第三章幂级数展开ppt课件

我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物第三章第三章 幂幂 级级 数数 展展 开开3、1 复数项级数复数项级数3、2 幂幂 级级 数数3、3 泰勒级数展开泰勒级数展开3、5 洛朗级数展开洛朗级数展开3、4 解析延拓解析延拓3、6 孤立奇点的分类孤立奇点的分类1第三章 幂 级 数 展 开3、1 复数项级数3、2我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物第三章第三章 幂幂 级级 数数 展展 开开1 1、求幂级数收敛半径的方法、求幂级数收敛半径的方法2 2、复变函数、复变函数TaylorTaylor展开条件与展开方法展开条件与展开方法3 3、复变函数、复变函数LaurantLaurant展开条展开条件与展开方法件与展开方法4 4、极点阶数的确定。、极点阶数的确定。2第三章 幂 级 数 展 开重点1、求幂级数收敛半径的方法2、我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物3、1 复数项级数复数项级数一、复数项级数定义及其收敛判据一、复数项级数定义及其收敛判据二、绝对收敛与一致收敛的概念及性质二、绝对收敛与一致收敛的概念及性质三、级数绝对收敛性的常用判别法三、级数绝对收敛性的常用判别法33、1 复数项级数一、复数项级数定义及其收敛判我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物一、复数项级数定义及其收敛判据一、复数项级数定义及其收敛判据1.复数项级数定义：复数项级数定义：每一项均为复数每一项均为复数实数项级数是复数项级数的特例实数项级数是复数项级数的特例一个复数项级数可转化为两个实数项级数来讨论一个复数项级数可转化为两个实数项级数来讨论说明：说明：(4)(4)复变函数项级数是复数项级数的一种。复变函数项级数是复数项级数的一种。4一、复数项级数定义及其收敛判据 复数项级数定义：每一项均我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2 2、复数项级数的收敛判据、复数项级数的收敛判据-Cauchy-Cauchy 收敛判据收敛判据 实数项级数的收敛定义实数项级数的收敛定义 如果实数项级数如果实数项级数的部分和序列的部分和序列有极限有极限S S，即，即 =S=S收敛。.则称级数则称级数 收敛。收敛。这极限这极限S S称为这级数的和称为这级数的和 反之，称为发散。反之，称为发散。52、复数项级数的收敛判据-Cauchy 收敛判据 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物收敛的充分必要条件为收敛的充分必要条件为成立。成立。对于任意给定的正数对于任意给定的正数,总存在自然数总存在自然数N使得当使得当n N时，时，对于任意的自然数对于任意的自然数p都有：都有：（2 2）实数项级数）实数项级数Cauchy Cauchy 收敛原理收敛原理级数级数证明见高等数学教材。证明见高等数学教材。说明从说明从nN后面项的和为一小数，所以收敛。后面项的和为一小数，所以收敛。6收敛的充分必要条件为成立。对于我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物则称级数则称级数 收敛。收敛。（3）复数项级数的收敛定义复数项级数的收敛定义 如果复数项级数如果复数项级数的部分和序列的部分和序列有极限有极限S S，即，即 =S=S.这时极限这时极限S S称为这级数的和称为这级数的和 反之，称为发散。反之，称为发散。7则称级数 收敛。（3）复数项级数的收敛我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物级数级数收敛的充分必要条件为收敛的充分必要条件为成立。成立。对于任意给定的正数对于任意给定的正数,总存在自然数总存在自然数N使得当使得当n N时，时，对于任意的自然数对于任意的自然数p都有：都有：（4 4）复数项级数）复数项级数Cauchy Cauchy 收敛原理收敛原理说明从说明从nN后面项的和的模为一小数，所以收敛。后面项的和的模为一小数，所以收敛。证明略证明略由由给定给定，存在，存在N，和和N一一对应关系一一对应关系8级数收敛的充分必要条件为成立。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物二、绝对收敛与一致收敛的概念及性质二、绝对收敛与一致收敛的概念及性质1)1)绝对收敛：绝对收敛：绝对收敛定义绝对收敛定义，为绝对收敛级数。为绝对收敛级数。收敛，则称这个级数收敛，则称这个级数的各项模的各项模 、.由复数级数由复数级数组成的新级数组成的新级数或写为或写为9二、绝对收敛与一致收敛的概念及性质1)绝对收敛：绝我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物b.如果级数如果级数和和是绝对收敛的，则它们的乘积是绝对收敛的，则它们的乘积也是绝对收敛的。也是绝对收敛的。c.c.改变绝对收敛级数的各项先后次序其和不变。改变绝对收敛级数的各项先后次序其和不变。和相同和相同a.如果级数如果级数是绝对收敛的，则该级数收敛。是绝对收敛的，则该级数收敛。充分条件充分条件常用判断级数绝对值收敛的方法来判断级数的收敛常用判断级数绝对值收敛的方法来判断级数的收敛 性质：性质：10b.如果级数和是绝对收敛的，则它们的乘积也是绝对收敛的。c我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物成立。成立。则称级数则称级数 为一致收敛。为一致收敛。2 2）一致收敛及其性质：）一致收敛及其性质：一致收敛定义：一致收敛定义：如果级数是定义在区域如果级数是定义在区域B（或边界线（或边界线L）上，则在）上，则在区域区域B（或（或L）上的各点）上的各点z，对于给定的小正数，对于给定的小正数 ，存在，存在与与z无关的正整数无关的正整数N,使得使得n N时，时，对于任意的自然数对于任意的自然数p恒有：恒有：11成立。则称级数 为一致收敛。2）一致收敛及其性质：我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物说明：说明：1 1、一致收敛是对区域、一致收敛是对区域B B或或L L而言。或者说是对而言。或者说是对复变函数项级数复变函数项级数而言的。而言的。2 2、复变函数项级数在、复变函数项级数在B B或或L L上一致收敛上一致收敛在在B B或或L L上的各点上的各点z z，此复变函数项级数，此复变函数项级数 都收敛都收敛3 3、在区域在区域B B或或L L上一致收敛，如果上一致收敛，如果 是是B B或或L L上的连上的连续函数，则续函数，则 也是也是B B或或L L上的连续函数上的连续函数4 4、逐项可积性。若、逐项可积性。若 在在L L上一致收敛，则有：上一致收敛，则有：12说明：1、一致收敛是对区域B或L而言。或者说是对复变函数项级我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物5 5、逐项可导性。若、逐项可导性。若 在在B B上一致收敛，且每一项上一致收敛，且每一项 在在B B上解析，则有：上解析，则有：6 6、M M判别法。若在区域判别法。若在区域B B内，内，且且 收敛，则收敛，则 在在B B内一致且绝对收敛内一致且绝对收敛7 7、如果复数项级数的和是、如果复数项级数的和是B B的解析函数，则这个级数一定是的解析函数，则这个级数一定是B B上上的收敛级数的收敛级数135、逐项可导性。若 在B上一致收敛，且每一项 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物三、级数绝对收敛性的常用判别法：三、级数绝对收敛性的常用判别法：达朗贝尔（达朗贝尔（Alembent）判别法判别法对于级数对于级数如果（至少当如果（至少当n充分大时），有充分大时），有1 1，模一项比一项小，模一项比一项小.绝对收敛，绝对收敛，则级数则级数即判断即判断反之，若反之，若 ，模级数，模级数 发散，复级数发散，复级数 发散，发散，若若 ，模级数，模级数 不定不定，复级数，复级数 不定不定 14三、级数绝对收敛性的常用判别法：达朗贝尔（Alembent我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物三、级数绝对收敛性的常用判别法：三、级数绝对收敛性的常用判别法：达朗贝尔（达朗贝尔（Alembent）判别法判别法(Cauchy)(Cauchy)判别法：判别法：如果（至少当如果（至少当n充分大时），有充分大时），有1 1，则级数，则级数 是绝对收敛的，反之，敛散性不定。是绝对收敛的，反之，敛散性不定。15三、级数绝对收敛性的常用判别法：达朗贝尔（Alembent我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物高斯（高斯（GaussGauss）判别法）判别法=1+=1+0+0（)如果（至少当如果（至少当n充分大时）充分大时）是常数，则当是常数，则当时，级数时，级数 绝对收敛；绝对收敛；当当时级数发散。时级数发散。16高斯（Gauss）判别法=1+0（)如果（至少当n我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物3、2 幂幂 级级 数数一、幂级数表示一、幂级数表示二、幂级数的收敛半径及其求法二、幂级数的收敛半径及其求法三、幂级数性质三、幂级数性质173、2 幂 级 数一、幂级数表示二、幂级数的收敛半径我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物均是复数均是复数 ，二、幂级数的收敛半径及其求法：二、幂级数的收敛半径及其求法：1、收敛半径、收敛半径R：绝对收敛。绝对收敛。1 1）d dAlembert 法则求级数收敛半径：法则求级数收敛半径：一、幂级数表示一、幂级数表示收敛半径为收敛半径为 18均是复数，二、幂级数的收敛半径及其求法：1、收敛半径R我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1 1对收敛。对收敛。若若1 1发散。发散。R=收敛半径为收敛半径为 对同一级数而言，两种方法给出的收敛半径相同。（证略）对同一级数而言，两种方法给出的收敛半径相同。（证略）2 2）CauchyCauchy法求收敛半径法求收敛半径收敛圆收敛圆在收敛圆外部，在收敛圆外部，发散发散在收敛圆上，敛散性不定，需讨论在收敛圆上，敛散性不定，需讨论在收敛圆内部，在收敛圆内部，收敛收敛191对收敛。若1发散。R=收敛半径为 对同一级数而言我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例 求级数求级数的收敛圆，的收敛圆，t 为复变数为复变数=1R=1解：解：故级数在故级数在1 1的圆内收敛的圆内收敛级数的和为（几何级数）级数的和为（几何级数）20例 求级数的收敛圆，t 为复变数=1 R=1 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物令令解解=1收敛半径为收敛半径为级数为级数为级数的和为级数的和为例例 求级数的求级数的收敛半径。收敛半径。z z为复变数为复变数21令解=1收敛半径为级数为级数的和为例 求级数的收敛半径。我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例3 3 求下列级数的收敛半径；求下列级数的收敛半径；（并讨论在收敛圆周上的情况）（并讨论在收敛圆周上的情况）1）（并讨论（并讨论Z=0Z=0，Z=2 Z=2时的情况）时的情况）2）=1R=解：解：=在圆周在圆周=1=1上，其模级数为：上，其模级数为：22例3 求下列级数的收敛半径；（并讨论在收敛圆周上的情况）1我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物，这是一个收敛级数（，这是一个收敛级数（P P级数）级数）P P为实数项级数为实数项级数 收敛圆收敛圆在收敛圆周上，其模级数为：在收敛圆周上，其模级数为：是发散级数是发散级数所以不能确定此时复数级数所以不能确定此时复数级数 的敛散性，需讨的敛散性，需讨论论23，这是一个收敛级数（P级数）P为实数项级数 收敛圆在收敛我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物在收敛圆周上在收敛圆周上当当z =0=0时，级数为：时，级数为：-交错级数，由莱布尼次准则知级数收敛交错级数，由莱布尼次准则知级数收敛交错级数的审敛准则交错级数的审敛准则(莱布尼兹准则莱布尼兹准则)：如果且，那末级数收敛.24在收敛圆周上当z=0时，级数为：-交错级数，由莱我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物调和级数发散的速度慢的让人有些不可思议，调和级数的前1000项的和约为7.485，前100万项的和约为14.357，前10亿项的和约为21，前一万亿项和越为28，当它的和超过100时，如果每一项在纸带上只占1毫米，我们必须使用1043毫米长的纸带，这大约是1025光年，而宇宙估计尺寸只有1012光年，因此也难怪大家都会认为它是收敛的。当当z=2z=2时，级数为时，级数为:-调和级数调和级数 在收敛圆周上不在收敛圆周上不能确定级数的敛能确定级数的敛散性散性25当z=2时，级数为:-调和级数 在收敛圆周上我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物三、幂级数性质三、幂级数性质1、幂级数在收敛圆、幂级数在收敛圆内内绝对且一致收敛绝对且一致收敛证明证明 收敛圆半径为收敛圆半径为R,做比收敛圆稍微缩小的圆周做比收敛圆稍微缩小的圆周 ,半径为半径为R1由由构成的常数项级数构成的常数项级数 则有则有=1收敛收敛,则级数则级数绝对且一致收敛绝对且一致收敛M判别法判别法26三、幂级数性质1、幂级数在收敛圆内绝对且一致收敛证明 收敛圆我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2 2、幂级数的和在收敛圆内部是解析函数（无奇点，处处可导）、幂级数的和在收敛圆内部是解析函数（无奇点，处处可导）证明证明 由于级数在收敛圆内一致且绝对收敛，则说明级数由于级数在收敛圆内一致且绝对收敛，则说明级数在偏小的在偏小的上一致收敛，则它可在上一致收敛，则它可在 上逐项积分上逐项积分=+两边乘以两边乘以两边积分，并应用两边积分，并应用Cauchy公式公式zi1-xp12272、幂级数的和在收敛圆内部是解析函数（无奇点，处处可导）证明我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 即级数的和可用连续函数的回路积分来表示，且连续函即级数的和可用连续函数的回路积分来表示，且连续函数的回路积分可在积分号下求任意多次导数，说明该级数的数的回路积分可在积分号下求任意多次导数，说明该级数的和是一个解析函数。和是一个解析函数。3 3、级数在收敛圆内部可以逐项求导任意多次。（证明略）、级数在收敛圆内部可以逐项求导任意多次。（证明略）=+L+-xxxdzzacR1202)(28 即级数的和可用连续函数的回路积分来表示，且连续我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物本节重点：本节重点：R=幂级数的收敛半径求法幂级数的收敛半径求法29本节重点：R=幂级数的收敛半径求法29我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物3、3 泰勒级数展开泰勒级数展开1、解析函数以幂级数展开问题、解析函数以幂级数展开问题二、解析函数展为泰勒级数举例二、解析函数展为泰勒级数举例303、3 泰勒级数展开、解析函数以幂级数展开问题二、解析我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物1 1、解析函数在收敛圆内可以展开幂级数、解析函数在收敛圆内可以展开幂级数证明证明在在内解析，则应用内解析，则应用CauchyCauchy公式，在公式，在内有内有 将将展为以展为以为圆心的收敛圆内的幂级数为圆心的收敛圆内的幂级数1、解析函数以幂级数展开问题、解析函数以幂级数展开问题CR1？311、解析函数在收敛圆内可以展开幂级数证明在内解析，则应用Ca我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物内的点，则内的点，则 上的点，上的点，z 是是是是则有则有（1）CR132内的点，则 上的点，z 是是则有（1）CR132我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物收敛圆半径为收敛圆半径为即即33收敛圆半径为即33我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解析函数在收敛圆内展开的级数称为泰勒级数解析函数在收敛圆内展开的级数称为泰勒级数 1 1）解析函数在收敛圆内以同一点为中心展为泰勒级数是）解析函数在收敛圆内以同一点为中心展为泰勒级数是 唯一的。唯一的。（略证）（略证）2 2）若函数）若函数f(z)f(z)在收敛圆上或外部不解析，则函数与展开在收敛圆上或外部不解析，则函数与展开 的泰勒级数只有在收敛圆内部才相等。的泰勒级数只有在收敛圆内部才相等。2 2、说明、说明34解析函数在收敛圆内展开的级数称为泰勒级数 1）解析函数在收敛我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物二、解析函数展为泰勒级数举例：二、解析函数展为泰勒级数举例：1、直接展开法：、直接展开法：在在的邻域上把的邻域上把展开。展开。例例1解：解：在复平面上解析，则在在复平面上解析，则在也是解析的，则也是解析的，则的邻域上的邻域上常用方法常用方法:直接法和间接法直接法和间接法.由泰勒展开定理计算系数由泰勒展开定理计算系数35二、解析函数展为泰勒级数举例：1、直接展开法：在的邻域上把展我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物故有：故有：收敛半径：收敛半径：36故有：收敛半径：36我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物（1 1）在复平面上解析的，则在在复平面上解析的，则在的邻域上解析，的邻域上解析，解：解：在在的邻域上把的邻域上把展开。展开。例237（1）在复平面上解析的，则在的邻域上解析，解：在的邻域上把展我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物同理同理：请学生自己证明请学生自己证明38同理：请学生自己证明38我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2.间接展开法间接展开法:借助于一些已知函数的展开式借助于一些已知函数的展开式,结合解析结合解析函数的性质函数的性质,幂级数运算性质幂级数运算性质(逐项求导逐项求导,积积分等分等)和其它数学技巧和其它数学技巧(代换等代换等),求函数的泰求函数的泰勒展开式勒展开式.392.间接展开法:借助于一些已知函数的展我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物解：解：例例3 3 求求在在z=0z=0处的泰勒级数。处的泰勒级数。40解：例3 求在z=0处的泰勒级数。40我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物f(z)=ln(1+)=ln(1+z)解解求函数求函数在在z=0z=0的泰勒展开。的泰勒展开。例例4 441f(z)=ln(1+z)解求函数在z=0的泰勒展开。例441我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物 解析函数的泰勒级数展开：解析函数的泰勒级数展开：在在收敛圆收敛圆CR内，内，解析函数解析函数f（z）可以展开为）可以展开为以以z0为中心为中心的幂级数：的幂级数：1、直接展开法：、直接展开法：复习复习42 解析函数的泰勒级数展开：在收敛圆CR内，解析函数f（z）可我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2 2、间接展开法、间接展开法 步骤：步骤：1 看题干，找到看题干，找到f（z）的解析区域）的解析区域 2 看题干，找到级数数展开的看题干，找到级数数展开的中心点中心点z0 3 利用展开定理或已知函数的展开式利用展开定理或已知函数的展开式得出得出ak，把级数表，把级数表 示成泰勒级数的标准形式示成泰勒级数的标准形式 4 找到收敛圆找到收敛圆 ，f（z）应该在此区域内解析）应该在此区域内解析432、间接展开法 步骤：1 看题干，找到f（z）的解析区域43我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物3、4 解析延拓解析延拓一、问题的提出与解析延拓概念一、问题的提出与解析延拓概念1、问题的提出、问题的提出上式的左端的函数在很大的区域内都是解析的，只有在上式的左端的函数在很大的区域内都是解析的，只有在 点不解析，但上式右端泰勒级数只在点不解析，但上式右端泰勒级数只在 区区域解析，这样，我们可以说有两个函数：域解析，这样，我们可以说有两个函数：（除（除以外）以外）方法和性质方法和性质443、4 解析延拓一、问题的提出与解析延拓概念1、问我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物两函数有怎样的关系呢？两函数有怎样的关系呢？函数函数 的解析区域大于的解析区域大于 的解析区域的解析区域在小区域上在小区域上能否通过能否通过 找到找到 呢？呢？2.2.解析延拓：解析延拓：若已知若已知f(z)f(z)在某个邻域在某个邻域b b上解析，若能找到另一个函数上解析，若能找到另一个函数F(z)F(z)，使它在含有区域，使它在含有区域b b的一个较大的邻域上是解析的，的一个较大的邻域上是解析的，并且在区域并且在区域b b上等同于上等同于f(z)f(z)，这一过程称为解析延拓。，这一过程称为解析延拓。解析延拓就是使得解析函数定义域的扩大。解析延拓就是使得解析函数定义域的扩大。45两函数有怎样的关系呢？函数 的解析区域我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物二、解析延拓的方法：二、解析延拓的方法：利用泰勒级数方法进行。选区域利用泰勒级数方法进行。选区域b b的内点的内点，在，在的邻域上把解析函数展开。如果这收敛区域有一部的邻域上把解析函数展开。如果这收敛区域有一部分超出分超出b b，函数，函数f(z)f(z)定义域就扩大了一步，再在超出定义域就扩大了一步，再在超出部分的区域选定一点为中心展开，这样反复下去就部分的区域选定一点为中心展开，这样反复下去就可以找到函数所有的解析区域了。可以找到函数所有的解析区域了。46二、解析延拓的方法：利用泰勒级数方法进行。选区域b的内点，在我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物三三.函数解析延拓的唯一性：函数解析延拓的唯一性：函数函数f(z)通过某种方法进行了解析延拓，得到的函数通过某种方法进行了解析延拓，得到的函数是唯一的。是唯一的。证明证明 在在b b上上设用两种方法将函数设用两种方法将函数f(z)从较小区域从较小区域b解析延拓到解析延拓到较大区域较大区域B上，得到的函数分别是上，得到的函数分别是F1(z)和和F2(z).构成新函数构成新函数，该函数是解析的，该函数是解析的，且在且在b b上处处为零上处处为零,在在B B上不一定处处为零。上不一定处处为零。47三.函数解析延拓的唯一性：函数f(z)通过某种方法进行了解我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物在在b b的边界线上的点的边界线上的点 ,将将G(z)G(z)在在的邻域内做泰勒展开。的邻域内做泰勒展开。若系数中首项不为零的系数是若系数中首项不为零的系数是am,则则:显然，若使显然，若使G G(z z)在在b b上处处为零，必须有上处处为零，必须有这样，满足在这样，满足在b b上上G G(z z)处处为零，必然要求在整个区域上处处为零，必然要求在整个区域上处处为零。处处为零。48在b的边界线上的点 ,将G(z)在的邻域内做泰勒展开。若我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物则在则在B B上处处有：上处处有：证毕证毕49则在B上处处有：证毕49我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物3、5 洛朗级数展开洛朗级数展开一、一、问题的提出：问题的提出：当所研究的区域存在函数的奇点时，需要考虑在除去奇点的当所研究的区域存在函数的奇点时，需要考虑在除去奇点的环域环域上展开上展开-洛朗级数洛朗级数二、洛朗级数的二、洛朗级数的收敛环收敛环：三、洛朗定理三、洛朗定理 四、函数的洛朗展开法：四、函数的洛朗展开法：503、5 洛朗级数展开一、问题的提出：当所研究的区域我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物二、洛朗级数的二、洛朗级数的收敛环收敛环：洛朗级数通常有两部分组成：洛朗级数通常有两部分组成：解析部分：解析部分：主要部分：主要部分：51二、洛朗级数的收敛环：洛朗级数通常有两部分组成：解析部分：主我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物收敛环收敛环：如果解析部分收敛半径为如果解析部分收敛半径为，其收敛域，其收敛域对主要部分做复数代换对主要部分做复数代换在在z平面的问题转化为在平面的问题转化为在内讨论内讨论在在平面内看来，它也是泰勒级数，收敛半径为平面内看来，它也是泰勒级数，收敛半径为即：即：回到回到z z平面上，收敛域为平面上，收敛域为解析部分和主要部分都收敛的区域，洛朗级数才可能收敛。解析部分和主要部分都收敛的区域，洛朗级数才可能收敛。因此，洛朗级数的收敛域为：因此，洛朗级数的收敛域为：52收敛环：如果解析部分收敛半径为，其收敛域对主要部分做复数代换我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物三、洛朗定理三、洛朗定理 有时需要讨论一个函数在它的奇点附近的性质，需要把有时需要讨论一个函数在它的奇点附近的性质，需要把函数展开为幂级数进行讨论。在这种情况下，显然不能做函数展开为幂级数进行讨论。在这种情况下，显然不能做泰勒展开，而洛朗级数将解决这一问题。泰勒展开，而洛朗级数将解决这一问题。1.1.洛朗定理：洛朗定理：设设f(z)在在环形区域环形区域的内部单值的内部单值解析解析，则对环域上任意点，则对环域上任意点z，f(z)可展为幂级数：可展为幂级数：c是是环域内绕内圆的任一闭合曲线环域内绕内圆的任一闭合曲线。逆时针方向逆时针方向其中其中 53三、洛朗定理 有时需要讨论一个函数在它的奇点附近的性质我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物证明证明 由复通区域的由复通区域的cauchycauchy公式公式对于第一项可有对于第一项可有在在 上上 取取 比外边界线稍小，比外边界线稍小，比内边界线稍大，以不考比内边界线稍大，以不考虑圆周上的问题。虑圆周上的问题。54证明 由复通区域的cauchy公式对于第一项可有在 上 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物所以有所以有55所以有55我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物几点说明几点说明（1 1）与泰勒级数不完全相同与泰勒级数不完全相同（2 2）如果只有环心是）如果只有环心是f(z)f(z)的奇点，则内圆半径可以任意小。的奇点，则内圆半径可以任意小。这时的展开称为这时的展开称为孤立奇点孤立奇点 的邻域内的邻域内展开。展开。（3 3）洛朗级数既可以在奇点附近展开，也可以在非奇点附近）洛朗级数既可以在奇点附近展开，也可以在非奇点附近展开。展开。56几点说明与泰勒级数不完全相同（2）如果只有环心是f(z)的奇我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物判断：展开为什么幂级数判断：展开为什么幂级数1.在在z0=2的邻域展开的邻域展开以以1+i为中心展开为中心展开洛朗洛朗泰勒泰勒2.在在1+4i的邻域内展开的邻域内展开在在 的区域内展开的区域内展开在在 的区域展开的区域展开泰勒泰勒洛朗洛朗判断函数展开为幂级数是泰勒级数还是洛朗级数，需要看展开的解判断函数展开为幂级数是泰勒级数还是洛朗级数，需要看展开的解析区域：析区域：1）不管是由）不管是由函数本身的不解析函数本身的不解析所引起，还是由所引起，还是由展开区域自行规定展开区域自行规定，只要有解析区域的内边界线，（可能）有负幂项，是只要有解析区域的内边界线，（可能）有负幂项，是洛朗级数洛朗级数。（若是函数的非解析区域是可去奇点，则展开没有负幂项，但有内（若是函数的非解析区域是可去奇点，则展开没有负幂项，但有内边界线，还是洛朗展开）边界线，还是洛朗展开）收敛环收敛环洛朗洛朗2）即使函数本身有非解析区域（或点），但在）即使函数本身有非解析区域（或点），但在展开区域展开区域没有非解没有非解析点或内边界线，展开的也是析点或内边界线，展开的也是泰勒级数泰勒级数。收敛圆收敛圆泰勒泰勒泰勒泰勒57判断：展开为什么幂级数1.在z0=2的邻域展开洛朗泰勒2.在我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物四、函数的洛朗展开法：四、函数的洛朗展开法：间接展开法间接展开法步骤：步骤：1 看题干，判断看题干，判断f（z）的展开解析区域的形状。）的展开解析区域的形状。2 看题干，找到级数展开的看题干，找到级数展开的中心点中心点z0 3 利用已知函数的展开式利用已知函数的展开式得出得出ak，把级数表，把级数表 示成洛朗级数的标准形式示成洛朗级数的标准形式 4 找到收敛环找到收敛环 ，f（z）应该在）应该在 此区域内解析此区域内解析58四、函数的洛朗展开法：间接展开法步骤：1 看题干，判断f（z我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例1.1.将函数将函数在在z=0z=0处展开为洛朗级数。处展开为洛朗级数。解：解：z=0z=0处是函数的处是函数的奇点奇点，其余在复平面上收敛，则收敛域为，其余在复平面上收敛，则收敛域为59例1.将函数在z=0处展开为洛朗级数。解：z=0处是函数的奇我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例2.2.将函数将函数在在区域中展成罗朗级数。区域中展成罗朗级数。解：函数解：函数f(z)f(z)存在两个奇点：存在两个奇点：z=1,z=2z=1,z=2，函数在上述两环域，函数在上述两环域 中均为解析。中均为解析。级数中心均指定为级数中心均指定为z=1z=1。60例2.将函数在区域中展成罗朗级数。解：函数f(z)存在两个我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物（1）在环域）在环域中中（2）在区域）在区域中中61（1）在环域中（2）在区域中61我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物将将分别在邻域分别在邻域展开。展开。例例4 4解解函数有两个奇点函数有两个奇点 z=0,z=-1。函数在给定的区域解析。函数在给定的区域解析。对于对于D D1 1区域：区域：62将分别在邻域展开。例4解函数有两个奇点 z=0,z=-1我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物6363我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物3、6 孤立奇点的分类孤立奇点的分类一、孤立奇点与非孤立奇点一、孤立奇点与非孤立奇点 二、孤立奇点的分类及性质：二、孤立奇点的分类及性质：三、函数的零点与极点的关系三、函数的零点与极点的关系四、无穷远孤立奇点的分类四、无穷远孤立奇点的分类643、6 孤立奇点的分类一、孤立奇点与非孤立奇点 二、孤我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物一、孤立奇点与非孤立奇点一、孤立奇点与非孤立奇点 1.1.孤立奇点：孤立奇点：函数函数f(z)f(z)在在不可导，而在不可导，而在的邻域内处处可导，此点的邻域内处处可导，此点称为称为f(z)f(z)的孤立奇点。的孤立奇点。2.2.非孤立奇点：非孤立奇点：函数函数f(z)f(z)在在的邻域内除在的邻域内除在点处不可导以外，还至点处不可导以外，还至少存在一点使少存在一点使f(z)f(z)在该点处不可导，此点称为非孤立奇点。在该点处不可导，此点称为非孤立奇点。65一、孤立奇点与非孤立奇点 1.孤立奇点：不可导，而在的邻域内我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物注意注意:孤立奇点一定是奇点孤立奇点一定是奇点,但奇点不一定是孤但奇点不一定是孤立奇点立奇点.例例1 1是否是函数是否是函数的孤立奇点的孤立奇点.是否是函数是否是函数的孤立奇点的孤立奇点.判断判断判断判断解解函数函数在在z=0z=0的邻域内除了该点以外，不再有奇点。的邻域内除了该点以外，不再有奇点。因此，因此，z=0z=0是这两个函数的孤立奇点。是这两个函数的孤立奇点。同理：同理：z=-1z=-1是函数是函数 孤立奇点。孤立奇点。66注意:孤立奇点一定是奇点,但奇点不一定是孤立奇点.例1是我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例2 2 指出函数指出函数在点在点的奇点特性的奇点特性.解解函数的奇点为函数的奇点为即在即在的不论怎样小的去心邻域内的不论怎样小的去心邻域内,的奇点存在的奇点存在,总有总有不是孤立奇点不是孤立奇点.所以所以因为因为z=0 x67例2 指出函数在点的奇点特性.解函数的奇点为即在的不论怎样小我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物（1 1）可去奇点：）可去奇点：若函数若函数f(z)f(z)在在的环域内，洛朗级数可展为的环域内，洛朗级数可展为（无负幂次项无负幂次项部分）：部分）：该点称为可去奇点。该点称为可去奇点。二、孤立奇点的分类及性质：二、孤立奇点的分类及性质：1.1.孤立奇点的分类：孤立奇点的分类：68（1）可去奇点：的环域内，洛朗级数可展为（无负幂次项部分）：我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物,)(0的可去奇点的可去奇点若是若是zfz(1(1)其和函数其和函数为在为在解析的函数解析的函数.(2)(2)使函数使函数在在解析解析.无论无论在在是否有定义是否有定义,可以补充定义可以补充定义(3)(3)即有：即有：说明说明:可去奇点可去奇点69,)(0的可去奇点若是zfz(1)其和函数为在解析的函数.(我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物可去奇点的判定可去奇点的判定(1)(1)由定义判断由定义判断:的洛朗级数的洛朗级数无负无负在在如果如果幂项幂项则则为为的可去奇点的可去奇点.(2)(2)判断极限判断极限若若极限存在极限存在且为且为有限值有限值,则则为为的可去奇点的可去奇点.70可去奇点的判定(1)由定义判断:的洛朗级数无负在如果幂项则我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物如果补充定义如果补充定义:时时,那末那末在在解析解析.级数中不含负幂项级数中不含负幂项,所以所以是是的可去奇点的可去奇点.例例3 考察函数考察函数 z=0是否为可去奇点是否为可去奇点。解解71如果补充定义:时,那末在解析.级数中不含负幂项,所以是的可去我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例4 4 说明说明为为的可去奇点的可去奇点.解解 所以所以为为的可去奇点的可去奇点.无负幂项无负幂项另解另解 的可去奇点的可去奇点.为为0=z所以所以罗比塔法则罗比塔法则72例4 说明为的可去奇点.解 所以为的可去奇点.无负幂项另解我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物则称孤立奇点则称孤立奇点0z为为)(zf的的极点极点(2)(2)极点极点 如果如果)(zf的洛朗展开式中只有有限多个的洛朗展开式中只有有限多个)(0zz-的负幂项的负幂项,且其中关于且其中关于10)(-zz的的最高幂为最高幂为mzz-)(0.m称为极点的阶（级）数称为极点的阶（级）数即：即：一阶极点称为单极点一阶极点称为单极点73则称孤立奇点0z为)(zf的极点(2)极点 如果)(z我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物说明：说明：（1）z0为极点的充要条件：为极点的充要条件：（2）z0为为m阶极点阶极点的充要条件：的充要条件：极限极限存在存在且且无穷大无穷大74说明：（1）z0为极点的充要条件：（2）z0为m阶极点的充要我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物极点的判定方法极点的判定方法的负幂项为有限项的负幂项为有限项.的洛朗展开式中含有的洛朗展开式中含有在点在点 的某去心邻域内的某去心邻域内其中其中 在在 的邻域内解析的邻域内解析,且且 (1)(1)由定义判别由定义判别(2)(2)由定义的等价形式判别由定义的等价形式判别(3)(3)利用极限利用极限判断判断.75极点的判定方法的负幂项为有限项.的洛朗展开式中含有在点 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物是二阶极点是二阶极点,是一阶极点是一阶极点.例例5 有理分式函数有理分式函数在复平面上有几个在复平面上有几个极点，并说明它们的阶数。极点，并说明它们的阶数。解解76是二阶极点,是一阶极点.例5 有理分式函数在复平面上有几个我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物课堂练习课堂练习求求的奇点的奇点,如果是极点如果是极点,指出它的阶数指出它的阶数.答案答案=+-1123zzz由于由于1:是函数的一阶极点是函数的一阶极点所以所以-=z1是函数的二阶极点是函数的二阶极点=z77课堂练习求的奇点,如果是极点,指出它的阶数.答案=+-我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物（3 3）本性奇点）本性奇点如果洛朗级数中含有无穷多个如果洛朗级数中含有无穷多个那末孤立奇点那末孤立奇点称为称为的本性奇点的本性奇点.的负幂项的负幂项,例如，例如，含有无穷多个含有无穷多个z z的负幂项的负幂项 说明说明:在本性奇点的邻域内在本性奇点的邻域内不存在不存在同时同时不存在不存在.78（3）本性奇点如果洛朗级数中含有无穷多个那末孤立奇点称为的本我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物综上所述综上所述:孤立奇点孤立奇点可去奇点可去奇点m m阶极点阶极点本性奇点本性奇点洛朗级数特点洛朗级数特点存在且为存在且为有限值有限值不存在不存在无负幂项无负幂项含无穷多个负幂项含无穷多个负幂项含有限个负幂项含有限个负幂项关于关于的最高幂的最高幂为为79综上所述:孤立奇点可去奇点m阶极点本性奇点洛朗级数特点存在且我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物三、函数的零点与极点的关系三、函数的零点与极点的关系1.1.零点的定义零点的定义不恒等于零的解析函数不恒等于零的解析函数如果如果 能表示成能表示成其中其中在在解析且解析且m 为某一正整数为某一正整数,那末那末称为称为的的 m 级零点级零点.注意注意:不恒等于零的解析函数的零点是孤立的不恒等于零的解析函数的零点是孤立的.例如例如的一阶零点的一阶零点，是函数是函数3)1()(0-=zzzfz.)1()(13的三阶零点的三阶零点是函数是函数-=zzzfz80三、函数的零点与极点的关系1.零点的定义不恒等于零的解析函我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物2.2.零点的判定零点的判定零点的充要条件是零点的充要条件是如果如果在在解析解析,那末那末为为的的阶阶（1）定义）定义（2）812.零点的判定零点的充要条件是如果在解析,那末为的阶（1）我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物(1)(1)由于由于知知是是的一阶零点的一阶零点.课堂练习课堂练习是五阶零点是五阶零点,是二阶零点是二阶零点.知知是是的一阶零点的一阶零点.解解(2)(2)由于由于答案答案例例6 求以下函数的零点及阶数求以下函数的零点及阶数:(1)(1)(2)(2)的零点及阶数的零点及阶数.求求82(1)由于知是的一阶零点.课堂练习是五阶零点,是二阶零点.我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物3.3.零点与极点的关系零点与极点的关系定理定理如果如果是是的的 m 阶极点阶极点,那末那末就是就是的的 m 阶零点阶零点.反过来也成立反过来也成立.说明说明 此定理为判断函数的极点提供了一个较为此定理为判断函数的极点提供了一个较为简便的方法简便的方法.z=z0是是f（z）的）的m阶极点阶极点z=z0是是 的的m阶零点阶零点833.零点与极点的关系定理如果是的 m 阶极点,那末就是的我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物极点的判定方法极点的判定方法的负幂项为有限项的负幂项为有限项.的洛朗展开式中含有的洛朗展开式中含有在点在点 的某去心邻域内的某去心邻域内其中其中 在在 的邻域内解析的邻域内解析,且且 (1)(1)由定义判别由定义判别(2)(2)由定义的等价形式判别由定义的等价形式判别(3)(3)利用极限利用极限判断判断.(4)(4)由与零点的关系判别由与零点的关系判别 84极点的判定方法的负幂项为有限项.的洛朗展开式中含有在点 我吓了一跳，蝎子是多么丑恶和恐怖的东西，为什么把它放在这样一个美丽的世界里呢？但是我也感到愉快，证实我的猜测没有错：表里边有一个活的生物例例7 7 函数函数有些什么奇点有些什么奇点,如果是极点如果是极点,指出指出它的阶数它的阶数.解解 函数的奇点是使函数的奇点是使的点的点,这些奇点是这些奇点是是孤立奇点是孤立奇点.的一阶极点的一阶极点.即即p p=p p=kzkzzzcos)(sin因为因为的一阶零点的