组合数的性质和应用

组合数的性质和应用组合数的性质和应用复习巩固：复习巩固：1 1、组合定义、组合定义:一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素）个元素并成一并成一组组，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个组合组合从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数，个元素的所有组合的个数，叫做从叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的组合数组合数，用符号，用符号 表示表示.2 2、组合数、组合数:3、组合数公式、组合数公式:新课引入 引例1:利用组合数公式考察利用组合数公式考察:与与;与与;的关系的关系,并发现什么规律并发现什么规律?从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个不同的元素的方法个不同的元素的方法从从n个不同元素中取出个不同元素中取出nm个不同的元素的方法个不同的元素的方法一一对应用组合的定义思考用组合的定义思考=注注 即从即从n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m个元素的组个元素的组合数合数,等于从这等于从这n个元素中取出个元素中取出n-m个元素的组个元素的组合数合数性质性质1 1证明证明:根据组合数的公式有根据组合数的公式有:引例引例2：一个口袋内装有大小相同的一个口袋内装有大小相同的7个白球和个白球和一个黑球一个黑球.(1)从口袋内取出从口袋内取出3个球个球,共有多少中取法共有多少中取法?(2)从口袋内取出从口袋内取出3个球个球,使其中含有使其中含有1个黑球个黑球,有有多少种取法多少种取法?(3)从口袋中取出从口袋中取出3个球个球,使其中不含黑球使其中不含黑球,有多少有多少种取法种取法?即从口袋内的即从口袋内的8个球中所取出的个球中所取出的3个球个球,可以可以分为两类分为两类:一类含一类含1个黑球个黑球,一类不含黑球一类不含黑球.所以根所以根据分类计数原理据分类计数原理,上面等式成立上面等式成立.性质性质21、公式特征：公式特征：下标相同而上标差下标相同而上标差1的两个组合的两个组合数之和，等于下标比原下标多数之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数数上标较大的相同的一个组合数.2、此性质的作用：此性质的作用：恒等变形，简化运算在今恒等变形，简化运算在今后学习后学习“二项式定理二项式定理”时，我们会看到它的主时，我们会看到它的主要应用要应用 性质性质2例例1 计算计算例例2计算：计算：解：解：原式原式 （2 2）已知已知 C18=C18 ，求求n n的值的值变式变式(1)(1)已知已知 C n=Cn ，求求n n的值的值 13 7n 3n-6 D 190 巩固练习36人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的去法？解：有6类办法，第1类去1人，第2类去2人，第3类去3人，第4类去4人，第5类去5人，第6类去6人，所以共有不同的去法巩固练习小结2.组合数性质:1.组合数公式:组合数的应用一、等分组与不等分组问题一、等分组与不等分组问题例例3、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；（1）分成三份，每份两本；）分成三份，每份两本；（2）分给甲、乙、丙三人，每人两本；）分给甲、乙、丙三人，每人两本；（3）分成三份，一份）分成三份，一份1本，一份本，一份2本，一份本，一份3本；本；（4）分给甲、乙、丙）分给甲、乙、丙3人，一人人，一人1本，一人本，一人2本，一人本，一人3本；本；（5）分给甲、乙、丙）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本；人，每人至少一本；（6）分给）分给5个人，每人至少一本；个人，每人至少一本；（7）6本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本。本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本。变式、变式、（1）今有今有10件不同奖品件不同奖品,从中选从中选6件分成三份件分成三份,二份各二份各1件件,另一份另一份4件件,有多少种分法有多少种分法?（2）10件不同奖品中选件不同奖品中选6件分成三份件分成三份,二份各二份各1件件,另一份另一份4件，发给三个同学，有多少种分法？件，发给三个同学，有多少种分法？(3)将将8个学生干部的培训指标分配给个学生干部的培训指标分配给5个不同的班个不同的班级，每班至少分到级，每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分个名额，共有多少种不同的分配方法？配方法？练习练习2:将将5个人分成个人分成4个组，每组至少个组，每组至少1人，人，则分组的种数是多少？则分组的种数是多少？练习练习1:将将12个人分成个人分成2，2，2，3，3的的5个个组，则分组的种数是多少？组，则分组的种数是多少？A 练习练习例例4、某城新建的一条道路上有、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（盏灯，可以熄灭的方法共有（）（A）种（种（B）种种（C）种种（D）种种二、不相邻问题插空法二、不相邻问题插空法变式变式1：为美化城市，现在要把一条路上：为美化城市，现在要把一条路上7盏路灯全部改装成彩色路灯，如果彩色路盏路灯全部改装成彩色路灯，如果彩色路灯有红、黄与兰共灯有红、黄与兰共3种颜色，在安装时要求种颜色，在安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯至少要有的路灯至少要有2盏，有多少种不同的安装盏，有多少种不同的安装方法？方法？114种种三、混合问题，先三、混合问题，先“组组”后后“排排”例例5对某种产品的对某种产品的6件不同的正品和件不同的正品和4件不同的次品件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第品恰好在第5次测试时全部发现次测试时全部发现,则这样的测试方法则这样的测试方法有种可能？有种可能？解：由题意知前解：由题意知前5次测试恰有次测试恰有4次测到次品，且第次测到次品，且第5次测试是次品。故有：次测试是次品。故有：种可能。种可能。变式变式1.10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出任意取出4只，试求满足如下条件各有多少种情况：只，试求满足如下条件各有多少种情况：（1）4只鞋子恰有两双；只鞋子恰有两双；（2）4只鞋子没有成双的；只鞋子没有成双的；（3）4只鞋子只有一双。只鞋子只有一双。分析分析:(1)(1)因为因为4 4只鞋来自只鞋来自2 2双鞋双鞋,所以有所以有(2)因为因为4只鞋来自只鞋来自4双不同的鞋双不同的鞋,而从而从10双鞋中取双鞋中取4双有双有种种 方法方法,每双鞋中可取左边一只也可取右边一只每双鞋中可取左边一只也可取右边一只,各各有有 种取法种取法,所以一共有所以一共有 种取法种取法.(3)(3)因为因为4 4只鞋来自只鞋来自3 3双鞋双鞋,而从而从1010双鞋中取双鞋中取3 3双有双有 种种取法取法,3,3双鞋中取出双鞋中取出1 1双有双有 种方法种方法,另另2 2双鞋中各取双鞋中各取1 1只只有有 种方法故共有种方法故共有 种取法种取法.变式变式2：有：有4个不同的球和个不同的球和4个不同的盒子，把球个不同的盒子，把球全部放入盒内。（假设盒子足够大）全部放入盒内。（假设盒子足够大）（1）共有几种放法？（）共有几种放法？（2）每盒恰有）每盒恰有1个球，有个球，有几种放法？（几种放法？（3）恰有）恰有1个盒内放个盒内放2个球，有几种个球，有几种放法？（放法？（4）恰有）恰有2个盒子不放球，有几种放法个盒子不放球，有几种放法？（？（5）每个盒内放一个球，并且恰好有一个球）每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？（6）把）把4个不同的小球换成个不同的小球换成4个相同的小球，恰个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？有一个空盒，有多少种放法？四、分类组合四、分类组合,隔板处理隔板处理例例6、从从6个学校中选出个学校中选出30名学生参加数学竞赛名学生参加数学竞赛,每每校至少有校至少有1人人,这样有几种选法这样有几种选法?分析分析:问题相当于把个问题相当于把个30相同球放入相同球放入6个不同盒子个不同盒子(盒盒子不能空的子不能空的)有几种放法有几种放法?这类问可用这类问可用“隔板法隔板法”处理处理.解解:采用采用“隔板法隔板法”得得:变式变式1:将将7只相同的小球全部放入只相同的小球全部放入4个不同个不同盒子，每盒至少盒子，每盒至少1球的放法有多少种？球的放法有多少种？变式变式2:将将7只相同的小球全部放入只相同的小球全部放入4个不同盒个不同盒子，每盒可空，不同的放法有多少种？子，每盒可空，不同的放法有多少种？变式：变式：如下图所示如下图所示,有有5横横8竖构成的方格图竖构成的方格图,从从A到到B只能上行或右行共只能上行或右行共有多少条不同的路线有多少条不同的路线?解解:如图所示如图所示将一条路经抽象为如下的一个将一条路经抽象为如下的一个排法排法(5-1)+(8-1)=11格格:其中必有四个其中必有四个和七个和七个组成组成!所以所以,四个四个和七个和七个一个排序就对应一条路经一个排序就对应一条路经,所以从所以从A到到B共有共有 条不同的路径条不同的路径.五五.消序法消序法(留空法留空法)编号为编号为1至至n的的n个小球放入编号为个小球放入编号为1到到 n的的n个盒个盒子里子里,每个盒子放一个小球每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编要求小球与盒子的编号都不同号都不同,这种排列称为这种排列称为错位排列错位排列.六六.错位法：错位法：特别当特别当n=2,3,4,5时的错位数各为时的错位数各为1,2,9,44.例例6.编号为编号为1至至6的的6个小球放入编号为个小球放入编号为1至至6的的6个个盒子里盒子里,每个盒子放一个小球每个盒子放一个小球,其中恰有其中恰有2个小球与盒个小球与盒子的编号相同的放法有子的编号相同的放法有_种种.解：解：选取编号相同的两组球和盒子的方法有选取编号相同的两组球和盒子的方法有 种种,其余其余4组球与盒子需错位排列有组球与盒子需错位排列有9种放法种放法.故所求方法有故所求方法有159135种种.七七.剔除法剔除法 从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法间接解题的方法.例例7.从集合从集合0,1,2,3,5,7,11中任取中任取3个元素分别作为直个元素分别作为直线方程线方程Ax+By+C=0中的中的A、B、C，所得的经过坐标，所得的经过坐标原点的直线有原点的直线有_条条.解：所有这样的直线共有解：所有这样的直线共有 条，条，其中不过原点的直线有其中不过原点的直线有 条，条，所得的经过坐标原点的直线有所得的经过坐标原点的直线有210-18030条条.排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.例例8 8.“.“抗抗震震救救灾灾，众众志志成成城城”，在在我我国国甘甘肃舟舟曲曲的的抗抗震震救救灾灾中中，某某医医院院从从1010名名医医疗专家家中中抽抽调6 6名名奔奔赴赴某某灾灾区区救救灾灾，其其中中这1010名名医医疗专家中有家中有4 4名是外科名是外科专家家问：(1)(1)抽抽调的的6 6名名专家家中中恰恰有有2 2名名是是外外科科专家家的的抽抽调方法有多少种？方法有多少种？(2)(2)至少有至少有2 2名外科名外科专家的抽家的抽调方法有多少种？方法有多少种？(3)(3)至多有至多有2 2名外科名外科专家的抽家的抽调方法有多少种？方法有多少种？l规范解答规范解答(1)分步：首先从分步：首先从4名外科专家中任选名外科专家中任选2名，名，l有有 种选法，再从除外科专家的种选法，再从除外科专家的6人中选取人中选取4人，有人，有l 种选法，所以共有种选法，所以共有 种抽调方法种抽调方法.(2)“至少至少”的含义是不低于，有两种解答方法，的含义是不低于，有两种解答方法，方法一方法一(直接法直接法)：按选取的外科专家的人数分类：按选取的外科专家的人数分类：选选2名外科专家，共有名外科专家，共有C42C64种选法；种选法；选选3名外科专家，共有名外科专家，共有C43C63种选法；种选法；选选4名外科专家，共有名外科专家，共有C44C62种选法；种选法；根据分类加法计数原理，共有根据分类加法计数原理，共有C42C64C43C63C44C62185种抽调方法种抽调方法.方法二方法二(间接法间接法)：不考虑是否有外科专家，共有：不考虑是否有外科专家，共有 种选法，考虑选取种选法，考虑选取1名外科专家参加，有名外科专家参加，有 种选种选法；没有外科专家参加，有法；没有外科专家参加，有 种选法，所以共有：种选法，所以共有：种抽调方法种抽调方法.(3)“(3)“至至多多2 2名名”包包括括“没没有有”、“有有1 1名名”、“有有2 2名名”三种情况，分三种情况，分类解答解答没有外科没有外科专家参加，有家参加，有C C6 66 6种种选法；法；有有1 1名外科名外科专家参加，有家参加，有C C4 41 1CC6 65 5种种选法；法；有有2 2名外科名外科专家参加，有家参加，有C C4 42 2CC6 64 4种种选法法.所以共有所以共有C C6 66 6C C4 41 1CC6 65 5C C4 42 2CC6 64 4115115种抽种抽调方法方法.题后感悟解答有限制条件的组合问题的基本方法：课堂练习：课堂练习：课堂练习：课堂练习：2、从、从6位同学中选出位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则有不同的选法种数为至多有一个人参加，则有不同的选法种数为 。3、要从、要从8名男医生和名男医生和7名女医生中选名女医生中选5人组成一个医疗队，如果人组成一个医疗队，如果其中至少有其中至少有2名男医生和至少有名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数名女医生，则不同的选法种数为（为（）4、从、从7人中选出人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（）1、把、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人，人，若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分法有法有 种种。99CD课堂练习：课堂练习：5、4个学生和个学生和3个老师排成一排照相，老师不能排两端，个老师排成一排照相，老师不能排两端，且老师必须排在一起的不同排法种数是（且老师必须排在一起的不同排法种数是（）A.B.C.D.D6、计划展出、计划展出10幅不同的画，其中幅不同的画，其中1幅水彩画，幅水彩画，4幅油画，幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，那么不同的陈列方式有（一起，那么不同的陈列方式有（）B7、在、在7名运动员中选出名运动员中选出4名组成接力队，参加名组成接力队，参加4100米米接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间两棒的安排方法接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间两棒的安排方法有多少种？有多少种？8:9件不同的玩具，按下列方案有几种分法？件不同的玩具，按下列方案有几种分法？1.甲得甲得2件，乙得件，乙得3件，丙得件，丙得4件，有多少种分法？件，有多少种分法？2.一人得一人得2件，一人得件，一人得3件，一人得件，一人得4件，有多少种件，有多少种分法？分法？3.每人每人3件，有多少种分法？件，有多少种分法？4.平均分成三堆，有多少种分法？平均分成三堆，有多少种分法？5.分为分为2、2、2、3四堆，有多少种分法？四堆，有多少种分法？解：解：2、求 的值 4、求C2+C3+C4+C5+C6+C100的值 2 2 2222作业：1、C100C99 90 893、已知 ,求x的值C12=C11+C11 7 7 x=（）A、C10011B、C 99 9D、C10012C、C99105、求的值1解组合应用题的总体思路解组合应用题的总体思路(1)考考查顺序序区区别排排列列与与组合合的的重重要要标志志是是“有有序序”与与“无无序序”，无无序序问题用用组合解答，有序合解答，有序问题属排列属排列问题(2)整体分整体分类对事事件件进行行整整体体分分类，从从集集合合的的意意义讲，分分类要要做做到到各各类的的并集等于全集并集等于全集计算算结果果时，使用分，使用分类计数原理数原理(3)局部分步局部分步整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续且独立，计算每一类相应结果时使用分步计数原理连续且独立，计算每一类相应结果时使用分步计数原理l(4)辨证地看待辨证地看待“元素元素”与与“位置位置”排列、组合问题中的元素与位排列、组合问题中的元素与位l置没有严格的界定标准，哪些事件看成元素或位置，随解题者置没有严格的界定标准，哪些事件看成元素或位置，随解题者l的思维方式的变化而变化，要视具体情况而定有时的思维方式的变化而变化，要视具体情况而定有时“元素选元素选l位置位置”，问题解决得简捷，有时，问题解决得简捷，有时“位置选元素位置选元素”，效果会更好，效果会更好2组合常见问题及对策(1)无条件限制的无条件限制的组合合应用用题其解其解题步步骤：判断；判断；转化；转化；求值；求值；作答作答(2)有限制条件的组合应用题有限制条件的组合应用题“含含”与与“不不含含”问问题题，其其解解题题思思路路是是将将限限制制条条件件视视为为特特殊殊元元素素和和特特殊殊位位置置，一一般般来来讲讲，特特殊殊要要先先满满足足，其其余余则则“一一视视同同仁仁”若若正正面面入入手手不不易易，则则从从反反面面入入手手，寻寻找找问问题题的的突突破破口口，即即采采用用排排除除法法解解题题时时要要注注意意分分清清“有有且且仅仅有有”、“至至多多”“至至少少”、“全全是是”、“都都不不是是”、“不不都都是是”等等词词语语的的确确切切含含义义，准准确确把把握分类标准握分类标准“至多至多”与与“至少至少”问题问题这类问题通常采用排除法，也可以用直接法这类问题通常采用排除法，也可以用直接法几何中的计算问题几何中的计算问题在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！44