线性代数课件

线性代数课件线性代数课件行列式行列式矩阵矩阵线性方程组线性方程组向量空间向量空间矩阵的特征值矩阵的特征值二次型二次型1.教材内容教材内容:2.学习方法与要求学习方法与要求;预习预习+课堂学习课堂学习+课外练习课外练习 课本课本+练习本练习本+笔笔 本期应完成本期应完成:10次作业次作业、2次考试（次考试（4次考试）次考试）线性代数线性代数(Linear Algebra)简介简介加法与乘法被看成是代数系统中的一般运算。加法与乘法被看成是代数系统中的一般运算。一一.代数代数:是指由字母或符号来研究数及其结构的科学。是指由字母或符号来研究数及其结构的科学。1.初等代数初等代数 代数的起源可以追溯至代数的起源可以追溯至3000多年前的古埃及多年前的古埃及人和古巴比伦人。人和古巴比伦人。初期的代数主要源于解方程初期的代数主要源于解方程.我国古代的我国古代的九章算术九章算术中就有方程问题。中就有方程问题。初等代数研究的对象初等代数研究的对象:代数式的运算和方程的求解。代数式的运算和方程的求解。整式、分式和根式是初等代数的三大类代数式。整式、分式和根式是初等代数的三大类代数式。四则运算，乘方和开方运算四则运算，乘方和开方运算,通常称为初等代数通常称为初等代数的代数运算的代数运算.初等代数的十条规则初等代数的十条规则:(1)五条基本运算律：五条基本运算律：加法交换律、加法结合律、加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、分配律；乘法交换律、乘法结合律、分配律；(2)两条等式基本性质两条等式基本性质:等式两边同时加上一个数，等式不变；等式两边同时加上一个数，等式不变；等式两边同时乘以一个非零的数，等式不变；等式两边同时乘以一个非零的数，等式不变；(3)三条指数律：三条指数律：同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相乘，底数不变指数相加；指数的乘方等于底数不变指数相乘指数的乘方等于底数不变指数相乘；积的乘方等于乘方的积。积的乘方等于乘方的积。人们在解方程的研究过程中发现了人们在解方程的研究过程中发现了无理数、负数和复数，无理数、负数和复数，从而使数的概念得到了扩充。从而使数的概念得到了扩充。2 2、代数的基本定理代数的基本定理1799年高斯（年高斯（Gauss）证明：）证明：复数域上任意一个一元复数域上任意一个一元n次（次（n0）方程）方程任何一个一元任何一个一元n次方程在复数域上次方程在复数域上有且仅有有且仅有n个根（重根按重数计算）个根（重根按重数计算）至少有至少有1个根个根,这就是说这就是说,至少有至少有1个复数个复数x满满足这个等式；足这个等式；3.多项式方程的代数解问题多项式方程的代数解问题方程的代数解是指方程的代数解是指:方程经过有限次代数运算得到的解。方程经过有限次代数运算得到的解。例如：例如：的解的解.，阿贝尔（阿贝尔（AbelAbel）(1802(18021829)1829)证明了五次方程不可能有代数解证明了五次方程不可能有代数解4 4、方程根与系数的关系、方程根与系数的关系韦达定理达定理:设一元二次方程一元二次方程在复数域上的两个根在复数域上的两个根为,则有有 一般地一般地:设设在复数域上的在复数域上的n n个根个根为,则有有 2.高等代数高等代数 1832年法国数学家伽罗瓦运用年法国数学家伽罗瓦运用“群群”的思想彻的思想彻底解决了用根式求解代数方程的可能性底解决了用根式求解代数方程的可能性,由此由此代数转变成为研究代数运算结构的科学代数转变成为研究代数运算结构的科学.二二.线性代数线性代数“线性线性”的含义是指未知量的一次式。的含义是指未知量的一次式。例如例如:y=ax表示变量表示变量y是变量是变量x的一个线性函数，的一个线性函数，y=ax1+bx2表示变量表示变量y是是x1，x2的线性关系。的线性关系。一个线性表示不能包含诸如一个线性表示不能包含诸如x2和和x1x2的二次项，的二次项，这些二次项是非线性的。这些二次项是非线性的。线性代数的研究对象线性代数的研究对象:线性方程组、线性空间和线性变换。线性方程组、线性空间和线性变换。行列式和矩阵的是线性代数的两个重要工具行列式和矩阵的是线性代数的两个重要工具.1 1、求解线性方程组、求解线性方程组例例1：明代程大为著的：明代程大为著的算法统宗算法统宗中记载：中记载：100个和尚分个和尚分100个馒头。大和尚一人个馒头。大和尚一人3个，小和个，小和尚尚3人一个，刚好分完。问大、小和尚各多少人？人一个，刚好分完。问大、小和尚各多少人？解：设有大和尚解：设有大和尚x人，小和尚人，小和尚y人，于是有人，于是有用代入法求得：用代入法求得：，代入，代入，解出：，解出：例例2：中国古代算书：中国古代算书张丘建算经张丘建算经记载百鸡问记载百鸡问题：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，题：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡三只值一文钱，现在用一百文钱买一百只小鸡三只值一文钱，现在用一百文钱买一百只鸡，问：在这一百鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各鸡，问：在这一百鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？有多少只？解：设有公鸡解：设有公鸡x只，母鸡只，母鸡y只，小鸡只，小鸡z只，则有只，则有有（有（2 2）33（1 1）得）得 因为因为y是整数，可设是整数，可设 代入得：代入得：又又y0,y0,可知可知k=1,2,3,k=1,2,3,由此得由此得或或或或例例3求解下列线性方程组求解下列线性方程组(1)(2)(3)解解:由由(2)-(1)得得(3)方程组与下列方程组方程组与下列方程组同解同解 (4)(5)由由(5)2(4):k是任意常数是任意常数令令:解解:利用高斯（利用高斯（Gauss）消元法求解）消元法求解.将将1,2两个方程两个方程互换位置得互换位置得由第由第1个方程分别乘个方程分别乘-2,-2,-3,后与后与2,3,4方程相加方程相加,得得同理同理:将将2,3方程互换位置方程互换位置,得得把第把第3,4两个方程分别两个方程分别加上第加上第2个方程的个方程的-4,-1倍倍,得得同理同理;得得 从第从第3个方程回代个方程回代 利用高斯消元法求解线性方程组利用高斯消元法求解线性方程组解解:原方程组原方程组 无解无解.若我们进一步若我们进一步变换可得变换可得:从以上例题可以看出从以上例题可以看出,线性方程组的解有线性方程组的解有3种种情况情况:唯一解、无穷解和无解。唯一解、无穷解和无解。当未知量或方程组的个数增多时当未知量或方程组的个数增多时,常用高斯消元法求解方程组常用高斯消元法求解方程组.一般地一般地,方程组可表示为方程组可表示为:它是线性代数的主要研究对象。它是线性代数的主要研究对象。例例:总收入问题总收入问题某地区有某地区有1 1个工厂个工厂,生产甲生产甲,乙乙,丙丙3 3种产品种产品,x xi i(i=1,2,3),(i=1,2,3),表示工厂生产这表示工厂生产这3 3种产品的数量种产品的数量,a ai i(i=1,2,3)(i=1,2,3)表示第表示第i i种产品的单价种产品的单价,y,y表示这表示这3 3种产品的总收入种产品的总收入,则有则有:若某地区有若某地区有1,2,3,41,2,3,4个工厂个工厂,生产甲生产甲,乙乙,丙丙3 3种种产品产品,x,xkiki(k=1,2,3,4;i=1,2,3)(k=1,2,3,4;i=1,2,3)是是k k工厂生产工厂生产i i种种产品的数量产品的数量,a,ai i(i=1,2,3)(i=1,2,3)表示表示i i种产品的单价种产品的单价,y yk k表示表示k k工厂的总收入工厂的总收入,则有则有:2 2、线性代数的数学模型、线性代数的数学模型在一个经济系统中在一个经济系统中,一个企业既是生产者又是消一个企业既是生产者又是消费者费者,作为生产者作为生产者,它有产出它有产出,作为消费者它有投作为消费者它有投入入,企业之间的这种平衡关系可以用一系列的线企业之间的这种平衡关系可以用一系列的线性方程组来表示性方程组来表示,这就是列昂节夫这就是列昂节夫(诺贝尔经济学诺贝尔经济学奖获得者奖获得者)的投入产出数学模型的投入产出数学模型.例全球定位系统例全球定位系统GPSGPS 要想知道卡车在公路上行驶时的位置可利用要想知道卡车在公路上行驶时的位置可利用GPS系统系统.这个系统是由这个系统是由24颗高轨道卫星组成颗高轨道卫星组成,卡卡车从其中车从其中3颗卫星接受信号颗卫星接受信号,接受器里的软件利接受器里的软件利用线性代数方法来确定卡车的位置用线性代数方法来确定卡车的位置.当卡车和一颗卫星联系时当卡车和一颗卫星联系时,接受器从信号往返接受器从信号往返的时间能确定卡车到卫星的距离的时间能确定卡车到卫星的距离,例如例如14000公里公里,从卫星来看从卫星来看,知道卡车位于以卫星为球心知道卡车位于以卫星为球心,半径为半径为14000公里的球面上的某地公里的球面上的某地.设卡车位置设卡车位置(x,y,z),第第一颗卫星位置一颗卫星位置(a1,b1,c1)即即同理同理 假设第假设第2,3颗卫星的位置分别是颗卫星的位置分别是(a2,b2,c2)和和(a3,b3,c3)距卡车的距离分别是距卡车的距离分别是17000和和16000公里公里,则有则有这些关系式不是线性关系式这些关系式不是线性关系式,要求要求(x,y,z)由由(1)减减(2),(3)得得:例例:动画问题动画问题动画设计中常常用到坐标变换如动画设计中常常用到坐标变换如:平移平移 旋转等旋转等设平面上的点为设平面上的点为(x,y)平移变换后为平移变换后为则则:设平面上的点为设平面上的点为(x,y)旋转变换后为旋转变换后为则则:(x,y)r1 n阶行列式的定义的主要内容是阶行列式的定义的主要内容是:一一.2阶行列式和阶行列式和3阶行列式的定义阶行列式的定义(一一)2阶行列式的定义阶行列式的定义(二二)3阶行列式的定义阶行列式的定义二二.n阶行列式的定义阶行列式的定义行列式简介行列式简介行列式出现于线性方程组的求解行列式出现于线性方程组的求解。它是数学语言上的改革它是数学语言上的改革,它的简化的记法常常是深奥理论的源泉。它的简化的记法常常是深奥理论的源泉。P.S.Laplace是一种速记表达式是一种速记表达式.行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家 关孝和提出来的关孝和提出来的(1683 年年)Vandermonde 首次对行列式理论进行系统的阐述首次对行列式理论进行系统的阐述 成为行列式理论的奠基人成为行列式理论的奠基人.用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组一一.2阶行列式和阶行列式和3阶行列式的定义阶行列式的定义(一一)2阶行列式的定义阶行列式的定义方程组的解为方程组的解为由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定.由四个数排成二行二列（横排称行、竖排由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表称列）的数表定义定义定义定义即即主对角线主对角线副对角线副对角线对角线法则对角线法则二阶行列式的计算二阶行列式的计算若记若记对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式则二元线性方程组的解为则二元线性方程组的解为注意注意 分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数行列式.例例例例1 1 1 1解解(二二)三阶行列式的定义三阶行列式的定义解三元一次方程组解三元一次方程组 由（由（1）（）（2）消）消x3,同理（同理（1）（）（3）消）消x3得得 由二元一次方程组可知由二元一次方程组可知:若系数行列式若系数行列式:即即:那么那么:三元线性方程组三元线性方程组:若若系数行列式不等于零系数行列式不等于零,有解有解:(二二)三阶行列式的定义三阶行列式的定义定义定义定义定义记记记记（1 1）式称为数表所确定的）式称为数表所确定的三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式.(1)(1)沙路法沙路法三阶行列式的计算三阶行列式的计算.列标列标行标行标(2)(2)(2)(2)对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明 对角线法则只适用于对角线法则只适用于二二阶与阶与三三阶行列式阶行列式 例例例例 解解解解按对角线法则，有按对角线法则，有二二.四阶行列式与四阶行列式与n阶行列式的定义阶行列式的定义不适用对角线定义不适用对角线定义.1+1三阶行列式的沙路法和对角线法不适用四三阶行列式的沙路法和对角线法不适用四阶行列式阶行列式二二.四阶行列式与四阶行列式与n n阶行列式的定义阶行列式的定义例例:求求x4=?(1)(2)(3)(4)由由(2)+(3)得得:得得:103观察观察2阶和阶和3阶行列式阶行列式:=?三阶行列式三阶行列式:+1232313121322133210个个2个个2个个偶排列偶排列1个个1个个3个个奇排列奇排列记记:为排列的逆序数总数为排列的逆序数总数.规定规定=行列式的一般项定义行列式的一般项定义.补充说明补充说明:行列式的一般项定义中列标可按自行列式的一般项定义中列标可按自然顺序排列然顺序排列.例如例如:n阶行列式的一般项定义阶行列式的一般项定义行列式的行列式的一般项一般项简记简记 其中其中aij是行列式的元数是行列式的元数.例：例：写出四阶行列式中含有因子写出四阶行列式中含有因子 的项的项.例：例：计算行列式计算行列式例例1 1计算对角行列式计算对角行列式分析分析展开式中一般项中的元素积展开式中一般项中的元素积:所以所以 只能等于只能等于 ,同理可得同理可得解解即行列式中不为零的项为即行列式中不为零的项为5 5 行列式的性质行列式的性质一、行列式的性质一、行列式的性质行列式行列式 称为行列式称为行列式 的的转置行列式转置行列式.若记若记 ，则，则 .记记性质性质1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等,即即 .性质性质1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.证明证明根据行列式的定义，有根据行列式的定义，有若记若记 ，则，则行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立成立的对列也同样成立.性质性质2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式变号行列式变号.验证验证于是于是推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 ，所以，所以 .备注：交换第备注：交换第 行（列）和第行（列）和第 行（列），记作行（列），记作 .性质性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数倍数 ，等于用数，等于用数 乘以此行列式乘以此行列式.验证验证我们以我们以三三阶行列式为例阶行列式为例.记记 根据三阶行列式的对角线法则，有根据三阶行列式的对角线法则，有备注：第备注：第 行（列）乘以行（列）乘以 ，记作，记作 .推论推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面到行列式符号的外面备注：第备注：第 行（列）提出公因子行（列）提出公因子 ，记作，记作 .验证验证我们以我们以4阶行列式为例阶行列式为例.性质性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零式为零性质性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,例如：例如：则则验证验证我们以我们以三三阶行列式为例阶行列式为例.性质性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行列式不变对应的元素上去，行列式不变则则验证验证我们以我们以三三阶行列式为例阶行列式为例.记记 备注：以数备注：以数 乘第乘第 行（列）加到第行（列）加到第 行（列）上，记作行（列）上，记作 .例如例如3或或2阶行列式的按第阶行列式的按第1行展开式归纳如下行展开式归纳如下:四阶行列式与四阶行列式与n阶行列式按行展开式定义阶行列式按行展开式定义.按照这一规律观察按照这一规律观察2阶阶:=规定规定:在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式例如例如 的余子式和的余子式和代数余子式代数余子式1.1.余子式与代数余子式余子式与代数余子式 的余子式和的余子式和代数余子式代数余子式定义定义:由由n n2 2个数个数aijij(ij=1,2,(ij=1,2,n)n)组成的组成的n n阶行列阶行列式式n阶行列式按第阶行列式按第1行展开的定义行展开的定义 是一个算式是一个算式.当当n=1时时,定义定义D=当当n2时时,定义为定义为 其中其中:例例1=40按第按第1行的元素展开行的元素展开推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即应元素的代数余子式乘积之和等于零，即分析分析 我们以我们以3阶行列式为例阶行列式为例.把第把第1行的元素换成第行的元素换成第2行的对应元素，则行的对应元素，则 定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即的代数余子式乘积之和，即推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即应元素的代数余子式乘积之和等于零，即综上所述，有综上所述，有同理可得同理可得例例 计算行列式计算行列式例例 设设 求求及及几类特殊的几类特殊的n阶行列式的计算阶行列式的计算 克拉默法则克拉默法则二元线性方程组二元线性方程组 若令若令 (方程组的系数行列式方程组的系数行列式)则上述二元线性方程组的解可表示为则上述二元线性方程组的解可表示为一、克拉默法则一、克拉默法则如果线性方程组如果线性方程组的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程组右端列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的的常数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即那么线性方程组那么线性方程组(1)(1)有解并且解是唯一的，解可以表示成有解并且解是唯一的，解可以表示成定理中包含着三个结论：定理中包含着三个结论：方程组有解；方程组有解；（解的存在性）（解的存在性）解是唯一的；解是唯一的；（解的唯一性）（解的唯一性）解可以由公式解可以由公式(2)给出给出.这三个结论是有联系的这三个结论是有联系的.应该注意，该定理所讨论的只是系应该注意，该定理所讨论的只是系数行列式不为零的方程组，至于系数行列式等于零的情形，数行列式不为零的方程组，至于系数行列式等于零的情形，将在第三章的一般情形中一并讨论将在第三章的一般情形中一并讨论.关于关于克拉默克拉默法则的等价命题法则的等价命题定理定理4 如果线性方程组如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则该的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解线性方程组一定有解,而且解是唯一的而且解是唯一的 .定理定理4 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零数行列式必为零.设设例例 解线性方程组解线性方程组解解线性方程组线性方程组常数项全为零的线性方程组称为常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组齐次线性方程组，否则，否则称为称为非齐次线性方程组非齐次线性方程组.齐次线性方程组总是有解的，因为齐次线性方程组总是有解的，因为(0,0,(0,0,0),0)就是一个就是一个解，称为解，称为零解零解.因此，齐次线性方程组一定有零解，但因此，齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解不一定有非零解.我们关心的问题是，齐次线性方程组除零解以外是否存我们关心的问题是，齐次线性方程组除零解以外是否存在着非零解在着非零解.齐次线性方程组的相关定理齐次线性方程组的相关定理定理定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式如果齐次线性方程组的系数行列式 ，则齐次，则齐次线性方程组只有零解，没有非零解线性方程组只有零解，没有非零解.定理定理5 如果齐次线性方程组有非零解如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为则它的系数行列式必为零零.备注备注1.1.这两个结论说明系数行列式等于零是齐次线性方程组有非这两个结论说明系数行列式等于零是齐次线性方程组有非零解的必要条件零解的必要条件.2.2.在第三章还将证明这个条件也是充分的在第三章还将证明这个条件也是充分的.即：即：齐次线性方程组有非零解齐次线性方程组有非零解 系数行列式等于零系数行列式等于零练习题：练习题：问问 取何值时，齐次方程组取何值时，齐次方程组有非零解？有非零解？解解如果齐次方程组有非零解，则必有如果齐次方程组有非零解，则必有 .所以所以 时齐次方程组有非零解时齐次方程组有非零解.思考题思考题当线性方程组的系数行列式为零时，能否用克拉默法则当线性方程组的系数行列式为零时，能否用克拉默法则解方程组？为什么？此时方程组的解为何？解方程组？为什么？此时方程组的解为何？答：当线性方程组的系数行列式为零时，不能用克拉默法答：当线性方程组的系数行列式为零时，不能用克拉默法则解方程组，因为此时方程组的解为无解或有无穷多解则解方程组，因为此时方程组的解为无解或有无穷多解.