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线性代数课件线性代数课件-6.1-6.1矩阵矩阵的特征值与特征向量的特征值与特征向量本章的主要内容本章的主要内容6.1 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量6.2 相似矩阵与矩阵对角化相似矩阵与矩阵对角化6.3 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化1.矩阵的特征值与特征向量的定义矩阵的特征值与特征向量的定义3.矩阵的特征值与特征向量的性质矩阵的特征值与特征向量的性质6.1 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量2.矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算1、基本概念、基本概念定义定义设设A 是是n 阶矩阵，如果数阶矩阵，如果数 和和n 维维非零向量非零向量x满足满足Ax=x，那么数那么数 称为矩阵称为矩阵A的的特征值特征值，非零向量，非零向量x称为称为A对应于特征值对应于特征值 的的特征向量特征向量注注特征值和特征向量只针对方阵而言特征值和特征向量只针对方阵而言例例 则则 =1为矩阵为矩阵的特征值；的特征值；为对应于为对应于 =1的特征向量的特征向量.2、特征值与特征向量的计算、特征值与特征向量的计算已知已知所以齐次线性方程组有非零解所以齐次线性方程组有非零解.特特征征方方程程特特征征多多项项式式l特征方程特征方程|A I|=0l特征多项式特征多项式f()=|A I|(为未知数的一元为未知数的一元n次多项式次多项式)求特征值、特征向量的方法求特征值、特征向量的方法:求出求出 即为特征值即为特征值;把得到的特征值把得到的特征值 代入上式代入上式,求齐次线性方程组求齐次线性方程组的非零解的非零解 x,即为所求特征向量即为所求特征向量.特征值就是特征方程的根特征值就是特征方程的根注注 在复数范围内在复数范围内n 阶矩阵阶矩阵有有n 个特征值个特征值(重根按重数计算重根按重数计算)称集合称集合 1,n 为矩阵为矩阵A A的的谱谱(spectrum).将将|1|,|1|,|n|的最大值的最大值称为称为A的的谱半径谱半径,记作记作(A),即即即即例例 解解例例 解解解解 第一步：写出矩阵第一步：写出矩阵A A的特征方程的特征方程,求出特征值求出特征值.例例 求矩阵求矩阵的特征值和特征向量的特征值和特征向量.特征值为特征值为第二步：对每个特征值第二步：对每个特征值 代入齐次方程组代入齐次方程组求非零解求非零解.,齐次线性方程组为齐次线性方程组为系数矩阵系数矩阵解解 例例 求矩阵求矩阵的特征值和特征向量的特征值和特征向量.特征值为特征值为得基础解系得基础解系是对应于是对应于系数矩阵系数矩阵解解 例例 求矩阵求矩阵的特征值和特征向量的特征值和特征向量.特征值为特征值为得基础解系得基础解系是对应于是对应于齐次线性方程组为齐次线性方程组为 性质性质1 设设 n 阶方阵阶方阵A的的n个特征值为个特征值为 则则矩阵矩阵A A的主对角元素之和称为的主对角元素之和称为矩阵矩阵A的迹的迹.3、特征值和特征向量的性质、特征值和特征向量的性质 若若A的特征值是的特征值是,x是是A的对应于的对应于 的特征向量的特征向量,性质性质2 (1)kA的特征值是的特征值是k;(k是任意常数是任意常数)(m是正整数是正整数)证证再继续施行上述步骤再继续施行上述步骤 m-2 次次,就得就得 若若A的特征值是的特征值是,X是是A的对应于的对应于 的特征向量的特征向量,性质性质2 (1)kA的特征值是的特征值是k;(k是任意常数是任意常数)(m是正整数是正整数)(3)若若A可逆可逆,则则A-1-1的特征值是的特征值是-1-1,的特征值是的特征值是且且x仍然是矩阵仍然是矩阵 分别对应于分别对应于的特征向量的特征向量.证证 若若A的特征值是的特征值是,X是是A的对应于的对应于 的特征向量的特征向量,性质性质2 (1)kA的特征值是的特征值是k;(k是任意常数是任意常数)(m是正整数是正整数)(3)若若A可逆可逆,则则A-1-1的特征值是的特征值是-1-1,的特征值是的特征值是且且x仍然是矩阵仍然是矩阵 分别对应于分别对应于的特征向量的特征向量.为为x的多项式的多项式,则则f(A)的特征值的特征值 作业作业P165.1,2,3,4P170.5P213.6-3，6-6 结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！17
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