方程的根与函数的零点

数学是有用的，学数学能数学是有用的，学数学能提高能力，数学是自然的，数提高能力，数学是自然的，数学是清楚的，学数学要摸索自学是清楚的，学数学要摸索自己的学习方法，学数学趁年轻。己的学习方法，学数学趁年轻。人教社人教社 普通高中课程标准实验教科书普通高中课程标准实验教科书 数学数学1第三章第三章 函数的应用函数的应用 3.1函数与方程函数与方程 第一课时第一课时方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点3 3教学过程教学过程教学过程教学过程2 2教法学法教法学法教法学法教法学法1 1教材分析教材分析教材分析教材分析评价与反思评价与反思评价与反思评价与反思4 4对教材的理解与把握对教材的理解与把握对教材的理解与把握对教材的理解与把握教材分析教材分析l l教材特点：教材特点：教材特点：教材特点：l l教材地位和作用：教材地位和作用：教材地位和作用：教材地位和作用：大学课程数学分析中的介值定理下放到中学课程。大学课程数学分析中的介值定理下放到中学课程。在中学教材结构中，起着承上启下的作用。在中学教材结构中，起着承上启下的作用。结构分析结构分析1 1承上承上承上承上启下启下启下启下2 2 本课内容可以看作是本课内容可以看作是函数概念的一个子概念，函数概念的一个子概念，是函数概念外延的一次是函数概念外延的一次扩充。学习函数零点概扩充。学习函数零点概念的目的是把函数与方念的目的是把函数与方程联系起来，把所有的程联系起来，把所有的中学代数问题都统一到中学代数问题都统一到函数的思想指导之下，函数的思想指导之下，从这个角度看本节课应从这个角度看本节课应承载着建立函数与方程承载着建立函数与方程数学思想的任务。数学思想的任务。本节课的主要教本节课的主要教学内容是函数零点学内容是函数零点的概念和函数零点的概念和函数零点存在的判定依据，存在的判定依据，这又为下一节这又为下一节“用用二分法求方程近似二分法求方程近似解解”以及后续的学以及后续的学习提供了基础。习提供了基础。教材分析教材分析结构分析结构分析教材的地位和作用教材的地位和作用教材的地位和作用教材的地位和作用学情分析学情分析学情分析学情分析(1)基本初等函数的图基本初等函数的图象和性质；象和性质；(2)初步了解一元二次初步了解一元二次方程的根和相应二次函方程的根和相应二次函数图像与数图像与x 轴的关系；轴的关系；(3)初步具备将初步具备将“数数”与与“形形”相结合及转化相结合及转化的意识。的意识。学生具备的学生具备的学生具备的学生具备的学生欠缺的学生欠缺的学生欠缺的学生欠缺的(1)应用函数解决问应用函数解决问题的意识还不强；题的意识还不强；(2)由特殊到一般的由特殊到一般的归纳总结能力还不够；归纳总结能力还不够；(3)数形结合及转化数形结合及转化的思想意识需进一步的思想意识需进一步培养培养教材分析教材分析学情分析学情分析结构分析结构分析ll知识与技能目标知识与技能目标知识与技能目标知识与技能目标ll过程与方法目标过程与方法目标过程与方法目标过程与方法目标ll情感与价值观目标情感与价值观目标情感与价值观目标情感与价值观目标教学目标教学目标教学目标教学目标了解函数零点的概念了解函数零点的概念了解函数零点与方程根的联系了解函数零点与方程根的联系掌握零点存在的判定方法掌握零点存在的判定方法提高由特殊到一般的归纳思维能力提高由特殊到一般的归纳思维能力经历经历“探究探究归纳归纳应用应用”的过程的过程感悟由具体到抽象的研究方法感悟由具体到抽象的研究方法体验自主探究，合作交流的乐趣体验自主探究，合作交流的乐趣培养学生严谨的科学态度培养学生严谨的科学态度激发学生的学习兴趣激发学生的学习兴趣教材分析教材分析学情分析学情分析结构分析结构分析目标分析目标分析重点难点重点难点重点难点重点难点重点重点了解函数的零点与方程根的联系，了解函数的零点与方程根的联系，掌握函数零点存在性的判定依据。掌握函数零点存在性的判定依据。难点引导探究函数零点的概念及零点存引导探究函数零点的概念及零点存在性原理，确定函数零点的个数。在性原理，确定函数零点的个数。问题情境问题情境建立模型建立模型解释解释应用和拓展应用和拓展讨论探究讨论探究实践体验实践体验归纳总结归纳总结发展问题发展问题教材分析教材分析学情分析学情分析结构分析结构分析目标分析目标分析重点难点重点难点教法与学法教法与学法教法与学法教法与学法建构主义理论：建构主义理论：知识是在原有知识的基础上，在人与环境的相知识是在原有知识的基础上，在人与环境的相互作用过程中，通过同化和顺应，使自身的认知结互作用过程中，通过同化和顺应，使自身的认知结构得以转换和发展。构得以转换和发展。教法选择教法选择教法学法教法学法教法分析教法分析教法教法:提出问题提出问题引导探究引导探究得出结论得出结论实际应用实际应用 学法选择学法选择元认知理论元认知理论:学学习习过过程程既既是是认认识识过过程程又又是是情情感感过过程程，是是“知知、情、意、行情、意、行”的和谐统一。的和谐统一。教法与学法教法与学法教法与学法教法与学法教法学法教法学法教法分析教法分析学法分析学法分析学法学法:自主探究、合作交流、归纳法、发现法等自主探究、合作交流、归纳法、发现法等课堂教学导图课堂教学导图课堂教学导图课堂教学导图创设情景，揭示课题创设情景，揭示课题合作交流，形成概念合作交流，形成概念 初步运用，示例练习初步运用，示例练习 讨论探究，揭示原理讨论探究，揭示原理 教学过程教学过程教材分析教材分析教法学法教法学法巩固深化，发展思维巩固深化，发展思维归纳总结，整体认识归纳总结，整体认识 课后反馈，作业布置课后反馈，作业布置 创设情景，揭示课题创设情景，揭示课题创设情景，揭示课题创设情景，揭示课题方程方程 有实根吗？有实根吗？你能用多少种方法解决这个问题？你能用多少种方法解决这个问题？预案一：预案一：解方程（求根公式或因式分解）；解方程（求根公式或因式分解）；教学过程教学过程教材分析教材分析教法学法教法学法预案三：预案三：设设 ，画出函数图象，画出函数图象.预案二：预案二：计算判别式计算判别式 的值；的值；问题问题1 1：知识探究（一）：函数零点的概念知识探究（一）：函数零点的概念知识探究（一）：函数零点的概念知识探究（一）：函数零点的概念 方程方程x22x+1=0 x22x+3=0y=x22x3y=x22x+1函数函数函函数数的的图图象象方程的实数根方程的实数根x1=1,x2=3x1=x2=1无实数根无实数根函数的图象函数的图象与与x轴的交点轴的交点(1,0)、(3,0)(1,0)无交点无交点x22x3=0 xy01321121234.y=x22x+3(1)y=x(1)y=x2 2-2x-3-2x-3与与x x2 2-2x-3=0-2x-3=0(2)y=x(2)y=x2 2-2x+1-2x+1与与x x2 2-2x+1=0-2x+1=0(3)y=x(3)y=x2 2-2x+3-2x+3与与x x2 2-2x+3=0-2x+3=0问题问题2 2：下列二次函数的图象与下列二次函数的图象与x x轴交点和相应方程轴交点和相应方程的根有何关系？的根有何关系？结论结论:二次函数图象与二次函数图象与x x轴交点的横坐标就是相应方程的实数根。轴交点的横坐标就是相应方程的实数根。创设情景，揭示课题创设情景，揭示课题创设情景，揭示课题创设情景，揭示课题教学过程教学过程教材分析教材分析教法学法教法学法 设计意图：设计意图：从学生最熟悉的问题入手，从学生最熟悉的问题入手，对教材进行二对教材进行二次处理，从学生的次处理，从学生的“最近发展区最近发展区”提问提问,为学生归纳方为学生归纳方程与函数的关系打下基础。程与函数的关系打下基础。yx012112xy0132112543问题问题3 3：上述结论对其他函数成立吗？上述结论对其他函数成立吗？看下列函数的图象：看下列函数的图象：议一议议一议教学过程教学过程教材分析教材分析创设情景，揭示课题创设情景，揭示课题创设情景，揭示课题创设情景，揭示课题教法学法教法学法设计意图：设计意图：通过观察几个特殊函数图象，将通过观察几个特殊函数图象，将结论推广到一般函数，体现了由特殊到一般结论推广到一般函数，体现了由特殊到一般的思想，同时也培养了学生的观察归纳能力。的思想，同时也培养了学生的观察归纳能力。3.1.1方程的根与函数的方程的根与函数的零点零点合作交流，形成概念合作交流，形成概念合作交流，形成概念合作交流，形成概念教学过程教学过程教法学法教法学法教材分析教材分析1、函数零点的概念：、函数零点的概念：概概念念初步应用，示例练习初步应用，示例练习初步应用，示例练习初步应用，示例练习设计意图：设计意图：通过实例区分概念，函数零点是具体通过实例区分概念，函数零点是具体的自变量的取值，而不是一个点，突破了本节课的自变量的取值，而不是一个点，突破了本节课的第一个重点，同时也为得出下面的三个等价关的第一个重点，同时也为得出下面的三个等价关系做好铺垫系做好铺垫。练一练练一练教学过程教学过程教法学法教法学法教材分析教材分析初步应用，示例练习初步应用，示例练习初步应用，示例练习初步应用，示例练习问题问题4：以下三个结论有相关性吗？以下三个结论有相关性吗？归纳：归纳：有些方程问题可以转化为函数问题来求解，有些方程问题可以转化为函数问题来求解，函数问题有时也可转化为方程问题，这正是函数函数问题有时也可转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础。与方程思想的基础。想一想想一想教学过程教学过程教法学法教法学法教材分析教材分析初步应用，示例练习初步应用，示例练习初步应用，示例练习初步应用，示例练习设计意图：设计意图：巩固概念，熟悉函数零点的求法，即求巩固概念，熟悉函数零点的求法，即求相应方程的实数根，由此渗透了方程与函数的思想，相应方程的实数根，由此渗透了方程与函数的思想，并把握住了教学重点。并把握住了教学重点。用一用用一用教学过程教学过程教法学法教法学法教材分析教材分析练习练习1：求下列函数的零点：求下列函数的零点：1.1.如果把函数比作一部电影，那么函数的零点就像是电影的如果把函数比作一部电影，那么函数的零点就像是电影的一个瞬间，一个镜头。有时我们会不小心忽略一些镜头，但我一个瞬间，一个镜头。有时我们会不小心忽略一些镜头，但我们仍能推测出被忽略的片断。现在我有两组镜头（下图），哪们仍能推测出被忽略的片断。现在我有两组镜头（下图），哪一组说明他的行程一定曾渡过河？一组说明他的行程一定曾渡过河？知识探究二：零点存在性原理知识探究二：零点存在性原理讨论探究，揭示原理讨论探究，揭示原理讨论探究，揭示原理讨论探究，揭示原理教学过程教学过程教法学法教法学法教材分析教材分析设计意图：设计意图：从现实生活从现实生活中的问题，让学生体会动中的问题，让学生体会动与静的关系，系统与局部与静的关系，系统与局部的关系，提炼出数学模型的关系，提炼出数学模型.问题问题5:5:在什么情况下，函数在什么情况下，函数 在区间（在区间（a a，b b）一定存在零点？一定存在零点？教学过程教学过程教法学法教法学法教材分析教材分析 2.2.将河流抽象成将河流抽象成x x轴，将前后的两个轴，将前后的两个位置视为位置视为A A、B B两点。请问当两点。请问当A A、B B与与x x轴轴怎样的位置关系时，怎样的位置关系时，ABAB间的一段间的一段连续连续不断不断的函数图象与的函数图象与x x轴一定会有交点？轴一定会有交点？3.A3.A、B B与与x x轴的位置关系，如何用数学轴的位置关系，如何用数学符号（式子）来表示？符号（式子）来表示？用用f f（a a）f f（b b）00来表示来表示 设计意图：设计意图：将现实生活中的问题抽象成数学模型，进将现实生活中的问题抽象成数学模型，进行合情推理，让学生亲历教师预设的层层递进的问题，行合情推理，让学生亲历教师预设的层层递进的问题，体验由原来的图象语言转化为数学语言的语言转化的体验由原来的图象语言转化为数学语言的语言转化的过程，体会成功的喜悦，激发了学生的学习兴趣，并过程，体会成功的喜悦，激发了学生的学习兴趣，并得出原理。得出原理。讨论探究，揭示定理讨论探究，揭示定理讨论探究，揭示定理讨论探究，揭示定理yAB0 x讨论探究，揭示定理讨论探究，揭示定理讨论探究，揭示定理讨论探究，揭示定理教学过程教学过程教法学法教法学法教材分析教材分析 零点的存在性原理：零点的存在性原理：如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上的图象是上的图象是连续不断的一条曲线连续不断的一条曲线，并，并且有且有f(a)f(b)0f(a)f(b)0，那么，函数，那么，函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内有零点，即存在内有零点，即存在c(a,b)c(a,b)，使得，使得f(c)=0f(c)=0，这个，这个c c也就是方程也就是方程f(x)=0 f(x)=0 的根的根.原原理理说明：说明：判定零点存在性的方法判定零点存在性的方法:（1）利用图象）利用图象;（2）利用原理）利用原理讨论探究，揭示定理讨论探究，揭示定理讨论探究，揭示定理讨论探究，揭示定理教学过程教学过程教法学法教法学法教材分析教材分析问题问题7：观察另三个函数图象你有什么发现观察另三个函数图象你有什么发现？设计意图：设计意图：通过小组通过小组讨论，拓讨论，拓展原理的展原理的内涵，内涵，培培养学生的养学生的概括归纳概括归纳能力。能力。原理不可逆原理不可逆单调仅有一个零点单调仅有一个零点零点的个数不唯一零点的个数不唯一x0yab图象连续是必要的图象连续是必要的问题问题6 6：已知函数已知函数y=f(x)在区间在区间a,b 满足满足f(a)f(b)0，则，则f(x)在区间在区间(a,b)内存在零点吗内存在零点吗？如果不存在，你能举出一个反例吗如果不存在，你能举出一个反例吗？x0yab巩固深化，发展思维巩固深化，发展思维巩固深化，发展思维巩固深化，发展思维分析二：该函数有几个零点？分析二：该函数有几个零点？分析一：能否确定零点区间；分析一：能否确定零点区间；用一用用一用教学过程教学过程教法学法教法学法教材分析教材分析 由列表和图像可知由列表和图像可知f(2)0f(2)0，即即f(2)f(3)0,f(2)f(3)0,说明这个函数说明这个函数在区间在区间(2,3)(2,3)内有零点。内有零点。由于函数由于函数f(x)f(x)在定义域在定义域(0,+)(0,+)内是增函数内是增函数,因而因而仅有一个零点。仅有一个零点。解法一：解法一：用计算器或计算机作出用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图象的对应值表和图象.x0246105y241086121487643219巩固深化，发展思维巩固深化，发展思维巩固深化，发展思维巩固深化，发展思维123456789-4-1.30691.09861.09865.60497.79189.945912.079414.1972解法三解法三：通过数形结合，把讨论原函数的零点个数问题通过数形结合，把讨论原函数的零点个数问题转化转化为讨为讨论方程的根个数问题，再论方程的根个数问题，再转化转化为两个简单函数的图象交点个数问题，为两个简单函数的图象交点个数问题，其步骤是：其步骤是：令令f f（x x）=0,=0,得方程得方程 方程变形，方程变形，lnx=-2x+6,lnx=-2x+6,拆成两个函数拆成两个函数g g（x x）=lnx,h=lnx,h（x x）=6-2x=6-2x 画两函数图象画两函数图象 根据两函数图象根据两函数图象交点个数交点个数 即为原函数的即为原函数的零点个数零点个数,得结果得结果.巩固深化，发展思维巩固深化，发展思维巩固深化，发展思维巩固深化，发展思维y=2x+6y=lnx60 x1 2 3 4y1解法二解法二：估算：估算f(x)在各整数处的取值的正负：在各整数处的取值的正负：x1234f(x)设计意图：设计意图：通过例题分析，学会用零点存在性定理确通过例题分析，学会用零点存在性定理确定零点存在的区间，并能结合函数性质，判断零点个定零点存在的区间，并能结合函数性质，判断零点个数，突破了本节课的难点数，突破了本节课的难点.巩固深化，发展思维巩固深化，发展思维巩固深化，发展思维巩固深化，发展思维看你的看你的教学过程教学过程教法学法教法学法教材分析教材分析 练习练习2.已知函数已知函数 的图象是连续不断的图象是连续不断的，有如下的，有如下 ，对应表对应表巩固深化，发展思维巩固深化，发展思维巩固深化，发展思维巩固深化，发展思维设计意图：设计意图：方程与函数思想的体现，数形结合思方程与函数思想的体现，数形结合思想的应用。想的应用。看你的看你的教学过程教学过程教法学法教法学法教材分析教材分析 变式训练：变式训练：判断函数判断函数 的零点个数？的零点个数？归纳整理，整体认识归纳整理，整体认识归纳整理，整体认识归纳整理，整体认识课堂小结课堂小结知识内容知识内容知识内容知识内容思想与方法思想与方法思想与方法思想与方法函函数数零零点点的的概概念念函函数数零零点点存存在在性性定定理理数数形形结结合合思思想想函函数数与与方方程程的的思思想想化化归归与与转转化化的的思思想想设计意图：设计意图：对本节课对本节课所学的知识有一个完所学的知识有一个完整、系统的认识；在整、系统的认识；在培养概括能力的同时，培养概括能力的同时，也对课堂的教学效果也对课堂的教学效果进行反馈。进行反馈。教学过程教学过程教法学法教法学法教材分析教材分析课后反馈，作业布置课后反馈，作业布置课后反馈，作业布置课后反馈，作业布置 课本课本P92 习题习题3.1 A组组 2教学过程教学过程教法学法教法学法教材分析教材分析必做题：必做题：板书设计板书设计板书设计板书设计1.1.两个探究两个探究两个探究两个探究2.2.三种思想三种思想三种思想三种思想 学生从中深刻地领会到本节课知识形成过程中所蕴含的学生从中深刻地领会到本节课知识形成过程中所蕴含的三三种数学思想种数学思想，培养了学生思维的，培养了学生思维的深刻性、敏锐性、广阔性、批深刻性、敏锐性、广阔性、批判性判性，同时通过精讲例题及发散变式训练的教学，使学生既巩，同时通过精讲例题及发散变式训练的教学，使学生既巩固了知识，又形成了技能；固了知识，又形成了技能；在在此此基基础础上上，民民主主和和谐谐的的课课堂堂氛氛围围，也也培培养养了了学学生生自自主主学学习习、合合作作交交流流的的学学习习习习惯惯，培培养养了了学学生生勇勇于于探探索索、不不断断创新创新的思维品质的思维品质3.3.四个能力四个能力四个能力四个能力 本节课通过两个探究并结合生活中的实例，使学生在本节课通过两个探究并结合生活中的实例，使学生在“讨讨论探究论探究”中掌握函数零点概念及零点存在性原理，中掌握函数零点概念及零点存在性原理，将课堂还给将课堂还给学生，使课堂焕发生命的活力；学生，使课堂焕发生命的活力；教学评价与反思教学评价与反思教学评价与反思教学评价与反思