高中物理竞赛-万有引力与天体运动

高中物理竞赛高中物理竞赛-万有引力万有引力与天体运动与天体运动两体问题 仅有两个质点组成的孤立系统，两个质点的质量为m1、m1，相互作用力大小为f，从m1至m2的矢径为 .对m2，由牛顿第二定律有将（1）代入（2）：则有 （3）式表明，若取m1为参照系（一般不是惯性系，在此系中牛顿第二定律不成立），则在此参照系中m2的运动完全相同于质量为 的质点在中心力 的作用下按牛顿第二定律所形成的运动，而无须考虑惯性力的作用.取二者的质心C为参照系（惯性系）.设C到m1的矢径为 .有“卫星怪象”问题 卫星（质量为m）与地球（质量为M）系统的总能量为即于是可知对两端的变化量有即一、对宇宙中复杂的天体受力运动的简化（1）天体通常相距很远，故可将天体处理为质点.（2）很多时候，某天体的所受其他诸天体引力中仅有一个是主要的：a、可将该两天体作为二体问题处理.b、施力天体由于某些原因（如质量相对很大）在某惯性系中可认为几乎不动，这时问题很简单（我们通常讨论的就是这种情况）.二、引力问题的基本动力学方程如图，行星m在太阳M的有心引力作用下运动.行星的横向加速度 等于零.有径向动力学方程解题知识与方法研究在太阳惯性参照系中，由牛顿运动定律和引力定律此式变化后即得开普勒第二定律：表明：开普勒第二定律是角动量守恒定律的特殊表现.开普勒第二定律不仅适用于行星的椭圆运动也将 适用于有心引力作用下的任何行星轨道运动.又因万有引力为保守力，故“太阳+行星”系统的机械能守恒当然，此方程也不限于行星做椭圆轨道运动！因为引力为有心力，故行星对太阳参考轴角动量守恒三、天体绕日运动的轨道与能量 根据万有引力定律和其他牛顿力学定律（角动量守恒、机械能守恒等）可导出在如图的极坐标下的绕日运动的天体的轨道方程：轨道方程为一圆锥曲线方程：（1）（即开普勒第一定律）；总能量为：（2）总能量为：（3）总能量为：例1（天体轨道的判定）如图，太阳系中星体A做半径为R1的圆运动，星体B作抛物线运动.B在近日点处与太阳的相距为R2=2R1，且两轨道在同一平面上，两星体运动方向也相同.设B运动到近日点时，A恰好运动到B与太阳连线上.A、B随即发生某种强烈的相互作用而迅速合并成一个新的星体.其间的质量损失可忽略.试证明新星体绕太阳的运动轨道为椭圆.解计算新星体C的机械能.在径向：可认为在A、B靠拢过程中质心未动.所以C到太阳的距离为在切向：A、B合并过程中动量也守恒，则有研究式中的vA、vB：因A作圆运动，例题解答例题解答所以利用，C星体的机械能为因此，新星体C的轨道为椭圆.EAm），距离为d，在引力作用下绕不动的质心作圆周运动.设这两颗星近似为质点.在超新星爆炸中，质量为M的星体损失质量M.假设爆炸是瞬时的、球对称的，并且对残余体不施加任何作用力（或作用力抵消），对另一颗星也无直接作用.试求，在什么条件下，余下的新的双星系统仍被约束而不相互远离.解需计算爆炸后的总机械能.如图，爆炸前两星绕质心旋转.旋转的角速度 满足爆炸后的瞬间，因球对称爆炸所以（M-M）位置、速度均不变.无作用，故m的位置、速度也不变.因爆炸对星体m也旋转半径满足新系统的质心C还在两星连线上的原处吗？新系统的质心C还会静止吗？新系统的势能为新系统在新质心参照系中的动能为由系统动量的质心表达可知新系统质心速度为注意到式中的所以进而得到系统在新质心系中的动能为新系统仍被约束的条件是另解 用二体问题折合质量法爆炸前：两星折合质量两星折合质量等效的运动如图（a）.旋转的速度v 满足爆炸后：等效的运动如图（b）.新系统的势能新系统的动能代入系统约束的条件解得（b）（a）结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！27