32独立性检验的基本思想及其初步应用(一)1

3.2独立性检验的独立性检验的基本思想及其初基本思想及其初步应用（一）步应用（一）高二数学高二数学 选修选修2-3 第三章第三章 统计案例统计案例独独立立性性检检验验的的基基本本思思想想及及其其初初步步应应用用一、情境引入，提出问题一、情境引入，提出问题 请同学们看视频：请同学们看视频：问题问题1、你认为吸烟与患肺癌有关系吗？、你认为吸烟与患肺癌有关系吗？怎样用数学知识说明呢？怎样用数学知识说明呢？独独立立性性检检验验的的基基本本思思想想及及其其初初步步应应用用 这种变量的不同这种变量的不同“值值”表示个体所属的不同类别，表示个体所属的不同类别，民族民族国籍国籍宗教信仰宗教信仰是否吸烟是否吸烟像这样的变量称为像这样的变量称为分类变量分类变量。独立性检验独立性检验本节研究的是两个分类变量的独立性检验问题。在日常生活中，我们常常关心在日常生活中，我们常常关心分类变量之间是否有关系分类变量之间是否有关系：例如，吸烟是否与患肺癌有关系？例如，吸烟是否与患肺癌有关系？性别是否对于喜欢数学课程有影响？等等。性别是否对于喜欢数学课程有影响？等等。吸烟与肺癌列联表吸烟与肺癌列联表不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌总计总计不吸烟不吸烟77757775424278177817吸烟吸烟20992099494921482148总计总计98749874919199659965为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了地调查了99659965人，得到如下结果（单位：人）人，得到如下结果（单位：人）列联表列联表在不吸烟者中患肺癌的比重是在不吸烟者中患肺癌的比重是 在吸烟者中患肺癌的比重是在吸烟者中患肺癌的比重是 说明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异，吸烟者患说明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异，吸烟者患肺癌的可能性大。肺癌的可能性大。0.54%0.54%2.28%2.28%探究探究不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌总计总计不吸烟不吸烟7775427817吸烟吸烟2099492148总计总计98749199651、列联表2、三维柱形图3、二维条形图不患肺癌患肺癌吸烟不吸烟不患肺癌患肺癌吸烟不吸烟080007000600050004000300020001000从三维柱形图能清晰看出从三维柱形图能清晰看出各个频数的相对大小。各个频数的相对大小。从二维条形图能看出，吸烟者中从二维条形图能看出，吸烟者中患肺癌的比例高于不患肺癌的比例。患肺癌的比例高于不患肺癌的比例。通过图形直观判断两个分类变量是否相关：不吸烟不吸烟吸烟吸烟患肺癌比例不患肺癌比例4、等高条形图等高条形图更清晰地表达了两种情况下患肺癌的比例。上上面面我我们们通通过过分分析析数数据据和和图图形形，得得到到的的直直观观印印象象是是吸吸烟烟和和患患肺肺癌癌有有关关，那那么么事事实实是是否否真真的的如如此此呢呢？这这需需要要用用统统计计观观点点来考察这个问题。来考察这个问题。现在想要知道能够以多大的把握认为现在想要知道能够以多大的把握认为“吸烟与患肺癌有关吸烟与患肺癌有关”，为此先假设为此先假设 H0：吸烟与患肺癌没有关系吸烟与患肺癌没有关系.不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌总计总计不吸烟不吸烟aba+b吸烟吸烟cdc+d总计总计a+cb+da+b+c+d把表中的数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表把表中的数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表 用用A表示不吸烟，表示不吸烟，B表示不患肺癌，则表示不患肺癌，则“吸烟与患肺癌没有关系吸烟与患肺癌没有关系”等价于等价于“吸烟与患肺癌独立吸烟与患肺癌独立”，即假设，即假设H0等价于等价于 P(AB)=P(A)P(B).因此因此|ad-bc|越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；|ad-bc|越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强。越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强。不患肺癌不患肺癌患肺癌患肺癌总计总计不吸烟不吸烟aba+b吸烟吸烟cdc+d总计总计a+cb+da+b+c+d在表中，在表中，a恰好为事件恰好为事件AB发生的频数；发生的频数；a+b和和a+c恰好分别为事恰好分别为事件件A和和B发生的频数。由于频率接近于概率，所以在发生的频数。由于频率接近于概率，所以在H0成立的条成立的条件下应该有件下应该有 为为了了使使不不同同样样本本容容量量的的数数据据有有统统一一的的评评判判标标准准，基基于于上上述述分分析，我们构造一个随机变量析，我们构造一个随机变量-卡方统计量卡方统计量（1）若若 H0成立，即成立，即“吸烟与患肺癌没有关系吸烟与患肺癌没有关系”，则，则K2应很小。应很小。根据表根据表3-7中的数据，利用公式（中的数据，利用公式（1）计算得到）计算得到K2的观测值为：的观测值为：那么这个值到底能告诉我们什么呢？那么这个值到底能告诉我们什么呢？（2）独立性检验独立性检验在在H0成立的情况下，统计学家估算出如下的概率成立的情况下，统计学家估算出如下的概率 即即在在H0成成立立的的情情况况下下，K2的的值值大大于于6.635的的概概率率非非常常小小，近近似似于于0.01。也也就就是是说说，在在H0成成立立的的情情况况下下，对对随随机机变变量量K2进进行行多多次次观观测，观测值超过测，观测值超过6.635的频率约为的频率约为0.01。思考 答：判断出错的概率为0.01。判断判断 是否成立的规则是否成立的规则如果如果 ，就判断，就判断 不成立，即认为吸烟与不成立，即认为吸烟与患肺癌有关系；否则，就判断患肺癌有关系；否则，就判断 成立，即认为吸烟成立，即认为吸烟与患肺癌没有关系。与患肺癌没有关系。独立性检验的定义独立性检验的定义 上面这种利用随机变量上面这种利用随机变量K2来确定在多大程度上来确定在多大程度上可以认为可以认为“两个分类变量有关系两个分类变量有关系”的方法，称为两的方法，称为两个分类变量的个分类变量的独立性检验独立性检验。在该规则下，把结论在该规则下，把结论“成立成立”错判成错判成“不不成立成立”的概率不会超过的概率不会超过即有即有99%的把握认为的把握认为 不成立。不成立。独立性检验的基本思想（类似独立性检验的基本思想（类似反证法反证法）(1)(1)假设结论不成立假设结论不成立,即即 “两个分类变量没有关系两个分类变量没有关系”.(2)(2)在此假设下我们所构造的随机变量在此假设下我们所构造的随机变量 K K2 2 应该很小应该很小,如果由如果由观测数据计算得到观测数据计算得到K K2 2的观测值的观测值k k很大很大,则在一定可信程度上则在一定可信程度上说明说明 不成立不成立.即在一定可信程度上认为即在一定可信程度上认为“两个分类变量有两个分类变量有关系关系”；如果；如果k k的值很小，则说明由样本观测数据没有发现反的值很小，则说明由样本观测数据没有发现反对对 的充分证据。的充分证据。(3)(3)根据随机变量根据随机变量K K2 2的含义的含义,可以通过评价该假设不合理的程可以通过评价该假设不合理的程度度,由实际计算出的由实际计算出的,说明假设不合理的程度为说明假设不合理的程度为1%,1%,即即“两个两个分类变量有关系分类变量有关系”这一结论成立的可信度为约为这一结论成立的可信度为约为99%.99%.怎样判断怎样判断K K2 2的观测值的观测值k是大还是小呢是大还是小呢？这仅需要确定一个正数这仅需要确定一个正数 ，当，当 时就认为时就认为K K2 2的观测的观测值值 k大。此时相应于大。此时相应于 的判断规则为：的判断规则为：如果如果 ，就认为，就认为“两个分类变量之间有关系两个分类变量之间有关系”；否则就；否则就认为认为“两个分类变量之间没有关系两个分类变量之间没有关系”。-临界值临界值按照上述规则，把按照上述规则，把“两个分类变量之间没有关系两个分类变量之间没有关系”错误的判断错误的判断为为“两个分类变量之间有关系两个分类变量之间有关系”的概率为的概率为P().在实际应用中，我们把在实际应用中，我们把 解释为有解释为有的把握认为的把握认为“两个分类变量之间有关系两个分类变量之间有关系”；把；把 解释为解释为不能以不能以 的把握认为的把握认为“两个分类变量两个分类变量之间有关系之间有关系”，或者样本观测数据没有提供，或者样本观测数据没有提供“两个分类变量两个分类变量之间有关系之间有关系”的充分证据。的充分证据。思考：思考：利用上面的结论，你能从列联表的三维柱形图中利用上面的结论，你能从列联表的三维柱形图中看出两个分类变量是否相关呢？看出两个分类变量是否相关呢？表表1-11 2x2联表联表 一一般般地地，假假设设有有两两个个分分类类变变量量X和和Y，它它们们的的值值域域分分别别为为x1,x2和和y1,y2,其其样样本本频频数数列列联联表表（称称为为2x2列列联表）为：联表）为：y1y2总计总计x1aba+bx2cdc+d总计总计a+cb+da+b+c+d 若要判断的结论为：H1：“X与Y有关系”，可以按如下步骤判断H1成立的可能性：2、可可以以利利用用独独立立性性检检验验来来考考察察两两个个分分类类变变量量是是否否有有关关系系，并并且能较精确地给出这种判断的可靠程度。且能较精确地给出这种判断的可靠程度。1、通通过过三三维维柱柱形形图图和和二二维维条条形形图图，可可以以粗粗略略地地判判断断两两个个变变量量是是否否有有关关系系,但但是是这这种种判判断断无无法法精精确确地地给给出出所所得得结结论论的的可可靠靠程度。程度。（1）在在三三维维柱柱形形图图中中，主主对对角角线线上上两两个个柱柱形形高高度度的的乘乘积积ad与与副副对对角角线线上上两两个个柱柱形形高高度度的的乘乘积积bc相相差差越越大大，H1成成立立的的可能性就越大。可能性就越大。（2）在在二二维维条条形形图图中中,可可以以估估计计满满足足条条件件X=x1的的个个体体中中具具有有Y=y1的的个个体体所所占占的的比比例例 ，也也可可以以估估计计满满足足条条件件X=x2的的个个体体中中具具有有Y=y1的的个个体体所所占占的的比比例例 。两两个个比比例例相相差差越越大，大，H1成立的可能性就越大。成立的可能性就越大。在实际应用中，要在获取样本数据之前通过下表确定临界值：在实际应用中，要在获取样本数据之前通过下表确定临界值：0.500.400.250.150.100.455 0.7081.3232.0722.7060.050.0250.0100.0050.0013.841 5.0246.6367.87910.828具体作法是：具体作法是：(1)根据实际问题需要的可信程度确定临界值根据实际问题需要的可信程度确定临界值 ；(2)利用公式利用公式(1)，由观测数据计算得到随机变量，由观测数据计算得到随机变量 的观测值；的观测值；(3)如果如果 ，就以，就以 的把握认为的把握认为“X与与Y有关系有关系”；否则就说样本观测数据没有提供；否则就说样本观测数据没有提供“X与与Y有关系有关系”的充分证据。的充分证据。