第09章 组合变形杆件的应力分析与强度计算

第第0909章章 组合变形杆件的组合变形杆件的应力分析与强度计算应力分析与强度计算本章主要介绍杆在本章主要介绍杆在斜弯曲斜弯曲、拉拉伸伸(压缩压缩)和弯曲和弯曲、偏心压缩偏心压缩(偏心拉偏心拉伸伸)以及以及弯曲和扭转弯曲和扭转等组合变形下的等组合变形下的应力和强度计算。应力和强度计算。9.1 9.1 基本概念与工程实例基本概念与工程实例9.2 9.2 斜弯曲斜弯曲 9.3 9.3 轴向拉压与弯曲的组合变形轴向拉压与弯曲的组合变形 9.4 9.4 偏心压缩（拉伸）偏心压缩（拉伸）9.5 9.5 截面核心截面核心 *9.6*9.6 弯曲与扭转组合弯曲与扭转组合 9.1 9.1 基本概念与工程实例基本概念与工程实例这些杆件同时发生两种或两种以上基本变这些杆件同时发生两种或两种以上基本变形，且不能略去其中的任何一种，称为形，且不能略去其中的任何一种，称为组合变组合变形形杆件。杆件。组合变形是属于组合变形是属于小变形小变形时，且材料是时，且材料是在线弹在线弹性性范围内工作。范围内工作。分析方法分析方法叠加法叠加法 将作用于杆件上的将作用于杆件上的荷载分解或简化荷载分解或简化成几组荷成几组荷载，每组荷载只产生一种基本变形；单独计算每载，每组荷载只产生一种基本变形；单独计算每一种基本变形下杆件的内力、应力和变形，结果一种基本变形下杆件的内力、应力和变形，结果叠加叠加起来得到组合变形下的内力、应力和变形。起来得到组合变形下的内力、应力和变形。9.2 9.2 斜弯曲斜弯曲9.2.1 9.2.1 正应力计算正应力计算9.2.2 9.2.2 中性轴的位置、最大正应力和中性轴的位置、最大正应力和 强度条件强度条件 工程中，外力不作用在梁的纵向对称工程中，外力不作用在梁的纵向对称平面（或形心主惯性平面）内，梁变形平面（或形心主惯性平面）内，梁变形后轴线不位于外力作用平面内，这种弯后轴线不位于外力作用平面内，这种弯曲称为曲称为斜弯曲斜弯曲。斜弯曲是两个相互正交的平面弯曲的组合。斜弯曲是两个相互正交的平面弯曲的组合。9.2.1 9.2.1 正应力计算正应力计算 设设F 力作用在梁自由端截面的形心力作用在梁自由端截面的形心,Fy、Fz为为F沿两形心轴的分量，杆在沿两形心轴的分量，杆在Fy和和Fz单独作用下，将分别单独作用下，将分别在在xy平面和平面和xz平面内产生平面弯曲。平面内产生平面弯曲。F与竖向形心主轴与竖向形心主轴夹角为夹角为在梁的任意横截面上，由在梁的任意横截面上，由Fy和和Fz引起的弯矩为引起的弯矩为力力F引起的引起的x截面上的弯矩。截面上的弯矩。（1）在）在Fy单独作用下单独作用下（2）在）在Fz单独作用下单独作用下 考察距固端为考察距固端为x的横截面上的横截面上A点的正应力：点的正应力：，分别为，分别为Fy和和Fz在在A点处点处引起的正应力引起的正应力应用叠加法应用叠加法9.2.29.2.2 中性轴的位置、最大正应力和强度条件中性轴的位置、最大正应力和强度条件 设中性轴上任一点的坐标为设中性轴上任一点的坐标为y0和和z0。因中性轴。因中性轴上各点处的正应力为零，即上各点处的正应力为零，即 因因M0，故，故 中性轴方程中性轴方程 上式表明，中性轴是一条通过横截面形心的直上式表明，中性轴是一条通过横截面形心的直线。线。设中性轴与设中性轴与z 轴成角，则由上式得到轴成角，则由上式得到 对对矩矩形形截截面面，Iy Iz，即即 ，因因而而中中性性轴轴与与F力力方向并不相互垂直。这是斜弯曲的一个重要特征。方向并不相互垂直。这是斜弯曲的一个重要特征。对对圆圆形形、正正多多边边形形截截面面，Iy=Iz，即即=，中中性性轴轴与与F力方向垂直，即是平面弯曲。力方向垂直，即是平面弯曲。横截面上的最大正应力，发生在离中性轴最远横截面上的最大正应力，发生在离中性轴最远的点。的点。角点角点b产生最大拉应力，角点产生最大拉应力，角点c产生最大压应力，产生最大压应力，分别为分别为 对于有凸角的截面，例如矩形、工字形截面，对于有凸角的截面，例如矩形、工字形截面，根据斜弯曲是两个平面弯曲组合的情况，最大正根据斜弯曲是两个平面弯曲组合的情况，最大正应力显然产生在角点上。应力显然产生在角点上。对于没有凸角的截面，可用作图法确定产生最对于没有凸角的截面，可用作图法确定产生最大正应力的点。大正应力的点。如图所示椭圆形截面，当确定如图所示椭圆形截面，当确定了中性轴的位置后，作平行于中性了中性轴的位置后，作平行于中性轴并切于截面周边的两条直线，切轴并切于截面周边的两条直线，切点点D1和和D2即为产生最大正应力的点。即为产生最大正应力的点。危险点处于单向应力状态，故强度条件：危险点处于单向应力状态，故强度条件：例例91 如图所示悬臂梁，采用如图所示悬臂梁，采用25a号工字钢。号工字钢。在竖直方向受均布荷载在竖直方向受均布荷载q=5kN/m 作用，在自由作用，在自由端受水平集中力端受水平集中力F=2kN作用。已知截面的几何作用。已知截面的几何性质为：性质为：I z=5023.54cm4，W z=401.9cm3，I y=280.0cm4，W y=48.28cm3。试求梁的最大拉。试求梁的最大拉应力和最大压应力。应力和最大压应力。解：解：均布荷载均布荷载q 使梁在使梁在xy平面内弯曲，集中力平面内弯曲，集中力F使使梁在梁在xz平面内弯曲，故为双向弯曲问题。两种平面内弯曲，故为双向弯曲问题。两种荷载均使固定端截面产生最大弯矩，所以固定荷载均使固定端截面产生最大弯矩，所以固定端截面是危险截面。由变形情况可知，在该截端截面是危险截面。由变形情况可知，在该截面上的面上的A 点处产生最大拉应力，点处产生最大拉应力，B 点处产生最点处产生最大压应力，且两点处应力的数值相等。大压应力，且两点处应力的数值相等。N/m2=107.7MPaMPa9.3 9.3 轴向拉压与弯曲的组合变形轴向拉压与弯曲的组合变形 对对于于EI较较大大的的杆杆，横横向向力力引引起起的的挠挠度度与与横横截截面面的的尺尺寸寸相相比比很很小小，因因此此，由由轴轴向向力力引引起起的的弯弯矩矩可可以以略略去不计去不计。可可分分别别计计算算由由横横向向力力和和轴轴向向力力引引起起的的杆杆横横截截面面上上的的正正应应力力，按按叠叠加加原原理理求求其其代代数数和和，即即得得在在轴轴向向拉拉伸伸(压缩压缩)和弯曲组合变形下，杆横截面上的正应力和弯曲组合变形下，杆横截面上的正应力。上上图图悬悬臂臂梁梁受受轴轴向向拉拉力力及及均均布布荷荷载载，以以此此为为例例来来说说明明拉拉伸伸(压压缩缩)和和弯弯曲曲组组合合变变形形下下的的正正应应力力及及强度计算方法。强度计算方法。（1）该杆受轴向力）该杆受轴向力F 拉伸时，任一横截拉伸时，任一横截面上的正应力为面上的正应力为（2）杆受均布荷载作用时，距固定端为）杆受均布荷载作用时，距固定端为x 的任意横截面上的弯曲正应力为的任意横截面上的弯曲正应力为（3）叠加得）叠加得x截面上第一象限中一点截面上第一象限中一点A(y,z)处的处的正应力为正应力为固定端截面有最大弯矩，为危险截面，按叠固定端截面有最大弯矩，为危险截面，按叠加原理，该截面的上、下边缘处各点可能是危险点，加原理，该截面的上、下边缘处各点可能是危险点，其正应力为其正应力为在这三种情况下，横截面的中性轴分别在横在这三种情况下，横截面的中性轴分别在横截面内、横截面边缘和横截面以外。截面内、横截面边缘和横截面以外。杆在拉伸杆在拉伸(压缩压缩)和弯曲组合变形下的强度条和弯曲组合变形下的强度条件为件为例例9-2 如图如图a所示托架，受荷载所示托架，受荷载F=45kN作用。设作用。设AC 杆为工字钢，许用应力杆为工字钢，许用应力=160MPa，试选择工字钢型号。，试选择工字钢型号。解：取解：取AC 杆进行分析，其受力情况如图杆进行分析，其受力情况如图b所示。所示。FAy=15kN,FBy=60kN,FAx=FBx=104kN AB段杆的变形是拉伸和弯曲的组合变形。段杆的变形是拉伸和弯曲的组合变形。AC杆的轴力图和弯矩图如图杆的轴力图和弯矩图如图c和和d所示。所示。B截面的上边缘各点处的拉应力最大，是危险点。截面的上边缘各点处的拉应力最大，是危险点。强度条件为强度条件为 因为因为 A和和Wz都是未知量，无法由上式选择都是未知量，无法由上式选择工字钢型号，通常是先只考虑弯曲应力，求出工字钢型号，通常是先只考虑弯曲应力，求出Wz后，选择后，选择Wz略大一些的工字钢，再考虑轴略大一些的工字钢，再考虑轴力的作用进行强度校核。力的作用进行强度校核。由弯曲正应力强度条件，求出由弯曲正应力强度条件，求出 由型钢表，选由型钢表，选22a 号工字钢，号工字钢，W z=309 cm3，A=42.0 cm2。考虑轴力后，最大拉应力为。考虑轴力后，最大拉应力为 N/m2=170.4MPa最大拉应力超过许用应力，不满足强度条件，最大拉应力超过许用应力，不满足强度条件，可见可见22a号工字钢截面还不够大。号工字钢截面还不够大。现重新选择现重新选择22b号工字钢，号工字钢，W z=325cm3，A=46.6cm2，此时的最大拉应力为，此时的最大拉应力为N/m2=160.9MPa此时，此时，最大拉应力虽然超过容许应力，最大拉应力虽然超过容许应力，但超过不到但超过不到5%，工程上认为仍能满足强度，工程上认为仍能满足强度要求。要求。9.4 9.4 偏心压缩（拉伸）偏心压缩（拉伸）当直杆受到与杆的轴线平行当直杆受到与杆的轴线平行但不重合但不重合的拉力或的拉力或压力作用时，即为偏心拉伸或偏心压缩压力作用时，即为偏心拉伸或偏心压缩。偏心压缩偏心压缩单偏单偏双偏双偏 以以横横截截面面具具有有两两对对称称轴轴的的等等直直杆杆承承受受距距离离截截面面形形心为心为e(称为偏心距称为偏心距)的偏心压力的偏心压力F为例，来说明。为例，来说明。将将偏偏心心压压力力F用用静静力力等等效效力力系系来来代代替替。把把A点点处处的的压压力力F向向截截面面形形心心C点点简简化化，得得到到轴轴向向压压力力F和和两两个个在在纵纵对对称称面面内内的力偶的力偶My、Mz。因此，杆将发生轴向拉伸和在两个纵对称面因此，杆将发生轴向拉伸和在两个纵对称面Oxz、Oxy内的纯弯曲。内的纯弯曲。在任一横截面上第一象限点在任一横截面上第一象限点 B(y,z)处的正应力分别为处的正应力分别为轴力轴力FN=F 引起的正应力引起的正应力弯矩弯矩Mz引起的正应力引起的正应力弯矩弯矩My引起的正应力引起的正应力 (a)(b)(c)(a)图图(c)图图(b)图图按叠加法，得按叠加法，得B点的正应力点的正应力A为横截面面积；为横截面面积；Iz、Iy分别为横截面对分别为横截面对z轴、轴、y轴轴的惯性矩。的惯性矩。利用惯性矩与惯性半径间的关系利用惯性矩与惯性半径间的关系 B点的正应力表达式变为点的正应力表达式变为 取取=0，以，以y0、z0代表中性轴上任一点的坐代表中性轴上任一点的坐标，则可得中性轴方程标，则可得中性轴方程 可见，在偏心拉伸可见，在偏心拉伸(压缩压缩)情况下，情况下，中性轴是一条不通过截面形心的直线。中性轴是一条不通过截面形心的直线。求出中性轴在求出中性轴在y、z两轴上的截距两轴上的截距 对对于于周周边边无无棱棱角角的的截截面面，可可作作两两条条与与中中性性轴轴平平行行的的直直线线与与横横截截面面的的周周边边相相切切，两两切切点点D1、D2，即即为为横横截截面面上上最最大大拉拉应应力力和和最最大大压压应应力力所所在在的的危危险险点点。相相应应的的应应力力即即为为最最大大拉拉应应力力和和最最大大压应力的值。压应力的值。对对于于周周边边具具有有棱棱角角的的截截面面，其其危危险险点点必必定定在在截截面面的的棱棱角角处处,例例中中最最大大压压应应力力和和最最大大拉拉应应力力分分别别在在截面的棱角截面的棱角D1、D2处。处。危险点处仍为单轴应力状态，其强度条件为危险点处仍为单轴应力状态，其强度条件为 例例93 一端固定并有切槽的杆，如图一端固定并有切槽的杆，如图a所示。试求最大所示。试求最大正应力。正应力。解：由观察判断，切槽处杆的横截面是危险截面，解：由观察判断，切槽处杆的横截面是危险截面，如图如图b所示。所示。（a）(b)对于该截面，对于该截面，F力是偏心拉力。现将力是偏心拉力。现将F力向该截力向该截面的形心面的形心C简化，得到截面上的轴力和弯矩分别为简化，得到截面上的轴力和弯矩分别为kNm=(100.05)kNm=0.5kNmm=(100.05)kNm=0.25kNmA点为危险点，该点处的最大拉应力为点为危险点，该点处的最大拉应力为Pa=14MPa9.5 9.5 截面核心截面核心当偏心拉（压）作用点位于当偏心拉（压）作用点位于某一个区域某一个区域时，时，横截面上只出现横截面上只出现一种性质的应力一种性质的应力(偏心拉伸时为拉偏心拉伸时为拉应力，偏心压缩时为压应力应力，偏心压缩时为压应力)，这样一个，这样一个截面形心截面形心附近的区域附近的区域就称为截面核心。就称为截面核心。对于砖、石或混凝土等材料（如对于砖、石或混凝土等材料（如桥墩桥墩），由于），由于它们的它们的抗拉强度较低抗拉强度较低，在设计这类材料的偏心受压，在设计这类材料的偏心受压杆时，最好使横截面上不出现拉应力。因此，确定杆时，最好使横截面上不出现拉应力。因此，确定截面核心是很有实际意义的。截面核心是很有实际意义的。为此，应使中性轴不与横截面相交。为此，应使中性轴不与横截面相交。前面前面偏心拉（压）偏心拉（压）计算的中性轴计算的中性轴截距表达式截距表达式:作一系列与作一系列与截面周边相切截面周边相切的直线的直线作为中性轴，作为中性轴，由由每一条每一条中性轴在中性轴在 y y、z z 轴上的轴上的截距截距a ay y、a az z，即可求得与其，即可求得与其对应的偏心力对应的偏心力作用点的坐标作用点的坐标(y yF F,z zF F)。有了一。有了一系列点，描出截面核心边界。系列点，描出截面核心边界。（一个反算过程）（一个反算过程）矩形截面矩形截面:边边长长为为a和和b的的矩矩形形截截面面，y、z两两对对称称轴轴为为截截面面的的形形心心主惯性轴。主惯性轴。得得 将与将与 AB 边相切的直线边相切的直线看看作是中性轴，其在作是中性轴，其在y、z 两轴两轴上的截距分别为上的截距分别为 同同理理，分分别别将将与与BC、CD和和DA边边相相切切的的直直线线、看看作作是是中中性性轴轴，可可求求得得对对应应的的截截面面核核心心边边界界上上点点2、3、4的坐标依次为的坐标依次为 当当中中性性轴轴从从截截面面的的一一个个侧侧边边绕绕截截面面的的顶顶点点旋旋转转到到其其相相邻邻边边时时，相相应应的的外外力力作作用用点点移移动动的的轨轨迹迹是是一一条条连连接点接点1、2的直线。的直线。于是，将于是，将1、2、3、4四点中相邻的两点连以直线，四点中相邻的两点连以直线，即得矩形截面的截面核心边界。它是个位于截面中即得矩形截面的截面核心边界。它是个位于截面中央的菱形。央的菱形。思考：思考：圆截面的截面核心圆截面的截面核心如何确定？如何确定？*9.6*9.6 弯曲与扭转的组合弯曲与扭转的组合以圆截面杆为例，研究杆在弯扭组合时的以圆截面杆为例，研究杆在弯扭组合时的应力和强度计算问题。应力和强度计算问题。直角曲拐直角曲拐 AB段为等直实段为等直实心圆截面杆，进行受力心圆截面杆，进行受力简化，作弯矩图和扭矩简化，作弯矩图和扭矩图。图。F力使力使AB杆发生弯曲，外力偶矩杆发生弯曲，外力偶矩Mx=Fa使它发生扭转使它发生扭转由弯矩、扭矩图知，由弯矩、扭矩图知，危险截面危险截面为固定端截面为固定端截面A危险截面上与弯矩和扭矩对应的危险截面上与弯矩和扭矩对应的正应力、切应力正应力、切应力为为A截面的上、下两个点截面的上、下两个点C1和和C2是是危险点危险点C1点的应力状态，取点的应力状态，取单元体单元体得得二向应力状态二向应力状态按应力状态分析的知识，按应力状态分析的知识，C1点三个主应力为点三个主应力为 可用相应的强度理论对其校核，如第四强度理可用相应的强度理论对其校核，如第四强度理论，第三强度理论。在这种特定的平面应力状态下，论，第三强度理论。在这种特定的平面应力状态下，这两个强度理论的相当应力的表达式可得这两个强度理论的相当应力的表达式可得强度条件为强度条件为注意到注意到=Mz/Wz、=Mx/Wp,相当应力改写为相当应力改写为对圆截面，对圆截面，则强度条件又可分别写成：，则强度条件又可分别写成：上式同样适用于上式同样适用于空心圆截面杆空心圆截面杆，对其它的，对其它的弯扭组合，可同样采用上面的分析方法弯扭组合，可同样采用上面的分析方法。外力分析：外力分析：外力向形心简化并外力向形心简化并分解。分解。内力分析：内力分析：每个外力分量对应的内力方程和每个外力分量对应的内力方程和内力图，确定危险面。内力图，确定危险面。应力分析：应力分析：建立强度条件。建立强度条件。弯扭组合问题的求解步骤：弯扭组合问题的求解步骤：例例95 一钢质圆轴，直径一钢质圆轴，直径d=8cm，其上装有直径，其上装有直径D=1m、重为、重为5kN的两个皮带轮，如图的两个皮带轮，如图a所示。已知所示。已知A处轮上的皮带拉力为水平方向，处轮上的皮带拉力为水平方向，C 处轮上的皮带处轮上的皮带拉力为竖直方向。设钢的拉力为竖直方向。设钢的=160MPa，试按第三，试按第三强度理论校核轴的强度。强度理论校核轴的强度。解解：将将每每个个齿齿轮轮上上的的切切向向外外力力向向该该轴轴的的截截面形心简化。面形心简化。作作出出轴轴在在AC段段的的扭扭矩矩图图以以及及在在xy、xz两两纵纵对对称称平平面内的两个弯矩图。面内的两个弯矩图。对对于于圆圆截截面面杆杆，不不会会发发生生斜斜弯弯曲曲，可可将将My、Mz按按矢矢量量和和求求得得总总弯弯矩矩。并并用用总总弯弯矩矩来来计计算算该该横横截截面面上上的正应力。的正应力。由由弯弯矩矩图图可可见见，B截截面面和和C截截面面都都可可能能是是危危险险截截面面。kNm=2.58kNmkNm=2.48kNm因为因为MBM C，且，且B，C截面的扭矩相同，故截面的扭矩相同，故B截面为危险截面。截面为危险截面。N/m2=59.3MPa=160MPa所以圆轴是安全的。所以圆轴是安全的。结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！48