离散数学第五版第四章(耿素云、屈婉玲、张立昂编著)

离散数学第五版第四章离散数学第五版第四章(耿素云、屈婉玲、张立耿素云、屈婉玲、张立昂编著昂编著)2第四章第四章 二元关系和函数二元关系和函数4.1 迪卡尔乘积与二元关系4.2 二元运算4.3 关系的性质4.4 关系的闭包4.5 等价关系和偏序关系4.6 函数的定义与性质4.7 函数的复合与反函数34.1迪卡迪卡尔乘乘积与二元关系与二元关系1.定义4.1一、有序对由两个元素x和y（允许x=y）按一定的顺序排列成的二元组叫做一个有序对或序偶，记作，其中x是它的第一元素，y是它的第二元素。2.有序对性质1)当xy时，2)=的充分必要条件是x=u且y=v集合中的元素具有无序性，但是有序对中的元素是有序的。44.1迪卡迪卡尔乘乘积与二元关系与二元关系例1：已知=求x和y解得：x=3，y=-2根据有序对的性质得：x+2=52x+y=43.有序n元组一个有序n元组(n=3)是一个有序对，其中第一个元素是一个有序n-1元组，一个有序n元组记作，即=,xn例如：空间直角坐标系中点的坐标、等有序 3元组。n维空间中点的坐标或n维向量都是有序n元组。54.1迪卡迪卡尔乘乘积与二元关系与二元关系1.定义4.3二、迪卡尔乘积设A，B为集合，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有序对。所有这样的有序对组成的集合叫做A和B的迪卡尔乘积，记作AB。符号化表示为：AB=|xA yB64.1迪卡迪卡尔乘乘积与二元关系与二元关系2.迪卡尔乘积的性质1)如果|A|=m,|B|=n，则|AB|=mn2)对任意集合A，根据定义有：A=，A=3)一般地说，迪卡尔乘积运算不满足交换律，即：ABBA(当A B AB时)4)迪卡尔乘积运算不满足结合律，即：（AB）CA（BC）（当A B C）74.1迪卡迪卡尔乘乘积与二元关系与二元关系5)迪卡尔乘积运算对并和交运算满足分配律，即：(1)A（BC）=(AB)(AC）证明：对于任意的 A（BC）xA yBCxA (yB y C)(xAyB)(xAyC)AB AC(AB)(AC)84.1迪卡迪卡尔乘乘积与二元关系与二元关系5)迪卡尔乘积运算对并和交运算满足分配律，即：(2)（BC）A=(BA)(CA）证明：对于任意的 （BC）AxBC yA(xB x C)yA(xB yA)(xC yA)BA CA(BA)(CA)94.1迪卡迪卡尔乘乘积与二元关系与二元关系5)迪卡尔乘积运算对并和交运算满足分配律，即：(3)A（BC）=(AB)(AC）证明：对于任意的 A（BC）xA yBCxA (yB y C)(xAyB)(xAyC)AB AC(AB)(AC)104.1迪卡迪卡尔乘乘积与二元关系与二元关系5)迪卡尔乘积运算对并和交运算满足分配律，即：(4)（BC）A=(BA)(CA）证明：对于任意的 （BC）AxBC yA(xB x C)yA(xB yA)(xC yA)BA CA(BA)(CA)114.1迪卡迪卡尔乘乘积与二元关系与二元关系6)AC BD AB CD证明：对于任意的 ABxA y B xC y D xCD所以：AB CD124.1迪卡迪卡尔乘乘积与二元关系与二元关系3.n阶迪卡尔乘积（定义4.4）设A1，A2，An是集合(n=2)，它们的n阶迪卡尔乘积记作A1A2An，其中：A1A2An=|x1A1 x2A2 xnAn134.1迪卡迪卡尔乘乘积与二元关系与二元关系例2：设A=1,2，求P(A)A解：P(A)=,1,2,1,2 P(A)A=,144.1迪卡迪卡尔乘乘积与二元关系与二元关系例3：设A,B,C,D为任意集合，判断以下等式是否成立？（1）(AB)(CD)=(AC)(BD)证明：对于任意的 (AB)(CD)xAB yCD xA xB yC yD(xA yC)(xB yD)AC BD(AC)(BD)154.1迪卡迪卡尔乘乘积与二元关系与二元关系（2）(AB)(CD)=(AC)(BD)证明：设A=、B=1、C=2、D=3(AB)(CD)=、(AC)(BD)=、所以：等式不成立（3）(A-B)(C-D)=(AC)-(BD)证明：设A=1、B=1、C=2、D=3(A-B)(C-D)=(AC)-(BD)=所以：等式不成立164.1迪卡迪卡尔乘乘积与二元关系与二元关系（4）(AB)(CD)=(AC)(BD)证明：设A=1、B=1、C=2、D=3(AB)(CD)=(AC)(BD)=,所以：等式不成立174.1迪卡迪卡尔乘乘积与二元关系与二元关系例4：设A,B,C,D为任意集合，判断真假。（1）AB=ACB=C证明：若A=，B=1，C=2则AB=AC=，而BC。所以：命题真假不定 184.1迪卡迪卡尔乘乘积与二元关系与二元关系（2）A-(BC)=(AB)-(AC)证明：若A=0，B=1，C=2则A-(BC)=0(AB)-(AC)=所以：命题真假不定 194.1迪卡迪卡尔乘乘积与二元关系与二元关系（3）A=B C=D(AC)=(BD)证明：对任意 ACxA yCxB yDx所以：命题真值为1 204.1迪卡迪卡尔乘乘积与二元关系与二元关系（4）存在集合A，使得AAA证明：令A=则AA=所以：AAA该命题真值为1214.1迪卡迪卡尔乘乘积与二元关系与二元关系1.定义4.5三、二元关系如果一个集合满足以下条件之一：1)集合非空，且它的元素都是有序对2)集合是空集则称这样的集合为二元关系，记作R。二元关系也可以简称为关系。对于二元关系R，如果R，可记作xRy。例：R1=,，R2=,a,b 则R1为二元关系；R2不是二元关系，仅仅是一个集合。224.1迪卡迪卡尔乘乘积与二元关系与二元关系2.集合上元素的关系（定义4.6）三、二元关系设A，B为集合，AB的任何子集所定义的二元关系叫做从A到B的二元关系，特别当A=B是则叫做A上的二元关系。例：A=0,1、B=1,2,3，那么R1=，R2=AB，R3=，R4=等都是 A到B的二元关系。R3和R4是A上的二元关系。集合A上的二元关系的数目依赖于A中的元素数：设|A|=n，则|AA|=。AA的子集有 个。每个子集代表一个A上的二元关系，所以A上的二元关系数目为：。234.1迪卡迪卡尔乘乘积与二元关系与二元关系3.全域关系与恒等关系例：A=0,1 A上的全域关系为：,.A上的恒等关系为：,.对于任意集合A，定义：EA=|xA yA=AAIA=|xALA=|x,yA x=y,这里AR RDA=|x,yA x整除y,这里A244.1迪卡迪卡尔乘乘积与二元关系与二元关系例：A=4,0.5,-1,B=1,2,3,6，则LA=,LB=,254.1迪卡迪卡尔乘乘积与二元关系与二元关系例5：设A=a,b，R是P(A)上的包含关系，R=|x,yP(A)xy解：P(A)=,a,b,a,b R=,264.1迪卡迪卡尔乘乘积与二元关系与二元关系4.关系的表示方法1)集合表达式：例6：设A=1,2,3,4，下面各式定义的R都是A上的关系，试用列元素法表示RR1=|x是y的倍数R2=|(x-y)(x-y)AR3=|x/y是素数R4=|xy274.1迪卡迪卡尔乘乘积与二元关系与二元关系4.关系的表示方法2)关系矩阵：设A=x1,x2,xn，R是A上的关系，令则是R的关系矩阵，记作MR。284.1迪卡迪卡尔乘乘积与二元关系与二元关系4.关系的表示方法3)关系图：设A=x1,x2,xn，R是A上的关系，令图G=，其中顶点集合V=A，边集为E。对于xi，xjV，满足 ExiRxj称图G为R的关系图，记作GR。29第四章第四章 二元关系和函数二元关系和函数4.1 迪卡尔乘积与二元关系4.2 二元运算4.3 关系的性质4.4 关系的闭包4.5 等价关系和偏序关系4.6 函数的定义与性质4.7 函数的复合与反函数304.2 关系的运算关系的运算1.关系的定义域、值域、域（定义4.8）一、关系的基本运算设R是二元关系。1)R中所有有序对的第一元素构成的集合称为R的定义域，记作domR，形式化表示为：domR=x|y(R)2)R中所有有序对的第二元素构成的集合称为R的值域，记作ranR，形式化表示为：ranR=y|x(R)314.2 关系的运算关系的运算3)R的定义域和值域的并集称为R的域，记作fldR，形式化表示为：fldR=domR ranR例1：设R=,，则domR=1,2,4ranR=2,3,4fldR=1,2,3,4324.2 关系的运算关系的运算例2：下列关系都是整数集Z上的关系，分别求出它们的定义域和值域。(1)R1=|x,yZ x=y(2)R2=|x,yZ x*x+y*y=1(3)R3=|x,yZ y=2x(4)R4=|x,yZ|x|=|y|=3334.2 关系的运算关系的运算2.关系的逆运算（定义4.9）设R为二元关系，R的逆关系，简称R的逆，记作 ，其中3.关系的合成运算（定义4.9）设F，G为二元关系，F和G的合成记作FG，其中FG=|z(xGz zFy)344.2 关系的运算关系的运算例3：设F=,，G=，则FG=,GF=例4：设F=|x,yN y=x*x，G=|x,yN y=x+1，求354.2 关系的运算关系的运算4.限制与像（定义4.9）设F为二元关系，A是集合1)F在A上的限制记作F A，其中F A=|xFy xA2)A在F上的象记作FA，其中FA=ran(F A)F在A上的限制F A是F的子关系，而A在F下的像FA是ranF的子集。364.2 关系的运算关系的运算例5：设R=,则R1=2,3R 1=,R=R 2,3=,R=R2,3=2,4374.2 关系的运算关系的运算5.关系的运算的顺序关系运算中的逆运算优先于其他运算；所有的关系运算都优先于集合运算；没有规定优先权的运算以括号决定运算顺序。384.2 关系的运算关系的运算1.定理4.1二、关系基本运算的性质设F,G,H是任意的关系，则1)=F2)dom =ranF,ran =domF3)(FG)H=F(GH)4)(FG)=G F394.2 关系的运算关系的运算2.定理设R为A上的关系，则RIA=IAR=R4.定理4.21)F(GH)=FG FH2)(GH)F=GF HF3)F(GH)FG FH4)(GH)FGF HF404.2 关系的运算关系的运算1.定义4.10三、关系的n次幂设R为A上的关系，n为自然数，则R的n次幂定义为：1)=|xA=IA2)注：(1)。(2)。414.2 关系的运算关系的运算例6：设A=a,b,c,d,R=,求=IA=,=,=,=,=,=,424.2 关系的运算关系的运算2.定理4.3设R为A上的关系，m,nN，则1)2)43第四章第四章 二元关系和函数二元关系和函数4.1 迪卡尔乘积与二元关系4.2 二元运算4.3 关系的性质4.4 关系的闭包4.5 等价关系和偏序关系4.6 函数的定义与性质4.7 函数的复合与反函数444.3关系的性关系的性质1.自反性、反自反性一、关系的性质设R是A上的关系，1)若x(xA R)，则称R在A上是自反的。2)若x(xA R)，则称R在A上是反自反的。A上的全域关系EA、恒等关系IA、都是A上的自反关系。小于等于关系LA、整除关系DB分别为A和B上的自反关系。小于关系、真包含关系是给定集合或集合族上的反自反关系。454.3关系的性关系的性质例8：设A=1,2,3，R1，R2和R3是A上的关系，其中R1=,R2=,R3=说明R1，R2和R3是否为A上的自反关系和反自反关系。R3是A上的反自反关系，R2是A上的自反关系。123464.3关系的性关系的性质2.对称性、反对称性设R是A上的关系，1)若xy(x,yA R R)，则称R为A上对称的关系。2)若xy(x,yA R R x=y)，则称R为A上反对称的关系。A上的全域关系EA、恒等关系IA、空关系都是A上的对称关系。恒等关系IA、空关系也是A上的反对称关系。474.3关系的性关系的性质例9：设A=1,2,3，R1，R2和R3是A上的关系，其中R1=,R2=,R3=,R4=,说明R1，R2，R3和R4是否为A上的对称关系和反对称关系。123123123123484.3关系的性关系的性质3.传递性设R是A上的关系，若xyz(x,y,zA R R R)，则称R为A上传递的关系。A上的全域关系EA、恒等关系IA、空关系都是A上的传递关系。小于或等于LA、整除关系和包含关系也是相应集合上的的传递关系。小于关系、真包含关系也是相应集合上的的传递关系。494.3关系的性关系的性质例10：设A=1,2,3，R1，R2和R3是A上的关系，其中R1=,R2=,R3=说明R1，R2，R3和R4是否为A上的传递关系。123123123504.3关系的性关系的性质1.定理二、关系性质的相关定理设R是A上的关系，则1)R在A上的自反当且仅当IAR。2)R在A上的反自反当且仅当RIA=。3)R在A上的对称当且仅当 。4)R在A上的反对称当且仅当 。5)R在A上的传递当且仅当 。514.3关系的性关系的性质例11：设A是集合，R1和R2是A上的关系，证明：(1)若R1，R2是自反的和对称的，则R1R2也是自反的和对称的。证明：（1）524.3关系的性关系的性质例11：设A是集合，R1和R2是A上的关系，证明：(2)若R1和R2是传递的，则R1R2也是传递的。证明：（2）534.3关系的性关系的性质2.五种性质在关系矩阵和关系图中的特点性质性质表示表示自反性自反性反自反性反自反性对称性对称性反对称性反对称性传递性传递性集合表达式集合表达式IA RR IA 关系矩阵关系矩阵主主对对角角线线元素全是元素全是1主主对对角角线线元素全是元素全是0矩矩阵阵是是对对称称矩矩阵阵若若 rij=1，且且i j，则则rij=0对对 MM中中 1所所在在的的位位置置，M中中相相应应位位置置都都是是1关系图关系图每每个个顶顶点点都是环都是环每每个个顶顶点点都没有环都没有环如如果果两两个个顶顶点点之之间间有有边边，一一定定是是一一对对方方向向相反的边相反的边如如果果两两个个顶顶点点之之间间有有边边，一一定定是是一一条条有向边有向边如如果果顶顶点点xi到到xj有有边边，xj到到xk有有边边，则则从从xi到到xk也有边也有边544.3关系的性关系的性质3.关系运算与关系性质原有性质原有性质运算运算自反性自反性反自反性反自反性对称性对称性反对称性反对称性传递性传递性R1R2R1R2R1R255第四章第四章 二元关系和函数二元关系和函数4.1 迪卡尔乘积与二元关系4.2 二元运算4.3 关系的性质4.4 关系的闭包4.5 等价关系和偏序关系4.6 函数的定义与性质4.7 函数的复合与反函数564.4关系的关系的闭包包一、关系闭包的定义设R是非空集合A上的关系，R的自反（对称或传递）闭包是A上的关系R，使得R满足以下条件：（1）R是自反的（对称或传递的）（2）RR（3）对A上的任何包含R的自反（对称或传递）关系R 有R R一般将R的自反闭包记作r(R),对称闭包记作s(R),传递闭包记作t(R).574.4关系的关系的闭包包例1：设A=a,b,c,d，R=,则R关系图如下图，则如何求A上关系R的闭包？abcd584.4关系的关系的闭包包设R为非空集合A上的二元关系，则有二、关系闭包的求法（关系运算方法）1)；2)；3)。594.4关系的关系的闭包包例2：设A=a,b,c,d，R=,则R和r(R),s(R),t(R)的关系图如下图，则如何求A上关系R的闭包？abcdr(R)=,IA =,s(R)=,=,t(R)=,=,604.4关系的关系的闭包包设R为非空集合A上的二元关系，则有三、关系闭包的求法（矩阵运算方法）1)Mr=M+E；2)Ms=M+M；3)。614.4关系的关系的闭包包三、关系闭包的性质（1）1)R是自反的当且仅当r(R)=R；2)R是对称的当且仅当s(R)=R;3)R是传递的当且仅当t(R)=R;设R是非空集合A上的关系，则624.4关系的关系的闭包包三、关系闭包的性质（2）1)r(R1)r(R2)；2)s(R1)s(R2);3)t(R1)t(R2);设R1和R2是非空集合A上的关系，且R1R2，则634.4关系的关系的闭包包三、关系闭包的性质(3)1)；2)；3)。设R是非空集合A上的关系，则644.4关系的关系的闭包包三、关系闭包的性质(4)1)r(s(R)=s(r(R)。2)r(t(R)=t(r(R)。3)s(t(R)t(s(R)。设R是非空集合A上的关系，则65第四章第四章 二元关系和函数二元关系和函数4.1 迪卡尔乘积与二元关系4.2 二元运算4.3 关系的性质4.4 关系的闭包4.5 等价关系和偏序关系4.6 函数的定义与性质4.7 函数的复合与反函数664.5等价关系与偏序关系等价关系与偏序关系一、等价关系的定义设R为非空集合A上的关系，如果R是自反的、对称的、传递的，则称R为A上的等价关系。对任何x,yA，如果等价关系R，则记作xy。674.5等价关系与偏序关系等价关系与偏序关系例4：A=1,2,3,8,R=|x,yA xy(mod 3),其中xy(mod 3)的含义就是x-y可以被3整除。求证：R是否为等价关系？58247163对任何正整数n可以定义整数集合Z上模n的等价关系：R=|x,yZ xy(mod n)684.5等价关系与偏序关系等价关系与偏序关系例5:1)在一群人的集合上，年龄相等的关系、朋友关系。2)动物是按种属分类的，“具有相同种属”的关系。3)集合上的恒等关系。4)在同一平面上，三角形之间的相似关系。5)在同一平面上，直线间的平行关系。694.5等价关系与偏序关系等价关系与偏序关系二、等价类的定义设R是非空集合A上的等价关系，对任意的xA，令xR=y|yA xRy,则称xR为x关于R的等价类，简称为x的等价类，简记为x。集合A=1,2,3,8,R=|x,yA xy(mod 3)中的等价类有：1=4=7=1,4,7 2=5=8=2,5,8 3=6=3,6704.5等价关系与偏序关系等价关系与偏序关系三、等价关系、等价类的性质1)x，且xA;2)若xRy，则x=y;3)若R，则xy=;4);714.5等价关系与偏序关系等价关系与偏序关系四、商集的定义设R是非空集合A上的等价关系，以R的不交的等价类为元素的集合叫做A在R下的商集，记作A/R，即A/R=xR|xA。集合A=1,2,3,8,R=|x,yA xy(mod 3)，则A在R下的商集是：A/R=1,4,7，2,5,8，3,6724.5等价关系与偏序关系等价关系与偏序关系例6:1)非空集合A上的全域关系EA是A上的等价关系，对任意xA有x=,商集A/EA=2)非空集合A上的恒等关系IA是A上的等价关系，对任意xA有x=,商集A/EA=。734.5等价关系与偏序关系等价关系与偏序关系五、划分的定义设A是非空集合，如果存在一个A的子集族(P(A)满足以下条件：1)，2)中任意两个元素不交，3)中所有元素的并集等于A，则称为A的一个划分，且称中的元素为划分块。744.5等价关系与偏序关系等价关系与偏序关系例7:考虑集合A=a,b,c,d的下列子集族，哪些是A的划分1)a,b,c,d 2)a,b,c,d 3)a,b,c,a,d 4),a,b,c,d 5)a,b,c 集合A上的等价关系与集合A的划分是一一对应的。754.5等价关系与偏序关系等价关系与偏序关系例8:设A=1,2,3，求出A上所有的等价关系。231R1231R2231R3231R4231R5R1=,=EAR2=,R3=,R4=,R5=,=IA764.5等价关系与偏序关系等价关系与偏序关系五、偏序关系的定义设R为非空集合A上的关系，如果R是自反的、反对称的和传递的，则称R为A上的偏序关系，简称偏序，记作 。例如：集合A=1,2,3,R=,则关系R是偏序关系。整数集合上的小于等于关系为偏序关系；集合幂集上的子集关系为偏序关系。774.5等价关系与偏序关系等价关系与偏序关系六、可比和盖住的定义设为偏序集，对于任意x,yA，如果x y或者y x成立则称x与y是可比可比的，如果xy(即x y xy)，且不存在zA使得xzy，则称y盖住盖住x。例如：集合A=1,2,3,4,5,是整除关系。那么，对于任意xA都有1 x，所以1和1，2，3，4，5都是可比的。但2和3不可比。又12，且24所以4不能盖住1。784.5等价关系与偏序关系等价关系与偏序关系七、全序关系的定义设为偏序集，对于任意x,yA，x和y都可比，则称为A上的全序关系，且称为全序集。例如：集合A=1,2,3,4,5 上的小于等于关系为全序关系，而整除 关系不是全序关系。794.5等价关系与偏序关系等价关系与偏序关系八、最小元、最大元、极小元和极大元设为偏序集，BA.1)若yB，使得x(xB yx)成立，则称y为B的最小元。2)若yB，使得x(xB xy)成立，则称y为B的最大元。3)若yB，使得x(xB xy)成立，则称y为B的极小元。4)若yB，使得x(x B yx)成立，则称y为B的极大元。804.5等价关系与偏序关系等价关系与偏序关系例9:设偏序集，求A的极小元，最小元，极大元，最大元abcghdef814.5等价关系与偏序关系等价关系与偏序关系九、上界、下界、上确界和下确界设为偏序集，BA.1)若yA，使得x(xB xy)成立，则称y为B的上界。2)若yA，使得x(xB yx)成立，则称y为B的下界。3)若C=y|y为B的上界，则称C的最小元为B的最小上界或上确界。4)若D=y|y为B的下界，则称D的最大元为B的最大下界或下确界。82第四章第四章 二元关系和函数二元关系和函数4.1 迪卡尔乘积与二元关系4.2 二元运算4.3 关系的性质4.4 关系的闭包4.5 等价关系和偏序关系4.6 函数的定义与性质4.7 函数的复合与反函数834.6 函数的定函数的定义与性与性质一、函数的定义（定义4.22）设F为二元关系，若对任意的xdomF都存在唯一的yranF使得xFy成立，则称F为函数。例1：设F1=,F2=,判断他们是否为函数。844.6 函数的定函数的定义与性与性质二、集合A到B的函数（定义4.23）设A，B为集合，如果函数f满足以下条件（1）domf=A（2）ranfB则称f f是从是从A A到到B B的函数的函数，记作f:A-B。例如：f:N-N，f(x)=2xg:N-N，g(x)=2854.6 函数的定函数的定义与性与性质三、集合A到B的函数（定义4.24）所有从A到B的函数的集合记作BA，读作“B上A”。符号化表示为 BAf|f:A-B864.6 函数的定函数的定义与性与性质f0=,例2：设A=1,2,3,B=a,b,求 =f0,f1,f7，其中：f1=,f2=,f3=,f4=,f5=,f6=,f7=,根据排列组合得知：|A|=m,|B|=n|BA|=nm874.6 函数的定函数的定义与性与性质设函数f:AB，AA，四、函数的像（定义4.25）令f(A)=f(x)|xA，称f(A)为A在f下的像。特别地，当A=A时称f(A)=f(A)=ranf为函数的像。xA,f(x)与f(A)的区别？884.6 函数的定函数的定义与性与性质例3：设f：NN，且令A=0,1,B=2,那么有：f(A)=f(0,1)=f(0),f(1)=0,2894.6 函数的定函数的定义与性与性质五、满射、单射和双射的定义（定义4.26）1)若ranf=B，则称f:AB是满射的。2)若对于任意x1,x2A,x1x2都有f(x1)f(x2)则f是单射的。3)若f既是满射又是单射的，则称f是双射的。设f:AB，904.6 函数的定函数的定义与性与性质例4：A=1,2,3,4,5，B=6,7,8,9,10,判断下列函数是否为单射、满射、双射的。为什么？(1)f=,(2)f=,(3)f=,914.6 函数的定函数的定义与性与性质六、几个特殊的函数（1）设f:AB，如果存在cB使得对所有的xA都有f(x)=c，则称f:AB是常函数。（2）称A上的恒等关系IA为A上的恒等函数。对所有的xA都有I(x)=x。（3）设f:RR,如果对任意的x1,x2R,x1x2,就有f(x1)f(x2)，则称f为单调递增的；如果对任意的 x1,x2A,x1x2,就有f(x1)f(x2)，则称f为严格单调递增的。924.6 函数的定函数的定义与性与性质六、几个特殊的函数（5）设R是A上的等价关系，令g:A A/Rg(a)=a,aA称g是从A到商集A/R的自然映射。（4）设A为集合，对于任意的AA，A的特征函数A:A0,1，定义为934.6 函数的定函数的定义与性与性质例6：A=1,2,3，R=,IA,g为自然映射。g(1)=g(2)=1,2g(3)=394第四章第四章 二元关系和函数二元关系和函数4.1 迪卡尔乘积与二元关系4.2 二元运算4.3 关系的性质4.4 关系的闭包4.5 等价关系和偏序关系4.6 函数的定义与性质4.7 函数的复合与反函数954.7 函数的复合与反函数函数的复合与反函数一、函数的复合定理（定理4.6）1)dom(FG)=x|xdomG G(x)domF；2)xdom(FG)有FG(x)=F(G(x)；设F,G是函数，则FG也是函数，且满足964.7函数的复合与反函数函数的复合与反函数二、函数复合的结合律（推论）设f:AB,g:BC,则fg：AC，且xA都有fg(x)=f(g(x)。974.7函数的复合与反函数函数的复合与反函数三、函数复合的性质（定理4.7）设f:BC,g:AB。(1)如果f，g都是满射的，则fg:AC也是满射的。(2)如果f，g都是单射的，则fg:AC也是单射的。(3)如果f，g都是双射的，则fg:AC也是双射的。984.7函数的复合与反函数函数的复合与反函数四、反函数（定理4.8）设f:AB是双射的，则有 是函数，并且是双射函数。五、反函数的性质设f:AB是双射的，则有f-1f=IA,ff-1=IB994.7函数的复合与反函数函数的复合与反函数例7：设求f g，g f。如果f和g存在反函数，求出它们的反函数。