二次函数的应用最值问题

二次函数的应用二次函数的应用（最值问题）（最值问题）漳湖中学漳湖中学鲍友春鲍友春（一）复习引入（一）复习引入1.1.1.1.复习二次函数复习二次函数复习二次函数复习二次函数y y y yaxaxaxax2 2 2 2+bx+bx+bx+bxc c c c（a0a0a0a0）的图象、顶点坐标、）的图象、顶点坐标、）的图象、顶点坐标、）的图象、顶点坐标、对称轴和最值对称轴和最值对称轴和最值对称轴和最值 2.2.2.2.（1 1 1 1）求函数）求函数）求函数）求函数y y y yx x x x2 2 2 2+2x+2x+2x+2x3 3 3 3的的的的最值。最值。最值。最值。（2 2）求求函函数数y yx x2 2+2x+2x3 3的的最值。（最值。（0 x 30 x 3）3 3 3 3、抛抛抛抛物物物物线线线线在在在在什什什什么么么么位位位位置置置置取取取取最最最最值值值值？通过复习题通过复习题1让学生让学生回忆二次函数的图回忆二次函数的图象和顶点坐标与最象和顶点坐标与最值，通过做练习值，通过做练习2复复习求二次函数的最习求二次函数的最值方法值方法；练习练习2（1）的设计中，）的设计中，定义域为定义域为xR，学，学生求最值容易想到生求最值容易想到顶点，无论是配方、顶点，无论是配方、还是利用公式都能还是利用公式都能解决；解决；设计思路：设计思路：设计思路：设计思路：1.1.1.1.复习二次函数复习二次函数复习二次函数复习二次函数y y y yaxaxaxax2 2 2 2+bx+bx+bx+bxc c c c（a0a0a0a0）的图象、顶点坐标、）的图象、顶点坐标、）的图象、顶点坐标、）的图象、顶点坐标、对称轴和最值对称轴和最值对称轴和最值对称轴和最值 2.2.2.2.（1 1 1 1）求函数）求函数）求函数）求函数y y y yx x x x2 2 2 2+2x+2x+2x+2x3 3 3 3的的的的最值。最值。最值。最值。（2 2）求求函函数数y yx x2 2+2x+2x3 3的的最值。（最值。（0 x 30 x 3）3 3 3 3、抛抛抛抛物物物物线线线线在在在在什什什什么么么么位位位位置置置置取取取取最最最最值值值值？（一）复习引入（一）复习引入（2 2）中给了定义域）中给了定义域0 x3,学生求最值时可能学生求最值时可能还会利用顶点公式求还会利用顶点公式求,忽忽略定义域的限制，设计略定义域的限制，设计此题就是为了提醒学生此题就是为了提醒学生注意求解函数问题不能注意求解函数问题不能离开定义域这个条件才离开定义域这个条件才有意义，因为任何实际有意义，因为任何实际问题的定义域都受现实问题的定义域都受现实条件的制约，做完练习条件的制约，做完练习后及时让学生总结出了后及时让学生总结出了取最值的点的位置往往取最值的点的位置往往在顶点和两个端点之间在顶点和两个端点之间选择，为学习新课做好选择，为学习新课做好知识铺垫。知识铺垫。1。定义域为一切实数，顶点处取最值。定义域为一切实数，顶点处取最值。2。有取值范围的在端点和顶点处取最值。有取值范围的在端点和顶点处取最值。（二）讲解新课（二）讲解新课新课分为：1.创设情境中发现问题创设情境中发现问题2.在解决问题中找出方法在解决问题中找出方法3.在巩固与应用中提高技能在巩固与应用中提高技能几个环节我的长我的长些，我些，我的大的大1.在创设情境中发现问题在创设情境中发现问题 合作探究合作探究：请同学们把这根长为请同学们把这根长为请同学们把这根长为请同学们把这根长为40404040厘米的厘米的厘米的厘米的毛线围成一个矩形，同桌测算下它的面积是毛线围成一个矩形，同桌测算下它的面积是毛线围成一个矩形，同桌测算下它的面积是毛线围成一个矩形，同桌测算下它的面积是多少？再和其他同学比比，发现了什么多少？再和其他同学比比，发现了什么多少？再和其他同学比比，发现了什么多少？再和其他同学比比，发现了什么？谁？谁的面积最大？的面积最大？我的宽些，我的宽些，我的大我的大 想一想想一想想一想想一想 ：漳湖镇：漳湖镇：漳湖镇：漳湖镇是有名的黄鳝养殖基是有名的黄鳝养殖基是有名的黄鳝养殖基是有名的黄鳝养殖基地，小明的爸爸需要地，小明的爸爸需要地，小明的爸爸需要地，小明的爸爸需要围一个周长为围一个周长为围一个周长为围一个周长为40404040米的米的米的米的矩形作为矩形作为矩形作为矩形作为养殖场地养殖场地养殖场地养殖场地，问矩形的长和宽各取问矩形的长和宽各取问矩形的长和宽各取问矩形的长和宽各取多少米，才能使场地多少米，才能使场地多少米，才能使场地多少米，才能使场地的面积最大，如果你的面积最大，如果你的面积最大，如果你的面积最大，如果你是小明，你该怎么做是小明，你该怎么做是小明，你该怎么做是小明，你该怎么做？2、在解决问题中找出方法、在解决问题中找出方法我把前面矩形的周长我把前面矩形的周长40厘米改为厘米改为40米，变米，变成一个实际问题，目的在于让学生体会其成一个实际问题，目的在于让学生体会其应用价值应用价值我们要学有用的数学知识。我们要学有用的数学知识。学生在前面探究问题时，已经发现了面积学生在前面探究问题时，已经发现了面积不唯一，并急于找出最大的，而且要有理不唯一，并急于找出最大的，而且要有理论依据，这样首先要建立函数模型，合作论依据，这样首先要建立函数模型，合作探究中在选取变量时学生可能会有困难，探究中在选取变量时学生可能会有困难，这时教师要引导学生这时教师要引导学生关注哪两个变量关注哪两个变量，就，就把其中的把其中的一个主要变量设为一个主要变量设为x，另一个设另一个设为为y，其它变量用含，其它变量用含x的代数式表示，找等的代数式表示，找等量关系，建立函数模型量关系，建立函数模型，实际问题还要考，实际问题还要考虑虑定义域定义域，画图象观察画图象观察最值点，这样一步最值点，这样一步步突破难点，从而让学生在不断探究中悟步突破难点，从而让学生在不断探究中悟出利用函数知识解决问题的一套思路和方出利用函数知识解决问题的一套思路和方法，而不是为了做题而做题，为以后的学法，而不是为了做题而做题，为以后的学习奠定思想方法基础。习奠定思想方法基础。设计思路：设计思路：3、在巩固与应用中提高技能、在巩固与应用中提高技能例题：例题：某件商品的进价为每件某件商品的进价为每件30元，现在的售价为每件元，现在的售价为每件40元元,每周可卖出每周可卖出150件，市场调查反映，若每件的售价每涨件，市场调查反映，若每件的售价每涨1元（每件售价不可以高于元（每件售价不可以高于45元），元），那么每周少卖出那么每周少卖出10件，设每件涨价件，设每件涨价x元（元（X为非负整数），每周的销量为为非负整数），每周的销量为y件。件。（1）求）求y与与x的函数关系及自变量的函数关系及自变量x的取值范围的取值范围（2）如何让每周的利润最大且销量较大？每周的最大利润是多少？）如何让每周的利润最大且销量较大？每周的最大利润是多少？解：解：（1）由题意可得由题意可得y=150-10 x，（0 x5且为非负整数）且为非负整数）（2）设每周的利润为）设每周的利润为W，则：，则：W=yx=（150-10 x)(40-30+x)=-10（）（）2 a=-100；0 x5且为非负整数且为非负整数 当当0 x时，时，W随随x的增大而增大的增大而增大当当2.5x5时，时，W随随x的增大而减小的增大而减小又又 x只能取非负整数只能取非负整数 当当x=2或或3时，每周的利润最大时，每周的利润最大但但当当X=2时，每周的销量时，每周的销量Y=130元元当当X=3时，每周的销量时，每周的销量Y=120元元故故当当X=2时，每周的利润最大且销量较大，最大利润为时，每周的利润最大且销量较大，最大利润为1560元。元。（三）分层评价（课后选做）（三）分层评价（课后选做）A层：（你能行！你能行！）1.指出下列函数的最大或最小值（1）y=-3（x-1）2+5针对学困生针对学困生我设计了两我设计了两道题，学生道题，学生只要仔细观只要仔细观察基本上都察基本上都能完成，尝能完成，尝试到成功之试到成功之后，他们肯后，他们肯定会向更高定会向更高层次发起进层次发起进攻。攻。（2）（，（，-）设计思路：设计思路：B层：（你肯定行！）2、如图，在一面靠墙的空地上用长、如图，在一面靠墙的空地上用长24米的篱笆，围成中间隔有二米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为为x米，面积为米，面积为S平方米。平方米。(1)求求S与与x的函数关系式及自变量的取值范围；的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？*(3)若墙的最大可用长度为若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。米，则求围成花圃的最大面积。（三）分层评价（课后选做）（三）分层评价（课后选做）ABCDC层（你一定是最棒的！）在矩形在矩形ABCD中，中，AB6cm，BC12cm，点点P从点从点A出发，沿出发，沿AB边向点边向点B以以1cm/秒的秒的速度移动，同时，点速度移动，同时，点Q从点从点B出发沿出发沿BC边向边向点点C以以2cm/秒的速度移动。如果秒的速度移动。如果P、Q两点两点在分别到达在分别到达B、C两点后就停止移动，回答两点后就停止移动，回答下列问题：下列问题：（1）运动开始后第几秒时，）运动开始后第几秒时，PBQ的面积的面积等于等于8cm2？(2）设运动开始后第）设运动开始后第t秒时，五边形秒时，五边形APQCD的面积为的面积为Scm2，写出，写出S与与t的函数关的函数关系式，并指出自变量系式，并指出自变量t的取值范围；的取值范围；（3）t为何值时为何值时S最小？求出最小？求出S的最小值。的最小值。ABCDPQ（三）作业设计（三）作业设计（课后选做）（课后选做）设计思路：设计思路：本题设计了一个本题设计了一个动点问题，学生动点问题，学生见过，在这儿旧见过，在这儿旧貌换新颜，让学貌换新颜，让学生体会新旧知识生体会新旧知识联系，培养迁移联系，培养迁移能力。能力。（四）师生小结（四）师生小结 1 1.面积、销售问题学生易于理解面积、销售问题学生易于理解和接受，最值问题是生活中利用和接受，最值问题是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，实际应用价值的问题之一，能分能分能分能分析和表示实际问题中的变量之间的关析和表示实际问题中的变量之间的关析和表示实际问题中的变量之间的关析和表示实际问题中的变量之间的关系，并建立培养函数思想以及数形结系，并建立培养函数思想以及数形结系，并建立培养函数思想以及数形结系，并建立培养函数思想以及数形结合思想。合思想。合思想。合思想。2.2.用函数知识求解实际问题，需用函数知识求解实际问题，需用函数知识求解实际问题，需用函数知识求解实际问题，需要把要把要把要把实际问题转化为数学问题实际问题转化为数学问题实际问题转化为数学问题实际问题转化为数学问题再再再再建立函数模型求解建立函数模型求解建立函数模型求解建立函数模型求解，解要符合实解要符合实解要符合实解要符合实际题意际题意际题意际题意，要注意，要注意，要注意，要注意数与形结合数与形结合数与形结合数与形结合。本阶段，让学本阶段，让学生总结这节课生总结这节课的收获、利用的收获、利用函数知识解决函数知识解决实际问题的方实际问题的方法以及要注意法以及要注意的问题，体会的问题，体会科学就是生产科学就是生产力这句话的含力这句话的含义，激发学生义，激发学生学数学用数学学数学用数学的信心。的信心。设计思路：设计思路：（五）、布置作业（五）、布置作业1.1.假设篱笆（虚线）的长度为假设篱笆（虚线）的长度为15米，两米，两面靠墙围成一个矩形，要求面积最大，面靠墙围成一个矩形，要求面积最大，如何围才能使矩形的面积最大？如何围才能使矩形的面积最大？2.课后练习题课后练习题（六）（六）、板书设计、板书设计二次函数的应用二次函数的应用面积最大问题面积最大问题做一做做一做例例1想一想想一想小结小结谢谢您的指导_年年_月月_日日