社会统计学(卢淑华)-第十三章

社会统计学社会统计学(卢淑华卢淑华)-)-第第十三章十三章第一节一元方差分析一、方差分析的假定1、与回归的比较（定距定距）自变量控制后，因变量是一连串的值（yi 为随机变量）回归：可以找出自变量与因变量之间的变化方向。方差：自变量取不同类别时，因变量 yi的均值是否有所不同例：回归不方差分析比较职业声望受教育程度8018706050401512108职业子女数工人（4人）2；1；3；2；干部（3人）农民（3人）1；2；1；2；3；4；21 m 2、方差分析的假定：（对因变量分布的必要限制，只有总体分布满足这些限制的条件下，方差分析的讨论才是有意义的）1）等方差性总体中，自变量 xi 的每一个数值 A1,A2,Am对应的因变量 yi 的分布都具有相同的方差2 2 2注意：1、总体方差相等，样本方差不一定相等。2、来自等总体的样本方差不会相差太远，最大与最小相差不超过2-3倍。3、总体方差可通过样本方差进行点估计。公式：样本容量的加权：n1 1S12 n2 1S22 n1 1 n2 1 S 2 2）yi 的分布为正态形要求每一个 Ai 所对应的 yi 分布都呈正态性（与回归一致）总结：yi 应满足正态分布N ui,2 二、方差分析的检验：设：总体自变量A共分为m类，A1,A2,Am从A1 中抽取 n1A2 n2 Am nm 则有统计表：A1A2Am2122m1m 2y1n1y2n2ynmmy11y12yyyyy1y2ym原假设 H 0 ：u1 u2 um备择假设 H 1：有一个以上类别，其均值不等统计量：BSSRSSF m 1n mF m 1,n m当 F F 时，拒绝原假设当 F F 时，接受原假设总平方和：TSS (yij y)组间平方和：BSS (yi y)n i(yi y)m n i m统计量的推导不计算222TSS BSS RSSi 1 j1 i 12i 1 j1m n ii 1 j1 y yij n n i yiij11n1n in ij1总平均值：y 第i类样本的组平均值：yi 统计量的计算还需：观测总数：n n i例：下列资料，迚行方差检验。教师（n=5)读书数（本/年）81012205学生（n=5）读书数（本/年）1036125yij y E1 TSS 2 ij y yRSS。2E RSS i当方差分析检验呈显著性后，讨论两变量之间的相关程度，用减少误差比例PRE的方法：E1：不知因变量y与自变量取值A1,A2,Am有关时，预测y所犯的错误，其值为TSS。m ni 1 j 1E 2 ：知道因变量y 与自变量取值 A1,A2,Am有关后，预测y时所犯的错误，其值等于m n2i 1 j 12三、相关比率 etaE1 E2 TSS RSS BSSBSS为已经被自变量解释掉的误差，解释掉的误差越大，变量之间的关系越密切，因此：TSSeta2 BSS例：已知：BSS=3.5 RSS=95求eta2练习：以下资料求eta2甲地（家庭人口数）67735乙地（家庭人口数）44535丙地（家庭人口数）33242第三节二元方差分析（自变量增加到两个)一、二元方差分析的数学模型（一）两种模型1、自变量A、B独立的对因变量发生影响：独立模型（或线性可加性模型）每一观测值 yi 均为三种以上因素作用的结果：yij y Ai 的效果 B j 的效果 ij2、同时考虑A、B两变量的交互影响：交互模型：yij y Ai 的效果 B j 的效果 ABij 交互作用 ij（二）两种模型对观测值数目的要求1、对独立模型：A共有a 种取值，B共有b种取值，对于可能取值 a b 种搭配，每种情况只要随机抽取一次，组成 a b 个观测值即可。2、对具有交互作用的模型：如果a b 种搭配只进行一次观测，则无法区别数据的变化是由于自变量的交互作用，还是外界未知因素干扰的结果。因此，对于a b 种搭配，每种情况至少要观测2次，则总观测数为a b r r 2A与B两个变量独立，图形是平行线（三）、忽略外界干扰因素后的两种模型的图形：01、理想的独立模型yij y Ai 的效果 B j 的效果例：教员不同教学方法(A)和不同性格(B)对教学效果的影响。A1 注入式教学法A2 启发式教学法B1 性格内向B1 性格外向2、理想的交互模型：yij y Ai 的效果 B j 的效果 ABij 交互作用线段失去平衡是变量间存在交互作用的标志。使每种搭配 至少测量二次以上 。2rBA（四）实际的模型在存在干扰情况下 ij ，上述线段不再是平行线，有三种情况：1、本身为独立模型，其图形为非平行性是由外界随机因素干扰而成的：yij y Ai 的效果 B j 的效果 ij2、非平行性是由交互作用引起的。yij y Ai 的效果 B j 的效果 ABij 交互作用3）非平行性由交互因素和随机因素引起的。yij y Ai 的效果 B j 的效果 ABij 交互作用 ij由于交互影响（长驻）与随机干扰（随机）性质不同，因此，为使交互作用表现出来，必须i j二、无重复情况下二元方差分析（一）无重复情况下二元方差分析的假定和假设。原假设 H 0 为：1、ai 0i 1a 2、i 0 j 1b备择假设 H 1 为：参数不全为0（二）、方差分析的 检验统计量的推导（平方和的分析法）1、样本观测值T*1T*2T*jB1B2B jBbA1y11y12A2 Ai y21 yi 1y22 yi 2Aaya1ya 2y1 jy2 jyijyajy1bT1*y2 bT2*yibTi*yabi 1 yij a T*jj 1 yij b T i*yi yij a i 1 yi b j 1 y j2、行平均值 y j1 a 1ay j y 1 a 1 b1ab 5、总离差平方和TSS2A By j 是A的平均值，因此，A的影响已被抵消，只反映变量B对A的影响。3、列平均值 yi：按列将观测值加总求平均1 a 1b4、总平均值 T i*T*1BssA b i1：变量B的离差平方和（已被变量B：剩余平方和未被A、B解释掉的误差7、BssB8、Rss6、BssA ：变量A的离差平方和（已被变量A解释掉的错误）2a2ab解释掉的错误）2b2Rss 9、变量A的平均离差平方和10、变量B的平均离差平方和BssAa 1BssA a 1 为自由度BssBb 1BssB b 1 为自由度11、平均剩余误差平方和Rssa 1b 1a 1b 1 为自由度Fb 1a 1b 1F B 统计量：RssRssAF A Fa 1a 1b 1FRssBRss根据显著性水平，查附表得 A B若：A A 显著即拒绝域，原假设不成立F A A 相反，接受域，原假设成立；F B B 显著即拒绝域，原假设不成立F B B 相反，接受域，原假设成立 ijk 相互独立，且有0,三、重复情况下的二元方差分析i备择假设 H 1 ：参数不全为0(一）、假设与假定除考虑自变量A和B的独立作用外，还要A和B的交互作用，其数学模型为：yijk u ai j a ij ijkk 1,2r(r为 A B j 每种搭配重复数）2原假设 H 0 ：ai 0 j 0 0 a ijT*yijk abry y j（二）、重复情况下二元方差分析的检验对每一种搭配各进行r次重复的独立观测，得到a、b、r个样本观测值。1、总平均值：1abr2、行平均值：T*j*ar3、列平均值：yi T i*brTss Bss A BssB T T*4、格平均值：Trijyij RssAB 5、总离差平方和TSS：2yijk y6、Bss A ：列间平方和变量A解释掉的误差。2i*br abrBss A BssB T TT TRss yijk yij 2 2ij*r abrBss 7、行间平方和：2 2*j*ar abr8、交互作用：AB AB Bss BssA BssB9、剩余误差RSS：2Rss Tss BssA BssB AB检验的统计量为：H 0 ：a ij 0H 1 ：不全为0统计量：abr 1a 1b 1F A B ABRss ABRssFa 1b 1,abr 1 TRssTRssAFH 0 ：ai 0H 1 ：不全为0统计量：Rss A Rss A abr a b 1a 1Fa 1,abr a b 1F B TRss TRss H 0 ：ai 0H 1 ：不全为0统计量：abr a b 1b 1BssB BssBFb 1,abr a b 1给出 ，查表，对于临界值 如果 AB AB ：拒绝原假设