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试验设计试验设计2004年年4月月第一章第一章 正交试验设计正交试验设计第一节第一节 无交互作用的正交试验无交互作用的正交试验 设计及其直观分析法设计及其直观分析法一、试验为什么要设计一、试验为什么要设计试验可分为单因素试验与多因素试验两类。试验可分为单因素试验与多因素试验两类。单因素试验单因素试验多因素试验多因素试验要了解的是：要了解的是：因素（又称因子）水平的哪一种搭配最好？因素（又称因子）水平的哪一种搭配最好？哪一个因素对生产指标影响最大？哪一个因素对生产指标影响最大？正交试验法是解决多因素试验的有效方法。正交试验法是解决多因素试验的有效方法。例例1 1某化工厂生产一种试剂产品，收率某化工厂生产一种试剂产品，收率较低，希望通过试验找出最佳水平组合，并较低，希望通过试验找出最佳水平组合，并了解各因素对生产指标影响的主次，以达到了解各因素对生产指标影响的主次，以达到提高生产的目的，因素水平如下表：提高生产的目的，因素水平如下表：因素水平表因素水平表二、正交设计与试验二、正交设计与试验 正交表是已经制作好的规格化的表，正交表是已经制作好的规格化的表，最简单的正交表是最简单的正交表是L L4 4(2(23 3)L4(23)正交表正交表它具有正交性即有如下两个特性。它具有正交性即有如下两个特性。（1 1）每一纵列字码每一纵列字码“1”“1”和和“2”“2”出现的出现的次数次数 相等。相等。（2 2）任意两个纵列，其横方向形成的有任意两个纵列，其横方向形成的有 序数对（序数对（1,11,1），（），（1,21,2），（），（2,12,1），），（2,22,2）出现的次数相等。）出现的次数相等。凡正交表都具有搭配均衡的特性。凡正交表都具有搭配均衡的特性。常用的正交表有两大类。若记一般的正常用的正交表有两大类。若记一般的正交表为交表为L Ln n(q qp p)，则：则：一类正交表的行数一类正交表的行数n n，列数列数p p，水平数水平数q q之之间有如下关系：间有如下关系：n=qk，k=2，3，4，p=(n-1)/(q-1)这一类正交表不仅可考察各因子对试验这一类正交表不仅可考察各因子对试验指标的影响，有的还可考察因子间的交互作指标的影响，有的还可考察因子间的交互作用的影响。用的影响。另一类正交表的行数，列数水平之间不另一类正交表的行数，列数水平之间不满足上述两个关系，往往只能考察各因子的满足上述两个关系，往往只能考察各因子的影响，不能用这些正交表来考察因子间的交影响，不能用这些正交表来考察因子间的交互作用。互作用。（一）一）试验的设计试验的设计1.明确试验目的：明确试验目的：2.明确试验指标：明确试验指标：3.确定因子与水平：确定因子与水平：4.选用合适的正交表，进行表头设计，选用合适的正交表，进行表头设计，列出试验计划：列出试验计划：例例11试验计划表试验计划表（二）进行试验和记录试验结果二）进行试验和记录试验结果（三）试验结果的直观分析三）试验结果的直观分析用正交表安排试验具有下列特点：用正交表安排试验具有下列特点：（1 1）试验点分布均衡试验点分布均衡（2 2）试验结果综合可比试验结果综合可比计算与分析的步骤如下：计算与分析的步骤如下：（1）计算各因素两个水平的产率之和计算各因素两个水平的产率之和 与平均产率与平均产率（2）分析各因素对试验指标（产率）分析各因素对试验指标（产率）影响的大小影响的大小（3）选取最佳水平组合选取最佳水平组合第二节第二节 有交互作用的正交试验设计有交互作用的正交试验设计 与直观分析与直观分析 交互作用的含义是指在某一试验里，交互作用的含义是指在某一试验里，不仅考虑因子单独对指标的作用，还要考不仅考虑因子单独对指标的作用，还要考虑它们之间的作用对指标的影响，这种作虑它们之间的作用对指标的影响，这种作用称为交互作用。取其影响作用之值的用称为交互作用。取其影响作用之值的1/21/2作为交互作用值。作为交互作用值。例例2 2某厂为考察铁损情况，需要进行试验。某厂为考察铁损情况，需要进行试验。（一）试验的设计一）试验的设计（1）明确试验目的明确试验目的（2）明确试验指标明确试验指标（3）确定试验中所考虑的因子与水平，确定试验中所考虑的因子与水平，并确定可能存在并要考察的交互作用并确定可能存在并要考察的交互作用因子水平表因子水平表（4）选用合适的正交表，进行表头设计，选用合适的正交表，进行表头设计，列出试验计划列出试验计划在进行表头设计时要利用交互作用表在进行表头设计时要利用交互作用表例例2 2表头设计表表头设计表试验计划表试验计划表试验计划结果分析表试验计划结果分析表（二）试验结果的直观分析二）试验结果的直观分析主主 次次ABCAABCA（或（或B B）ACAC（或（或BCBC）DDABAB搭配表搭配表综上分析可知最佳条件是综上分析可知最佳条件是A A1 1B B2 2C C1 1D D（三）选用正交表和表头设计三）选用正交表和表头设计 正交试验设计，首先根据试验目的所正交试验设计，首先根据试验目的所确定的因素和水平，选取适应的正交表。确定的因素和水平，选取适应的正交表。其次是把因子及交互作用合理地安排在正其次是把因子及交互作用合理地安排在正交表上。交表上。（1 1）关于选表关于选表正交表总的自由度正交表总的自由度因子与交互作用的自由度之和因子与交互作用的自由度之和对自由度作如下规定：对自由度作如下规定：正交表总的自由度正交表总的自由度f f总总=试验次数试验次数-1-1，正交表每列的自由度正交表每列的自由度f f列列=此列水平数此列水平数-1-1，因子自由度因子自由度f f因因=该因子水平数该因子水平数-1-1，因素因素A A、B B间交互作用的自由度间交互作用的自由度f fA ABB=f fA Af fB B一般正交表都有一般正交表都有正交表总的自由度正交表总的自由度=各列自由度之和。各列自由度之和。（2 2）关于表头设计关于表头设计 在表头设计中要尽量避免混杂，这在表头设计中要尽量避免混杂，这是表头设计的一个重要原则。是表头设计的一个重要原则。注意：表头设计不是唯一的注意：表头设计不是唯一的第三节第三节 正交试验的方差分析法正交试验的方差分析法一、方差分析的必要性一、方差分析的必要性 方差分析是将因子水平不同（或交方差分析是将因子水平不同（或交互作用）与试验误差两者对指标的影响互作用）与试验误差两者对指标的影响区分开来的一种数学方法。区分开来的一种数学方法。将将y y1 1，y y2 2，y yn n总的偏差平方和总的偏差平方和 分解为各因子的偏差平方和及误差的分解为各因子的偏差平方和及误差的偏差平方和，再分别计算出各因子的平均偏差平方和，再分别计算出各因子的平均偏差平方和及误差的平均偏差平方和，最偏差平方和及误差的平均偏差平方和，最后利用后利用F F比对各因子进行显著性检验。比对各因子进行显著性检验。二、方差分析的步骤二、方差分析的步骤例例1 1中的试验结果进行方差分析中的试验结果进行方差分析（1 1）计算偏差平方和计算偏差平方和S S总总表示表示9 9个数据的偏差平方和个数据的偏差平方和 用同样的方法，可以求得其它因素的偏用同样的方法，可以求得其它因素的偏差平方和差平方和可以证明可以证明S S总总=S SA A+S+SB B+S+SC C+S+Se e以上偏差平方和的计算可以在表中进行以上偏差平方和的计算可以在表中进行例例1 1的方差分析表的方差分析表S SA A=356.23 S=356.23 SC C=61.56=61.56S SB B=96.23 S=96.23 Se e=77.56=77.56（2 2）计算自由度计算自由度L L9 9(3(34 4)总的自由度总的自由度f f总总=9-1=8=9-1=8，各因子的自由度各因子的自由度f fA A=f fB B=f fC C=3-1=2=3-1=2，误差的自由度误差的自由度f fe e=f=f总总-f fA A-f fB B-f fC C=8-2-2-2=2=8-2-2-2=2。（3）因子的显著性检验因子的显著性检验查查F F表得表得F F0.990.99(2,2)=99.00(2,2)=99.00F F0.950.95(2,2)=19.00(2,2)=19.00 上述显著性检验的过程，可归纳为方上述显著性检验的过程，可归纳为方差分析表如下：差分析表如下：例例1 1的方差分析表的方差分析表F0.99(2,2)=99.00F0.95(2,2)=19.00F0.90(2,2)=9.00方差分析的结论：方差分析的结论：（1）因素的主次因素的主次主主 次次 A B C A B C（2 2）最佳水平组合最佳水平组合（三）因子的贡献率分析三）因子的贡献率分析 当试验指标不服从正态分布时，进行方当试验指标不服从正态分布时，进行方差分析的依据就不够充分，此时可通过比较差分析的依据就不够充分，此时可通过比较各因子的各因子的“贡献率贡献率”来衡量因子作用的大小。来衡量因子作用的大小。由于由于S S因因中除了因子（或交互作用）的效中除了因子（或交互作用）的效应外，还包含误差，从而称应外，还包含误差，从而称 为因子的纯（偏差）平方和，称因子的纯平为因子的纯（偏差）平方和，称因子的纯平方和与方和与S ST T的比为因子的贡献率。而称的比为因子的贡献率。而称 为误差的贡献率。为误差的贡献率。第四节第四节 正交表的灵活运用正交表的灵活运用1.正交表的并列正交表的并列例例1 1污水去锌试验。污水去锌试验。考察的因素有四个，其中考察的因素有四个，其中A A选四个水平，选四个水平，属重点考察的因素。属重点考察的因素。B B，C C，D D各选二个水平。各选二个水平。这是这是4 41 1223 3因素试验。可选表因素试验。可选表L L8 8(2(27 7)进行改造。进行改造。本例，表头设计如下：本例，表头设计如下：试验结果及数据分析表试验结果及数据分析表数据分析与一般正交表相同数据分析与一般正交表相同方差分析表方差分析表F0.99(3,3)=29.46 F0.99(1,3)=34.12F0.95(3,3)=9.28 F0.95(1,3)=10.13方差分析的结论：方差分析的结论：（1）因素的主次：因素的主次：主主 次次B B，A A，D D，C C（2）最佳水平组合最佳水平组合A A3 3，B B2 2，C C，D D2.拟水平法拟水平法 例例2 2某农场作早稻高产试验，要考察某农场作早稻高产试验，要考察的因素有的因素有A A，B B，C C，其中因素其中因素A A取三个水取三个水平，因素平，因素B B，C C各取二个水平，不考虑交各取二个水平，不考虑交互作用。互作用。这是一个这是一个32322 2的试验问题。的试验问题。选用选用L L9 9(3(34 4)，其表头设计，试验结果如其表头设计，试验结果如下表。下表。试验结果及数据分析表试验结果及数据分析表 拟拟水水平平列列的的偏偏差差平平方方和和应应按按实实际际水水平平 计计算算，拟拟水水平平列列只只看看作作两两个个不不同同的的水水平平，其其自自由由度度=2-1=1=2-1=1，其其中中一一个个水水平平参参与与试试验验的的次次数是数是3 3次，另一个是次，另一个是6 6次，这时次，这时 I I2 2=y=y1 1+y+y4 4+y+y7 7，IIII2 2=y=y2 2+y+y3 3+y+y5 5+y+y6 6+y+y8 8+y+y9 9，I I3 3=y=y1 1+y+y3 3+y+y5 5+y+y6 6+y+y7 7+y+y8 8，II II3 3=y=y2 2+y+y4 4+y+y9 9。计算偏差平方和计算偏差平方和S S2 2，S S3 3的公式改变为：的公式改变为：S S1 1，S S4 4的计算公式不变的计算公式不变 f fe e=f=f总总-f fA A-f fB B-f fC C=8-2-1-1=4=8-2-1-1=4作方差分析作方差分析方差分析表方差分析表F0.99(1,7)=12.25 F0.95(1,7)=5.59结论：因素结论：因素C对指标影响显著，其余因素对指标影响显著，其余因素 不显著，因素不显著，因素C必须取必须取C1而而A，B取取 什么水平可按实际情况决定。什么水平可按实际情况决定。