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第二十七讲圆的有关计算考点一正多边形和圆的有关计算考点一正多边形和圆的有关计算 主干必备主干必备 正多边形和圆正多边形和圆1.1.定义定义:各边各边_,_,各角也都各角也都_的多的多边形是正多边形边形是正多边形.相等相等 相等相等 2.2.正多边形和圆的关系正多边形和圆的关系:把一个圆把一个圆_,_,依次依次连接连接_可作出圆的内接正可作出圆的内接正n n边形边形.n n等分等分 各分点各分点 微点警示微点警示 成正多边形的两个要素成正多边形的两个要素:一是各边相等一是各边相等,二是各角相二是各角相等等,两者缺一不可两者缺一不可.圆内接正多边形的条件圆内接正多边形的条件:各边相等的圆内接多边形各边相等的圆内接多边形是正多边形是正多边形,但各角相等的圆内接多边形不一定是正多但各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形边形.核心突破核心突破 例例1 20181 如图如图,O,O是正五边形是正五边形ABCDEABCDE的外接圆的外接圆,点点P P是是 上的一点上的一点,则则CPDCPD的度数是的度数是B BA.30A.30B.36B.36C.45C.45D.72D.722019 若正六边形的内切圆半径为若正六边形的内切圆半径为2,2,则则其外接圆半径为其外接圆半径为_._.明明技法技法 正多边形的有关边的计算的常用公式正多边形的有关边的计算的常用公式r2+=R2rr2+=R2.l=nall=na.SS正正n n边形边形=lrl=lr.题组过关题组过关 1.20191.如图如图,用一张圆形纸片完全用一张圆形纸片完全覆盖边长为覆盖边长为2 2的正方形的正方形ABCD,ABCD,则该圆形纸片的面积最少则该圆形纸片的面积最少为为 C CA.A.B.B.C.2C.2D.4D.42.20192.如图如图,已知正五边形已知正五边形ABCDEABCDE内接于内接于O,O,连接连接BD,BD,则则ABDABD的度数是的度数是 世纪金榜导学号世纪金榜导学号C CA.60A.60B.70B.70C.72C.72D.144D.1443.20193.如图如图,正方形的边长为正方形的边长为4 cm,4 cm,剪去四个角后成为一个正八边形剪去四个角后成为一个正八边形,则这个正八边形的边则这个正八边形的边长为长为_cm._cm.4.4.如图如图,在正五边形在正五边形ABCDEABCDE中中,对角线对角线AD,ACAD,AC与与EBEB分别交分别交于于M,N.M,N.世纪金榜导学号世纪金榜导学号求求ADCADC的度数的度数.求证求证:四边形四边形EDCNEDCN是菱形是菱形.解析解析在正五边形在正五边形ABCDEABCDE中中,对角线对角线AD,ACAD,AC与与EBEB分分别交于别交于M,N,M,N,AED=EDC=BCD=108,AC=AD,AE=DE,AED=EDC=BCD=108,AC=AD,AE=DE,EAD=EDA=36,EAD=EDA=36,ADC=CDE-ADE=108-36=72.ADC=CDE-ADE=108-36=72.略略考点二弧长有关的计算考点二弧长有关的计算 主干必备主干必备 弧长公式弧长公式半径为半径为R R的圆中的圆中,n,n的圆心角所对的弧长的圆心角所对的弧长l l的计算公式的计算公式为为l=_.l=_.微点警示微点警示 注意决定弧的长度的两要素注意决定弧的长度的两要素:一是圆心角度数一是圆心角度数,二是二是圆的半径圆的半径.注意弧长相等与等弧的区别注意弧长相等与等弧的区别:等弧是指两个弧的圆等弧是指两个弧的圆心角度数和半径分别相等心角度数和半径分别相等,弧长相等是指两个弧的圆心弧长相等是指两个弧的圆心角度数和半径的乘积相等角度数和半径的乘积相等.核心突破核心突破 例例220192 如图如图,线段线段ABAB经过经过OO的圆心的圆心,AC,BDAC,BD分别与分别与OO相切于点相切于点C,D.C,D.若若AC=BD=4,A=45,AC=BD=4,A=45,则则 的长度为的长度为 B BA.A.B.2B.2C.2 C.2 D.4D.4 明明技法技法 弧长公式的理解与变形弧长公式的理解与变形在弧长公式中在弧长公式中,n,n表示表示11的圆心角的倍数的圆心角的倍数,在应用公在应用公式计算时式计算时,n,n和和180180可不用写单位可不用写单位.在弧长的计算公式中在弧长的计算公式中,已知已知l,n,Rl,n,R中的任意两个量都中的任意两个量都可以求出第三个量可以求出第三个量,变形公式有变形公式有:n=;R=.:n=;R=.题组过关题组过关 1.20191.如图如图,ABC,ABC内接于内接于O,B=65,O,B=65,C=70.C=70.若若BC=2 ,BC=2 ,则则 的长为的长为 A AA.A.B.B.C.2C.2D.2 D.2 2.20192.如图如图,将边长为将边长为 cm cm的正方形的正方形ABCDABCD沿直线沿直线l l向右翻动向右翻动,当正方形连续翻动当正方形连续翻动8 8次次后后,正方形的中心正方形的中心O O经过的路线长是经过的路线长是 D DA.8 cmA.8 cmB.8 cmB.8 cmC.3 cmC.3 cmD.4 cmD.4 cm3.20193.如图如图,ABC,ABC是是OO的内接三角形的内接三角形,AB,AB为为OO直径直径,AB=6,AD,AB=6,AD平分平分BAC,BAC,交交BCBC于点于点E,E,交交OO于于点点D,D,连接连接BD.BD.世纪金榜导学号世纪金榜导学号求证求证:BAD=CBD.:BAD=CBD.若若AEB=125,AEB=125,求求 的长的长.解析解析ADAD平分平分BAC,BAC,CAD=BAD,CAD=CBD,CAD=BAD,CAD=CBD,BAD=CBD.BAD=CBD.连接连接OD,OD,AEB=125,AEC=55,AEB=125,AEC=55,ABAB为为OO直径直径,ACE=90,ACE=90,CAE=35,DAB=CAE=35,CAE=35,DAB=CAE=35,BOD=2BAD=70,BOD=2BAD=70,的长为的长为 .考点三扇形面积有关的计算考点三扇形面积有关的计算 主干必备主干必备 扇形面积公式扇形面积公式半径为半径为R R的圆中的圆中,圆心角为圆心角为nn的扇形面积为的扇形面积为S S扇形扇形=_._.半径为半径为R,R,弧长为弧长为l l的扇形面积为的扇形面积为S S扇形扇形=_.=_.微点警示微点警示 决定扇形面积的两个要素决定扇形面积的两个要素:一是圆心角度数一是圆心角度数,二是圆二是圆的半径的半径.扇形面积公式的结构特征扇形面积公式的结构特征:公式公式S S扇形扇形=lR=lR与三角与三角形面积公式十分类似形面积公式十分类似,可把扇形想象成曲边三角形可把扇形想象成曲边三角形,把把弧长弧长l l看作底看作底,R,R看作底边上的高看作底边上的高.核心突破核心突破 例例33原型题原型题2019 如图如图,AOB=90,AOB=90,B=30,B=30,以点以点O O为圆心为圆心,OA,OA为半径作弧交为半径作弧交ABAB于点于点A A、点、点C,C,交交OBOB于点于点D,D,若若OA=3,OA=3,则阴影部分的面积为则阴影部分的面积为_._.变形题变形题 如图如图,在在RtABCRtABC中中,B=90,C=30,B=90,C=30,以以B B为圆心为圆心,AB,AB为半径画弧为半径画弧,交交ACAC于点于点E,E,交交BCBC于点于点D,D,若若AB=2,AB=2,则图中阴影部分的面积是则图中阴影部分的面积是_._.明明技法技法 求不规则图形面积的方法求不规则图形面积的方法求解一些几何图形的面积求解一些几何图形的面积,特别是不规则几何图形的面特别是不规则几何图形的面积时积时,常通过平移、旋转、分割等方法常通过平移、旋转、分割等方法,把不规则图形把不规则图形面积转化为规则图形面积的和或差面积转化为规则图形面积的和或差,使复杂问题简单化使复杂问题简单化,便于求解便于求解.这种解题方法也体现了整体思想、转化思想这种解题方法也体现了整体思想、转化思想.将不规则图形面积转化为规则图形的面积将不规则图形面积转化为规则图形的面积,常用的方法常用的方法有有:和差法和差法;割补法割补法.题组过关题组过关 1.20191.如图如图,A,B,C,A,B,C的半径的半径都是都是2,2,则图中三个扇形则图中三个扇形 面积之和是面积之和是 A AA.2A.2B.B.C.C.D.6D.62.20192.如图如图,将一把折扇打开后将一把折扇打开后,小东小东测量出测量出AOC=160,OA=25 cm,OB=10 cm,AOC=160,OA=25 cm,OB=10 cm,那么由那么由 及线段及线段AB,AB,线段线段CDCD所围成的扇面的面积约是所围成的扇面的面积约是 世纪金榜导学号世纪金榜导学号 D DA.157 cmA.157 cm2 2 B.314 cmB.314 cm2 2C.628 cmC.628 cm2 2D.733 cmD.733 cm2 23.20193.如图如图,在边长为在边长为4 4的正方形的正方形ABCDABCD中中,以点以点B B为圆心为圆心,AB,AB为半径画弧为半径画弧,交对角线交对角线BDBD于点于点E,E,则图中则图中阴影部分的面积是阴影部分的面积是 C CA.8-A.8-B.16-2B.16-2C.8-2C.8-2D.8-D.8-4.20194.如图如图,将四边形将四边形ABCDABCD绕顶点绕顶点A A顺时顺时针旋转针旋转4545至四边形至四边形ABCDABCD的位置的位置,若若AB=16 cm,AB=16 cm,则图中阴影部分的面积为则图中阴影部分的面积为_._.世纪金世纪金榜导学号榜导学号 32 cm 32 cm2 2 5.20185.如图如图,AB,AB是是OO的直径的直径,点点D D在在OO上上,DAB=45,BCAD,CDAB.,DAB=45,BCAD,CDAB.若若OO的半径为的半径为1,1,求图中求图中阴影部分的面积阴影部分的面积.世纪金榜导学号世纪金榜导学号 解析解析 连接连接OD,OD,OA=OD,A=45,OA=OD,A=45,A=ADO=45,A=ADO=45,DOB=90,DOB=90,即即ODAB,ODAB,BCAD,CDAB,BCAD,CDAB,四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形,CD=AB=2,CD=AB=2,SS梯形梯形OBCDOBCD=图中阴影部分的面积图中阴影部分的面积S=SS=S梯形梯形OBCDOBCD-S-S扇形扇形OBDOBD=
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