相似三角形专题复习精品

ABCA/B/C/,如果如果BC=3,B/C/=1.5,那么那么A/B/C/与与 ABC的相似比为的相似比为_.1.相似三角形的定义：相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。做相似三角形。2.相似比：相似比：相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。相似比。(1)识别识别如果一个三角形的两角分别与另一个如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似相似如果一个三角形的两条边分别与另如果一个三角形的两条边分别与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似角相等，那么这两个三角形相似如果一个三角形的三条边分别与另如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似两个三角形相似MN 例例1.1.若若G G为为BCBC中点中点,EG,EG交交ABAB于点于点F,F,且且EF:FG=2:3,EF:FG=2:3,试求试求AF:FBAF:FB的值的值.添平行线构造相似三角形的基本图形。添平行线构造相似三角形的基本图形。DEHGFEGFMN12 若若G G为为BCBC中点中点,EG,EG交交ABAB于点于点F,F,且且EF:FG=2:3,EF:FG=2:3,试求试求AF:FBAF:FB的值的值.添平行线构造相似三角形的基本图形。添平行线构造相似三角形的基本图形。EGFEGFMN相似三角形判定的基本模型一相似三角形判定的基本模型一 A字型、反A字型（斜A字型）（平行）（不平行）已知：在ABC中，DEBC，点F是线段DE上一点，连接AF并延长与BC相交于点G.求证：DFGC=FEBG例2.1 1、如图，点、如图，点D、E分别是分别是ABC边边AB、AC上的点，且上的点，且DEBC，BD2AD，那么，那么ADE的周长的周长ABC的周长的周长。ABCDE1:32.右图中右图中,若若D,E分别是分别是AB,AC边上的中点边上的中点,且且DE=4则则BC=83.右图中右图中,DEBC，SADE:S四边形四边形DBCE=1:8,则则AE:AC=1:3课堂训练课堂训练:EBDC4.在在是是AC上一动点上一动点,且且ADE=B,设设AD=x,AE=y,写出写出y与与x之间的函数关系式之间的函数关系式.试确定试确定x的取值范围的取值范围.A解解:A=A ADE=B ADEABC()AD:AB=AE:AC x:5=y:4 y=0.8x(0 x4)ABCDEF5.如图：如图：DEBC，EF AB,AE：EC=2：3，S ABC=25，求，求S四边形四边形BDEF解：DEBCADEABCSADESABCAEAC（）2425SABC=25SADE 4 AE：EC=2:3AE:AC=2:56.过过ABC的顶点的顶点C任作一直线，与边任作一直线，与边AB及中及中线线AD分别交于点分别交于点F和和E，求证：求证：AE：ED=2AF：FB。CABFDEG 相似三角形判定的基本模型二相似三角形判定的基本模型二 （平行）（平行）（不平行）（不平行）8字型字型 反反8字型字型（蝴蝶型）（蝴蝶型）例题：已知：ABCD,连接AD,CB相交于点E.过E点作EF平行于线段AB，与线段AC相交于点F。求：的值。学以致用学以致用EFBGDCA练练1.如图，如图，ABCD中，中，G是是BC延长线上一点，延长线上一点，AG交交BD于于E，与，与DC交于点交于点F，则图中相似三角形，则图中相似三角形共有共有_对。（全等除外）对。（全等除外）5学以致用学以致用AEBFDC2.如图，在如图，在 ABCD中，中，E是是BC上一点，上一点，BE：EC=1：2，AE与与BD相交于相交于F，则，则 BF：FD=_，S ADF:S EBF=_ 1:31:99:1相似三角形判定的基本模型一相似三角形判定的基本模型一 A字型、反A字型（斜A字型）（平行）（不平行）相似三角形判定的基本模型二相似三角形判定的基本模型二 （平行）（平行）（不平行）（不平行）8字型字型 反反8字型字型（蝴蝶型）（蝴蝶型）给你一个锐角给你一个锐角ABCABC和一条直线和一条直线MNMN；问题问题 你能你能用直线用直线MNMN去截去截ABCABC，使截得的三角形，使截得的三角形与原三角形相似吗？与原三角形相似吗？相似三角相似三角形形DEBCADE ABCDAE=CABADE ABC基本图形基本图形判定方法判定方法AED=BDAE=BACADE ABC 三边对应成比例的三边对应成比例的两个三角形相似两个三角形相似.相似三角相似三角形形DEBC ADE ABCDAE=CAB ADE ABC基本图形基本图形判定方法判定方法AED=BDAE=BACADE ABC对应角相等；对应角相等；性质定理性质定理对应边成比例；对应边成比例；周长的比周长的比等于相似比；等于相似比；面积的比等于面积的比等于相似比的相似比的平方平方；三边对应成比例的三边对应成比例的两个三角形相似两个三角形相似.练一练练一练基本图形基本图形DEMNH过过D D作作DHECDHEC交交BCBC延长线于点延长线于点H H(1)(1)试找出图中的相似三角形试找出图中的相似三角形?(2)(2)若若AE:AC=1:2,AE:AC=1:2,则则AC:DH=_;AC:DH=_;(3)(3)若若ABCABC的周长为的周长为4,4,则则BDHBDH的周长为的周长为_._.(4)(4)若若ABCABC的面积为的面积为4,4,则则BDHBDH的面积为的面积为_._.ADE ABC DBH2：369DEMN三、基本图形的形成、变化及发展过程：三、基本图形的形成、变化及发展过程：平行型平行型 斜交型斜交型.旋转旋转平移平移垂直型垂直型特特殊殊特特殊殊平移平移ABOCD1.添加一个条件，使添加一个条件，使AOB DOC 四、四、运用运用角：角：B=C或或 A=D边：边：AB CD AO：OD=BO：CO“X”“X”型型解解：ABCDE2.若若ABCADE，你可以得出什么结论？你可以得出什么结论？四、运用四、运用角：角：ADE=B AED=C 边：边：DE BC面积：面积：“A”“A”型型3、D、E分别是分别是ABC边边AB、AC上的点，请上的点，请你添加一个条件，使你添加一个条件，使ADE与与ABC相似。相似。斜交型斜交型角：角：B=2或或 1=C边：边：AD：AC=AE：AB解解：4、已知CD是RtACB斜边AB上的高，且CD=6，BD=12，则AD=_,AC=_。36123垂直型垂直型ABCDE1.如图，如图，DEBC，D是是AB的中的中点，点，DC、BE相交于点相交于点G。求求G知识源于悟=1:2=1:2BACO如图如图:写出其中的几写出其中的几个等积式个等积式AC2=BC2=OC2=AOABBOABAOBO若若AC=3,AO=1.写出三点的坐标写出三点的坐标.(-1,0)(8,0)(0,2 )已知已知,如图如图,梯形梯形ABCD中中,ADBC,A=900,对角线对角线BDCD求证求证:(1)ABDDCB;(2)BD2=ADBCABCD证明证明:(1)ADBC,ADB=DBC A=BDC=90,ABDDCB(2)ABDDCBAD =BD BD BC即即:BD2=ADBC 如图如图,在直角梯形在直角梯形ABCDABCD中中,AB,AB CD,CD,A=90A=900 0,AB=2,AD=5,P,AB=2,AD=5,P是是ADAD上一动点上一动点(不与不与A A、D D重合重合),),，交于点，交于点（）（）ABPABP与与DPEDPE是否相似？请说明理由是否相似？请说明理由；（）设（）设x x=y=y，求，求y y与与x x之间的之间的函数关系式函数关系式,并指出自变量并指出自变量x x的取值范围；的取值范围；（3 3）请你探索在点）请你探索在点P P运动的过程中，四边形运动的过程中，四边形ABEDABED能能否构成矩形？如果能，求出否构成矩形？如果能，求出APAP的长；如果不能，的长；如果不能，请说明理由；请说明理由；（4 4）请你探索在点）请你探索在点P P运动的过程中，运动的过程中，BPEBPE能否成为等腰三角能否成为等腰三角形？如果能，求出形？如果能，求出APAP的长，如果不能，请说明理由。的长，如果不能，请说明理由。CABDPE25xy5-x学以致用学以致用3、如图，在、如图，在ABC中，中，ABC=90，AB=6，BC=12,点点P从从A点出发向点出发向B以以1m/s的速度移动，点的速度移动，点Q从从B点出发向点出发向C点以点以2m/s的速度移动，如果的速度移动，如果P、Q分别从分别从A、B两地同时两地同时出发，几秒后出发，几秒后 PBQ与原三角形相似？与原三角形相似？ABCQPQP例：如图，在例：如图，在ABC中，中，C=90，AC=4，BC=3，PQAB，点，点P在在AC上（与点上（与点A、C不重合），点不重合），点Q在在BC上。试问：在上。试问：在AB上是否存在点上是否存在点M，使得，使得PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出明理由；若存在，请求出PQ的长。的长。灵感 智慧M1ABCPQABCPQM2例：如图，在例：如图，在ABC中，中，C=90，AC=4，BC=3，PQAB，点，点P在在AC上（与点上（与点A、C不重合），不重合），点点Q在在BC上。试问：在上。试问：在AB上是否存在点上是否存在点M，使，使得得PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出说明理由；若存在，请求出PQ的长。的长。灵感 智慧PQM3ABCNABCEF如图，在正方形如图，在正方形ABCD中中,E为为BC上任意一点（与上任意一点（与B、C不重合）不重合）AEF=90.观察图形：观察图形：DABCEFD（2）若）若E为为BC的的中点，中点，连结连结AF,图中有哪些相似图中有哪些相似三角形？三角形？（1）ABE 与与ECF 是否相似？并证明你的结论。是否相似？并证明你的结论。ABE ECF AEF问题问题1 1：（1）点）点E为为BC上任意一点，上任意一点，若若 B=C=60,AEF=C,则则ABE与与 ECF的的关系还成立吗？说明理由关系还成立吗？说明理由（2）点）点E为为BC上任意一点上任意一点若若 B=C=,AEF=C,则则ABE 与与 ECF的的关系还成立吗？关系还成立吗？C 60 60 60ABEFABCEFA BFCE606060CABEFABE ECFABCEFDAFBCEDG（1）延长）延长BA、CF相交于点相交于点D,且且E为为BC的中点，若的中点，若 B=C=,AEF=C,连结连结AF.找出图中的相似三角形找出图中的相似三角形说出图中相等的角及边之说出图中相等的角及边之间的关系间的关系（2）延长）延长BA、CF相交于相交于点点D,且且E为为BC的的中点中点，若，若 B=C=,AEF=C,当当AEF旋转到如图位置时，旋转到如图位置时，上述关系还成立吗？上述关系还成立吗？问题问题2 2：善于运用类比、善于运用类比、迁移的数学方法迁移的数学方法解决问题解决问题CABEFABCEFABCEFABCEFDE为中点为中点变式：变式：.在直角梯形在直角梯形ABCF中，中，CB=14，CF=4,AB=6,CFAB,在边在边CB上找一点上找一点E,使以使以E、A、B为顶点的三角形和以为顶点的三角形和以E、C、F为顶点为顶点的三角形相似，则的三角形相似，则CE=_1.矩形矩形ABCD中，把中，把DA沿沿AF对折，使对折，使D与与CB边上的点边上的点E重合，若重合，若AD=10,AB=8,则则EF=_善于在复杂图形善于在复杂图形中寻找基本型中寻找基本型5ADBCEFABCFEEE或或2或或12注意分类讨论的注意分类讨论的数学思想数学思想EBC DF2.已知：已知：D为为BC上一点，上一点，B=C=EDF=60,BE=6,CD=3,CF=4,则则AF=_7AEBCDFA变式：变式：已知：已知：ABC中，中，AB=AC,BAC=120,D为为BC的中点，的中点，且且EDF=C,（1）若若BECF=48,则则AB=_（2）在（）在（1）的条件下，若）的条件下，若EF=m,则则SDEF=_利用转化的利用转化的数学思想数学思想HP8（1 1）连接）连接APAP、AQAQ、PQPQ，试判断，试判断APQAPQ的形状，的形状，并说明理由。并说明理由。（2 2）当）当t=1t=1秒时，连接秒时，连接ACAC，与，与PQPQ相交于点相交于点K.K.求求AKAK的长。的长。QPABCDK善于在复杂善于在复杂图形中寻找图形中寻找基本型基本型已知：菱形已知：菱形ABCD,AB=4m,B=60,ABCD,AB=4m,B=60,点点P P、Q Q分别从点分别从点B B、C C出发，沿线段出发，沿线段BCBC、CDCD以以1m/s1m/s的的速度向终点速度向终点C C、D D运动运动,运动时间为运动时间为t t秒秒.EQABCDPNF（3 3）当当t=2t=2秒时，连接秒时，连接APAP、PQ,PQ,将将APQAPQ逆逆时针旋转，使角的两边与时针旋转，使角的两边与ABAB、ADAD、ACAC分别交分别交于点于点E E、N N、F F，连接，连接EF.EF.若若AN=1,AN=1,求求S SEPF.EPF.注意运用转注意运用转化的数学思化的数学思想想（4 4）以）以OSOS为一边在为一边在SOCSOC内作内作SOT,SOT,使使SOTSOT=BDC,OTBDC,OT边交边交BCBC的延长线于点的延长线于点T,T,若若BT=4.8,BT=4.8,求求AKAK的长。的长。ASKDCBoT30 30 30(P)(Q)PQCABEDCABEDCABEDABCEDABCEDF OABCDP1、已知：等边、已知：等边ABC 中，中，P为直线为直线AC上一动点，上一动点，连结连结BP,作作BPQ=60,交直线交直线BC于点于点N.(1)当当P在线段在线段AC上时，证明上时，证明PAPC=AB CN(2)若若P在在AC的延长线上，上述关系是否成立？的延长线上，上述关系是否成立？(3)若若P在在CA的延长线上，的延长线上，CN=1.5,BC=2,求求AP、BP的长的长 NBCAQ NBCAQ NBCAQP606060PP2、在平面直角坐标系中，四边形、在平面直角坐标系中，四边形OABC为等腰为等腰梯形，梯形，OABC,OA=7,BC=3,COA=60,点点P为线段为线段OA上的一个动点，点上的一个动点，点P不与不与O、A重合，重合，连结连结CP.（1）求点）求点B的坐标。的坐标。（2）点）点D为为AB上一点，上一点，且且AD:BD=3:5,连结连结PD,在在OA上是否存在这样的上是否存在这样的点点P,使使CPD=BAO?若存在，求出直线若存在，求出直线PB的的解析式，若不存在，请说明理由。解析式，若不存在，请说明理由。OxyABCDPFBCAxy(-3,0)(-3,0)(1,0)(1,0)tanABC=（1 1）请在请在x x轴上找一点轴上找一点D D，使得，使得BDABDA与与BACBAC相似相似 （不包含全等），并求出点（不包含全等），并求出点D D的坐标；的坐标；（2 2）在（在（1 1）的条件下，如果）的条件下，如果P P、Q Q分别是分别是BABA、BDBD上上 的动点，连结的动点，连结PQPQ，设，设BPBPDQDQm m，问：问：是否存在这样的是否存在这样的m m，使得，使得BPQBPQ与与BDABDA相似？相似？如存在，请求出如存在，请求出m m的值；若不存在，请说明理由。的值；若不存在，请说明理由。用一用用一用OD（1）BDABACCADABC tanCADABC=BC=4AC=BCtan ABC=3CD=ACtan CAD=3 =OD=OC+CD=1+=D(,0)用一用用一用BCAxy(-3,0)(-3,0)(1,0)(1,0)tanABC=OD 用一用用一用PQPQ(1)(1)当当PQADPQAD时，时，BPQ BPQ BADBAD则则即：即：解得：解得：(2)(2)当当PQPQBDBD时，时，BPQ BPQ BDABDA则则即：即：解得：解得：BCAxy(-3,0)(-3,0)(1,0)(1,0)tanABC=ODBCAxy(-3,0)(-3,0)(1,0)(1,0)tanABC=OD例例2 如图，有一块锐角三角形余料如图，有一块锐角三角形余料ABC，它的边它的边BC=120mm，高，高AD=80mm，要把，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在上，其余两个顶点分别在AB，AC上，上，加工成正方形零件的边长为多少毫米？加工成正方形零件的边长为多少毫米？ABCDEPQMN如果把正方形的零件改变为加工矩形零件如果把正方形的零件改变为加工矩形零件,设设DP=x，DE=y，写出，写出y与与x之间的函数关系式，试确之间的函数关系式，试确定定x的取值范围。的取值范围。PBACDEFMN如图，如图，ABC是一是一 块余料，边块余料，边AB=90厘米，高厘米，高CN=60厘米，要把它加工成正方形零件，使正方形厘米，要把它加工成正方形零件，使正方形 的的一边在一边在AB上，其余两个顶点分别在上，其余两个顶点分别在BC、AC上上 这个正方形零件的边长是多少？这个正方形零件的边长是多少？当当DE是是DP的倍时恰好符合要的倍时恰好符合要求，求此时零件的面积是多少求，求此时零件的面积是多少?在问题在问题3中，具体操作时，中，具体操作时，发现在发现在AB线段上离线段上离B点点34cm处有一蛀虫洞，请你确处有一蛀虫洞，请你确定一下，它是否影响余料的定一下，它是否影响余料的使用，说明理由。（量得使用，说明理由。（量得BN=70cm）PBACDEFMNBACDEF图一图一图二图二课外拓展课外拓展:右图中，在一直角三角右图中，在一直角三角形余料中截出一个面积最形余料中截出一个面积最大的正方形零件，应如何大的正方形零件，应如何截取？截取？（设正方形的三边（设正方形的三边分别是分别是3、4、5、那么最大、那么最大的面积是多少？）的面积是多少？）BAC解：设正方形解：设正方形DEFP的边长为的边长为x厘米。厘米。因为因为DEAB，所以，所以CDE CBA所以所以CMCN=DEAB因此因此 ，得得 x=36（毫米）。（毫米）。答：答：-。60 x60=x90问题解答问题解答:PBACDEFMN演变演变1：如图，有一块锐角三角形余料：如图，有一块锐角三角形余料ABC，它，它的边的边BC=a，高，高AD=h，要把它加工成，要把它加工成矩形矩形零件，零件，使使矩形矩形的一边在的一边在BC上，其余两个顶点分别在上，其余两个顶点分别在AB，AC上。上。求求（1）设）设PN=x，矩形，矩形PQMN的面积为的面积为y，求，求y关关于于x的函数关系式，并指出的函数关系式，并指出x的取值范围。（的取值范围。（2）当当h=6，a=8时，请你求出面积等于时，请你求出面积等于9的矩形的矩形PQMN的边长的边长PN。（。（3）按题设要求得到的无数）按题设要求得到的无数个矩形中，是否能找到两个不同的矩形，使它们个矩形中，是否能找到两个不同的矩形，使它们的面积之和等于的面积之和等于ABC的面积？如果能找到，请的面积？如果能找到，请求出它们的边长，如果找不到，请你说明理由。求出它们的边长，如果找不到，请你说明理由。求求（1）设）设PN=x，矩形，矩形PQMN的面积为的面积为y，求，求y关于关于x的函数关系式，并指出的函数关系式，并指出x的取值范围。的取值范围。ABCDEPQMN(2)当当h=6，a=8时，请你求出面积等于时，请你求出面积等于9的矩形的矩形PQMN的边长的边长PN。（3）按题设要求得到的无数个矩形中，是否）按题设要求得到的无数个矩形中，是否能找到两个不同的矩形，使它们的面积之和能找到两个不同的矩形，使它们的面积之和等于等于ABC的面积？如果能找到，请求出它们的面积？如果能找到，请求出它们的边长，如果找不到，请你说明理由。的边长，如果找不到，请你说明理由。演变演变2：把正方形：把正方形PQMN换成等腰直角三角形换成等腰直角三角形PMN，直角顶点，直角顶点P在在BC上上,斜边斜边MN的两个端点的两个端点分别在分别在AB,AC上上,且斜边且斜边MNBC,结论改为结论改为“求求等腰直角三角形等腰直角三角形PMN的面积的面积”。CABPMNEN120ABCPQ80NABCDPQM12080CAB6080变式变式3：变式变式4：把正方形把正方形PQMN换成矩形换成矩形PQMN，并增加条件矩形，并增加条件矩形PQMN的周长为的周长为200mm，结果改为，结果改为“求矩形求矩形PQMN的长和的长和宽宽”ABCPQMND12080变式变式5：把正方形把正方形PQMN改为矩形改为矩形PQMN，并把，并把“AD=80，BC=120”改为改为AD=6mm，BC=8mm”，把结果改为求设，把结果改为求设PN=x，矩形矩形PQMN的面积为的面积为y，求，求y关于关于x的函数表达式，并指出的函数表达式，并指出x的的取值范围取值范围.当为当为PQ何值时，矩形何值时，矩形PQMN的面积最大的面积最大ABCPQMND86x变式变式6：把正方形把正方形PQMN换成等腰直角三角形换成等腰直角三角形PMN，直角顶，直角顶点点P在在BC上，斜边上，斜边MN的两个端点分别在的两个端点分别在AB，AC上，且上，且MN/BC，结论改为，结论改为“求等腰直角三角形求等腰直角三角形PMN的面积的面积”ABCMNPDE12080探索：如图梯形探索：如图梯形ABCD中，中，ABCD。已知。已知AB=25，AD=DC=16，问对角线，问对角线BD能否把梯形能否把梯形分成两个相似的三角形。若不能，请给出证明；分成两个相似的三角形。若不能，请给出证明；若能，求出的若能，求出的BC，BD长。长。BDCA161625 再见