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第二十二讲图形的相似与位似考点一平行线分线段成比例考点一平行线分线段成比例 主干必备主干必备 1.1.平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理:两条直线被一组平行线所两条直线被一组平行线所截截,所得所得_成比例成比例.对应线段对应线段2.2.平行线分线段成比例定理的推论平行线分线段成比例定理的推论:平行于三角形一边平行于三角形一边的直线截其他两边的直线截其他两边,所得所得_成比例成比例.对应对应线段线段 微点警示微点警示 注意对应性注意对应性:如图如图,ABCDEF,ABCDEF,则可得则可得 等多个比例式等多个比例式,其对应关系其对应关系可简述为可简述为:注意辅助线注意辅助线:为了充分利用平行线分线段成比例定为了充分利用平行线分线段成比例定理及其推论理及其推论,在已知线段比值的情况下往往过关键点作在已知线段比值的情况下往往过关键点作某一线段的平行线某一线段的平行线.核心突破核心突破 例例120181 如图如图,AGGD=41,BDDC=23,AGGD=41,BDDC=23,则则AEECAEEC的值是的值是 A.32A.32B.43B.43C.65C.65D.85D.85D D 明明技法技法 应用平行线分线段成比例解决问题的技巧应用平行线分线段成比例解决问题的技巧若已知条件中有平行线若已知条件中有平行线,求两条线段的比求两条线段的比,可直接应可直接应用平行线分线段成比例定理求解用平行线分线段成比例定理求解.若已知条件中无平行线若已知条件中无平行线,但告知线段的比但告知线段的比,可先通过可先通过作平行线创造应用定理的条件作平行线创造应用定理的条件.题组过关题组过关 1.20191.如图如图,在在ABCABC中中,点点D,ED,E分别在分别在ABAB和和ACAC上上,DEBC,M,DEBC,M为为BCBC边上一点边上一点,连接连接AMAM交交DEDE于点于点N,N,则则 C C2.20192.如图如图,l1l2l3,l1l2l3,直线直线a,ba,b与与l1,l2,l3l1,l2,l3分分别相交于点别相交于点A,B,CA,B,C和点和点D,E,F.D,E,F.若若AB=3,DE=2,BC=6,AB=3,DE=2,BC=6,则则EF=_.EF=_.世纪金榜导学号世纪金榜导学号4 4考点二相似三角形的判定与性质考点二相似三角形的判定与性质 主干必备主干必备 判判定定判定判定1:1:平行于三角形一边的直线和其他两边平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的或两边的延长线延长线)相交相交,所构成的三角形与原所构成的三角形与原_相似相似.判定判定2:2:三边三边_的两个三角形相似的两个三角形相似.判定判定3:3:两边两边_且且_的两个三的两个三角形相似角形相似.判定判定4:4:两角两角_的两个三角形相似的两个三角形相似.三角形三角形成比例成比例成比例成比例夹角相等夹角相等分别相等分别相等性性质质性质性质1:1:相似三角形的对应角相似三角形的对应角_,_,对应边的比对应边的比_._.性质性质2:2:相似三角形周长的比等于相似三角形周长的比等于_._.性质性质3:3:相似三角形对应高的比、对应中线的相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于比、对应角平分线的比等于_._.性质性质4:4:相似三角形面积的比等于相似比的相似三角形面积的比等于相似比的_._.相等相等相等相等相似相似比比相似比相似比平方平方 微点警示微点警示 根据条件快选判定根据条件快选判定:有平行线一般用判定有平行线一般用判定1,1,网格中网格中三角形相似一般用判定三角形相似一般用判定2 2或判定或判定3,3,有公共角、对顶角或有公共角、对顶角或圆中的三角形一般用判定圆中的三角形一般用判定4.4.注意面积特殊之处注意面积特殊之处:相似三角形对应线段比、周长相似三角形对应线段比、周长比都等于相似比比都等于相似比,唯独面积比等于相似比的平方唯独面积比等于相似比的平方.核心突破核心突破 命题角度命题角度1:1:相似三角形的判定相似三角形的判定例例220182 如图如图,小正方形的边长均为小正方形的边长均为1,1,则则以下图中的三角形以下图中的三角形 与与ABCABC相似的是相似的是 B B命题角度命题角度2:2:相似三角形的性质相似三角形的性质例例320193 如图如图,在等腰三在等腰三角形角形ABCABC中中,AB=AC,AB=AC,图中所有三角形均图中所有三角形均相似相似,其中最小的三角形面积为其中最小的三角形面积为1,ABC1,ABC的面积为的面积为42,42,则四边形则四边形DBCEDBCE的面积是的面积是 A.20A.20B.22B.22C.24C.24D.26D.26D D命题角度命题角度3:3:相似三角形的判定与性质相似三角形的判定与性质例例420194 如图如图,ABD=BCD=90,DB,ABD=BCD=90,DB平平分分ADC,ADC,过点过点B B作作BMCDBMCD交交ADAD于于M.M.连接连接CMCM交交DBDB于于N.N.求证求证:BD2=ADCD.:BD2=ADCD.若若CD=6,AD=8,CD=6,AD=8,求求MNMN的长的长.自主解答自主解答 DBDB平分平分ADC,ADC,ADB=CDB,ADB=CDB,且且ABD=BCD=90,ABD=BCD=90,ABDBCD,BD2=ADCD.ABDBCD,BD2=ADCD.略略 明明技法技法 1.1.判定三角形相似的判定三角形相似的 五个基本思路五个基本思路 条件中若有平行线条件中若有平行线,可采用相似三角形的预备定理可采用相似三角形的预备定理.条件中若有一对等角条件中若有一对等角,可再找一对等角或再找夹这可再找一对等角或再找夹这对等角的两边对应成比例对等角的两边对应成比例.条件中若有两边对应成比例条件中若有两边对应成比例,可找夹角相等可找夹角相等.条件中若有一对直角条件中若有一对直角,可考虑再找一对等角或证明可考虑再找一对等角或证明夹直角的两条直角边对应成比例夹直角的两条直角边对应成比例.条件中若有等腰三角形条件中若有等腰三角形,可找顶角相等可找顶角相等,或一对底角或一对底角相等相等,或找底和腰对应成比例或找底和腰对应成比例.2.2.相似三角形性质的三个应用相似三角形性质的三个应用利用相似三角形对应角相等计算角的度数利用相似三角形对应角相等计算角的度数.利用相似三角形对应线段成比例确定已知线段和未利用相似三角形对应线段成比例确定已知线段和未知线段的关系知线段的关系,建立方程求出未知线段的长或解决与比建立方程求出未知线段的长或解决与比例式例式 有关的证明问题有关的证明问题.利用相似三角形的面积比等于相似比的平方利用相似三角形的面积比等于相似比的平方,周长周长比等于相似比求三角形的面积或周长比等于相似比求三角形的面积或周长.题组过关题组过关 1.20191.如图如图,如果如果BAD=CAE,BAD=CAE,那那么添加以下一个条件后么添加以下一个条件后,仍不能确定仍不能确定ABCADEABCADE的是的是 C C2.20192.如图如图 ABCD,FABCD,F为为BCBC中点中点,延长延长ADAD至至E,E,使使DEAD=13,DEAD=13,连接连接EFEF交交DCDC于点于点G,G,则则SDEGSCFG=SDEGSCFG=A.23A.23B.32B.32C.94C.94D.49D.49D D3.20193.如图如图,在在RtABCRtABC中中,ACB=90,ACB=90,AB=10,BC=6,CDAB,ABCAB=10,BC=6,CDAB,ABC的平分线的平分线BDBD交交ACAC于点于点E,DE=E,DE=.世纪金榜导学号世纪金榜导学号4.4.如图如图,ACB=ADC=90,AC=,AD=2.,ACB=ADC=90,AC=,AD=2.当这两个直角三角形相似时当这两个直角三角形相似时,AB,AB的长为的长为_._.考点三相似三角形的实际应用考点三相似三角形的实际应用 主干必备主干必备 应用相似三角形解决实际问题的一般步骤应用相似三角形解决实际问题的一般步骤:画图画图:根据实际问题情境根据实际问题情境,画出几何图形画出几何图形.判定判定:判定几何图形中有哪些三角形相似判定几何图形中有哪些三角形相似,必要时通必要时通过作辅助线构造出相似三角形过作辅助线构造出相似三角形.性质性质:运用相似三角形的性质得到包含已知线段和运用相似三角形的性质得到包含已知线段和未知线段的比例式未知线段的比例式.结论结论:通过解方程得到未知线段通过解方程得到未知线段,结合所求写出实际问题答案结合所求写出实际问题答案.核心突破核心突破 例例520185 周末周末,小华和小亮想用所学的数小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽学知识测量家门前小河的宽.测量时测量时,他们选择了河对他们选择了河对岸岸边的一棵大树岸岸边的一棵大树,将其底部作为点将其底部作为点A,A,在他们所在的岸在他们所在的岸边选择了点边选择了点B,B,使得使得ABAB与河岸垂直与河岸垂直,并在并在B B点竖起标杆点竖起标杆BC,BC,再在再在ABAB的延长线上选择点的延长线上选择点D,D,竖起标杆竖起标杆DE,DE,使得点使得点E E与点与点C,AC,A共线共线.已知已知:CBAD,EDAD,:CBAD,EDAD,测得测得BC=1 m,DE=1.5 m,BD=8.5 BC=1 m,DE=1.5 m,BD=8.5 m.m.测量示意图如图所示测量示意图如图所示.请根据相关测量信息请根据相关测量信息,求河宽求河宽AB.AB.思路点拨思路点拨 由由BCDE,BCDE,可得可得 ,构建方程即可构建方程即可解决问题解决问题.自主解答自主解答BCDE,BCDE,ABCADE,ABCADE,AB=17,AB=17,经检验经检验:AB=17:AB=17是分式方程的解是分式方程的解.答答:河宽河宽ABAB的长为的长为17 m.17 m.明明技法技法 运用相似三角形解决实际问题的一般步骤运用相似三角形解决实际问题的一般步骤1.1.由实际问题抽象出几何图形由实际问题抽象出几何图形.2.2.根据几何图形判定得出相似三角形根据几何图形判定得出相似三角形.3.3.根据相似三角形的性质得到方程根据相似三角形的性质得到方程.4.4.解方程求出有关线段长度解方程求出有关线段长度.5.5.写出实际问题的答案写出实际问题的答案.题组过关题组过关 1.20191.如图如图,在一块斜边长在一块斜边长30 cm30 cm的直角的直角三角形木板三角形木板上截取一个正方形上截取一个正方形CDEF,CDEF,点点D D在在边边BCBC上上,点点E E在斜边在斜边ABAB上上,点点F F在边在边ACAC上上,若若AFAC=13,AFAC=13,则这块木板截取正方形则这块木板截取正方形CDEFCDEF后后,剩余部分的面积为剩余部分的面积为 A.100 cm2A.100 cm2 B.150 cm2 B.150 cm2 C.170 cm2C.170 cm2 D.200 cm2 D.200 cm2A A2.2.如图如图,王明同学用王明同学用自制的直角三角形纸板自制的直角三角形纸板DEFDEF测量树测量树的高度的高度AB,AB,他调整自己的位置他调整自己的位置,设设法使斜边法使斜边DFDF保持水平保持水平,并且边并且边DEDE与点与点B B在同一直线上在同一直线上,已已知纸板的两条边知纸板的两条边DF=50 cm,EF=30 cm,DF=50 cm,EF=30 cm,测得边测得边DFDF离地面离地面的高度的高度AC=1.5 m,CD=20 m,AC=1.5 m,CD=20 m,则树高则树高ABAB为为_._.16.5 m16.5 m3.20193.如图如图,阳光通阳光通过窗口照到某个房间内过窗口照到某个房间内,竖直窗框竖直窗框ABAB在地在地面上留下的影子长度面上留下的影子长度DE=1.8 m,DE=1.8 m,已知点已知点E E到窗下墙角的距离到窗下墙角的距离CE=3.9 m,CE=3.9 m,窗框底边离地面的距离窗框底边离地面的距离BC=1.4 m,BC=1.4 m,试求窗框试求窗框ABAB的长的长.世纪金榜导学号世纪金榜导学号 解析解析 连接连接AB,AB,由于阳光是平行光线由于阳光是平行光线,即即AEBD,AEBD,所以所以AEC=BDC.AEC=BDC.又因为又因为CC是公共角是公共角,所以所以AECBDC,AECBDC,从而有从而有 .又又AC=AB+BC,DC=EC-ED,EC=3.9 m,AC=AB+BC,DC=EC-ED,EC=3.9 m,ED=1.8 m,BC=1.4 m,ED=1.8 m,BC=1.4 m,于是有于是有 ,解得解得AB=1.2 m.AB=1.2 m.答答:窗框窗框ABAB的长为的长为1.2 m.1.2 m.考点四位似考点四位似 主干必备主干必备 定义定义两个图形不仅是相似图形两个图形不仅是相似图形,而且每组对而且每组对应点连线都经过应点连线都经过_,_,对应对应边边_(_(或在同一直线上或在同一直线上),),这两个图形叫做位似图形这两个图形叫做位似图形,这个点叫做这个点叫做位似中心位似中心同一点同一点互相平行互相平行性质性质1.1.位似图形上任意一对对应点到位似位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于中心的距离之比等于_._.2.2.在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,如果以原点如果以原点为位似中心为位似中心,相似比为相似比为k,k,那么位似图那么位似图形上的对应点的坐标的比等于形上的对应点的坐标的比等于_相似比相似比k k或或-k-k 微点警示微点警示 注意位似和相似的关系注意位似和相似的关系:位似图形一定是相似图形位似图形一定是相似图形,但相似图形不一定是位似图形但相似图形不一定是位似图形.注意位似中心的位置注意位似中心的位置:位似中心可能在图形外位似中心可能在图形外,也可也可能在图形内或图形上能在图形内或图形上.注意关于原点的位似注意关于原点的位似:在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,一个图一个图形关于原点的位似图形有两个形关于原点的位似图形有两个,一个同象限一个同象限,一个异象一个异象限限.核心突破核心突破 例例620196 在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,ABO,ABO三个三个顶点的坐标分别为顶点的坐标分别为A,B,O.A,B,O.以原点以原点O O为位似中心为位似中心,把这个三角形缩小为原来的把这个三角形缩小为原来的 ,得到得到CDO,CDO,则点则点A A的对应点的对应点C C的坐标是的坐标是_._.或或 明明技法技法 根据关于原点的位似变化求点的坐标的要点根据关于原点的位似变化求点的坐标的要点先明确已知点的坐标及相似比先明确已知点的坐标及相似比.区分原图形与位似图形是同侧还是异侧区分原图形与位似图形是同侧还是异侧.分别把横、纵坐标与相似比分别把横、纵坐标与相似比 相相乘乘.题组过关题组过关 1.20191.如图如图,以点以点O O为位似中心为位似中心,将将OABOAB放大后得到放大后得到OCD,OA=2,AC=3,OCD,OA=2,AC=3,则则 =_.=_.2.20192.ABCABC在边长为在边长为1 1的正方形网格中的正方形网格中如图所示如图所示.世纪金榜导学号世纪金榜导学号以点以点C C为位似中心为位似中心,作出作出ABCABC的位似图形的位似图形A1B1C,A1B1C,使其位似比为使其位似比为12.12.且且A1B1CA1B1C位于点位于点C C的异侧的异侧,并表示并表示出出A1A1的坐标的坐标.作出作出ABCABC绕点绕点C C顺时针旋转顺时针旋转9090后的图形后的图形A2B2C.A2B2C.在在的条件下求出点的条件下求出点B B经过的路径长经过的路径长.略略
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