方程的根与函数的零点-课件

思考：一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象有什么关系？我们知道，令一个一元二次函数我们知道，令一个一元二次函数的函数值的函数值y y0 0，则得到一元二次方程，则得到一元二次方程1.画出画出y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3 的函数图像的函数图像-11O3xyox=1xy2.解方程：解方程：x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0 x1=-1;x2=3x1=x2=0无实根无实根问题问题1：没有交点没有交点(1,0)(1,0)x x2 2-2x+3=0-2x+3=0 x x2 2-2x+1=0-2x+1=0(-1,0),(3,0)(-1,0),(3,0)x x2 2-2x-3=0-2x-3=01.1.二次方程根的个数就是二次函数图象与二次方程根的个数就是二次函数图象与x x轴交点的个数轴交点的个数。结结 论论:无实数根无实数根x x1 1=x=x2 2=1=1x x1 1=-1,x=-1,x2 2=3=3y=xy=x2 2-2x+3-2x+3y=xy=x2 2-2x+1-2x+1y=xy=x2 2-2x-3-2x-3图象与图象与x x轴的交轴的交点点函数的图象函数的图象一元二次方一元二次方程程方程的根方程的根二次函数二次函数2.2.二次方程的实数根就是二次函数图象与二次方程的实数根就是二次函数图象与x x轴交点的横坐标轴交点的横坐标。若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)及相应的二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？问题200=0=0判别式判别式=b24ac方程方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0(a0)(a0)的根的根函数函数y=axy=ax2 2+bx+bx+c(a0)+c(a0)的图象的图象函数的图象函数的图象与与 x x 轴的交点轴的交点00(x x1 1,0),(,0),(x x2 2,0),0)没有实根没有实根没有交点没有交点两个不相等两个不相等的实数根的实数根x1、x2有两个相等的有两个相等的实数根实数根x x1 1=x=x2 2(x x1 1,0),0)二次函数的图像与轴的交点与对应的一元二次方程的根的关系是否可以推广到一般情形？结论：1.方程根的个数就是函数图象与方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个轴交点的个数。数。2.2.方程的实数根就是函数图象与方程的实数根就是函数图象与x x轴交点轴交点的横坐标。的横坐标。对于函数对于函数y=f(x)我们把使我们把使f(x)=0的实数的实数x叫做函数叫做函数y=f(x)的零点（的零点（zero point)。方程方程f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点函数函数y=f(x)有零点有零点函数零点的定义：函数零点的定义：函数零点的定义：函数零点的定义：等价关系等价关系等价关系等价关系结论结论：函数的零点就是方程函数的零点就是方程f(x)=0f(x)=0的实数根，也就是函数的实数根，也就是函数y=f(x)y=f(x)的图的图象与象与x x轴的交点的横坐标轴的交点的横坐标.(1)(1)y=y=-x-x2 2-x+20-x+20；(2)y=2(2)y=2x x-1;-1;例例1：求下列函数的零点求下列函数的零点.观察二次函数观察二次函数f(x)=x22x3的图象的图象:在在2,1上，上，我们发现函数我们发现函数f(x)f(x)在区间（在区间（-2,1)-2,1)内有零内有零点点x x _,_,有有f(2)_0_0,f(1)_0_0得到得到 f(2)f(1)_0()。在在2,42,4上，我们发现函数上，我们发现函数f(x)f(x)在区间（在区间（2,4)2,4)内有零点内有零点x x _ _，有，有f(2)_0,f(4)_f(2)_0,f(4)_ 0 0得到得到 f(2)f(4)_f(2)f(4)_ 0 0（)。.xy0132112123424观察对数函数观察对数函数f(x)=lgx的图象的图象:在在0.5,2.5 内内 f(0.1)_0 0，f(2)_ 0f(0.1)f(2)_0()函数函数f(x)在（在（0.1,2)内有一个零点内有一个零点 x _，.xy0121.思考思考：函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在某种关系？零点是否存在某种关系？零点是否存在某种关系？零点是否存在某种关系？-1-1-1-1 3 3 3 3 1 1 1 1 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是连续上的图象是连续不断的一条曲线不断的一条曲线，并且有，并且有f(a)f(b)0，那么，函，那么，函数数y=f(x)在区间在区间(a,b)内有零点，即存在内有零点，即存在c(a,b)，使得使得f(c)=0，这个，这个c也就是方程也就是方程f(x)=0的根。的根。注意注意注意注意:零点存在性定理零点存在性定理：1、图像是连续不断的曲线图像是连续不断的曲线由表由表3-1和图和图3.13可知可知f(2)0，即即f(2)f(3)0,f(1.5)=2.8750,所以所以f(x)=x33x+5在区间在区间(1,1.5)上有零点。又因为上有零点。又因为f(x)是是(,）上的减函数，所以在区间上的减函数，所以在区间(1,1.5)上有上有且只有一个零点。且只有一个零点。xy01321125432(1)f(x)=x33x+5.利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：2(2)2(2)解：解：作出函数的图象，如下：作出函数的图象，如下：.因为因为f(3)30,所以所以f(x)=2x ln(x2)3在区间在区间(3,4)上有零点。又因为上有零点。又因为f(x)=2x ln(x2)3是是(2，）上的增函数，）上的增函数，所以在区间所以在区间(3,4)上有且只有一个零点。上有且只有一个零点。xy01321125-3-242(2)f(x)=2x ln(x2)3利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：2(3)2(3)解：解：作出函数的图象，作出函数的图象，如下：如下：.因为因为f(0)3.630,所以所以f(x)=ex1+4x4在区间在区间(0,1)上有零点。又因上有零点。又因为为f(x)=ex1+4x4是是(，）上的增函数，所以在）上的增函数，所以在区间区间(0,1)上有且只有一个零上有且只有一个零点。点。2(3)f(x)=ex1+4x4xy0132112123424利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：2(4)2(4)解：解：作出函数的图象，如下：作出函数的图象，如下：x080155y24012043604020432 因为因为f(4)40,f(2)20,f(2)700,所以所以f(x)=3(x+2)(x 3)(x+4)+x 在区间在区间(4,3)、(3，2,)、(2,3)上各有上各有一个零点。一个零点。2(4)f(x)=3(x+2)(x3)(x+4)+x.利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：课堂小结：、函数零点的定义；2、函数的零点与方程的根的关系；3、确定函数的零点的方法。布置作业：布置作业：P102 习题习题3.1 组组 第第2题题补充作业补充作业：1 1、求下、求下 列函数的零点：列函数的零点：(1)y=-x(1)y=-x2 2+6x+7+6x+7；