱体体近似代替整个曲顶柱体体积积 将分割加细将分割加细 取极限取极限 求得求得曲顶柱体体积的精确值曲顶柱体体积的精确值 用曲线网把用曲线网把D分成小区域分成小区域 1 2 n “大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,取极限取极限”播放播放 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、分割、求和、取极限取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示有一个平面薄片有一个平面薄片,在在 xOy 平面上占有区域平面上占有区域 D,计算该薄片的质量计算该薄片的质量 M.度为度为设设D 的面积为的面积为 ,则则若若非常数非常数,仍可用仍可用其面密其面密“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,求极限求极限”解决解决.1)“大化小大化小”用用任意任意曲线网分曲线网分D 为为 n 个小区域个小区域相应把薄片也分为小块相应把薄片也分为小块.求平面薄片的质量求平面薄片的质量2)“常代变常代变”中中任取任取一点一点3)“近似和近似和”4)“取极限取极限”则第则第 k 小块的质量小块的质量两个问题的两个问题的共性共性：(1)解决问题的步骤相同解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同所求量的结构式相同“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,取极限取极限”曲顶柱体体积曲顶柱体体积:平面薄片的质量平面薄片的质量:二、二重积分的概念二、二重积分的概念积积积积分分分分区区区区域域域域积积积积分分分分和和和和被被被被积积积积函函函函数数数数积积积积分分分分变变变变量量量量被被被被积积积积表表表表达达达达式式式式面面面面积积积积元元元元素素素素 积分号积分号 v二重积分的定义二重积分的定义积分中各部分的名称积分中各部分的名称 f(x y)被积函数被积函数 f(x y)d 被积表达式被积表达式 d 面积元素面积元素 x y 积分变量积分变量 D 积分区域积分区域 积分和积分和 iiinif ),(1 对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值负值 在直角坐标系下用平行于在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为故二重积分可写为D D则面积元素为则面积元素为引例引例1中曲顶柱体体积中曲顶柱体体积:引例引例2中平面薄板的质量中平面薄板的质量:二重积分存在定理二重积分存在定理:若函数若函数定理定理2.(证明略证明略)定理定理1.在在D上可积上可积.限个点或有限条光滑曲线外都连续限个点或有限条光滑曲线外都连续,积积.在有界闭区域在有界闭区域 D上连续上连续,则则若有界函数若有界函数在有界闭区域在有界闭区域 D 上除去有上除去有 例如例如,在在 D:上二重积分存在上二重积分存在;在在D 上上 二重积分不存在二重积分不存在.性质性质当当K为常数时，被积函数中的常数因子为常数时，被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即可以提到积分号前面，即性质性质（二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质三、二重积分的性质性质性质3 (对积分区域的可加性对积分区域的可加性)如果闭区域如果闭区域D被有限条曲线分被有限条曲线分为有限个部分闭区域为有限个部分闭区域,则则D上的上的二重积分等于各部分闭区域上二重积分等于各部分闭区域上二重积分的和二重积分的和.例如例如D可分为两可分为两个闭区域个闭区域D和和D，则，则性质性质 若若 为为D的面积，的面积，性质性质 若在若在D上上特殊地特殊地则有则有性质性质（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）性质性质（二重积分中值定理）（二重积分中值定理）证证:由性质由性质6 可知可知,由连续函数介值定理由连续函数介值定理,至少有一点至少有一点使使因此因此例例1 比较下列积分的大小：比较下列积分的大小：1）与与其中其中D:0yx(3,0)(1,0)(0,1).D解：在区域解：在区域 D内，显然有内，显然有故在故在D内内解解例例3 设设D 是第二象限的一个有界闭域是第二象限的一个有界闭域,且且 0 y 1,则则的大小顺序为的大小顺序为()提示提示:因因 0 y 1,故故故在故在D上有上有解解区域区域D的面积的面积 x解解练习练习 估计下列积分之值估计下列积分之值解解:D 的面积为的面积为由于由于积分性质积分性质6即即:1.96 I 2D例例6 判断判断的正负的正负.解：当解：当时，时，故故又当又当时，时，于是于是二重积分的定义二重积分的定义二重积分的性质二重积分的性质二重积分的几何意义二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（曲顶柱体的体积）（和式的极限）（和式的极限）四、小结思考题思考题1 将二重积分定义与定积分定义进行比较，将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处找出它们的相同之处与不同之处.定积分与二重积分都表示某个和式的极限定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数上的二元函数思考题解答思考题解答思考题思考题2证明证明:其中其中D 为为证明证明:其中其中D 为为解解:利用题中利用题中 x,y 位置的对称性位置的对称性,有有又又 D 的面积为的面积为 1,故结论成立故结论成立.
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